高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省鹽城市七校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知隨機(jī)變量X的分布規(guī)律為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量X的分布規(guī)律為，所以，解得，所以.故選：A.2.若，則（）A.30 B.120 C.360 D.720【答案】C【解析】由題意可得，解得，則.故選：C.3.的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A.6 B.-6 C.4 D.-4【答案】D【解析】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，當(dāng)時(shí)，則有，則的系數(shù)為：.故選：D4.已知為平面的一個(gè)法向量，為直線l的一個(gè)方向向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由為平面的一個(gè)法向量，為直線的方向向量，若，則，即充分性成立；由為平面的一個(gè)法向量，為直線的方向向量，若，則或，即必要性不成立.故“”是“”的充分不必要條件．故選：A．5.已知隨機(jī)變量X的取值為0，1，2，若，，則標(biāo)準(zhǔn)差為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)，則可得分布列如下表;012根據(jù)期望公式得：，解得，所以根據(jù)方差公式得：，即標(biāo)準(zhǔn)差為，故選：C.6.從4種不同的顏色中選出一些顏色給如圖所示的3個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色，記事件為“相鄰的2個(gè)格子顏色不同”,事件為“3個(gè)格子的顏色均不相同”,則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】用4種顏色涂圖示中3個(gè)格子的試驗(yàn)的所有樣本點(diǎn)有個(gè)，它們等可能，相鄰的2個(gè)格子顏色不同時(shí)，可先涂中間格子有4種方法，再涂?jī)蛇叺母褡痈饔?種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得事件A所含樣本點(diǎn)有個(gè)，3個(gè)格子的顏色均不相同時(shí)，相當(dāng)于4種顏色占三個(gè)不同位置有種方法，即得事件B所含樣本點(diǎn)有個(gè)，于是得，，所以.故選：B7.已知正四棱錐的所有棱長(zhǎng)均為1，O為底面ABCD內(nèi)一點(diǎn),且,則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可作圖如下：由，則，由共面，則，解得，所以.故選：B.8.若，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.B.C.的展開(kāi)式中偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為D.的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為【答案】D【解析】對(duì)于A，令可得，故A正確；對(duì)于B，展開(kāi)式的通項(xiàng)為，所以系數(shù)，所以，令，即可得，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋恼归_(kāi)式中偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)闉榕紨?shù)，的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為第6項(xiàng)，即，故D錯(cuò)誤.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.將一個(gè)量用兩種方法分別算一次，由結(jié)果相同得到等式，在數(shù)學(xué)中將這種思想方法稱為“算兩次”．請(qǐng)用此法判斷下列等式中，正確的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的通項(xiàng)為，則展開(kāi)式中的系數(shù)為，而二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的通項(xiàng)為，所以的展開(kāi)式中得系數(shù)為，因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B，從個(gè)不同的元素中取出個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)為，同時(shí)還可以分步驟考慮：第一步：從個(gè)元素中選一個(gè)安排在首位，則安排的個(gè)數(shù)為；第二步：剩下個(gè)位置可從其余個(gè)元素中抽出個(gè)元素全排列，則所有的排列個(gè)數(shù)為；故從個(gè)不同的元素中取出個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)為，所以，故B正確；對(duì)于C，從個(gè)不同的元素中取出個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)為，同時(shí)還可以分類考慮：第一類：取出個(gè)元素不包括元素甲，則所有排列的個(gè)數(shù)為，第二類：取出個(gè)元素包括元素甲，則先排元素甲，有個(gè)位置，然后從其余n個(gè)元素中抽出個(gè)元素全排列，則所有的排列個(gè)數(shù)為，綜上，從個(gè)不同的元素中取出個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)為，所以，故C不正確；對(duì)于D，從個(gè)不同的人中選出個(gè)人組成一個(gè)團(tuán)隊(duì)，且選一個(gè)人做隊(duì)長(zhǎng)，可以有兩種選法：第一種，從個(gè)不同的人中選出個(gè)人組成一個(gè)團(tuán)隊(duì)有種選法，再?gòu)倪x中的個(gè)人中選一人當(dāng)隊(duì)長(zhǎng)有種選法，則形成的團(tuán)隊(duì)方法數(shù)為；第二種，先從從個(gè)不同人中選出一人做隊(duì)長(zhǎng)，有種選法，再?gòu)挠嘞碌倪x出個(gè)人組成團(tuán)員有種選法，則形成的團(tuán)隊(duì)方法數(shù)為；綜上，，故D正確.故選：ABD10.在某獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，事件A，B相互獨(dú)立，且在一次實(shí)驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為p，事件B發(fā)生的概率為，其中．若進(jìn)行n次實(shí)驗(yàn)，記事件A發(fā)生的次數(shù)為X，事件B發(fā)生的次數(shù)為Y，事件AB發(fā)生的次數(shù)為Z，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】由題知，則，，，又相互獨(dú)立，則，易知，則，對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，，所以，故選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)椋裕蔆正確；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：BC.11.