甘肅省嘉峪關(guān)市一中2016屆高三上學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題一、選擇題1.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，若$f(x)$的圖像與$x$軸的交點(diǎn)為$A$，$B$，$C$，且$A$在$B$的左側(cè)，$C$在$B$的右側(cè)，則下列選項(xiàng)中正確的是：A.$f(1)<0$，$f(2)>0$，$f(3)<0$；B.$f(1)>0$，$f(2)<0$，$f(3)>0$；C.$f(1)<0$，$f(2)<0$，$f(3)>0$；D.$f(1)>0$，$f(2)>0$，$f(3)<0$。2.設(shè)等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，若$a_1+a_4=5$，$a_2+a_5=6$，則數(shù)列$\{a_n\}$的公差為：A.$1$；B.$2$；C.$3$；D.$4$。3.在直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)$A(2,3)$關(guān)于直線$x+y-1=0$的對(duì)稱點(diǎn)為$B$，則$|AB|$的值為：A.$\sqrt{10}$；B.$2\sqrt{10}$；C.$3\sqrt{10}$；D.$4\sqrt{10}$。4.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，若$a_1+a_2=3$，$a_3+a_4=6$，則數(shù)列$\{a_n\}$的公比為：A.$1$；B.$2$；C.$3$；D.$4$。5.在$\triangleABC$中，若$\angleA=60^\circ$，$\angleB=30^\circ$，$a=2$，則$b$的值為：A.$2\sqrt{3}$；B.$2\sqrt{2}$；C.$2$；D.$\sqrt{3}$。二、填空題1.若復(fù)數(shù)$z=2+3i$，則$|z|$的值為_(kāi)_____。2.若函數(shù)$f(x)=x^2-2x+1$的圖像關(guān)于直線$x=1$對(duì)稱，則$f(-1)$的值為_(kāi)_____。3.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)為$2$，公差為$3$，則第$10$項(xiàng)$a_{10}$的值為_(kāi)_____。4.在$\triangleABC$中，若$\angleA=45^\circ$，$\angleB=45^\circ$，$a=b$，則$\angleC$的度數(shù)為_(kāi)_____。5.若復(fù)數(shù)$z=3+4i$，則$z$的共軛復(fù)數(shù)$\overline{z}$的值為_(kāi)_____。三、解答題1.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，求：（1）函數(shù)$f(x)$的圖像與$x$軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）函數(shù)$f(x)$的圖像的對(duì)稱軸方程。2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)為$2$，公差為$3$，求：（1）數(shù)列$\{a_n\}$的前$10$項(xiàng)和$S_{10}$；（2）數(shù)列$\{a_n\}$的第$10$項(xiàng)$a_{10}$。3.在$\triangleABC$中，若$\angleA=45^\circ$，$\angleB=30^\circ$，$a=2$，求：（1）$\triangleABC$的面積$S$；（2）$\triangleABC$的周長(zhǎng)$c$。四、解答題4.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}+\sqrt{x}$，求：（1）函數(shù)$f(x)$的定義域；（2）函數(shù)$f(x)$的值域；（3）函數(shù)$f(x)$在定義域內(nèi)的單調(diào)性。五、解答題5.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{n}$，求：（1）數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$；（2）數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式$a_n$。六、解答題6.已知函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+11x-6$，求：（1）函數(shù)$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$；（2）函數(shù)$f(x)$的極值點(diǎn)；（3）函數(shù)$f(x)$的單調(diào)區(qū)間。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A.$f(1)<0$，$f(2)>0$，$f(3)<0$。解析：由于$f(x)$是三次函數(shù)，且系數(shù)$a=1>0$，所以函數(shù)圖像開(kāi)口向上。又因?yàn)?f(1)=-1<0$，$f(2)=1>0$，$f(3)=1>0$，所以正確答案為A。2.B.$2$。解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，有$a_4=a_1+3d$，$a_5=a_1+4d$，代入$a_1+a_4=5$，$a_2+a_5=6$，解得$d=2$。3.A.$\sqrt{10}$。解析：設(shè)點(diǎn)$B(x,y)$，則$\frac{x+2}{2}+\frac{y+3}{2}-1=0$，解得$x=0$，$y=-1$。所以$|AB|=\sqrt{(2-0)^2+(3+1)^2}=\sqrt{10}$。4.B.$2$。解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)，有$a_3=a_1q^2$，$a_4=a_1q^3$，代入$a_1+a_2=3$，$a_3+a_4=6$，解得$q=2$。5.A.$2\sqrt{3}$。解析：由正弦定理，有$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}$，代入$\angleA=60^\circ$，$\angleB=30^\circ$，$a=2$，解得$b=2\sqrt{3}$。二、填空題1.$\sqrt{13}$。解析：$|z|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。2.$0$。解析：$f(-1)=(-1)^2-2(-1)+1=0$。3.$32$。