§2.11函數的圖象課標要求1.在實際情境中,會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、解析法)表示函數.2.會畫簡單的函數圖象.3.會運用函數圖象研究函數的性質,解決方程解的個數與不等式解的問題.1.利用描點法作函數圖象的步驟：列表、描點、連線.2.利用圖象變換法作函數的圖象(1)平移變換(2)對稱變換①y＝f(x)y＝－f(x).②y＝f(x)y＝f(－x).③y＝f(x)y＝－f(－x).④y＝ax(a>0,且a≠1)y＝logax(a>0,且a≠1).(3)翻折變換①y＝f(x)y＝|f(x)|.②y＝f(x)y＝f(|x|).1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數y＝|f(x)|為偶函數.(×)(2)函數y＝f(1－x)的圖象,可由y＝f(－x)的圖象向右平移1個單位長度得到.(√)(3)當x∈(0,＋∞)時,函數y＝|f(x)|與y＝f(|x|)的圖象相同.(×)(4)函數y＝f(x)的圖象關于y軸對稱即函數y＝f(x)與y＝f(－x)的圖象關于y軸對稱.(×)2.函數y＝21－x的大致圖象為()答案A3.函數f(x)＝-xln(x2答案D解析要使函數f(x)有意義,即x2＋1≠1,所以x≠0,故f(x)的定義域為(－∞,0)∪(0,＋∞),關于原點對稱.因為f(－x)＝xln(x2＋1)＝－f(x),所以f(x)為奇函數,當x>0時,－x<0,ln(x2＋1)>ln1＝0,所以f(x)<0,排除選項A.4.函數y＝f(x)的圖象與y＝ex的圖象關于y軸對稱,再把y＝f(x)的圖象向右平移1個單位長度后得到函數y＝g(x)的圖象,則g(x)＝.

答案e－x＋1解析由題意可知f(x)＝e－x,把y＝f(x)的圖象向右平移1個單位長度后得到g(x)＝e－(x－1)＝e－x＋1的圖象.謹記三個圖象變換的注意點(1)“左加右減”只針對x本身,與x的系數沒有關系,如從y＝f(－2x)的圖象到y＝f(－2x＋1)的圖象是向右平移12個單位長度,即將x變成x－1(2)“上加下減”只針對函數值f(x).(3)對稱變換的對稱是指兩個函數的圖象特征,而與奇偶性有關的對稱,是指一個函數圖象自身的特征.題型一作函數的圖象例1作出下列各函數的圖象：(1)y＝2x(2)y＝|x2－4x－5|；(3)y＝12x-1解(1)原函數解析式可化為y＝2＋1x-1,故函數圖象可由函數y＝1x的圖象向右平移1個單位長度,再向上平移2個單位長度得到(2)y＝|x2－4x－5|的圖象可由函數y＝x2－4x－5的圖象保留x軸上方的部分不變,將x軸下方的部分翻折到x軸上方得到,如圖所示.(3)y＝12x-1|－1,其圖象可看作由函數y＝12x的圖象向右平移1而y＝12x＝12x,x≥0,2后將該部分關于y軸對稱得到,則y＝12x-1|思維升華函數圖象的常見畫法及注意事項(1)直接法：對于熟悉的基本函數,根據函數的特征描出圖象的關鍵點,直接作圖.(2)轉化法：含有絕對值符號的,去掉絕對值符號,轉化為分段函數來畫.(3)圖象變換法：若函數圖象可由某個基本函數的圖象經過平移、伸縮、翻折、對稱得到,則可利用圖象變換作圖.(4)畫函數的圖象一定要注意定義域.跟蹤訓練1作出下列各函數的圖象：(1)y＝x2－2|x|－3；(2)y＝|log2(x＋1)|.解(1)y＝x2－2|x|－3＝x2-2x(2)y＝|log2(x＋1)|,其圖象可由y＝log2x的圖象向左平移1個單位長度,再保留x軸上方部分不變,將x軸下方部分翻折到x軸上方得到,如圖所示.