典型例題：勾股定理及其驗證知識點1.1認識勾股定理1)為什么叫勾股定理？勾股定理是“人類最偉大的十個科學發現之一。是初等幾何中的一個基本定理。那么大家知道多少勾股定理的別稱呢?我可以告訴大家，有畢達哥拉斯定理、商高定理、百牛定理、驢橋定理和埃及三角形等。這個定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國(希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等)對此定理都有所研究。eq\o\ac(○,1)勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理，相傳是古希臘數學家畢達哥拉斯于公元前550年首先發現的。但畢達哥拉斯對勾股定理的證明方法已經失傳。eq\o\ac(○,2)中國古代對這一數學定理的發現和應用，遠比畢達哥拉斯早得多。中國最早的一部數學著作《周髀算經》（公元前1000年左右的西周時期）就有關于勾股定理的記載，比畢達哥拉斯要早了五百多年。其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的一一個應用特例。所以現在數學界把它稱為“勾股定理”是非常恰當的。2）勾股定理:如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2注：a.僅在直角三角形中存在勾股定理；b.由于直角三角形的斜邊最長，故運用勾股定理時，一定要抓住直角三角形最長邊（斜邊）的平方等于兩短邊（兩直角邊）的平方和，避免出現這樣的錯誤1．（2021·山西石樓中學八年級月考）在中，，，的對應邊分別是，，，若，則下列等式中成立的是（）A． B． C． D．2．（2021·成都市八年級期末）如圖，正方形ABCD的邊長為1，其面積標記為S1，以AB為斜邊向外作等腰直角三角形，再以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標記為S2，…，按照此規律繼續下去，則S7的值為（）A．? B．? C．? D．?3．（2021·江蘇八年級期末）如圖，等腰中，，，于，且．則__________．4．（2021·云南八年級期末）如圖，學校有一塊長方形草坪，有極少數人為了避開拐角走“捷徑”，在草坪內走出了一條“路”，他們僅僅少走了________步路（假設步為米），卻踩傷了花草．5．（2021·云南昭通市·八年級期中）在中，若，，則（）A． B． C．或 D．或6．（2021·廣東廣州市第二中學八年級期中）已知直角三角形的面積為6cm2，兩直角邊的和為7cm，則它的斜邊長為（）cm．A．5 B．6 C． D．7．（2021·成都市棕北中學八年級月考）如圖，小巷左右兩側是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，梯子頂端到地面的距離為2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，梯子頂端到地面的距離為1.5米．（1）梯子的長是多少？（2）求小巷的寬．1.2勾股定理的驗證據不完全統計，勾股定理的證明方法已經多達400多種了。由于篇幅有限，我們就重點介紹最具代表性的“勾股圓方圖”的證法。在《九章算術》一書中(約在公元50至100年間)，勾股定理得到了更加規范的一般性表達。中國古代的數學家們不僅很早就發現并應用勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明。最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數學家趙爽。趙爽創制了一幅“勾股圓方圖”（后人也把它稱為“趙爽弦圖”），用形數結合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明(下圖)。（證明過程見例1）趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數式之間的恒等關系，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數、形數統一、代數和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了一個典范。尤其是其中體現出來的“形數統一”的思想方法，更具有科學創新的重大意義。以后的數學家大多繼承了這一風格并且有發展,只是具體圖形的分合移補略有不同而已。1．（2021·山西中考真題）在勾股定理的學習過程中，我們已經學會了運用以下圖形，驗證著名的勾股定理：這種根據圖形直觀推論或驗證數學規律和公式的方法，簡稱為“無字證明”．實際上它也可用于驗證數與代數，圖形與幾何等領域中的許多數學公式和規律，它體現的數學思想是（）A．統計思想 B．分類思想 C．數形結合思想 D．函數思想2．（2020·河南平輿初二期中）如圖(1)是用硬紙板做成的兩個全等的直角三角形,兩直角邊的長分別為和斜邊長為圖(2)是以為直角邊的等腰直角三角形.請你開動腦筋,將它們拼成一個直角梯形.(1)在圖(3)處畫出拼成的這個圖形的示意圖；(2)利用(1)畫出的圖形證明勾股定理.3．（2020·河南伊川初二期末）勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，當兩個全等的直角三角形如圖擺放時，可以用“面積法”來證明．將兩個全等的直角三角形按如圖所示擺放，其中∠DAB=90°，求證：a2+b2=c2．4．（2021·河北八年級期末）勾股定理是畢達哥拉斯定理的中國稱謂，它揭示了直角三角形三邊的數量關系：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，中國是發現、研究和運用勾股定理最古老的國家之一，我國古稱直角三角形的直角邊為“勾”或“股”，斜邊為“弦”，因而將這條定理稱為勾股定理．請你從以下圖形中，任意選擇一個來證明這個定理．5．（2020·江蘇南京初二期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．將Rt△ABC繞點O依次旋轉90°、180°和270°，構成的圖形如圖所示．該圖是我國古代數學家趙爽制作的“勾股圓方圖”，也被稱作“趙爽弦圖”，它是我國最早對勾股定理證明的記載，也成為了2002年在北京召開的國際數學家大會的會標設計的主要依據．（1）請利用這個圖形證明勾股定理；（2）請利用這個圖形說明a2＋b2≥2ab，并說明等號成立的條件；（3）請根據（2）的結論解決下面的問題：長為x，寬為y的長方形，其周長為8，求當x，y取何值時，該長方形的面積最大？最大面積是多少？6．（2021·行唐縣實驗中學八年級月考）勾股定理現約有500種證明方法，是用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一．中國古代最早對勾股定理進行證明的是三國時期吳國的數學家趙爽，趙爽創制了如圖1所示的“勾股圓方圖”，在該圖中，以弦為邊長所得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中