2025屆高考數學模擬試題（卷）（六）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合U=1,2,3,4,5，A=2,3，B=xx=2k,k∈Z，則A．4 B．2,4 C．1,2 D．1,3,5【答案】A【詳解】由U=1,2,3,4,5,A=2,3可得?UA=2．已知為虛數單位，若是純虛數，則實數（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】因為，所以，解得，故選B.3．已知為拋物線上一點，點到的焦點的距離為12，到軸的距離為9，則（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D【解析】設拋物線的焦點為，由拋物線的定義知，因為點到軸的距離為9，即，所以，解得，故選D4．函數fx=?x2+A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為x∈?3.4,3.4，?x∈?3.4,3.4，f?x=?x2+fπ5．若Cn1x+Cn2xA．x=2,n=6 B．x=4,n=6 C．x=8,n=4 D．x=14,n=4【答案】C【詳解】依題意，Cn1x+Cn2x2+?+Cnnxn=Cn6．美味的火鍋中也充滿了有趣的數學知識，如圖將火鍋抽象為乙圖的兩個同心圓柱，大、小圓柱的半徑分別為25cm與5cm，湯料只放在兩圓柱之間，將湯勺視為一條線段，若將湯鍋裝滿，將湯勺置于兩圓柱之間無論如何放置湯料都不會將湯勺淹沒，則湯勺長度最短為：（

）cm.A． B． C． D．【答案】C【解析】將投影至底面為，是底面大圓的一條弦且與小圓相切（切點為）時最長，所以，所以，故選：C.7．已知平面向量a，b，c滿足a=1，b?c=0，a?b=1A．4 B．2C．2 D．1 【答案】B【詳解】在平面直角坐標系xOy中，不妨設a=1,0，b=則a?b=x1所以b+c=1?12+y8．已知函數，若方程有三個不同的實數根，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】方程有三個不同的實數根，即函數的圖象與直線有三個不同交點，作函數的圖象如圖所示，，觀察圖象，得當時，函數的圖象與直線有三個交點，所以實數a的取值范圍是，故選A二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共計18分，每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9．已知函數的部分圖象如圖所示，則（

