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上課手機關了嗎？6/11/20251第三章向量與線性方程組3.2n維向量一、n維向量概念

1.定義:n個數組成的有序數組稱為n維向量.用等表示。

n維行向量(1×n矩陣)——m維列向量(m×1矩陣)矩陣每一行都是n維行向量每一列都是m維列向量返回6/11/20252第三章向量與線性方程組①

②零向量：③負向量：

2.向量的線性運算①加減

②數乘

向量的線性運算滿足如下8條運算律：

(1)(2)(3)(4)(6)(7)(5)(8)返回(也看作特殊的矩陣作運算!)O＝(0,0,…,0)例1求求例2例3(05考研)設均為3維列向量,記3階矩陣且，求＝2解返回6/11/20254第三章向量與線性方程組x1+x2+…

+xn

＝二、線性表示(線性組合)

向量的線性運算——線性方程組有解

即常數列向量可表示成系數列向量的線性關系式線性方程組——

線性方程組的向量形式

x1+x2+…+xn＝向量的加減及數乘運算

的系數列向量與常數列向量間的關系:也稱是的線性組合一、n維向量概念與運算三、線性相關與線性無關

向量間的線性關系——稱向量可由向量組線性表示;返回定義:給定一組向量,若存在一組數k1,k2,…,ks

,使,則稱向量可由向量組線性表示，也稱向量是向量組的線性組合。例1設,則一般地,任一n維向量都可由Rn的基本單位向量組線性表示為:2(-3)42(-3)4返回6/11/20256第三章向量與線性方程組例2零向量是任一組同維向量的線性組合：

例3向量組中任一向量都可由該向量組線性表示：可由線性表示(線性方程組)有解.結論:例4.已知

可否由線性表示,若可以,寫出表示式.00000100返回6/11/20257第三章向量與線性方程組解:①2k1－k2＝3k1＋2k2＝4－k1＋k2＝－15k1＋k2＝11亦即即設可省步驟返回8②設∴原方程組無解則不可由線性表示r(A)≠r(A)返回6/11/20259第三章向量與線性方程組(1)a≠－4時，D≠0，方程組有唯一解解:設,則該方程組的系數行列式＝－(a＋4)即:a≠－4時,可由線性表示,且表示唯一.不能由線性表示；(3)可由例5(00考研)設向量組件時，(1)可由線性表示，且表示唯一；試問a、b、c滿足什么條線性表示，但表示不唯一？并求出一般表達式.返回(2)a＝－4時，對增廣矩陣作初等行變換，有x3=2b＋1x2＝－b－1－2x1由得一般表達式:(3)a＝－4且3b－c＝1時,(k為任意常數)3b－c≠1時，方程組無解即:a＝－4且3b－c≠1時,不能由線性表示.可由線性表示,但表示不唯一.方程組有無窮多組解，返回6/11/202511第三章向量與線性方程組②重要結論：行變換不改變列向量間的線性關系.不可由線性表示由此及例1的一般結論，可不經過方程組這一中間步驟直接理解例4解題過程。(第三分量無線性關系:1≠k1·0＋k2·0)小結：可否由線性表示——豎排行變換，放末列.

上例兩小題可合為一步做：將

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