如圖，若正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是棱AB，的中點(diǎn)，則（）A.三個(gè)向量，，不可以構(gòu)成空間的一組基底B.四面體的外接球的表面積為C.平面截該正方體的內(nèi)切球所得截面的面積為D.直線與平面所成角的余弦值為【答案】ABC【解析】對(duì)于A：如圖以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，若向量，，共面，則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)，使得，即，所以，解得：，所以向量，，共面，所以三個(gè)向量，，不可以構(gòu)成空間向量的一組基，故A正確；對(duì)于B：由，可知其中點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)槿切螢橹苯侨切?，所以其外接圓圓心坐標(biāo)為，由球的性質(zhì)可知，球心一定在過(guò)且與坐標(biāo)面垂直的直線上，所以可設(shè)球心坐標(biāo)為，則由可得：，解得：，所以球的半徑為：，所以四面體的外接球的表面積為正確；對(duì)于C，設(shè)正方體內(nèi)切球的球心為，則，，則，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，所以點(diǎn)到平面的距離，又正方體內(nèi)切球得半徑，所以平面截該正方體的內(nèi)切球所得截面圓的半徑，所以平面截該正方體的內(nèi)切球所得截面的面積為，故C正確.對(duì)于D，直線與平面所成角的余弦值為，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得：，即，又，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以.故D錯(cuò)；故選：ABC第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知直線l的方向向量為，則向量在直線l上的投影向量坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】【解析】直線的方向向量為，，則，，則向量在直線上的投影向量坐標(biāo)為：．故答案為：．13.為積極落實(shí)“雙減”政策，豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，某校開(kāi)設(shè)了航模、無(wú)人機(jī)、Ai技術(shù)等5門(mén)課程．分別安排在周一到周五，每天一節(jié)，其中Ai技術(shù)課不排在周一，航模和無(wú)人機(jī)課兩天相鄰的課程的安排方案種數(shù)為_(kāi)_____．【答案】【解析】當(dāng)航模或無(wú)人機(jī)課排周一時(shí)，此時(shí)情況數(shù)；當(dāng)航模與無(wú)人機(jī)都不排課在周一時(shí)，此時(shí)情況數(shù)為；所以符合題意的情況數(shù)為.故答案為：.14.一個(gè)袋子中有5個(gè)大小相同的球，其中紅球3個(gè)，白球2個(gè)，現(xiàn)從中不放回地隨機(jī)摸出3個(gè)球作為樣本，用隨機(jī)變量X表示樣本中紅球的個(gè)數(shù)，用隨機(jī)變量表示第i次抽到紅球的個(gè)數(shù)，則隨機(jī)變量X期望______；______．【答案】；【解析】由題意可知，，.所以：，根據(jù)全概率公式得：.故答案為：；四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.在如圖所示的平行六面體中，，，，，，設(shè)，，．（1）用，，表示，，；（2）求異面直線AC與所成角的正切值．解：（1），，；（2）因，，又，，所以，，，設(shè)異面直線AC與所成角為，則，所以，故，所以異面直線AC與所成角的正切值為.16.在的展開(kāi)式中，______．給出下列條件：①各項(xiàng)系數(shù)之和為729，②第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為15，③二項(xiàng)式系數(shù)和為64，試在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上，并且完成下列問(wèn)題：（1）求n的值并求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)；（2）求展開(kāi)式中的系數(shù)．解：（1）若選①：由的展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，則，解得，即，令，即，則.若選②：由的展開(kāi)式通項(xiàng)為，由，則，即，分解因式可得，解得，即，令，即，則.若選③：由題意可得，解得，由的展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，即，則.（2）由（1）可得的展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，解得，令，解得則，所以展開(kāi)式中的系數(shù)為.17.駕駛證考試規(guī)定需依次按科目一（理論）、科目二（場(chǎng)內(nèi)）、科目三（場(chǎng)外）進(jìn)行，只有當(dāng)上一科目考試合格才可以參加下一科目的考試，每個(gè)科目只允許有一次補(bǔ)考機(jī)會(huì)，三個(gè)科目考試均合格方可獲得駕駛證．若某人已通過(guò)了科目一的考試，假設(shè)他科目二考試合格的概率為，科目三考試合格的概率為，且每次考試或補(bǔ)考合格與否互不影響．（1）求丁某不需要補(bǔ)考就可獲得駕駛證的概率；（2）若丁某不放棄所有考試機(jī)會(huì)，記為參加考試的次數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．解：（1）設(shè)丁某參加科目二考試合格和補(bǔ)考為事件、，參加科目三考試合格和補(bǔ)考合格為事件、，事件、、、，互為獨(dú)立設(shè)事件“丁某不需要補(bǔ)考就可獲得駕駛證”，則，所以丁某不需要補(bǔ)考就可獲得駕駛證的概率為；（2）的取值可能為2，3，4，則；；；；所以，隨機(jī)變量的分布列為234所以．18.如圖，在中，，，，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，滿足且DE經(jīng)過(guò)的重心，將沿DE折起到的位置，使，M是的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）求與平面所成角的大?。唬?）在線段上是否存在點(diǎn)N（不包含端點(diǎn)），使平面BMN與平面CBM夾角正切值為?若存在，求出的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）因?yàn)樵谥?，，，所以，因?yàn)檎郫B前后對(duì)應(yīng)角相等，所以平面，所以平面，平面，所以，又，平面，所以平面；因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（2）因?yàn)镈E經(jīng)過(guò)的重心，故，由（1）知平面BCDE，如圖以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，設(shè)CM與平面所成角的大小為，則，故，即CM與平面所成角的大小為；（3）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使平面與平面成角正切值為.在空間直角坐標(biāo)系中，，，，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則有，即，不妨令，則，，所以，設(shè)平面的法向量為，則有，即，不妨令，則，，所以，若平面與平面成角正切值為，則平面與平面成角余弦值為.則滿足，化