名校聯(lián)考聯(lián)合體2025屆高考考前仿真聯(lián)考三數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后；用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式化簡集合，由集合的關(guān)系、運(yùn)算即可判斷.【詳解】集合，，，則，都是的真子集，故，故C正確，ABD均錯(cuò)誤.故選：C.2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算規(guī)則計(jì)算出復(fù)數(shù)即可.【詳解】計(jì)算，虛部為.故選：A3.已知事件，是相互獨(dú)立事件，且，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的性質(zhì)可知事件，也是相互獨(dú)立事件，再由相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)槭录窍嗷オ?dú)立事件，所以事件，也是相互獨(dú)立事件，又，，所以，，所以.故選：A4.在中，角的對(duì)邊分別為，若.則角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件，利用正弦定理邊轉(zhuǎn)角得，再利用倍角公式和商數(shù)關(guān)系，即可求解.【詳解】因?yàn)椋玫剑郑瑒t，所以，又，則，所以，得到，所以，即，故選：B.5.已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，底面半徑為2，該圓錐PO側(cè)面展開圖的圓心角為，則圓錐PO的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)題意列方程求出即可進(jìn)一步求解.【詳解】設(shè)，則母線，所以，解得，故所求為.故選：B.6.已知，分別為雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)，A為雙曲線C上的一點(diǎn)，且，，，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C. D.3【答案】C【解析】【分析】由勾股定理求出，由雙曲線定義得即可求解.【詳解】由題意，，，所以，所以，所以.故選：C.7.若P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則“”是“△ABC為直角三角形”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】首先得到的充要條件是，進(jìn)一步即可判斷.【詳解】由，得，即，兩邊平方并化簡得，則，即，由于以上每一步變形都是等價(jià)的，故的充要條件是，而是△ABC為直角三角形的充分不必要條件，“”是“△ABC為直角三角形”的充分不必要條件.故選：A.8.已知是定義在上連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若，且，則不等式解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)條件得在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而可得，即可求解.【詳解】令，則，因?yàn)椋瑒t，所以，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，由，得到，所以，解得，故選：D.二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.將函數(shù)的圖象沿x軸向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.函數(shù)的最小正周期為C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱 D.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)條件，得，即可判斷A的正誤；對(duì)于B，利用周期的計(jì)算公式，即可求解；對(duì)于C，計(jì)算，即可求解；對(duì)于D，利用的性質(zhì)，求出的增區(qū)間，即可求解.【詳解】將函數(shù)的圖象沿x軸向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)，所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)榈淖钚≌芷跒椋赃x項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)椋院瘮?shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，由，得到，所以的增區(qū)間為，令，得到一個(gè)增區(qū)間為，又，所以選項(xiàng)D正確，故選：ABD.10.已知橢圓C：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，，離心率為，直線l過點(diǎn)與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，若x軸上存在一定點(diǎn)P，使得的內(nèi)切圓圓心在x軸上.則下列結(jié)論正確的有（）A.橢圓C的方程為B.的周長為4C.定點(diǎn)P的坐標(biāo)為D.當(dāng)軸時(shí)，的內(nèi)切圓圓心坐標(biāo)為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，先由焦距求出，再根據(jù)離心率求出，最后用算出，從而得到橢圓方程.對(duì)于B選項(xiàng)，依據(jù)橢圓定義，周長等于，都為2a，算出周長判斷對(duì)錯(cuò).對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)直線方程與橢圓聯(lián)立，用韋達(dá)定理得到和，由內(nèi)心在軸推出，進(jìn)而求出.對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)軸，求出值，設(shè)內(nèi)切圓圓心，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式列方程求解圓心橫坐標(biāo)，舍去不合理值.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，已知，可得.又離心率，則.由，得，所以橢圓方程為，故A正確.對(duì)于B選項(xiàng)，周長為，根據(jù)橢圓定義，，，，所以周長是，故B錯(cuò)誤對(duì)于C選項(xiàng)，，設(shè)，，.根據(jù)題意,設(shè)方程，與橢圓方程聯(lián)立得，由韋達(dá)定理，.因?yàn)閮?nèi)心在軸上，所以，即，即，即，經(jīng)化簡得，代入韋達(dá)定理則，得，解得.故C正確.對(duì)于D選項(xiàng)，軸時(shí)，直線MN方程，代入橢圓方程得.設(shè)內(nèi)切圓圓心，不妨設(shè)直線，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，解得，舍去，故D正確.故選：ACD.11.若函數(shù)滿足：對(duì)任意，恒有，則稱函數(shù)為“類余弦型”函數(shù).