2013考研試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(f(x)=\frac{\sinx}{x}\)在\(x=0\)處的極限是（）A.0B.1C.不存在D.\(\infty\)2.設(shè)\(A\)為\(3\)階方陣，\(\vertA\vert=2\)，則\(\vert2A\vert\)等于（）A.4B.8C.16D.323.下列級數(shù)中收斂的是（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}n\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\)4.設(shè)\(y=\lnx\)，則\(y^\prime\)等于（）A.\(\frac{1}{x}\)B.\(-\frac{1}{x}\)C.\(\lnx\)D.\(x\)5.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-1,k)\)，若\(\vec{a}\perp\vec\)，則\(k\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(-\frac{1}{2}\)C.2D.-26.設(shè)\(f(x)\)是連續(xù)函數(shù)，且\(F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt\)，則\(F^\prime(x)\)等于（）A.\(f(x)\)B.\(f(0)\)C.\(f(x)-f(0)\)D.07.設(shè)\(A\)，\(B\)為隨機(jī)事件，且\(P(A)=0.5\)，\(P(B)=0.6\)，\(P(B\vertA)=0.8\)，則\(P(A\cupB)\)等于（）A.0.7B.0.8C.0.9D.18.曲線\(y=x^3-3x\)的拐點是（）A.\((0,0)\)B.\((1,-2)\)C.\((-1,2)\)D.\((2,2)\)9.設(shè)\(f(x)\)在\([a,b]\)上可導(dǎo)，且\(f^\prime(x)\gt0\)，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上（）A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.有極大值D.有極小值10.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(r(A)=n-1\)，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)的秩\(r(A^)\)為（）A.\(n\)B.\(n-1\)C.1D.0多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在\(x=0\)處可導(dǎo)的有（）A.\(y=\vertx\vert\)B.\(y=x^2\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=\cosx\)2.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，則下列結(jié)論正確的有（）A.\((AB)^T=B^TA^T\)B.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)C.\(\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert\)D.若\(AB=0\)，則\(A=0\)或\(B=0\)3.下列級數(shù)中，絕對收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\)4.設(shè)\(y=f(x)\)是由方程\(x^2+y^2=1\)確定的隱函數(shù)，則\(y^\prime\)可能為（）A.\(-\frac{x}{y}\)B.\(\frac{x}{y}\)C.\(\frac{y}{x}\)D.\(-\frac{y}{x}\)5.已知向量\(\vec{a}=(1,1,1)\)，\(\vec=(1,0,1)\)，則下列向量中與\(\vec{a}\)，\(\vec\)都垂直的有（）A.\((1,-2,1)\)B.\((-1,2,-1)\)C.\((0,1,-1)\)D.\((1,0,-1)\)6.設(shè)\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，在\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)，且\(f(a)=f(b)\)，則下列說法正確的有（）A.至少存在一點\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f^\prime(\xi)=0\)B.函數(shù)\(f(x)\)在\([a,b]\)上的最大值和最小值相等C.\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)為常數(shù)函數(shù)D.可能不存在\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f^\prime(\xi)=0\)7.設(shè)\(A\)為\(n\)階可逆矩陣，則下列說法正確的有（）A.\(A\)的行列式不為\(0\)B.\(A\)的秩為\(n\)C.\(A\)可以經(jīng)過初等行變換化為單位矩陣D.\(A\)的列向量組線性無關(guān)8.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\vertx\vert\)9.設(shè)\(X\)是隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為\(f(x)\)，則下列說法正確的有（）A.\(f(x)\geq0\)B.\(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1\)C.\(P(a\ltX\ltb)=\int_{a}^f(x)dx\)D.\(f(x)\)一定是連續(xù)函數(shù)10.設(shè)\(f(x)\)在\(x_0\)處可微，則下列說法正確的有（）A.\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)B.