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典型例題:勾股定理及其驗證知識點1.1認識勾股定理1)為什么叫勾股定理?勾股定理是“人類最偉大的十個科學發現之一。是初等幾何中的一個基本定理。那么大家知道多少勾股定理的別稱呢?我可以告訴大家,有畢達哥拉斯定理、商高定理、百牛定理、驢橋定理和埃及三角形等。這個定理有十分悠久的歷史,幾乎所有文明古國(希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等)對此定理都有所研究。eq\o\ac(○,1)勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理,相傳是古希臘數學家畢達哥拉斯于公元前550年首先發現的。但畢達哥拉斯對勾股定理的證明方法已經失傳。eq\o\ac(○,2)中國古代對這一數學定理的發現和應用,遠比畢達哥拉斯早得多。中國最早的一部數學著作《周髀算經》(公元前1000年左右的西周時期)就有關于勾股定理的記載,比畢達哥拉斯要早了五百多年。其中所說的勾3股4弦5,正是勾股定理的一一個應用特例。所以現在數學界把它稱為“勾股定理”是非常恰當的。2)勾股定理:如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2注:a.僅在直角三角形中存在勾股定理;b.由于直角三角形的斜邊最長,故運用勾股定理時,一定要抓住直角三角形最長邊(斜邊)的平方等于兩短邊(兩直角邊)的平方和,避免出現這樣的錯誤1.(2021·山西石樓中學八年級月考)在中,,,的對應邊分別是,,,若,則下列等式中成立的是()A. B. C. D.2.(2021·成都市八年級期末)如圖,正方形ABCD的邊長為1,其面積標記為S1,以AB為斜邊向外作等腰直角三角形,再以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形,其面積標記為S2,…,按照此規律繼續下去,則S7的值為()A.? B.? C.? D.?3.(2021·江蘇八年級期末)如圖,等腰中,,,于,且.則__________.4.(2021·云南八年級期末)如圖,學校有一塊長方形草坪,有極少數人為了避開拐角走“捷徑”,在草坪內走出了一條“路”,他們僅僅少走了________步路(假設步為米),卻踩傷了花草.5.(2021·云南昭通市·八年級期中)在中,若,,則()A. B. C.或 D.或6.(2021·廣東廣州市第二中學八年級期中)已知直角三角形的面積為6cm2,兩直角邊的和為7cm,則它的斜邊長為()cm.A.5 B.6 C. D.7.(2021·成都市棕北中學八年級月考)如圖,小巷左右兩側是豎直的墻,一架梯子斜靠在左墻時,梯子底端到左墻角的距離為0.7米,梯子頂端到地面的距離為2.4米,如果保持梯子底端位置不動,將梯子斜靠在右墻時,梯子頂端到地面的距離為1.5米.(1)梯子的長是多少?(2)求小巷的寬.1.2勾股定理的驗證據不完全統計,勾股定理的證明方法已經多達400多種了。由于篇幅有限,我們就重點介紹最具代表性的“勾股圓方圖”的證法。在《九章算術》一書中(約在公元50至100年間),勾股定理得到了更加規范的一般性表達。中國古代的數學家們不僅很早就發現并應用勾股定理,而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明。最早對勾股定理進行證明的,是三國時期吳國的數學家趙爽。趙爽創制了一幅“勾股圓方圖”(后人也把它稱為“趙爽弦圖”),用形數結合得到方法,給出了勾股定理的詳細證明(下圖)。(證明過程見例1)趙爽的這個證明可謂別具匠心,極富創新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數式之間的恒等關系,既具嚴密性,又具直觀性,為中國古代以形證數、形數統一、代數和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了一個典范。尤其是其中體現出來的“形數統一”的思想方法,更具有科學創新的重大意義。以后的數學家大多繼承了這一風格并且有發展,只是具體圖形的分合移補略有不同而已。1.(2021·山西中考真題)在勾股定理的學習過程中,我們已經學會了運用以下圖形,驗證著名的勾股定理:這種根據圖形直觀推論或驗證數學規律和公式的方法,簡稱為“無字證明”.實際上它也可用于驗證數與代數,圖形與幾何等領域中的許多數學公式和規律,它體現的數學思想是()A.統計思想 B.分類思想 C.數形結合思想 D.函數思想2.(2020·河南平輿初二期中)如圖(1)是用硬紙板做成的兩個全等的直角三角形,兩直角邊的長分別為和斜邊長為圖(2)是以為直角邊的等腰直角三角形.請你開動腦筋,將它們拼成一個直角梯形.(1)在圖(3)處畫出拼成的這個圖形的示意圖;(2)利用(1)畫出的圖形證明勾股定理.3.(2020·河南伊川初二期末)勾股定理神秘而美妙,它的證法多樣,其巧妙各有不同,當兩個全等的直角三角形如圖擺放時,可以用“面積法”來證明.將兩個全等的直角三角形按如圖所示擺放,其中∠DAB=90°,求證:a2+b2=c2.4.(2021·河北八年級期末)勾股定理是畢達哥拉斯定理的中國稱謂,它揭示了直角三角形三邊的數量關系:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方,中國是發現、研究和運用勾股定理最古老的國家之一,我國古稱直角三角形的直角邊為“勾”或“股”,斜邊為“弦”,因而將這條定理稱為勾股定理.請你從以下圖形中,任意選擇一個來證明這個定理.5.(2020·江蘇南京初二期中)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c.將Rt△ABC繞點O依次旋轉90°、180°和270°,構成的圖形如圖所示.該圖是我國古代數學家趙爽制作的“勾股圓方圖”,也被稱作“趙爽弦圖”,它是我國最早對勾股定理證明的記載,也成為了2002年在北京召開的國際數學家大會的會標設計的主要依據.(1)請利用這個圖形證明勾股定理;(2)請利用這個圖形說明a2+b2≥2ab,并說明等號成立的條件;(3)請根據(2)的結論解決下面的問題:長為x,寬為y的長方形,其周長為8,求當x,y取何值時,該長方形的面積最大?最大面積是多少?6.(2021·行唐縣實驗中學八年級月考)勾股定理現約有500種證明方法,是用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一.中國古代最早對勾股定理進行證明的是三國時期吳國的數學家趙爽,趙爽創制了如圖1所示的“勾股圓方圖”,在該圖中,以弦為邊長所得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中
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