§3.3導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值課標(biāo)要求1.借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要和充分條件.2.會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值.3.掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值的方法.4.會(huì)用導(dǎo)數(shù)研究生活中的最優(yōu)化問題.1.函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極小值函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)處的函數(shù)值都小，f'(a)＝0；而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f'(x)<0，右側(cè)f'(x)>0，則a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值.(2)函數(shù)的極大值函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)處的函數(shù)值都大，f'(b)＝0；而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f'(x)>0，右側(cè)f'(x)<0，則b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值.(3)極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.2.函數(shù)的最大(小)值(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有最值的條件：如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.(2)求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大(小)值的步驟：①求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的極值；②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)函數(shù)的極值可能不止一個(gè)，也可能沒有.(√)(2)函數(shù)的極小值一定小于函數(shù)的極大值.(×)(3)函數(shù)的極小值一定是函數(shù)的最小值.(×)(4)函數(shù)的極大值一定不是函數(shù)的最小值.(√)2.(多選)如圖是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f'(x)的圖象，則下列說法正確的是()A.函數(shù)f(x)在區(qū)間(3，5)上單調(diào)遞減B.函數(shù)f(x)在區(qū)間(4，5)上單調(diào)遞增C.函數(shù)f(x)在x＝3處取得極大值D.函數(shù)f(x)在x＝4處取得極小值答案AC解析由圖象可知，當(dāng)x∈(3，5)時(shí)，f'(x)<0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(3，5)上單調(diào)遞減，故A正確，B錯(cuò)誤；由圖象可知，f'(3)＝0，且當(dāng)x∈(0，3)時(shí)，f'(x)>0，當(dāng)x∈(3，5)時(shí)，f'(x)<0，所以f(x)在(0，3)上單調(diào)遞增，在(3，5)上單調(diào)遞減，故函數(shù)y＝f(x)在x＝3處取得極大值，故C正確；由圖象可知，f'(4)≠0，故4不是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.3.函數(shù)f(x)＝x3－12x2－14x的極小值點(diǎn)為，極大值為.答案73解析由f(x)＝x3－12x2－14x得f'(x)＝3x2－x－14＝(x＋2)(3x－7)，令f'(x)>0，解得x>73或x<－2令f'(x)<0，解得－2<x<7故f(x)在(－∞，－2)，73，＋∞上單調(diào)遞增故f(x)在x＝73處取得極小值，在x＝－2處取得極大值故f(x)極大值＝f(－2)＝－8－2＋28＝18.4.若函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋2x－1有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案(－∞，－6)∪(6，＋∞解析f'(x)＝3x2－2ax＋2，由題意知f'(x)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，∴Δ＝(－2a)2－4×3×2>0，解得a>6或a<－6.解題時(shí)靈活應(yīng)用轉(zhuǎn)化以下幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)極值點(diǎn)不是點(diǎn)，若函數(shù)f(x)在x1處取得極大值，則x1為極大值點(diǎn)，極大值為f(x1).