1/8試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁中考數學初中數學中考解題技巧策略目錄TOC\o"1-2"\h\u知識一特殊三角形多解問題解決技巧策略 2模型1.等腰三角形的角和邊不確定 2模型2.直角三角形的直角頂點不確定 2知識二遇到中點如何添加輔助線問題解決技巧策略 2模型1.構造中位線模型 2模型2.構造中線模型 3模型3.構造倍長中線(或類中線)模型 3知識三遇到角平分線如何添加輔助線問題解決技巧策略 4模型1.運用角平分線定理模型 4模型2.構造等腰三角形模型 4模型3.構造軸對稱圖形模型 4知識四輔助圓問題解決技巧策略 5模型1.定點定長構造輔助圓 5模型2.定弦定角構造輔助圓 6模型3.對角互補造輔助圓（四點共圓） 6模型4.定角定高構造輔助圓 6模型5.點圓最值構造輔助圓 7知識五線段最值問題解決技巧策略 7模型1.最值模型之將軍飲馬模型雙線段和的最小值 7模型2.最值模型之將軍飲馬多線段和的最值模型 8模型3.最值模型之將軍遛馬模型 9模型4.最值模型之將軍造橋（過橋）模型 10模型5.最值模型之胡不歸模型 10模型6.最值模型之阿氏圓模型 11模型7.最值模型之瓜豆直線軌跡原理模型 12模型8.最值模型之瓜豆圓弧軌跡原理模型 13知識一特殊三角形多解問題解決技巧策略模型1.等腰三角形的角和邊不確定方法解讀：當題干中出現類似“若△ABC為等腰三角形”這樣的表述時，未明確哪兩條邊為腰，需考慮分類討論：①AB=AC(C?,C?);②AB=BC(C?,C?);③AC=BC(C?)解題方法：①求角度：根據等腰三角形等邊對等角的性質結合三角形內角和及內外角關系求解；②求線段長：可用勾股定理、全等三角形、相似三角形的判定與性質求解，若出現30°、45°的角時，可考慮用銳角三角函數或含30°、45°角的直角三角形的性質求解.模型2.直角三角形的直角頂點不確定方法解讀：當題干中出現類似“若△ABC為直角三角形”這樣的表述時，未明確哪個角為直角，需考慮分類討論：①∠A=90°(C?);②∠B=90°(C?);③∠C=90°(C?,C?);解題方法：①求角度：根據直角三角形的性質結合三角形內角和及內外角關系求解；②求線段長：可用勾股定理、全等三角形、相似三角形的判定與性質求解；若出現30°、45°的角時，可考慮用銳角三角函數或含30°、45°角的直角三角形的性質求解；若出現中點，可考慮用直角三角形斜邊中線的性質或者中位線的性質求解。知識二遇到中點如何添加輔助線問題解決技巧策略模型1.構造中位線模型情形1：當圖形中出現兩個中點時，考慮構造中位線.條件:如圖,在△ABC中,點D,E分別為AB,AC的中點.輔助線作法：連接DE.結論：DE=情形2：當圖形中出現一個中點時，考慮過中點作已知長度邊的平行線構造中位線.①條件:如圖1,在△ABC中,D是邊AB的中點，且已知底邊BC的長.輔助線作法：過點D作BC的平行線，交AC于點E(或取AC的中點E,連接DE).結論：DE=②條件:如圖2,在△ABC中,D是邊AB的中點.輔助線作法:過點A作AF∥CD,交BC的延長線于點F.結論：DC=12AF;△BDC∽△BAF模型2.構造中線模型情形1：當遇到直角三角形斜邊上的中點時，考慮作斜邊上的中線.條件:如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D為斜邊AC的中點.輔助線作法：連接BD.結論：BD=CD=AD=情形2：當遇到等腰三角形底邊上的中點時，考慮作底邊上中線，利用“三線合一”解題.條件:如圖,在等腰△ABC中,D為底邊BC的中點.輔助線作法：連接AD.結論:AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.模型3.構造倍長中線(或類中線)模型情形1：當遇到三角形中存在中線時，考慮延長中線，作與中線相等的線段構造全等三角形.條件:如圖1,在△ABC中,AD是BC邊的中線.輔助線作法1:延長AD至點E,使DE=AD,連接BE.輔助線作法2:過點B作BE∥AC,交AD的延長線于點E.結論:△ACD≌△EBD,AD=DE,BE=AC等.情形2：當遇到三角形中存在一條線段過一邊的中點時，考慮延長這條線段，作等線段構造全等三角形.條件:如圖2,在△ABC中,D是BC邊的中點,點E是AB上一點,連接DE.輔助線作法1:延長ED至點F,使DF=DE,連接CF.輔助線作法2:過點C作CF∥AB交ED的延長線于點F.