題型二函數圖象的識別例2(1)函數f(x)＝21＋ex-1cos答案B解析依題意,函數f(x)＝1-ex1＋ex·cosx的定義域為R,f(－x)＝1-e-x1＋e-x·cos(－即函數f(x)是R上的奇函數,其圖象關于原點對稱,選項A,C不滿足；當x∈0,π2時,1-ex1＋ex<0,cosx>0,即f(x)(2)已知某函數圖象如圖所示,則該函數解析式可能為()A.f(x)＝ln|x|－1B.f(x)＝ln|x|＋1C.f(x)＝1x＋ln|xD.f(x)＝1x－ln|x答案D解析對于A,f(1)＝ln1－11＝－1,顯然不滿足圖象,故A對于B,f(－1)＝ln|－1|＋1|-1|＝1,顯然不滿足圖象,對于C,當x→＋∞時,f(x)→＋∞,故C錯誤；對于D,經檢驗,f(x)＝1x－ln|x|滿足對應圖象,故D正確思維升華識別函數的圖象的主要方法(1)利用函數的性質,如奇偶性、單調性、定義域等判斷.(2)利用函數的零點、極值點等判斷.(3)利用特殊函數值判斷.跟蹤訓練2(1)函數f(x)＝ln|x|·cosxx的圖象大致為答案A解析由函數f(x)＝ln|x|·cosxx可得函數的定義域為{x|x由f(－x)＝ln|-x|·cos(-x)-x＝－ln|x|·cosxx＝－f(x),可知函數f又由f(2)＝ln2·cos22<0可得C項不合題意,故(2)已知函數f(x)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式可能為()A.f(x)＝ex－e－xB.f(x)＝1－2C.f(x)＝xxD.f(x)＝x答案D解析根據函數f(x)的圖象,知f(1)≈1,而對A選項,f(1)＝e－e－1>2,排除A；對B選項,f(x)＝1－2ex＋1,因為ex＋1>1,則2ex＋1∈(0,2),則f(x)＝1－2ex＋1∈根據C選項的解析式,f(2)＝22≈2.8,而根據函數f(x)的圖象,知f(2)≈1,排除C.題型三函數圖象的應用命題點1利用圖象研究函數的性質例3(多選)對任意兩個實數a,b,定義min{a,b}＝a,a≤b,b,a>b,若f(x)＝2－x2,g(x)＝x2,下列關于函數F(x)＝min{f(x)A.函數F(x)是偶函數B.方程F(x)＝0有三個解C.函數F(x)在區間[－1,1]上單調遞增D.函數F(x)有4個單調區間答案ABD解析根據函數f(x)＝2－x2與g(x)＝x2,畫出函數F(x)＝min{f(x),g(x)}的圖象,如圖.由圖象可知,函數F(x)＝min{f(x),g(x)}的圖象關于y軸對稱,所以A項正確；函數F(x)的圖象與x軸有三個交點,所以方程F(x)＝0有三個解,所以B項正確；函數F(x)在(－∞,－1]上單調遞增,在[－1,0]上單調遞減,在[0,1]上單調遞增,在[1,＋∞)上單調遞減,所以C項錯誤,D項正確.命題點2利用圖象解不等式例4已知定義在R上的奇函數f(x)在[0,＋∞)上的圖象如圖所示,則不等式x2f(x)>2f(x)的解集為()A.(－2,0)∪(2,B.(－∞,－2)∪(2,＋∞)C.(－∞,－2)∪(－2,0)∪(2,D.(－2,－2)∪(0,2)∪(2,＋∞答案C解析根據奇函數的圖象特征,作出f(x)在(－∞,0)上的圖象,如圖所示,由x2f(x)>2f(x),得(x2－2)f(x)>0,則x2-2>0,解得x<－2或2<x<2或－2<x<0,故不等式的解集為(－∞,－2)∪(－2,0)∪(2,2命題點3利用圖象求參數的取值范圍例5已知函數f(x)＝sinπx,0≤x≤1,log2024x,x>1,若實數a,b,c互不相等,且f(a)＝f(b)＝f(答案(2,2025)解析函數f(x)＝sinπx,0不妨令a<b<c,可知a＋b＝1,而1<c<2024,所以2<a＋b＋c<2025.