(2)極值是個(gè)“局部”概念，最值是個(gè)“整體”概念.(3)有極值的函數(shù)一定不是單調(diào)函數(shù).(4)“f'(x0)＝0”是“x0為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)”的必要不充分條件.例如f(x)＝x3，f'(0)＝0，但0不是極值點(diǎn).(5)對于一般函數(shù)而言，函數(shù)的最值必在下列各點(diǎn)中取得：導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)、端點(diǎn).題型一利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)極值問題命題點(diǎn)1根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值例1(多選)設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，且函數(shù)g(x)＝xf'(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是()A.f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)B.f(0)為f(x)的極大值C.f(x)有兩個(gè)極小值點(diǎn)D.f(－1)為f(x)的極小值答案BC解析根據(jù)g(x)＝xf'(x)的圖象，可得當(dāng)x<－2時(shí)，g(x)＝xf'(x)>0，可得f'(x)<0，即f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)－2<x<0時(shí)，g(x)＝xf'(x)<0，可得f'(x)>0，即f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)0<x<1時(shí)，g(x)＝xf'(x)<0，可得f'(x)<0，即f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>1時(shí)，g(x)＝xf'(x)>0，可得f'(x)>0，即f(x)單調(diào)遞增，因此f(x)在x＝－2和x＝1處取得極小值，在x＝0處取得極大值，共3個(gè)極值點(diǎn)，A錯(cuò)誤，C正確；f(0)為f(x)的極大值，B正確；f(－1)不是f(x)的極小值，D錯(cuò)誤.命題點(diǎn)2求已知函數(shù)的極值例2(2025·沈陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝2lnx－2(a－1)x－ax2(a>0)，討論f(x)的極值.解函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，求導(dǎo)得f'(x)＝2x－2(a－1)－2＝－2(因?yàn)閍>0，則當(dāng)x∈0，1a時(shí)，f'(x當(dāng)x∈1a，＋∞時(shí)，f'(因此f(x)在0，1a上單調(diào)遞增，在所以當(dāng)x＝1a時(shí)，f(x)取得極大值f1a＝2ln1a＋1命題點(diǎn)3已知極值(點(diǎn))求參數(shù)例3(1)(2024·肇慶模擬)若函數(shù)f(x)＝x(x－c)2在x＝－2處取極小值，則c等于()A.－6 B.－2C.－6或－2 D.－4答案A解析由函數(shù)f(x)＝x(x－c)2，可得f'(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)(3x－c)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x＝－2處取得極小值，可得f'(－2)＝0，解得c＝－2或c＝－6，當(dāng)c＝－2時(shí)，令f'(x)>0，解得x<－2或x>－23；令f'(x)<0，解得－2<x<－所以函數(shù)f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增，在-2，-23上單調(diào)遞減，所以f(x)在x＝－2處取極大值，不符合題意，舍去；當(dāng)c＝－6時(shí)，令f'(x)>0，可得x<－6或x>－2；令f'(x)<0，可得－6<x<－2，所以函數(shù)f(x)在(－∞，－6)上單調(diào)遞增，在(－6，－2)上單調(diào)遞減，在(－2，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)在x＝－2處取極小值，符合題意，綜上可得，c＝－6.(2)已知函數(shù)f(x)＝lnx－aex(其中a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù))存在極大值，且極大值不小于1，則a的取值范圍為.