PAGE1搶分秘籍05利用分類討論解決中考數學多解題目錄【解密中考】總結常考點及應對的策略，精選名校模擬題，講解通關策略（含押題型）【題型一】幾何位置多解【題型二】代數分類討論【題型三】

圖形運動多解【題型四】函數圖像多解：中考數學多解題是全國中考的熱點內容，更是全國中考的必考內容。每年都有一些考生因為知識殘缺、基礎不牢、技能不熟、答欠規范等原因導致失分。1．從考點頻率看，幾何位置（點/三角形/圓）、代數含參、函數圖像、圖形運動為高頻多解考點是考查的重點，也是高頻考點、必考點。2．從題型角度看，選擇填空易漏解，解答題中分類討論、動態幾何、存在性問題必考多解，分值8分左右，著實不少！：圈畫“不確定”條件（如動點、參數），分類時按標準（如位置、符號）窮舉，總結典型多解模型（如等腰三角形、相似對應關系）。【題型一】幾何位置多解【例1】（2025·黑龍江佳木斯·一模）在中，，，．以為斜邊作等腰直角三角形，連接，則的長為．【答案】或【知識點】根據正方形的性質與判定求線段長、判斷確定圓的條件、用勾股定理解三角形、圓周角定理【分析】如圖，由，都為等腰直角三角形，證明四邊形是正方形，連接，交于，連接，過作于，過作于，證明在以為圓心，為半徑的圓上；四邊形為正方形，證明，可得，求解，再進一步，，可得，從而可得答案；【詳解】解：如圖，∵，都為等腰直角三角形，∴，，，∴四邊形是正方形，連接，交于，連接，過作于，過作于，∴，，∴四邊形為矩形，∴在以為圓心，為半徑的圓上；∴，，∴，∴四邊形為正方形，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴，∴，∵，，，∴，∵四邊形是正方形，∴，∵為直徑，∴，∴，綜上：的長為或；故答案為：或.【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，矩形，正方形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，圓周角定理的應用，圓的確定，作出合適的輔助線是解本題的關鍵.幾何位置多解：點在線段/延長線、三角形形狀（銳角/鈍角）、高的內外、圓中弦的同側/異側、全等/相似對應關系不明確等。【例2】（2025·黑龍江哈爾濱·二模）已知正方形中，點在邊上，，.點是正方形邊上一點，，則.【答案】3或【知識點】用勾股定理解三角形、根據正方形的性質求線段長【分析】本題考查了正方形的性質、勾股定理，由正方形的性質得出，，由勾股定理求出；分兩種情況：①當點F在邊上時，由勾股定理求出，得出，再由勾股定理求出即可；②當點F在邊上時，由勾股定理求出即可．【詳解】解：∵四邊是正方形，∴，，，∴，分兩種情況：①當點F在邊上時，如圖1所示：∵，∴，∴，∴；②當點F在邊上時，如圖2所示：∵，∴；綜上所述：的長為3或；故答案為：3或．【變式1】（2025·河南周口·一模）在四邊形中，，，，為其對角線，且．若四邊形滿足有一組對邊平行，則的長為．【答案】或1【知識點】等邊三角形的判定和性質、解直角三角形的相關計算、含30度角的直角三角形【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質，含的直角三角形的性質，解直角三角形的應用等知識，分和兩種情況討論即可．【詳解】解∶當時，如圖，∵，，，∴，∵，∴，∴；當時，如圖，∵，，∴，∵，∴，又，∴是等邊三角形，∴，綜上，的長為或1，故答案為：或1．【變式2】（2025·河南信陽·一模）在矩形中，，取的中點，連接，，取的中點，連接，當為直角三角形時，的長為．