思維升華當不等式問題不能用代數法求解或用代數法求解比較困難,但其對應函數的圖象可作出時,常將不等式問題轉化為圖象的位置關系問題,從而利用數形結合思想求解.跟蹤訓練3(1)把函數f(x)＝ln|x－a|的圖象向左平移2個單位長度,所得函數在(0,＋∞)上單調遞增,則a的最大值為()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析把函數f(x)＝ln|x－a|的圖象向左平移2個單位長度,得到函數g(x)＝ln|x＋2－a|的圖象,則函數g(x)在(a－2,＋∞)上單調遞增,又因為所得函數在(0,＋∞)上單調遞增,所以a－2≤0,即a≤2.所以a的最大值為2.(2)已知f(x)＝x2＋2x＋3,x≤0,1＋lnx,x>0,若存在x1<x2<x3使得f(x1)＝f(x2答案(2,3]解析作出函數f(x)的圖象,如圖,因為存在x1<x2<x3使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝m,所以f(－1)<m≤f(0),即2<m≤3.課時精練[分值：90分]一、單項選擇題(每小題5分,共30分)1.(2024·南昌模擬)函數f(x)＝x2x-2答案A解析f(－x)＝|-x2-x-2x＝－f(x),且函數定義域為{x|x≠0},關于原點對稱,所以f(x當x>0時,2x－2－x>0,所以f(x)>0,排除B,經檢驗A選項符合題意.2.(2025·岳陽模擬)函數y＝21-x的大致圖象為(答案D解析因為y＝21-x,所以當x＝0時,y＝21-x＝2,故排除A又y＝21-x＝－2x-1的圖象可由函數y＝－2x的圖象向右平移1個單位長度得到3.已知函數f(x)＝x-2,x<0,x12,x≥0,答案C解析結合題意可得,當x<0時,f(x)＝x－2＝1x2,f(x)在(－∞,當x≥0時,易知f(x)＝x12＝x,f(x)在[0,故函數f(x)＝x-2,要得到y＝－f(x)的圖象,只需將y＝f(x)的圖象沿x軸對稱即可得到,C中圖象符合題意.4.已知函數f(x)＝2x,x≤1,log12x,答案C解析方法一畫出f(x)的大致圖象如圖所示.要得到y＝f(2－x)的圖象,只需將y＝f(x)的圖象沿y軸對稱,再向右平移2個單位長度即可.方法二設g(x)＝f(2－x),則g(1)＝f(1)＝2,從而排除A,B,D.5.已知函數f(x)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式最有可能是()A.f(x)＝x2＋1B.f(x)＝xsinxC.f(x)＝sinx－xcosxD.f(x)＝x-1x答案C解析由題圖可得0在定義域內,A,D選項的解析式的定義域為{x|x≠0},故A,D錯誤；B選項,f(x)＝xsinx的定義域為R,且f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsinx＝f(x),故f(x)＝xsinx為偶函數,故B錯誤；C選項,f(x)＝sinx－xcosx的定義域為R,f(－x)＝sin(－x)－(－x)cos(－x)＝－sinx＋xcosx＝－f(x),故f(x)＝sinx－xcosx為奇函數,滿足要求.6.