結論:△BDE≌△CDF,CF∥AB,BE=CF等知識三遇到角平分線如何添加輔助線問題解決技巧策略模型1.運用角平分線定理模型條件：如圖，P是∠MON的平分線上一點，已知PA⊥OM,垂足為A.輔助線作法:過點P作PB⊥ON于點B.結論:PA=PB.模型2.構造等腰三角形模型1.條件:如圖1,點P是∠AOB平分線OC上一點.輔助線作法:過點P作PQ∥OB,交OA于點Q.結論：△POQ是等腰三角形.2.條件:如圖2,OC是∠AOB的平分線,點D是OA上一點.輔助線作法：過點D作DE∥OC，交BO的延長線于點E.結論：△DOE是等腰三角形.3.條件：如圖3，P是∠MON平分線上一點，已知AP⊥OP.輔助線作法：延長AP，交ON于點B.結論:△AOB是等腰三角形,OP垂直平分AB模型3.構造軸對稱圖形模型1.截長法條件:如圖1,在△ABC中,點D在BC上,且AD平分∠BAC.輔助線作法:在AB上截取AF=AC,連接DF.結論:△ACD≌△AFD.2.補短法條件:如圖2,在△ABC中,點D在BC上,∠ACB=2∠B,且AD平分∠BAC.輔助線作法:延長AC至點E,使AE=AB,連接DE.結論:△AED≌△ABD知識四輔助圓問題解決技巧策略模型1.定點定長構造輔助圓利用定點定長構造輔助圓的幾種常見類型類型一點作圓三點定圓旋轉作圓折疊作圓圖示特點平面內,點0為定點,點A為動點，且OA的長度固定0A=0B=0C△ABC繞點A旋轉得到△AB'C'將ΔBEF沿EF折疊,點E是定點,點B的對應點為點G作法結論點A在以點0為圓心，0A長為半徑的圓上運動點A,B,C均在上點B,C的運動軌跡分別是以點A為圓心,以AB,AC的長為半徑的圓點G的運動軌跡是以點E為圓心,BE長為半徑的一段圓弧模型2.定弦定角構造輔助圓定弦定角構造輔助圓的幾種常見類型類型定角為直角定角為銳角定角為鈍角圖示特點在△ABC中,已知AB的長,點C為動點,且保持∠ACB=90°在△ABC中,已知AB的長,點C為動點,且保持∠ACB=a(a為銳角)在△ABC中,已知AB的長,點C為動點,且保持∠ACB=a(a為鈍角)動點運動軌跡結論點C在以點0為圓心，AB長為直徑的圓上運動點C在以點0為圓心,圓心角為2a的優弧AB上運動(點0,C在AB同側)點C在以點0為圓心,圓心角為(360°-2a)的劣弧AB上運動(點0,C在AB異側)模型3.對角互補造輔助圓（四點共圓）模型描述如圖①和②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜邊，取AB的中點O，連接OC，OD，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得OC＝OD＝OA＝OB；如圖③，在四邊形ABCD中，∠A＋∠C＝180°(或∠B＋∠D＝180°)模型呈現模型結論(1)A，B，C，D四點共圓；(2)在判斷四點共圓后，可以根據圓周角定理等得到角度相等，完成角度之間等量關系的轉換，此模型是證明角相等的重要途徑之一模型4.定角定高構造輔助圓定角定高構造輔助圓的圖形特征及解題思路:圖示在△ABC中，∠ACB為定角，CD是AB邊上的高，且CD為定值作法作△ABC的外接圓結論當構成等腰三角形(AC=BC)時,①AB的長最小:②ΔABC的周長最小;③△ABC的面積最小模型5.點圓最值構造輔助圓模型描述已知平面內一定點D和☉O，E是☉O上一動點，設點O與點D之間的距離為d，☉O的半徑為r，當D，O，E三點共線時，線段DE有最大(小)值模型呈現點D在☉O內點D在☉O上點D在☉O外 ①

②③

④⑤

⑥模型結論如圖①，DE的最大值為d＋r；如圖②，DE的最小值為r－d如圖③，DE的最大值為2r；如圖④，DE的最小值為0如圖⑤，DE的最大值為d＋r；如圖⑥，DE的最小值為d－r知識五線段最值問題解決技巧策略模型1.最值模型之將軍飲馬模型雙線段和的最小值條件：A，B為定點，m為定直線，P為直線m上的一個動點，求AP+BP的最小值。模型（1）點A、B在直線m兩側：模型（2）點A、B在直線同側：模型（1）點A、B在直線m兩側：模型（2）點A、B在直線同側：圖（1）圖（2）模型（1）：如圖（1），連結AB,根據兩點之間線段最短，AP+BP的最小值即為：線段AB的長度。模型（2）：如圖（2），作點A關于定直線m的對稱點A’,連結A’B,根據兩點之間線段最短，AP+BP的最小值即為：線段A’B的長度。模型2.最值模型之將軍飲馬多線段和的最值模型模型（1）：兩定點+兩動點條件：A，B為定點，在直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。