【答案】或【知識點】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定與性質綜合、根據矩形的性質求線段長【分析】本題考查了矩形的性質，勾股定理，相似三角形的判定及性質；①當時，由矩形的性質及相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性質得，結合勾股定理，即可求解；②當時，同理可證，由相似三角形的性質得，結合勾股定理，即可求解；③由，，此種情況不存在；掌握矩形的性質，相似三角形的判定及性質，能熟練利用勾股定理求解，并能按直角頂點的不同進行分類討論是解題的關鍵．【詳解】解：①當時，，四邊形是矩形，，，，，，，，是的中點，是的中點，，，，解得：，；②當時，由①得：，，同理可證：，，四邊形是矩形，，，解得：，，同理可求：，是的中點，，；③，，此種情況不存在；綜上所述：的長為或．【變式3】（2025·上海閔行·模擬預測）我們定義：有兩邊之比是的三角形叫“倍半三角形”．已知直角三角形是倍半三角形，如果，，那么的面積．【答案】1或或【知識點】用勾股定理解三角形【分析】本題考查了三角形的面積，勾股定理的應用，分三種情況討論，利用三角形面積公式求得即可．分類討論思想的運用是解題的關鍵．【詳解】解：，為斜邊，當時，的面積；當時，的面積；當時，則，的面積；故答案為：1或或.【變式4】（2025·四川瀘州·一模）定義：如果一個三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半，那么稱三角形為“智慧三角形”．如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊，，點M在邊上，且，若在邊存在點P，使得為“智慧三角形”，則點P的坐標為【答案】或或【知識點】用勾股定理解三角形、寫出直角坐標系中點的坐標、三角形內角和定理的應用、等邊對等角【分析】本題主要考查了勾股定理的應用．解題的關鍵是知道“智慧三角形”指的是直角三角形．由題可知，“智慧三角形”是直角三角形，因為不確定哪個角是直角，所以分情況討論，或，設設點，則則，，根據勾股定理求出，，，根據或，可以得到這三條邊的關系，解之即可．【詳解】解：如圖，是“智慧三角形”，是中線，，∴，∴，，又，∴，∴“智慧三角形”是直角三角形，∵矩形中，，，，∴，，，，∴，設點，則，，①若，如圖，在中，在中，在中，，∴，解得，∴；②若，如圖，由①知：整理得，解得或∴或綜上，P的坐標為或或，故答案為：或或．【題型二】代數分類討論【例1】（2025·江西·一模）已知關于x的方程，若方程的兩個實數根都是整數，則整數k的值為．【答案】【知識點】因式分解法解一元二次方程【分析】本題考查了因式分解法解一元二次方程．利用因式分解法解一元二次方程得到，，根據方程的兩個實數根都是整數，即可求解．【詳解】解：根據題意可知，，∵，∴，∴，，∴，，∵方程的兩個實數根都是整數，∴，故答案為：．代數分類討論：絕對值、平方根、二次方程判別式、分式分母不為零、參數取值范圍導致的解的個數或符號差異。【例2】（2025·黑龍江大慶·一模）若，兩個數滿足關系式：，則，稱為“協變數對”，記作，例如：當8與2滿足時，則是“協變數對”，若是“協變數對”，則．【答案】或【知識點】解分式方程、新定義下的實數運算【分析】本題考查了新定義，以及解分式方程，解題的關鍵在于正確理解“協變數對”概念．根據“協變數對”定義建立分式方程求解，即可解題．【詳解】解：根據，則，稱為“協變數對”，又是“協變數對”，則有整理得，解得或，經檢驗，或是方程的解，故答案為：或．【變式1】（2025·廣西河池·一模）的平方根是．【答案】【知識點】求一個數的平方根【分析】本題考查了平方根的定義，熟練掌握平方根的定義是解答本題的關鍵．根據平方根的定義解答即可．【詳解】解：的平方根是，故答案為：．【變式2】（2025·安徽滁州·一模）若代數式有意義，則實數的取值范圍是．