\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)C.\(\Deltay=f^\prime(x_0)\Deltax+o(\Deltax)\)D.\(f(x)\)在\(x_0\)處的微分\(dy=f^\prime(x_0)dx\)判斷題（每題2分，共10題）1.若\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定可導(dǎo)。（）2.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，若\(AB=BA\)，則\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)。（）3.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)當(dāng)\(p\gt1\)時收斂，當(dāng)\(p\leq1\)時發(fā)散。（）4.函數(shù)\(y=\sinx\)的導(dǎo)數(shù)是\(y^\prime=\cosx\)。（）5.若向量\(\vec{a}\)與\(\vec\)平行，則\(\vec{a}\)與\(\vec\)的對應(yīng)坐標(biāo)成比例。（）6.設(shè)\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定連續(xù)。（）7.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，若\(\vertA\vert=0\)，則\(A\)的列向量組線性相關(guān)。（）8.函數(shù)\(y=x^3\)是奇函數(shù)。（）9.若\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，則\(E(X)=\mu\)，\(D(X)=\sigma^2\)。（）10.設(shè)\(f(x)\)在\(x_0\)處的左右導(dǎo)數(shù)都存在，則\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)。（）簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+2\)的單調(diào)區(qū)間和極值。-答案：\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime=0\)，得\(x=0\)，\(x=2\)。當(dāng)\(x\lt0\)或\(x\gt2\)時，\(y^\prime\gt0\)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)\(0\ltx\lt2\)時，\(y^\prime\lt0\)，函數(shù)單調(diào)遞減。極大值\(y(0)=2\)，極小值\(y(2)=-2\)。2.計算定積分\(\int_{0}^{1}xe^xdx\)。-答案：用分部積分法，設(shè)\(u=x\)，\(dv=e^xdx\)，則\(du=dx\)，\(v=e^x\)。\(\int_{0}^{1}xe^xdx=[xe^x]_0^1-\int_{0}^{1}e^xdx=e-[e^x]_0^1=e-(e-1)=1\)。3.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，求\(A\)的逆矩陣\(A^{-1}\)。-答案：\(\vertA\vert=1\times4-2\times3=-2\)。伴隨矩陣\(A^=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)，則\(A^{-1}=\frac{1}{\vertA\vert}A^=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)。4.簡述羅爾定理的內(nèi)容。-答案：若函數(shù)\(f(x)\)滿足：在閉區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)；在開區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)；\(f(a)=f(b)\)，則至少存在一點\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f^\prime(\xi)=0\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上的單調(diào)性與凹凸性。-答案：\(f^\prime(x)=-\frac{1}{x^2}\lt0\)，在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減。\(f^{\prime\prime}(x)=\frac{2}{x^3}\gt0\)，在\((0,+\infty)\)上是凹函數(shù)。2.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，討論\((AB)^2=A^2B^2\)成立的條件。-答案：\((AB)^2=ABAB\)，\(A^2B^2=AABB\)。若\(AB=BA\)，則\((AB)^2=ABAB=AABB=A^2B^2\)，所以\((AB)^2=A^2B^2\)成立的條件是\(A\)與\(B\)可交換。3.討論如何判斷一個級數(shù)是絕對收斂還是條件收斂。-答案：先判斷級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)的絕對值級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\vertu_n\vert\)的斂散性。若\(\sum_{n=1}^{\infty}\vertu_n\vert\)收斂，則原級數(shù)絕對收斂；若\(\sum_{n=1}^{\infty}\vertu_n\vert\)發(fā)散，而\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收斂，則原級數(shù)條件收斂。4.討論矩陣的秩與線性方程組解的關(guān)系。-答案：對于線性方程組\(Ax=b\)，設(shè)\(r(A)\)為系數(shù)矩陣\(A\)的秩，\(r(A\vertb)\)為增廣矩陣的秩。若\(r(A)=r(A\vertb)=n\)（\(n\)為未知數(shù)個數(shù)），有唯一解；若\(r(A)=r