必刷小題8解三角形[分值：73分]一、單項選擇題(每小題5分，共40分)1.(2025·江門模擬)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，B＝30°，b＝2，c＝22，則角A的大小為(A.45° B.135°或45°C.15° D.105°或15°答案D解析因為B＝30°，b＝2，c＝22由正弦定理得sinC＝c因為c>b，所以C>B，故C＝45°或135°，可得A＝180°－B－C＝105°或15°.2.(2024·葫蘆島模擬)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若ca＝33，B＝π6，△ABC的面積為3A.23 B.4 C.2 D.6答案C解析由于ca＝33，故由于B＝π6，△ABC故S＝12acsinB＝整理得12·c·3c·解得c＝2，a＝23利用余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝12＋4－2×23×2×32＝4，解得b＝23.(2024·南京模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知9sin2B＝4sin2A，cosC＝14，則ca等于A.114 B.104 C.113 答案D解析∵9sin2B＝4sin2A，∴9b2＝4a2，即b＝2∵cosC＝a∴ca2＝4.寶塔山是延安的標志，見證了中國革命的進程，在中國老百姓的心中具有重要地位.如圖，寶塔山的坡度比為7∶3(坡度比即坡面的垂直高度和水平寬度的比)，在山坡A處測得∠CAD＝15°，從A處沿山坡往上前進66m到達B處，在山坡B處測得∠CBD＝30°，則寶塔CD的高為()A.44m B.42m C.48m D.46m答案A解析由題可知∠CAD＝15°，∠CBD＝30°，則∠ACB＝15°，所以BC＝AB＝66，設坡角為θ，則由題可得tanθ＝7則可求得cosθ＝3在△BCD中，∠BDC＝θ＋90°，由正弦定理可得CD即CD解得CD＝44，故寶塔CD的高為44m.5.在△ABC中，D為邊BC上一點，AD＝6，BD＝3，∠ABC＝45°，則sin∠ADC的值為()A.2＋34 C.1＋74 答案C解析如圖，在△ABD中，由正弦定理得AD即6故sin∠BAD＝24又BD<AD，則∠BAD<∠ABC，故∠BAD只能是銳角，故cos∠BAD＝144所以sin∠ADC＝sin(∠BAD＋∠ABD)＝24×22＋6.(2025·綿陽模擬)在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2025tanA＋2025tanBA.4051 B.4050 C.4048 D.4047答案A解析在△ABC中，可得2025cos即2025·sin故2025·sin(即2025·sin所以2025·sin2CsinA所以2025·c2ab＝a2＋b2-c22ab，即4050c2＝a2＋b2－c2，所以4051c27.在銳角△ABC中，B＝60°，AB＝1，則AB邊上的高的取值范圍是()A.34，1 C.32，3 答案D解析設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則AB邊上的高h＝asinB＝32a由正弦定理得a＝csin由△ABC為銳角三角形，可知30°<C<90°，則tanC>33，所以a＝3從而h∈3因此AB邊上的高的取值范圍是348.(2025·長沙模擬)如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E是AC上的點，AC＝2AB，CD＝1，AE＝3EC，∠ADB＝∠EDC＝α，則cosα等于()A.32 B.33 C.23 答案D解析由D是BC的中點，AC＝2AB，CD＝1，AE＝3EC，設CE＝x，則BD＝1，AE＝3x，AB＝2x，在△ABC中，由正弦定理得2即sinB＝2sinC，在△ABD中，由正弦定理得2xsin在△CED中，由正弦定理得xsinα由①②得2＝ADDE·sinC即AD＝4DE.在△ABD中，由余弦定理得4x2＝1＋AD2－2ADcosα＝1＋16DE2－8DEcosα，③在△CDE中，由余弦定理得x2＝1＋DE2－2DEcosα，④由③④得4＋4DE2＝1＋16DE2，解得DE＝12，AD＝則x2＝1＋14－2×12cosα＝54－cos在△ADE中，由余弦定理得9x2＝AD2＋DE2－2AD·DE·cos(π－2α)＝4＋14＋2×2×12cos＝174＋2cos2α＝4cos2α＋可得454－9cosα＝4cos2α＋解得cosα＝34(－3舍去)二、多項選擇題(每小題6分，共18分)9.