【答案】且【知識點】分式有意義的條件、二次根式有意義的條件、求一元一次不等式的解集【分析】本題考查了二次根式有意義的條件、分式有意義的條件、不等式的性質，熟練掌握二次根式、分式有意義的條件是解題的關鍵．根據二次根式、分式有意義的條件即可解答．【詳解】解：代數式有意義，且，解得：且，實數的取值范圍是且．故答案為：且．【變式3】（2025·山東聊城·一模）若式子有意義，則的取值范圍是．【答案】且【知識點】求一元一次不等式的解集、二次根式有意義的條件、零指數冪【分析】本題考查了二次根式有意義和零指數冪有意義，解本題的關鍵在熟練掌握其有意義的條件．二次根式有意義的條件：被開方數大于等于零．零指數冪有意義的條件：底數不為零．根據二次根式有意義的條件和零指數冪有意義的條件，列出不等式求解即可．【詳解】解：根據有意義，可得：，解得：，根據有意義，可得：，解得：，綜上可得：的取值范圍是且．故答案為：且【變式4】（2025·甘肅·一模）對于實數定義運算“#”為，例如：，則關于的方程有兩個相等的實數根，則的值為．【答案】或【知識點】新定義下的實數運算、根據一元二次方程根的情況求參數【分析】本題主要考查了新定義實數運算、一元二次方程根的判別式等知識點．根據新的運算法則列出一元二次方程，再根據一元二次方程根的判別式即可解答．【詳解】解：∵，∴，整理得：，∵關于的方程有兩個相等的實數根，∴，解得：或，故答案為：或．【變式5】（2025·河南駐馬店·一模）新定義：如果關于的一元二次方程有兩個實數根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”．若是“倍根方程”，則．【答案】或【知識點】因式分解法解一元二次方程【分析】考查一元二次方程的根以及新定義“倍根方程”的意義，熟練掌握“倍根方程”的意義是解決問題的關鍵；通過解方程得到該方程的根，結合“倍根方程”的定義進行解答即可．【詳解】解：解方程，可得，∵是“倍根方程”，∴當是6的2倍時，即有，當6是的2倍時，即有．故答案為：或．【變式6】（2025·重慶·一模）若關于的不等式組有解且至多3個整數解，關于的分式方程的解為整數，那么符合條件的所有整數的和為．【答案】22【知識點】根據分式方程解的情況求值、由不等式組解集的情況求參數【分析】本題考查了一元一次不等式組、分式方程，熟練掌握不等式組和分式方程的解法是解題關鍵．先解一元一次不等式組中的兩個不等式，從而可得的取值范圍，再解分式方程可得，從而可得是整數，且，則可得出符合條件的所有整數的值，由此即可得．【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∵關于的不等式組有解且至多3個整數解，∴，解得，，方程兩邊同乘以，得，解得，∵關于的分式方程的解為整數，∴是整數，且，即，∴符合條件的所有整數的值為，∴符合條件的所有整數的和為，故答案為：22．【題型三】

圖形運動多解【例1】（2025·黑龍江七臺河·一模）已知矩形的邊，，折疊矩形，使頂點A落在矩形的一邊上的P點，且折痕恰好經過矩形的一個頂點，則．【答案】或【知識點】用勾股定理解三角形、矩形與折疊問題【分析】此題重點考查矩形的性質、翻折變換的性質、勾股定理、分類討論數學思想的運用等知識與方法，正確地進行分類討論是解題的關鍵．存在兩種情況，一是點P在邊上，折痕經過點D，交于點F，由矩形的性質得，，由折疊得，由勾股定理求得；二是點P在邊上，折痕經過點B，交于點E，由，，，求得，而，所以，則，于是得到問題的答案．【詳解】解：如圖1，點P在邊上，折痕為經過點D，交于點F，四邊形是矩形，，，，，由折疊得，；如圖2，點P在邊上，折痕經過點B，交于點E，，，，，，，，故答案為：或平移/旋轉/對稱中圖形位置不同（如折疊后點的位置）【例2】（2025·山東濱州·模擬預測）把一副三角板如圖擺放，如果三角板繞公共頂點O順時針旋轉至時，那么旋轉角的度數為．