已知函數(shù)為“類余弦型”，若，且對(duì)任意非零實(shí)數(shù)，.則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若，則C.函數(shù)為偶函數(shù)D.若有理數(shù)，滿足，則【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)條件，令，即可求解；對(duì)于B，令，結(jié)合選項(xiàng)A中結(jié)果，即可求解；對(duì)于C，令，得到，即可求解；對(duì)于D，令，證明出，即可說明對(duì)任意、且，有，然后設(shè)，，、是非負(fù)整數(shù)，、為正整數(shù)，利用偶函數(shù)和前面的結(jié)論，即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，令，得到，又因?yàn)閷?duì)任意非零實(shí)數(shù)，，所以，故選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，令，得，由選項(xiàng)A知，又，，得到，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，令，得到，又，得到，所以C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)闀r(shí)，，則，所以，令，即對(duì)任意的正整數(shù)有，則，所以，對(duì)于任意正整數(shù)，成立，對(duì)任意的、且，則有成立，、為有理數(shù)，所以可設(shè)，，其中、為非負(fù)整數(shù)，、為正整數(shù)，則，，令，，，則、為正整數(shù)，，，所以，，即，由選項(xiàng)C知，函數(shù)為偶函數(shù)，，，，故選項(xiàng)D正確，故選：ACD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)切線斜率等于切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值求出切線斜率，然后用點(diǎn)斜式寫出切線方程即可.【詳解】由題意，點(diǎn)是切點(diǎn)，，則；故曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即.故答案為：.13.如圖，在直三棱柱中，△ABC是正三角形，D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱上，且，若，，則點(diǎn)到平面BDE的距離為__________.【答案】【解析】【分析】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出，其中是平面的法向量，結(jié)合公式即可運(yùn)算求解.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫妫矫妫裕驗(yàn)槿切问堑冗吶切危c(diǎn)是中點(diǎn)，所以，所以兩兩互相垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋珼為AC的中點(diǎn)，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，令，解得，所以可取，點(diǎn)到平面BDE的距離為.故答案為：.14.某無人機(jī)愛好者在年春節(jié)，設(shè)計(jì)了利用紅、橙、黃、綠、紫五種顏色無人機(jī)群呈現(xiàn)如圖的方形陣，方形陣分為六個(gè)區(qū)域，呈現(xiàn)要求是：同一區(qū)域?yàn)橄嗤伾臒o人機(jī)群，且相鄰區(qū)域的無人機(jī)群顏色不能相同，區(qū)域必須是紅色無人機(jī)群，則不同的呈現(xiàn)方式共有__________種.【答案】【解析】【分析】先給區(qū)域選，再給區(qū)域選，再分區(qū)域和區(qū)域無人機(jī)顏色相同和不同兩種情況討論，利用分類、分步計(jì)數(shù)原理和組合，即可求解.【詳解】先給區(qū)域選，有種選法，再給區(qū)域選，有種，①若區(qū)域和區(qū)域無人機(jī)顏色相同，且區(qū)域和區(qū)域無人機(jī)顏色相同，則區(qū)域有種選法，若區(qū)域和區(qū)域無人機(jī)顏色相同，且區(qū)域和區(qū)域無人機(jī)顏色不相同，則有種選法，區(qū)域有種選法，所以區(qū)域和區(qū)域無人機(jī)顏色相同時(shí)，共有種，②若區(qū)域和區(qū)域無人機(jī)顏色不相同，且區(qū)域和區(qū)域無人機(jī)顏色相同，則區(qū)域有種，區(qū)域有種選法，若區(qū)域和區(qū)域無人機(jī)顏色不相同，且區(qū)域和區(qū)域無人機(jī)顏色不相同，則區(qū)域有種，和區(qū)域只有種選法，所以區(qū)域和區(qū)域無人機(jī)顏色不相同時(shí)，共有種，因此，不同的呈現(xiàn)方式共有種，故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.我國新能源汽車的卓越性能贏得全球人民的信賴，某品牌新能源汽車憑借科研創(chuàng)新、廣告宣傳和可靠售后保障，在全球贏得了很好的營銷局面.下表為2017年—2024年（年份代碼分別記為：1，2，3，4，5，6，7，8）該品牌新能源汽車的科研經(jīng)費(fèi)投入和全球市場(chǎng)規(guī)模統(tǒng)計(jì).年份代碼i12345678科研經(jīng)費(fèi)（單位：百億元）2361013151821市場(chǎng)規(guī)模（單位：百萬輛）1122.53.53.54.56參考數(shù)據(jù)：，，，.參考公式：相關(guān)系數(shù).（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，推斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān)，并計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)，推斷它們的線性相關(guān)程度（結(jié)果精確到0.01，當(dāng)越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；當(dāng)越接近0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱）；（2）已知在國內(nèi)，新能源車主購買的新能源汽車為該品牌新能源汽車的概率為p（），從國內(nèi)新能源車主中隨機(jī)抽取5人，記這5人中選擇購買該品牌的人數(shù)為隨機(jī)變量X，若，求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差【答案】（1）樣本相關(guān)系數(shù)，兩個(gè)變量線性相關(guān)且線性相關(guān)程度很強(qiáng).（2）隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，方差.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的相關(guān)系數(shù)公式，結(jié)合已知的參考數(shù)據(jù)，計(jì)算出樣本相關(guān)系數(shù)，再依據(jù)相關(guān)系數(shù)與線性相關(guān)程度的關(guān)系進(jìn)行判斷.