在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.則下列各組條件中使得△ABC有唯一解的是()A.a＝3，b＝4，A＝πB.a＝3，b＝4，cosB＝3C.a＝3，b＝4，C＝πD.a＝3，b＝4，B＝π答案BCD解析根據題意，A中，由正弦定理asinA＝bsinB?sinB＝4因為12<23<22，所以角B在π6，π4和3π4，B中，根據余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB，即16＝9＋c2－185c解得c＝5或c＝－75(舍)所以只有1個解，滿足題意；C中，條件為邊角邊，根據余弦定理可以求得唯一的c邊，所以有唯一解，滿足題意；D中，由正弦定理asinA＝bsinB?sinA＝34×sin所以角A在0，π6和5π6，π上各有一個解，當解在5π6，π上時，角B與角A10.某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75°，距離126nmile；在A處看燈塔C在貨輪北偏西30°，距離83nmile.貨輪由A處向正北航行到D處時，再看燈塔B在南偏東60°方向，則下列說法正確的是()A.A處與D處之間的距離是24nmileB.燈塔C與D處之間的距離是16nmileC.燈塔C在D處的南偏西30°D.D在燈塔B的北偏西30°答案AC解析由題意可知∠ADB＝60°，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，所以B＝180°－60°－75°＝45°，AB＝126，AC＝8在△ABD中，由正弦定理得AD所以AD＝126×2232＝24(n在△ACD中，由余弦定理得CD＝A＝(8＝83(nmile)，故B錯誤；因為CD＝AC，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，所以燈塔C在D處的南偏西30°，故C正確；由∠ADB＝60°，可知D在燈塔B的北偏西60°，故D錯誤.11.(2024·廣州模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.則下列命題正確的是()A.若a＝33，b＝3，B＝30°，則A＝B.若A>B，則sinA>sinBC.若cb<cosA，則△ABCD.若a＝2，b＝3，c2＋ab＝a2＋b2，則△ABC的面積為答案BC解析對于A，由于a＝33，b＝3，B＝30°利用正弦定理asinA＝bsinB由于0°<A<150°，所以A＝60°或120°，故A錯誤；對于B，當A>B時，a>b，根據正弦定理a可得sinA>sinB，故B正確；對于C，若cb<cosA則c<bcosA，故2c2<2bccosA，結合余弦定理cosA＝b2＋c2-a22bc，故△ABC為鈍角三角形，故C正確；對于D，若a＝2，b＝3，且c2＋ab＝a2＋b2利用余弦定理可得ab＝2abcosC，解得cosC＝1因為0°<C<180°，所以C＝60°，所以S△ABC＝12absinC＝12×2×3×32＝三、填空題(每小題5分，共15分)12.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos2C＝sin2A＋cos2B－sinAsinC，且b＝6，則B＝，△ABC外接圓的面積為.

答案π3解析由cos2C＝sin2A＋cos2B－sinAsinC，可得1－sin2C＝sin2A＋1－sin2B－sinAsinC，即sin2A＋sin2C－sin2B＝sinAsinC，則由正弦定理得ac＝a2＋c2－b2，由余弦定理得cosB＝a又因為B∈(0，π)，可得B＝π設△ABC外接圓的半徑為R，則R＝b2sinB＝所以△ABC外接圓的面積為πR2＝12π.13.(2025·成都模擬)平面四邊形ABCD中，AB＝6，AD＝CD＝4，BC＝2，若A，B，C，D四點共圓，則該四邊形的面積為.

答案83解析因為AB＝6，AD＝CD＝4，BC＝2，且A，B，C，D四點共圓，所以B＋D＝π，即cosB＋cosD＝0，在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝36＋4－2×6×2cosB＝40－24cosB，在△ACD中，由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcosD＝16＋16＋2×4×4cosB＝32＋32cosB，可得40－24cosB＝32＋32cosB，解得cosB＝17，cosD所以sinB＝sinD＝437所以S四邊形ABCD＝S△ABC＋S＝12AB·BCsinB＋12AD·CDsin＝12×6×2×437＋12×4×414