【答案】或【知識點】根據平行線判定與性質求角度【分析】本題考查了平行線的性質與判定，三角形外角的性質，當在上方，設直線與直線交于點E，由平行線的性質可得的度數，進而求出的度數即可得到答案；當在下方時，過點O作，則，根據平行線的性質求出的度數即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，當在上方時，設直線與直線交于點E，∵，∴，∵，∴，∴此時旋轉角度為；如圖所示，當在下方時，過點O作，由題意得，∵，，∴，∴，∴，∴旋轉角度為，綜上所述，旋轉角度為或故答案為：或．【變式1】（2025·黑龍江哈爾濱·一模）在中，，，點在邊上，把沿折疊后，使得點落在點處，連接、，若，則．【答案】或【知識點】三角形內角和定理的應用、等腰三角形的性質和判定、折疊問題【分析】本題考查了折疊的性質，等腰三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，三角形內角和定理，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．分兩種情況：當點在直線的下方時，當點在直線上方時；分別求解即可得到答案．【詳解】解：如圖1，當點在直線的下方時，，，由折疊可知，，，，，，，，；如圖2，當點在直線上方時，，，，由折疊可知，，，，，，，故答案為：或．【變式2】（2025·遼寧撫順·一模）如圖，中，，，，點是邊上一動點，將沿邊翻折得到，當與的重疊部分為直角三角形時，則的長是．【答案】4或【知識點】折疊問題、用勾股定理解三角形【分析】本題考查了勾股定理、折疊的性質，由勾股定理可得，由折疊的性質可得，，再分兩種情況：當重疊的部分為直角，且；當重疊的部分為直角，且；分別求解即可得解，采用分類討論的思想是解此題的關鍵．【詳解】解：∵中，，，，∴，由折疊的性質可得：，，∵與的重疊部分為直角三角形，∴如圖，當重疊的部分為直角，且，∵，∴，∴，∴，，設，則，，由勾股定理可得：，∴，解得：，此時，如圖：當重疊的部分為直角，且，此時，綜上所述，的長是4或，故答案為：4或．【變式3】（2025·河南洛陽·一模）一大一小兩個三角板按照如圖所示的方式擺放，其中，，．三角板固定不動，將小三角板繞點順時針在平面內旋轉，當點在同一條直線上時，點到直線的距離為．【答案】或【知識點】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相關計算【分析】本題考查了解直角三角形、勾股定理，分兩種情況討論是解題的關鍵．分點E在上方和下方兩種情況討論求解即可．【詳解】①當點E在上方時，如圖2，過點D作，垂足為H，在中，，，，，，在中，，，，，，點在同一條直線上，且，，在中，，，，，，在中，，；②當點E在下方時，如圖3，在中，，，，，，過點作，垂足為，在中，，；綜上所述，點到直線的距離為或，故答案為：或．【變式4】（2025·河南·一模）如圖，在中，，，．點從點出發，以的速度沿運動，同時點從點出發，以的速度沿運動．在此運動過程中，當時，線段．【答案】或【知識點】利用平行四邊形的性質求解【分析】本題考查平行四邊形的性質及應用，由已知可得，從到需，從到需，設，運動時間為，分兩種情況畫出圖形，即可得到答案，解題的關鍵是分類討論思想的應用．【詳解】解：由已知可得，從到需，從到需，設，運動時間為，如圖，當與不平行時，過作于，過作于，則，四邊形為矩形，由題可知，，，，，四邊形是等腰梯形，，，，，，，解得；當與平行時，如圖：，四邊形為平行四邊形，此時，，解得，為或時，；綜上所述，為或，；故答案為：或．