）

A．的最小正周期為B．當時，的值域為C．將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到的函數圖象關于點對稱D．將函數的圖象向右平移個單位長度可得函數的圖象【答案】AC【解析】A.，故A正確；B.，，由圖知，則，即，因，故，則，當時，，故，故B錯誤；C.新函數，因，故C正確；D.新函數，故D錯誤.故選：AC.10．已知橢圓C:x24+y22=1的左、右焦點分別為F1，FA．若∠F1PB．若∠F1PF2=90°C．若△F1PD．若P為C與x軸正半軸的交點，MN為圓O的直徑（M在第一象限），PN的中點為R，kPM=?kMR（k【答案】ABD【詳解】對于A，a=2,b=2,c=2，設點P,記因為PF1⊥PF2,所以(?t+4)12對于B，若∠F1PF所以P0，2,F22又因為O:x2+y2=4，圓心到直線距離d=2對于C，由橢圓的性質可知a?c≤F1P若△F1PF2是以P為頂點的等腰三角形，點P位于橢圓的上頂點或下頂點，滿足條件的點P有2個；若△F1PF2是以F1故使得△F1PF2為等腰三角形的點P共6個，故C錯誤；對于D：設P2,0,Mx1,y11．沿著下面左圖紙帶寬的三等分線（虛線）剪開，不能得到的剪開圖是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】因為紙帶是由一個長方形紙條一端扭曲180°后粘貼而成封閉環，沿著三等分線剪開時，會一次性剪完紙帶的所有三等分線．所以剪開圖是兩個套在一起的環，并且兩個環的寬度是原紙帶環寬度的13.正確剪開圖是B．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知直線l:x+ay?5a?3=0與⊙C:(x?1)2+(y?2)2=4，若直線l與⊙C相交于A,B【答案】?717或?1【詳解】若直線l與⊙C相交于A,B兩點，且AB=14，則圓心C到直線l的距離d=4?1422=2213．若α∈0,π2，tan2α=【答案】1515 【詳解】tan2α=sin2αcos2α=2sinαcosα1?2sin214．已知函數是定義在上的偶函數，其導函數為，且當時，，則不等式的解集為．【答案】或【解析】令，則，由當時，，所以，即在上是增函數，由題意是定義在上的偶函數，所以，所以，所以是偶函數，在遞減，所以，，即不等式等價為，所以，解得或．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．（13分）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a，b，c，且A=π3，(1)若BC邊上的高AD=23，求證：△ABC(2)已知直線AM為∠BAC的平分線，且與BC交于點M，若AM=263【詳解】（1）證明：在△ABC中，A=π3，a=4，由余弦定理得b2+c2?2bccosA=42，即b2+所以△ABC為等邊三角形.（2）在△ABC中，由SΔ得12bcsin∠BAC=1則∠BAM=∠CAM=12∠BAC=π6，所以12bc×由③④可知16=(b+c)2?3bc=(b+c)2?22(b+c)，解得16．（本小題滿分15分）已知函數.(1)討論的單調性；(2)當時，，討論的零點個數.【解】（1）的定義域為R，.…………1分若，令，得或，令，得；若，令，得或，令，得.……………3分綜上，當時，在，上單調遞增，在上單調遞減；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減.………4分（2）當時，，令，則，…………6分令，則.當和時，，單調遞減；當時，，單調遞增.…………8分所以的極小值為，的極大值為，……………9分畫出函數的大致圖象，如圖，…………11分由圖可知，當或時，函數有1個零點；…………13分當或時，函數有2個零點；…………14分當時，函數有3個零點.…………15分17．（15分）甲參加圍棋比賽，采用三局兩勝制，若每局比賽甲獲勝的概率為p(0<p<1)，輸的概率為1?p，每局比賽的結果是獨立的．(1)當p=2(2)為了增加比賽的趣味性，設置兩種積分獎勵方案．方案一：最終獲勝者得3分，失敗者得?2分；方案二：最終獲勝者得1分，失敗者得0分，請討論選擇哪種方案，使得甲獲得積分的數學期望更大．【詳解】（1）記“甲最終以2:1獲勝”為事件A，記“甲最終以2:0獲勝”為事件B，“甲最終獲勝”為事件C，于是C=A∪B，A與B為互斥事件，由于PA=C21?p?p?1?p（2）由（1）可知，PC=PA+PB=3p2?2則X的分布列為：X3?2p31?3則EX若選用方案二，記甲最終獲得積分為Y分，則Y可取1，0，PY=1=PCY10p31?3則EY=3p由于0<p<1，則2p2?2p?1=2p當0<p<12時，當12<p<1時，18．（17分）在三棱柱ABC?A1B1C1中，點D在B1(1)若E為A1（i）在圖中畫出△AB1C的重心G，并說明點G（ii）求證：AC//平面BDE(2)若三棱柱ABC?A1B1C1是棱長均為2的正三棱柱，當二面角E?AB?A【詳解】（1）（i）連結A1B，AB1交于點O1，連結C因為O1為A1B的中點，E所以G為△A1BC又因為CO1為所以點G也為△AB1C的重心，所以點G在線段（ii）連結B1G，并延長交AC于點F，連結因為G為△AB1C又因為B1D=2DC，所以DG//CF又因為AC?平面BDE，DG?平面BDE，所以AC//平面（2）取AB的中點O.因為ABC?A1B1C又因為在正三棱柱中BB1⊥平面ABC，所以CO⊥B以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz.則C(0,0,3)，A(1,0,0)，A1(1,2,0)，設CE=λCA1，可知所以AB=(?2,0,0)，BE設平面ABE的法向量為m=(x,y,z)，則m?令z=1，則可得m=易知平面ABA1的一個法向量為所以cosπ3=|m?n所以E13,23則B1到平面ABE的距離d=19．（17分）已知雙曲線C:x2a(1)求雙曲線C的方程；(2)設n∈N*，an∈0,π2，a1=π4，若點P（i）證明數列bn是等差數列，并求通項公式b（ii）設數列cosan的前n項和為對?n∈N*(其中log2n+1表示不超過log2【詳解】（1）由題可得e=ca=則b2則12?2ba=2?ab=2，則2b（2）（i）因P2則1cos因n∈N*，則此時點P滿足方程：y=x則y'=112則切線方程為：y?tan與漸近線y=12x聯立，可得A則1OA又1cos則25又a1=π故數列bn是以1為首項，公差為1的