答案0解析由已知可得，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f'(x)＝1x①當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)＝1x-ae>0在(0，＋所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)f(x)無極值；②當(dāng)a>0時(shí)，f'(x)＝e-由f'(x)＝e-axex＝0可得x當(dāng)0<x<ea時(shí)，f'(x)>0所以f(x)在0，當(dāng)x>ea時(shí)，f'(x)<0所以f(x)在ea，于是函數(shù)f(x)在x＝ea處取得極大值由已知，fea≥1即lnea－1≥1，lnea≥2＝lne因?yàn)楹瘮?shù)y＝lnx在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以ea≥e2，即a≤1e，又所以0<a≤1于是a的取值范圍為0，綜上所述，a的取值范圍為0，思維升華根據(jù)函數(shù)的極值(點(diǎn))求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)(1)列式：根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解.(2)驗(yàn)證：求解后驗(yàn)證根的合理性.跟蹤訓(xùn)練1(1)已知函數(shù)f(x)＝aex＋bx在x＝0處取得極小值1，則f'(2)等于()A.e2－2 B.2－e2C.e2－1 D.e2答案C解析由f(x)＝aex＋bx，得f'(x)＝aex＋b，因?yàn)閒(x)在x＝0處取得極小值1，所以f'(0)＝ae0＋b＝0，f(0)＝當(dāng)x>0時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x<0時(shí)，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)在x＝0處取得極小值，故a＝1，b＝－1滿足題意，于是有f'(2)＝e2－1.(2)若函數(shù)f(x)＝eax＋2x有大于零的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.a>－2 B.a>－1C.a<－2 D.a<－1答案C解析由函數(shù)f(x)＝eax＋2x，可得f'(x)＝aeax＋2，若a≥0，f'(x)>0，此時(shí)f(x)為增函數(shù)，無極值點(diǎn)；若a<0，令f'(x)＝aeax＋2＝0，解得x＝1aln當(dāng)x>1aln-2a時(shí)，f'(x當(dāng)x<1aln-2a時(shí)，f'(x故x＝1aln-2a是f(x)＝eax＋2由于函數(shù)f(x)＝eax＋2x有大于零的極值點(diǎn)，∴1aln-2a>0，即ln即0<－2a<1，解得a<－2題型二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值命題點(diǎn)1不含參函數(shù)的最值例4函數(shù)f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1在區(qū)間[0，2π]上的最小值、最大值分別為()A.－π2，π2C.－π2，π2＋2 D.答案D解析f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1，x∈[0，2π]，則f'(x)＝－sinx＋sinx＋(x＋1)cosx＝(x＋1)cosx，x∈[0，2π].令f'(x)＝0，解得x＝π2或x＝3π因?yàn)閒

π2＝cosπ2＋π2＝π2＋2f

3π2＝cos3π2＋3π2＋1又f(0)＝cos0＋(0＋1)sin0＋1＝2，f(2π)＝cos2π＋(2π＋1)sin2π＋1＝2，所以f(x)max＝f

π2＝πf(x)min＝f

3π2＝－3π命題點(diǎn)2含參函數(shù)的最值例5已知函數(shù)f(x)＝(x－1)ex－12ax2(a>0)，求函數(shù)f(x)在[1，2]上的最小值解函數(shù)f(x)＝(x－1)ex－12ax2求導(dǎo)得f'(x)＝xex－ax＝x(ex－a)，若x∈[1，2]，則①當(dāng)lna≥2，即a≥e2時(shí)，ex－a≤0，f'(x)≤0，函數(shù)f(x)在[1，2]上單調(diào)遞減，因此函數(shù)f(x)在[1，2]上的最小值為f(2)＝e2－2a；②當(dāng)1<lna<2，即e<a<e2時(shí)，函數(shù)f(x)在[1，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，2]上單調(diào)遞增，因此函數(shù)f(x)的最小值為f(lna)＝a(lna－1)－12a(lna)2③當(dāng)lna≤1，即0<a≤e時(shí)，ex－a≥0，f'(x)≥0，函數(shù)f(x)在[1，2]上單調(diào)遞增，因此函數(shù)f(x)在[1，2]上的最小值為f(1)＝－12a綜上，當(dāng)a≥e2時(shí)，f(x)在[1，2]上的最小值為e2－2a；當(dāng)e<a<e2時(shí)，f(x)在[1，2]上的最小值為a(lna－1)－12a(lna)2當(dāng)0<a≤e時(shí)，f(x)在[1，2]上的最小值為－12a思維升華求含有參數(shù)的函數(shù)的最值，需先求函數(shù)的定義域、導(dǎo)函數(shù)，通過對參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)f(x)的最值.跟蹤訓(xùn)練2(1)已知函數(shù)f(x)＝x－2sinx，x∈[0，π]，則f(x)的最大值為.