【變式5】（2025·河南信陽·一模）如圖，在中，，，D為平面內一動點，，連接，將繞點D逆時針旋轉得到，連接，，當點E落在的邊上時，的長為．【答案】或【知識點】根據旋轉的性質求解、相似三角形的判定與性質綜合、等腰三角形的性質和判定、用勾股定理解三角形【分析】首先得到，均為等腰直角三角形，然后根據題意分兩種情況討論，點E落在邊上和點E落在邊上，然后分別根據勾股定理和相似三角形的性質求解即可．【詳解】解：∵在中，，，∴為等腰直角三角形，∵將繞點D逆時針旋轉得到，∴均為等腰直角三角形，∴，①當點E落在邊上時，如圖所示，則點D在邊上，∴，在中，；②當點E落在邊上時，如解圖2所示．∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．綜上所述，的長為或．【點睛】此題考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是根據題意分情況討論．【變式6】（2025·河南駐馬店·一模）如圖，在矩形中，，，點是邊上一動點，將沿折疊，使得點落在點處，點到、的距離分別記為，，若，則的長為．【答案】或【知識點】用勾股定理解三角形、矩形與折疊問題【分析】本題屬于中考填空題的壓軸題，考查的是矩形的性質、翻折變換的性質、勾股定理，掌握矩形的性質和翻折的性質是解題的關鍵．根據題意分兩種情況畫圖：①如圖1，當點在矩形內，過點作交于點，交于點，②如圖2，當點在矩形外，過點作交于點，交于點，然后分別根據矩形和翻折的性質即可解決問題．【詳解】解：①如圖1，當點在矩形內，過點作交于點，交于點，則四邊形是矩形，，，，，，，由折疊可知：，，，設，由折疊可知：，在中，根據勾股定理得：，，解得；②如圖2，當點在矩形外，過點作交于點，交于點，則四邊形是矩形，，，，，，由折疊可知：，，，設，由折疊可知：，在中，根據勾股定理得：，，解得；綜上所述：的長為或．故答案為：或．【變式7】（2025·上海·模擬預測）正方形的邊長為，點在邊上，將沿直線翻折，使得點落在正方形內的點處，連接并延長交正方形一邊于點．當時，則的長為．【答案】或【知識點】根據正方形的性質求線段長、折疊問題、與三角形中位線有關的求解問題、相似三角形的判定與性質綜合【分析】分兩種情況：當在上時，根據四邊形是正方形，，得四邊形是平行四邊形，又將沿直線翻折，使得點落在正方形內的點處，可得，故；當在上時，過作于，可證明（），從而推得，是的中位線，，設則，可得，解得，即可得到答案．【詳解】解：當在上時，如圖：四邊形是正方形，，，四邊形是平行四邊形，，，，將沿直線翻折，使得點落在正方形內的點處，，，，，，正方形的邊長為，；當在上時，過作于，如圖：四邊形是正方形，，，，即，在和中，，，，將沿直線翻折，使得點落在正方形內的點處，，，，，，，，，∴，∴，∴，是的中位線，，，設，則，在中，，，，解得，，，綜上所述，的長為或，故答案為：或．【點睛】本題考查翻折變換，正方形的性質，平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，三角形中位線定理等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．【變式8】（2025·海南·模擬預測）如圖，矩形中，，，點為邊的中點，點在邊上運動，為的中點，當為等腰三角形時，的長為．【答案】或或【知識點】與三角形中位線有關的求解問題、根據矩形的性質求線段長、等腰三角形的性質和判定、用勾股定理解三角形【分析】本題考查矩形的判定與性質、三角形中位線定理、等腰三角形的性質、勾股定理、分類討論數學思想的運用等知識與方法，正確地作出輔助線是解題的關鍵．