已知函數f(x)＝|2x-1|,x≤2,3x-1,x>2,若方程A.(1,3) B.(0,1) C.(0,3) D.[0,1]答案B解析方程f(x)＝a有三個不同的實數根,即函數y＝f(x)的圖象與直線y＝a有三個交點.作出函數y＝f(x)的圖象如圖所示,f(2)＝3,由圖可得,0<a<1.所以實數a的取值范圍是(0,1).二、多項選擇題(每小題6分,共12分)7.設函數f(x)＝lnx,則下列說法正確的是()A.函數f(x)的圖象與函數y＝ln(－x)的圖象關于x軸對稱B.函數f(|x|)的圖象關于y軸對稱C.函數|f(x＋1)|的圖象在(0,＋∞)上單調遞增D.f13<|f(4答案BCD解析函數f(x)＝lnx的圖象如圖1所示,對于A,由函數圖象變換可知,y＝ln(－x)的圖象如圖2所示,函數圖象與原函數圖象關于y軸對稱,故A錯誤；對于B,由函數圖象變換可知,f(|x|)的圖象如圖3所示,函數圖象關于y軸對稱,故B正確；對于C,由函數圖象變換可知,|f(x＋1)|的圖象如圖4所示,函數圖象在(0,＋∞)上單調遞增,故C正確；對于D,即f13＝ln13＝ln3,|f(4)|＝|ln∵y＝lnx在定義域上單調遞增,∴ln3<ln4,則f13<|f(4)|,故D8.設函數f(x)＝12x2＋2x＋2,x≤0,|lnx|,x>0,若關于x的方程f(x)＝a有四個不同的解x1,x2,x3,x4,A.x1x2>4B.0<a≤2C.x3＋x4>2D.1<x4<e2答案BC解析如圖,作出函數f(x)的圖象,由題意,直線y＝a與f(x)的圖象有4個交點,由圖象可知0<a≤2,故B正確；且x1＋x2＝－4,－2<x2≤0,－lnx3＝lnx4,所以ln(x3x4)＝0,即x3x4＝1,則x3＋x4>2x3x4＝2,x1x2＝(－4－x2)x2＝－x22－4x2＝－(x2＋2)2＋4∈[當f(x4)＝f(0)＝2時,lnx4＝2,x4＝e2,又0<x3<1<x4,所以1<x4≤e2,故D錯誤.三、填空題(每小題5分,共10分)9.將函數y＝ex的圖象先向右平移1個單位長度,得到函數y＝的圖象,再把圖象作關于y軸對稱,得到函數y＝的圖象.

答案ex－1e－x－1解析將函數y＝ex的圖象向右平移1個單位長度,得到函數y＝ex－1的圖象,將y＝ex－1的圖象再作關于y軸對稱,得到函數y＝e－x－1的圖象.10.若函數f(x)＝x(|x|－2)在[m,n]上的最小值是－1,最大值是3,則n－m的最大值為.

答案4＋2解析作出函數f(x)＝x(|x|－2)＝x(x-2),x當x≥0時,令x(x－2)＝3,得x1＝－1(舍),x2＝3,當x<0時,令x(－x－2)＝－1,得x3＝－1－2,x4＝－1＋2(舍)結合圖象可得(n－m)max＝x2－x3＝3－(－1－2)＝4＋2.四、解答題(共28分)11.(13分)畫出下列函數的大致圖象：(1)y＝log2|x|；(6分)(2)y＝－log2(－x).(7分)解(1)y＝log2|x|＝log2x,x>0,log2(-x),x<0,(2)把y＝log2x的圖象先關于y軸對稱,再關于x軸對稱,即可得y＝－log2(－x)的圖象,如圖2所示.12.(15分)已知函數f(x)＝|(1)作出函數f(x)的圖象；(6分)(2)討論方程f(x)－m＝0根的情況.(9分)解(1)當x≤0時,0<2x≤1,則f(x)＝|2x－2|＝2－2x∈[1,2),作出函數f(x)的圖象,如圖所示.(2)由f(x)－m＝0可得m＝f(x),則方程f(x)－m＝0的根的個數即為直線y＝m與函數y