答案π解析由f(x)＝x－2sinx，x∈[0，π]，可得f'(x)＝1－2cosx，x∈[0，π]，令f'(x)＝0可得cosx＝2又x∈[0，π]，所以x＝π當(dāng)x∈0，π4時(shí)，f'(x)<0，f(當(dāng)x∈π4，π時(shí)，f'(x)>0，f(易知f(0)＝0，f(π)＝π，因此f(x)的最大值為π.(2)(2025·泰安模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax＋lnx在區(qū)間[1，e]上的最小值為32，則a的值為A.1 B.32 C.e2 D答案D解析因?yàn)閒(x)＝ax＋lnx(x>0)所以f'(x)＝1當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，此時(shí)f(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值為f(1)＝a＋ln1＝3解得a＝32，不符合題意當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)<0，得0<x<a；令f'(x)>0，得x>a，所以f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a，＋∞)上單調(diào)遞增，①當(dāng)0<a≤1時(shí)，f(x)在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞增，所以最小值為f(1)＝a≤1，不符合題意，舍去；②當(dāng)1<a<e時(shí)，f(x)在[1，a)上單調(diào)遞減，在(a，e]上單調(diào)遞增，所以最小值為f(a)＝1＋lna＝32，解得a＝③當(dāng)a≥e時(shí)，f(x)在[1，e]上單調(diào)遞減，所以最小值為f(e)＝ae＋lne＝解得a＝e2，不符合題意，綜上所述，a＝e.三次函數(shù)的性質(zhì)三次函數(shù)是一類重要的函數(shù)，其規(guī)律性強(qiáng)，內(nèi)容相對獨(dú)立，且有一些獨(dú)有的結(jié)論和技巧.如果能得當(dāng)運(yùn)用三次函數(shù)的有關(guān)結(jié)論，可以大大簡化解題過程.典例(多選)已知三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，則下列選項(xiàng)正確的是()A.三次函數(shù)的對稱中心是-B.若函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(m，n)對稱，則y＝f'(x)的圖象關(guān)于直線x＝m對稱C.若函數(shù)y＝f(x)有極值，則對稱中心是兩個(gè)取極值的點(diǎn)的中點(diǎn)D.若f(x)＝0的三個(gè)根分別為x1，x2，x3，則x1＋x2＋x3＝－b答案ABC解析對于A，設(shè)f(m－x)＋f(m＋x)＝2n，得[a(m－x)3＋b(m－x)2＋c(m－x)＋d]＋[a(m＋x)3＋b(m＋x)2＋c(m＋x)＋d]＝2n，整理得(6ma＋2b)x2＋(2am3＋2bm2＋2cm＋2d)＝2n.根據(jù)多項(xiàng)式恒等對應(yīng)系數(shù)相等，可得m＝－b3a且n＝am3＋bm2＋cm＋d，從而三次函數(shù)是中心對稱曲線，且由n＝f(m)知其對稱中心(m，f(m))仍然在曲線上.故對稱中心為-b對于B，由y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(m，n)對稱，得f(x)＋f(2m－x)＝2n.求導(dǎo)可得f'(2m－x)＝f'(x)，即y＝f'(x)的圖象關(guān)于直線x＝m對稱，B正確；對于C，設(shè)f'(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的兩根分別為x1，x2，則x1＋x2＝－2b3a，x1x2＝c3a.設(shè)f(x)的兩個(gè)取極值的點(diǎn)為A(x1，f(x1))，B(x2，f則f(x1)＋f(x2)＝(ax13＋bx12＋cx1＋d)＋(ax23＋bx22＋cx2＋d)＝a(x13＋x23)＋b(x12＋x22)＋c(x1＋x2)＋2d＝a(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＋b[(x1＋x2)2－2x1x2]＋c(x1＋x2f-b3a＝4b327a所以f(x1)＋f(x2)＝2f

-b3a，AB的中點(diǎn)Px對于D，ax3＋bx2＋cx＋d＝a(x－x1)(x－x2)(x－x3)＝ax3－a(x1＋x2＋x3)x2＋a(x1x2＋x2x3＋x3x1)x－ax1x2x3.比較系數(shù)可得x1＋x2＋x3＝－ba，D錯(cuò)誤課時(shí)精練[分值：90分]一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共30分)1.函數(shù)f(x)＝13x3＋x2－3x－1的極小值點(diǎn)是(A.1 B.1C.－3 D.(－3，8)答案A解析f'(x)＝x2＋2x－3，由x2＋2x－3＝0，得x＝－3或x＝1，所以函數(shù)f(x)＝13x3＋x2－3x－1在(－∞，－3)上單調(diào)遞增，在(－3，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增故f(x)在x＝1處有極小值，極小值點(diǎn)為1.2.