連接，由點為的中點，點為的中點，得，且，由矩形的性質得，，，則，再分三種情況討論，，則，求得，則；是，連接，可證明，則，所以，則四邊形是矩形，所以；是，可證明，則，求得，于是得到問題的答案．【詳解】解：連接，點為的中點，點為的中點，，且，四邊形是矩形，，，，，，，如圖1，為等腰三角形，且，，，；如圖2，為等腰三角形，且，連接，，，，，，，四邊形是矩形，；如圖3，為等腰三角形，且，，，且，，，，綜上所述，的長為或4或，故答案為：或4或．【變式9】（2025·河南新鄉·模擬預測）如圖，在正方形中，，P為上一點，且，E為上一動點，連接，作關于直線的對稱圖形，點B的對稱點為點，繼續作關于直線的對稱圖形，點E的對稱點為點，連接，當與正方形的一邊平行時，則的長為．【答案】或【知識點】根據正方形的性質求線段長、根據成軸對稱圖形的特征進行求解【分析】本題主要考查了折疊的性質，矩形的性質，正方形的性質，分為兩種情況①當時，②當時，分類求解即可．【詳解】如圖1，當時，設交BD于點M，則，，由對稱性可知，，，，，由對稱性得為等腰直角三角形，且為等腰直角三角形，；如圖2，當時，由對稱性易知，，，易知為等腰直角三角形，，，，，，，，綜上所述，EE的長為或，故答案為：或【變式10】（2025·安徽池州·一模）如圖，在矩形中，，，動點P從點B出發，以的速度沿方向運動到點C停止，同時動點Q從點C出發，以的速度沿C-B-C方向運動到點C停止，設點P的運動時間為．（1）當點P和點Q相遇時，t的值為；（2）連接，在點P和點Q不重合的情況下，連接．若以A，P，Q，D為頂點的四邊形的面積是矩形的面積的，且，則t的值為．【答案】或4或【知識點】幾何問題(一元一次方程的應用)、根據矩形的性質求面積【分析】本題主要考查了列代數式，一元一次方程的應用，有理數混合運算的應用．（1）由題意知，，當點P和點Q第一次相遇時，，列方程計算即可；當點P和點Q第二次相遇時，點P運動到點C，點Q也運動到點C，列式計算即可；（2）先求出以A，P，Q，D為頂點的四邊形的面積是，再分兩種情況討論：當，即點P，Q相遇前；當，即點P，Q相遇后，點Q到達點B前，分別求出結果即可．【詳解】解：（1）由題意知，，①當點P和點Q第一次相遇時，，即，解得；②當點P和點Q第二次相遇時，點P運動到點C，點Q也運動到點C，此時，即當點P和點Q相遇時，t的值為或4；故答案為：或4；（2）如圖，矩形的面積為，∴以A，P，Q，D為頂點的四邊形的面積是，當，即點P，Q相遇前，，則，解得；當，即點P，Q相遇后，點Q到達點B前，，則，解得．綜上，當或時，以A，P，Q，D為頂點的四邊形的面積是矩形的面積的．故答案為：或．【題型四】函數圖像多解【例1】（2025·河北張家口·一模）如圖，已知拋物線，線段．若拋物線a和線段b有兩個交點，且兩個交點均為整點（橫、縱坐標均為整數的點），則整數m的值為．【答案】2或4【知識點】其他問題(二次函數綜合)【分析】本題考查二次函數與一次函數綜合，根據拋物線a和線段b有兩個交點，可確定m的取值范圍，再分別把和代入拋物線解析式，可得到，然后根據m為整數，可得m的值為2或3或4，即可求解．熟練掌握二次函數與一次函數圖象相交題型的解法，數形結合是解決問題的關鍵．【詳解】解：聯立，得：，∵拋物線a和線段b有兩個交點，∴，解得：．當時，．將代入拋物線解析式得：，．同理，當時，，∴．∵m為整數，∴m的值為2或3或4．當時，拋物線與線段的交點坐標為，，符合要求；當時，拋物線與線段的交點不是整點，不符合要求；當時，拋物線與線段的交點坐標為，，符合要求．∴m的值為2或4．故答案為：2或4一次函數斜率符號、二次函數開口方向或對稱軸位置、函數與坐標軸交點的不同情形。【例2】（2025·青海西寧·一模）在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點，點在軸上，且滿足，則的長為．