兩個點都在直線外側（圖1-1）；內外側各一點（圖1-2）；兩個點都在內側（圖1-3）圖1-1圖1-1圖1-1圖2模型（2）：一定點+兩動點條件：如圖2，A為定點，在直線m、n上分別找兩點P、Q，使三角形APQ的周長（AP+PQ+QA）最小。圖1-1圖1-1圖1-1圖2模型（1-1）（兩點都在直線外側型）如圖（1-1），連結AB,根據兩點之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段AB的長度。模型（1-2）（直線內外側各一點型）如圖（1-2），作點B關于定直線n的對稱點B’,連結AB’,根據對稱得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’，根據兩點之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段AB’的長度。模型（1-3）（兩點都在直線內側型）如圖（1-3），作點B關于定直線n的對稱點B’,作點A關于定直線m的對稱點A’,連結A’B’,根據對稱得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’，根據兩點之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段A’B’的長度。模型（2）：如圖（2），作點A分別關于定直線m、n的對稱點A’、A’’,連結A’B,根據對稱得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’，再利用“兩點之間線段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即為：線段A’A’’的長度。模型3.最值模型之將軍遛馬模型將軍遛馬模型：已知A、B是兩個定點，P、Q是直線m上的兩個動點，P在Q的左側，且PQ間長度恒定，在直線m上要求P、Q兩點，使得PA+PQ+QB的值最小。點A、B在直線m異側（圖1-1）；點A、B在直線m同側（圖1-2）；圖1-1圖1-2將軍遛馬模型（異側型）：如圖1-1，過A點作AC∥m,且AC=PQ，連接BC，交直線m于Q，Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點。∵PQ為定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。∵AC∥m，AC=PQ，得到四邊形APQC為平行四邊形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB，再利用“兩點之間線段最短”，可得PA+QB的最小值為CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB.圖1-1圖1-2將軍遛馬模型（同側型）：如圖1-2，過A點作AE∥m,且AE=PQ，作B關于m的對稱點B’，連接B’E，交直線m于Q，Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點。∵PQ為定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。∵AE∥m，AE=PQ，得到四邊形APQE為平行四邊形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB，根據對稱，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’，再利用“兩點之間線段最短”，可得QE+QB’的最小值為EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。模型4.最值模型之將軍造橋（過橋）模型將軍造橋（過橋）模型:已知，如圖2，將軍在圖中點A處，現要過河去往B點的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。圖2-1圖2-2將軍造橋（過橋）模型：如圖2-2，過A點作AA’∥MN，且AA’=MN，連接A’B，∵AA’∥MN，且AA’=MN∴四邊形APQC為平行四邊形，故AM=A’N，∵MN為定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。