(2024·楚雄模擬)已知定義域?yàn)閇－3，5]的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，且f'(x)的圖象如圖所示，則()A.f(x)在(－2，2)上先增后減B.f(x)有極小值f(2)C.f(x)有2個(gè)極值點(diǎn)D.f(x)在x＝－3處取得最大值答案B解析由f'(x)的圖象可知，當(dāng)x∈(－2，2)或x∈(4，5)時(shí)，f'(x)<0，則f(x)單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；當(dāng)x∈(－3，－2)或x∈(2，4)時(shí)，f'(x)>0，則f(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)有極小值f(2)，故B正確；由f'(x)的圖象結(jié)合單調(diào)性可知，當(dāng)x＝－2，2，4時(shí)，f(x)有極值，所以f(x)有3個(gè)極值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)x∈(－3，－2)時(shí)，f'(x)>0，則f(x)單調(diào)遞增，所以f(－3)<f(－2)，f(x)在x＝－3處不取得最大值，故D錯(cuò)誤.3.(2025·蘇州模擬)設(shè)0<x<π，則函數(shù)f(x)＝sinx2＋2A.1 B.32 C.2 D.答案D解析因?yàn)?<x<π，令t＝sinx，則t∈(0，1]，由g(t)＝t2＋2t(0<t≤1)可得g'(t)＝12-2t2，當(dāng)t∈(0，1]時(shí)，g'(t)<0，則g(t)單調(diào)遞減，所以當(dāng)t＝1時(shí)，g(t)有最小值g(1)＝12＋4.(2024·赤峰模擬)已知函數(shù)f(x)＝xlnx－ax有極值－e，則a等于()A.1 B.2 C.e D.3答案B解析由題目條件可得，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f'(x)＝lnx＋1－a.令f'(x)>0，得x>ea－1；令f'(x)<0，得0<x<ea－1.所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，ea－1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(ea－1，＋∞)上單調(diào)遞增.則函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)是ea－1，無極大值點(diǎn)，故f(ea－1)＝ea－1lnea－1－aea－1＝－e，解得a＝2.5.若函數(shù)f(x)＝ex－ln(x＋m)的最小值為2＋ln2，則m等于()A.－2 B.12－C.－12 D.12答案B解析易知f(x)的定義域?yàn)?－m，＋∞)，f'(x)＝ex－1易知f'(x)在區(qū)間(－m，＋∞)上單調(diào)遞增，又當(dāng)x→－m時(shí)，f'(x)→－∞；當(dāng)x→＋∞時(shí)，f'(x)→＋∞，所以存在唯一x0∈(－m，＋∞)，使得f'(x0)＝0，即x0＝－ln(x0＋m)，所以當(dāng)x∈(－m，x0)時(shí)，f'(x)<0；當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，f'(x)>0，所以f(x)在區(qū)間(－m，x0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(x0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)的最小值為f(x0)＝ex0－ln(x0＋m)＝ex0＋x0＝2＋ln2＝eln2＋所以x0＝ln2，所以eln2＝1ln2＋m，解得m＝126.已知函數(shù)f(x)＝xlnx－ax有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x1，x2(x1<x2)，則下列說法不正確的是()A.a的取值范圍是(－∞，1)B.x1是極小值點(diǎn)C.當(dāng)x∈(x2，＋∞)時(shí)，f'(x)<0D.ln答案A解析令f'(x)＝lnx2x＋xx－a＝由題意，方程lnx＋22x＝a在(0，＋∞)上有兩根x1，x2(x1設(shè)g(x)＝lng'(x)＝x當(dāng)0<x<1時(shí)，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x>1時(shí)，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，所以g(x)max＝g(1)＝1>0，當(dāng)x→0時(shí)，g(x)＝lnx＋22x→－∞，當(dāng)x→＋∞時(shí)，g(x)所以a的取值范圍是(0，1)，故A不正確；由A選項(xiàng)分析可知0<x1<1<x2，當(dāng)0<x<x1時(shí)，f'(x)<f'(x1)＝0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x1<x<x2時(shí)，f'(x)>f'(x1)＝0＝f'(x2)，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x>x2時(shí)，f'(x)<f'(x2)＝0，f(x)單調(diào)遞減，所以x1是極小值點(diǎn)，故B，C正確；對于D，因?yàn)閘nx1＋22x1＝ln二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)7.