【答案】或/或【知識點】特殊三角形的三角函數、已知正切值求邊長、求點到坐標軸的距離【分析】本題考查直角坐標系中點的坐標，點到軸的距離，等腰三角形的性質，三角函數定義的應用及分類討論思想．解題的關鍵是根據點P在y軸上的位置（可能在B點上方或下方），分別計算的長度．【詳解】解：點的坐標為，點的坐標為，，是等腰直角三角形，．①當點在點下方時，，,②當點在點上方時，，,綜上所述，的長為或．故答案為：或．【變式1】（2025·江西·二模）如圖，在平面直角坐標系中，軸于點A，，，點P是x軸上一點．若三線中，有一條線平分另外兩條線所組成的角，則點P的坐標為【答案】或或【知識點】角平分線的性質定理、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、坐標與圖形綜合【分析】先根據含30度直角三角形的性質得出，．再分三種情況，分別畫出圖形利用含30度直角三角形的性質，等腰三角形的判定以及性質以及角平分線的性質定理求解即可．【詳解】解：，，，．①如答圖1，當平分時，．，．，②如答圖2，當平分時，則，，③如答圖3，當平分時，過點P作于點C，則．，，故答案為：，或【點睛】本題主要考查了坐標與圖形，角平分線的定義以及角平分線的性質，含30度直角三角形的性質，等腰三角形的判定以及性質，勾股定理等知識，學會分類討論是解題的關鍵．【變式2】（2025·河北保定·一模）若點分別在反比例函數．位于第一象限的圖象上，且點在點的下方，寫出一個滿足條件的的整數值：．【答案】1（或或）【知識點】反比例函數與幾何綜合【分析】本題主要考查反比例函數的圖像和性質，熟練掌握反比例函數的性質是解題的關鍵．根據反比例函數圖像的性質即可得到答案．【詳解】解：由題意可知：位于第一象限的圖象上，且點在點的下方，，故答案為：（或或）．【變式3】（24-25九年級下·甘肅白銀·開學考試）如圖，矩形的頂點坐標分別為，，．二次函數（其中m為常數）的圖象在矩形內（不含邊界）的部分均為y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是．【答案】或【知識點】y=ax2+bx+c的圖象與性質、根據矩形的性質求線段長、把y=ax2+bx+c化成頂點式【分析】將二次函數解析式化為頂點式，可得拋物線開口方向及頂點坐標，再確定臨界點，當拋物線對稱軸與重合時求出m的值，當拋物線經過點D時，可得解集；然后求出拋物線經過點C，B時m的值，可得答案．【詳解】解：，拋物線開口向上，拋物線對稱軸為直線，頂點坐標為，拋物線頂點在拋物線上，由題意得點D坐標為，如圖，當拋物線對稱軸與重合時符合題意，此時，解得，將點代入得，解得，時符合題意．將點代入得，解得，將點代入得，解得，，符合題意，綜上所述，或故答案為：或【點睛】本題主要考查了二次函數圖象與系數的關系，二次函數的性質，解題關鍵是掌握二次函數圖象與系數的關系，掌握二次函數與方程的關系．【變式4】（2025·安徽合肥·一模）定義：若一個函數圖象上存在縱坐標是橫坐標一半的點，則把該函數稱為“半值函數”，該點稱為“半值點”．例如：“半值函數”，其“半值點”為．（1）函數的圖象上的“半值點”是．（2）若關于x的函數的圖象上存在唯一的“半值點”，且當時，n的最小值為k，則k的值為．【答案】和0或【知識點】y=ax2+bx+c的圖象與性質、比較反比例函數值或自變量的大小【分析】本題主要考查二次函數與反比例的函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數與反比例函數的圖象與性質是解題的關鍵；（1）設函數的圖象上的“半值點”的坐標是，則可求出，然后問題可求解；（2）由題意易得，則有，然后可分當時，當