解析：$a_{10}=a_1+(10-1)d=2+9\times3=32$。4.$90^\circ$。解析：$\angleC=180^\circ-\angleA-\angleB=180^\circ-45^\circ-45^\circ=90^\circ$。5.$3-4i$。解析：$\overline{z}=3-4i$。三、解答題1.（1）函數(shù)$f(x)$的圖像與$x$軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,0)$。解析：令$f(x)=0$，解得$x=1$，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,0)$。（2）函數(shù)$f(x)$的圖像的對(duì)稱軸方程為$x=1$。解析：由于$f(x)$是三次函數(shù)，且對(duì)稱軸是圖像的對(duì)稱軸，所以對(duì)稱軸方程為$x=1$。2.（1）數(shù)列$\{a_n\}$的前$10$項(xiàng)和$S_{10}=55$。解析：$S_{10}=\frac{10}{2}(a_1+a_{10})=5\times(2+32)=55$。（2）數(shù)列$\{a_n\}$的第$10$項(xiàng)$a_{10}=32$。解析：由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=2$，$d=3$，$n=10$，解得$a_{10}=32$。3.（1）$\triangleABC$的面積$S=2\sqrt{6}$。解析：由正弦定理，有$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}$，代入$\angleA=45^\circ$，$\angleB=30^\circ$，$a=2$，解得$b=\frac{2\sqrt{6}}{3}$。所以$S=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{1}{2}\times2\times\frac{2\sqrt{6}}{3}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{6}$。（2）$\triangleABC$的周長(zhǎng)$c=2+2\sqrt{6}$。解析：由正弦定理，有$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}$，代入$\angleA=45^\circ$，$\angleB=30^\circ$，$a=2$，解得$b=\frac{2\sqrt{6}}{3}$。所以$c=a+b+c=2+\frac{2\sqrt{6}}{3}+2\sqrt{2}=2+2\sqrt{6}$。四、解答題4.（1）函數(shù)$f(x)$的定義域?yàn)?x>0$。解析：由于$f(x)$中包含$\sqrt{x}$，所以$x$必須大于等于$0$，即定義域?yàn)?x>0$。（2）函數(shù)$f(x)$的值域?yàn)?(1,+\infty)$。解析：由于$f(x)$中包含$\frac{1}{x}$，當(dāng)$x$趨近于$0$時(shí)，$f(x)$趨近于$+\infty$；當(dāng)$x$趨近于$+\infty$時(shí)，$f(x)$趨近于$1$。所以值域?yàn)?(1,+\infty)$。（3）函數(shù)$f(x)$在定義域內(nèi)的單調(diào)性為先增后減。解析：求導(dǎo)得$f'(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$，令$f'(x)=0$，解得$x=4$。當(dāng)$0<x<4$時(shí)，$f'(x)>0$，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)$x>4$時(shí)，$f'(x)<0$，函數(shù)單調(diào)遞減。五、解答題5.（1）數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n=2-\frac{1}{n+1}$。解析：由遞推公式$a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{n}$，可得$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2}a_n-\frac{1}{n}$，即$a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{n}$。將$a_1=1$代入，可得$a_2=\frac{3}{2}$，$a_3=\frac{7}{4}$，$a_4=\frac{15}{8}$，...，觀察可得$a_n=2-\frac{1}{n+1}$。（2）數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式$a_n=2-\frac{1}{n+1}$。解析：由遞推公式$a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{n}$，可得$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2}a_n-\frac{1}{n}$，即$a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{n}$。將$a_1=1$代入，可得$a_2=\frac{3}{2}$，$a_3=\frac{7}{4}$，$a_4=\frac{15}{8}$，...，觀察可得$a_n=2-\frac{1}{n+1}$。六、解答題6.（1）函數(shù)$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)=3x^2-12x+11$。解析：由導(dǎo)數(shù)的定義，可得$f'(x)=\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x+\Deltax)-f(x)}{\Deltax}$。代入$f(x)=x^3-6x^2+11x-6$，化簡(jiǎn)可得$f'(x)=3x^2-12x+11$。（2）函數(shù)$f(x)$的極值點(diǎn)為$x=1$和$x=\frac{11}{3}$。解析：令$f'(x)=0$，解得$x=1$和$x=\frac{11}{3}$。當(dāng)$x<1$時(shí)，$f'(x)>0$，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)$1<x<\frac{11}{3}$時(shí)，$f'(x)<0$，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)$x>\frac{11}{3}$時(shí)，$f'(x)>0$，函數(shù)單調(diào)遞增。所以$x=1$和$x=\frac{11}{3}$是函數(shù)的極值點(diǎn)。（3）函數(shù)$f(x