已知函數(shù)f(x)＝x3－3x2，則()A.f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減B.f(x)的極大值點(diǎn)為2C.f(x)的極大值為－2D.f(x)有2個(gè)零點(diǎn)答案AD解析由函數(shù)f(x)＝x3－3x2，可得f'(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f'(x)>0，解得x<0或x>2；令f'(x)<0，解得0<x<2，所以函數(shù)f(x)在(0，2)上單調(diào)遞減，在(－∞，0)，(2，＋∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值，極大值為f(0)＝0；當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)f(x)取得極小值，極小值為f(2)＝－4，又由x→＋∞時(shí)，f(x)→＋∞且f(2)＝－4<0，f(0)＝0，所以函數(shù)f(x)只有兩個(gè)零點(diǎn)，所以A，D正確，B，C不正確.8.(2023·新高考全國Ⅱ)若函數(shù)f(x)＝alnx＋bx＋cx2(a≠0)既有極大值也有極小值A(chǔ).bc>0 B.ab>0C.b2＋8ac>0 D.ac<0答案BCD解析函數(shù)f(x)＝alnx＋bx＋cx2的定義域?yàn)?0則f'(x)＝a因?yàn)楹瘮?shù)f(x)既有極大值也有極小值，則函數(shù)f'(x)在(0，＋∞)上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，而a≠0，因此方程ax2－bx－2c＝0有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根x1，x2，于是Δ即有b2＋8ac>0，ab>0，ac<0，顯然a2bc<0，即bc<0，故A錯(cuò)誤，B，C，D正確.三、填空題(每小題5分，共10分)9.若函數(shù)f(x)＝13x3－4x＋m在[0，3]上的最小值為4，則m＝答案28解析f'(x)＝x2－4，當(dāng)x∈[0，2)時(shí)，f'(x)<0，當(dāng)x∈(2，3]時(shí)，f'(x)>0，所以f(x)在[0，2)上單調(diào)遞減，在(2，3]上單調(diào)遞增，所以f(2)為f(x)在[0，3]上的極小值，也是最小值，故13×8－4×2＋m＝4，解得m＝2810.若函數(shù)f(x)＝12x2－ax＋lnx在(0，2)上有極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.答案(2，＋∞)解析f(x)＝12x2－ax＋lnx的定義域?yàn)?0，＋∞)，f'(x)＝x－a＋要使函數(shù)f(x)＝12x2－ax＋lnx在(0，2)上有極值，則f'(x)＝x－a＋1x在(0，2)令g(x)＝x＋1x，x∈(0，2則g(x)＝x＋1x≥2x·1x當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)等號(hào)成立，所以a≥2.當(dāng)a＝2時(shí)，f'(x)＝x－a＋1x＝x＋1x－2≥0，函數(shù)f(x)則函數(shù)f(x)＝12x2－ax＋lnx在(0，2)上沒有極值，故a>2即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2，＋∞).四、解答題(共28分)11.(13分)已知函數(shù)f(x)＝aex＋x(a∈R(1)若f'(0)＝0，求實(shí)數(shù)a的值；(5分)(2)討論函數(shù)f(x)的極值.(8分)解(1)由函數(shù)f(x)＝aex＋可得f'(x)＝1－a所以f'(0)＝1-a1＝1－a＝0，解得a＝(2)函數(shù)f(x)＝aex＋x的定義域?yàn)榍襢'(x)＝1－a當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)>0恒成立，所以f(x)在R上單調(diào)遞增，f(x)無極值；當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)>0，解得x>lna；令f'(x)<0，解得x<lna，所以f(x)在(－∞，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)的極小值為1＋lna，無極大值.綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)無極值；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的極小值為1＋lna，無極大值.12.(15分)(2024·新課標(biāo)全國Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax－a3.(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；(5分)(2)若f(x)有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍.(10分)解(1)當(dāng)a＝1時(shí)，則f(x)＝ex－x－1，f'(x)＝ex－1，可得f(1)＝e－2，f'(1)＝e－1，即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，e－2)，切線斜率k＝e－1，所以切線方程為y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y－1＝0.(2)方法一因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽，且f'(x)＝ex－a，若a≤0，則f'(x)>0對任意x∈R恒成立，可知f(x)在R上單調(diào)遞增，無極值，不符合題意；若a>0，令f'(x)>0，解得x>lna，令f'(x)<0，解得x<lna，可知f(x)在(－∞，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，＋∞)上單調(diào)遞增，則f(x)有極小值f(lna)＝a－