再利用“兩點之間線段最短”，可得AM+NB的最小值為A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。模型5.最值模型之胡不歸模型從前有個少年外出求學，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據“兩點之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？”看到這里很多人都會有一個疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.模型6.最值模型之阿氏圓模型動點到兩定點距離之比為定值（即：平面上兩點A、B，動點P滿足PA/PB=k（k為常數，且k≠1）），那么動點的軌跡就是圓，因這個結論最早由古希臘數學家阿波羅尼斯發現的，故稱這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱為阿氏圓。如圖1所示，⊙O的半徑為r，點A、B都在⊙O外，P為⊙O上一動點，已知r=k·OB（即），連接PA、PB，則當“PA+k·PB”的值最小時，P點的位置如何確定？最小值是多少呢？如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴，∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉化為“PA+PC”的最小值。其中與A與C為定點，P為動點，故當A、P、C三點共線時，“PA+PC”值最小，如圖3所示。阿氏圓求最值的本質就是通過構造母子相似，化去比例系數，轉化為兩定一動將軍飲馬型求最值，難點在于如何構造母子相似。阿氏圓最值問題常見考法：點在圓外：向內取點（系數小于1）；點在圓內：向外取點（系數大于1）；一內一外：提系數；隱圓型阿氏圓等。注意區分胡不歸模型和阿氏圓模型：在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“k·PA+PB”最值問題，其中P點軌跡是直線，而當P點軌跡變為圓時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題．模型7.最值模型之瓜豆直線軌跡原理模型瓜豆原理：一個主動點，一個從動點（根據某種約束條件，跟著主動點動），當主動點運動時，從動點的軌跡相同。只要滿足：則兩動點的運動軌跡是相似的，運動軌跡長度的比和它們到定點的距離比相同。則兩動點的運動軌跡是相似的，運動軌跡長度的比和它們到定點的距離比相同。1、兩“動”，一“定”2、兩動點與定點的連線夾角是定角3、兩動點到定點的距離比值是定值動點軌跡基本類型為直線型和圓弧型，主動點叫瓜（豆），從動點叫瓜（豆），瓜在直線上運動，豆也在直線上運動；瓜在圓周上運動，豆的軌跡也是圓。模型1）如圖，P是直線BC上一動點，A是直線BC外一定點，連接AP，取AP中點Q，當點P在直線上運動時，則Q點軌跡也是一條直線。證明：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運動過程中，因為AP=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線．模型2）如圖，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ=為定值，當點P在直線BC上運動時，則Q點軌跡也是一條直線。證明：在BC上任取一點P1，作三角形△AP1Q1，且滿足∠P1AQ1=，AQ1=AP1，連結Q1Q交BC于點N，∵AP=AQ，AQ1=AP1，∠P1AQ1=∠PAQ=，，∴∠APP1=∠AQQ1，∵∠AMP=∠NMQ，∴∠MNQ=∠PAQ=，即Q點所在直線與BC的夾角為定值，故Q點軌跡是一條直線．模型8.最值模型之瓜豆圓弧軌跡原理模型“主從聯動”模型也叫“瓜豆”模型，出自成語“種瓜得瓜，種豆得豆”。這類動點問題中，一個動點隨另一個動點的運動而運動，我們把它們分別叫作從動點和主動點，從動點和主動點的軌跡是一致的，即所謂“種”線得線，“種”圓得圓（而當主動點軌跡是其他圖形時，從動點軌跡必然也是）。解決這一類問題通常用到旋轉、全等和相似。模型（1）、運動軌跡為圓弧模型（1-1）.如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點．Q點軌跡是？分析：如圖，連接A