（2）由已知條件可知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，我們先根據(jù)求出的值，再利用二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差公式求出和.【小問1詳解】；.然后計(jì)算，將，，，代入可得：.接著計(jì)算，將，，代入可得：.再計(jì)算，將，，代入可得：.最后計(jì)算相關(guān)系數(shù)：根據(jù)公式，將，，代入可得：，因?yàn)椋?由于接近，所以兩個(gè)變量線性相關(guān)且線性相關(guān)程度很強(qiáng).【小問2詳解】已知隨機(jī)變量（因從國內(nèi)新能源車主中隨機(jī)抽取人，每個(gè)人購買該品牌汽車的概率為，符合二項(xiàng)分布的定義），根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式，由可得：，即，因?yàn)椋茫夥匠蹋?再根據(jù)二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式和方差公式，將，代入可得：；.16.在如圖所示的多面體中，已知四邊形為菱形，其對(duì)角線和相交于H點(diǎn)，G是棱的中點(diǎn)，，且.（1）求證：平面；（2）若平面，，求平面與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）通過構(gòu)造中位線來實(shí)現(xiàn)線線平行，通過構(gòu)造平行四邊形得到線線平行,進(jìn)而證明線面平行.（2）先建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，最后利用向量的夾角公式求出面面角的余弦值.【小問1詳解】因?yàn)樗倪呅螢榱庑危鶕?jù)菱形的性質(zhì)，菱形的對(duì)角線互相平分，所以為的中點(diǎn).又因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，在中，根據(jù)三角形中位線定理可得，且.已知且，所以且.可知四邊形為平行四邊形.由于平行四邊形的對(duì)邊平行，所以.又因?yàn)槠矫妫矫妫云矫?【小問2詳解】在菱形中，因?yàn)椋伊庑蔚泥忂呄嗟龋院投际钦切?取的中點(diǎn)為，連接，根據(jù)正三角形三線合一的性質(zhì),可得，又因?yàn)椋?又因?yàn)槠矫妫矫妫裕磧蓛纱怪?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系.已知，則可得，，.因?yàn)椋云矫娴姆ㄏ蛄靠扇?又，.設(shè)平面的法向量為，則由，由可得，取，則，將，代入，可得，解得，所以.設(shè)平面與平面所成角為，根據(jù)向量的夾角公式，.17.已知函數(shù)，其中為常實(shí)數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性；（2）若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，證明：.【答案】（1）增區(qū)間為，，減區(qū)間為（2）證明見解析【解析】【分析】（1）直接對(duì)求導(dǎo)，得，求出和的解，即可求解；（2）對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)條件得到，且，將問題轉(zhuǎn)化成證在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，易知，又，由，得到或，由，得到，所以函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為.【小問2詳解】因?yàn)椋字亩x域，則，令，得到，令，其對(duì)稱軸為，圖象開口向上，當(dāng)，即時(shí)，恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，當(dāng)，即，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上只有一個(gè)根，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，不合題意，則，則，所以有兩根，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以是的極大值點(diǎn)，由題知，所以，要證，即證，即證在上恒成立，令，則，令，則，易知在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，所以在區(qū)間上恒成立，即.18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)（）到點(diǎn)的距離與到x軸的距離之差等于1，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為.（1）求軌跡的方程；（2）過直線l：上一點(diǎn)Q作軌跡的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.證明：直線AB過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；（3）過點(diǎn)的動(dòng)直線與軌跡交于C，D兩點(diǎn)，直線CF交軌跡于另一點(diǎn)E，記△CDE，△CFR的面積分別為，，求的最小值.【答案】（1）（2）證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)（3）81【解析】【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式，根據(jù)條件列出等式，然后化簡可求得軌跡的方程.（2）利用導(dǎo)數(shù)求出軌跡在點(diǎn)處的切線方程，因?yàn)樵趦蓷l切線上，根據(jù)韋達(dá)定理化簡，進(jìn)而得到直線的方程，通過變形找出直線所經(jīng)過的定點(diǎn).（3）設(shè)出直線的方程，與拋物線聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理得到交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，進(jìn)而表示出關(guān)于某一變量的表達(dá)式，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出最小值.【小問1詳解】根據(jù)兩點(diǎn)距離公式，點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，點(diǎn)到軸的距離為，因?yàn)椋?根據(jù)條件可得：，則，展開化簡得：.所以軌跡的方程為.【小問2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，設(shè)，則.設(shè)，對(duì)已求得的軌跡方程求導(dǎo)得：.則在點(diǎn)處的切線方程為：，又.所以切線方程可化為：.因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，所以①.同理，在點(diǎn)處的切線方程為：.因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，所以②.由①②可知是方程的兩個(gè)根，即的兩個(gè)根.，根據(jù)韋達(dá)定理：.直線的方程為，又，所以.則直線的方程為，展開得.將代入得.再把代入得：