2025初高中數學銜接教材20講配答案(含高中函數內容)目錄TOC\o"1-3"\h\u18811第一章——前言 126195第二章——銜接補充 2298472.1數與式 25972.1.1乘法公式 2150232.1.2因式分解 728982.1.3分式與根式 1043562.2方程與方程組以及不等式 15110202.2.1韋達定理 15260622.2.2分式方程與無理方程以及二元方程組 19154672.2.3不等式 2332667第三章——學習新知 2635583.1集合 2652783.1.1集合的基本概念 26243.1.2集合的基本性質 27167603.1.3集合的表示方法 27107203.1.4集合間的基本關系 308313.1.5集合間的基本運算 32140293.2常用邏輯用語 38140343.2.1充分條件、必要條件、充要條件 3865653.2.2全稱量詞與存在量詞 40286033.3函數的概念與性質 43154173.3.1函數的概念 43192453.3.2函數的表示法 45243103.3.3分段函數 45183983.3.4函數的圖象 47117223.3.5函數的定義類問題 49127523.3.6函數值域的求法 50320793.3.7恒成立問題 52第一章——前言首先，恭喜同學們進入高中數學殿堂的學習，同時也祝賀大家在數學的學習上進入一個更高的層次。當然，隨之而來的是學習內容的增多，學習方法的巨變，學習技巧的提高，高中數學對同學們的學習提出了更高的要求，主要體現在高中數學學習時“知識體系更嚴謹”、“考查方式更靈活”、“數學思想更重要”。高中數學的知識會讓同學們覺得更復雜、關聯性更強，這就要求我們需要有“舉一反三”、“化繁為簡”、“知識遷移”的學習技巧。在后續的銜接課程中，我們將通過具體的例子去體會上述所講的各類名詞的具體含義。下面簡要列出高中階段最重要的幾類數學思想，請同學們在學習時，多加思考，每次學習時、每次做題時，都使用到了什么數學思想。“數形結合思想”、“分類與整合思想”、“特殊與一般思想”、“函數與方程思想”接下來，我們通過幾類可以利用初中知識解決的題目來具體體會一下高中數學學習的魅力。引例1：是什么？是什么？又是什么？引例1體現了____________________________的數學思想，體現了____________的學習技巧引例2：設為均為正數，且，證明：引例2體現了________________的數學思想，體現了________________________的學習技巧*思考題：設為均為正數，求證：本題與引例2有什么不同？做一做并體會其中奧妙。第二章——銜接補充2.1數與式2.1.1乘法公式一、【歸納初中知識】在初中，我們學習了多項式的運算，知道乘法公式可以讓多項式的運算變得簡單方便，初中我們主要學習了兩個基本乘法公式：①平方差公式：②完全平方公式：在初中階段我們常要求掌握上述2個公式，但從今往后我們更多要求的是對公式的推廣、對定理的多重認知，比如我們可以利用引例2的思想來研究上述公式的幾何維度解析。你能說出上述圖形驗證了哪一個式子嗎？例1：利用幾何圖形證明當時，由完全平方公式我們還可以得到兩個重要式子：，我們常常把這種式子之間的變換方式稱作恒等變換，恒等變換在高中數學當中是一個非常重要的工具。【銜接高中知識】高中代數部分是以函數為主線展開學習的，為研究函數的性質，需要同學們具有很強的代數恒等變換能力，在此，我們對乘法公式進行一些拓展，請大家進行部分自主提煉：③完全立方和公式：________________________④完全立方差公式：________________________公式③、④我們統稱為完全立方公式，我們能否由完全立方和與完全立方差的公式得到立方和與立方差的公式呢？⑤立方和公式：_________________________⑥立方差公式：_________________________最后，我們再填補三數平方和的公式：⑦三數平方和：_________________________【例題精講】例1：觀察下列算式：按照上述規律續寫2個式子；用文字反應出上述式子的規律；證明你所發現規律的正確性；例2：觀察下列算式：按照上述規律續寫兩個式子；求例3：若求；（2）求；例4：已知，求的值。例5：證明：函數中與具有相同的增減性例6：設，則對于任意的，與的大小關系為（）B.C.D.由本題，我們可以引出高中乃至高考的重點知識：⑧基本不等式：初步認識“對勾函數”在平時的學習中，我們應該注重多深究，多追問，多歸納！課后習題已知，，則2、三角形的三邊滿足，則該三角形的形狀為_________3、，則4、已知：，則________________________5、當時，計算6、7、已知，求=_______8、已知，，，則_________9、已知且，則代數式=___________10、函數在時的最小值為________11、已知均為正數，且，則的最小值為________***12、函數的最大值為___________2.1.2因式分解一、【歸納初中知識】把一個多項式化為幾個整式乘積的形式，叫做因式分解。初中階段我們常用的兩種因式分解方法有：方式①：提取公因式法方式②：公式法【銜接高中知識】下面我們介紹幾種常用的高中因式分解的方法：方式③：分組分解法我們知道形如這樣的二次三項式可以分解為，它的特點是二次項系數為1，常數與一次項系數可以通過“十字相乘，乘積相加”的方式建立聯系，得到。這種方法能推廣到更深層次嗎？下面來看二次三項式，將二次項系數與常數項建立十字形式：我們發現“十字相乘，乘積相加”剛好得到一次項系數，從而我們有方式④：十字相乘法***方式⑤：大除法我們引入這樣一個問題：求方程的解顯然，由觀察得出是方程的一個根，那么該方程左邊的多項式必定可以寫成下面形式：，那么我們如何確定空缺部分呢？下面我們介紹大除法：【例題精講】例1：分解因式例2：分解因式（1）（2）（3）（4）例3：已知是正整數，且是質數，求的值課后習題若則，。若，且均為整數，則4、下列各式中，不是因式的是（）B、C、D、5、分解因式=__________________6、若多項式能用完全平方公式進行分解，則_________7、分解因式：8、分解因式：=__________9、設，試用表示***10、多項式的一個因式是，計算2.1.3分式與根式一、【歸納初中知識】1.在初中階段我們把形如的式子叫做分式，并且常常用到以下性質：在初中階段我們把形如的式子叫做二次根式，表示的是非負數的算數平方根，并且常用到以下性質：二、【銜接高中知識】1.進入高中之后，我們對分式部分知識點的要求就變得逐漸高起來，具體體現在要求同學們需要有更強的運算能力以及恒等變形能力。2.進入高中之后，我們對根式部分的掌握要求就不再是二次根式，而是更高的三次根式，四次根式，次根式等等……三、【例題精講】例1：若，求的值例2：，求的值例3：設，求的值例4：設，求例5：已知，證明例6：閱讀材料，回答下列問題：…………我們發現計算；求證：例6：（1）若，求；（2）求（為正整數）例7：已知，求的值***例8：已知實數非負，若，求證：**例9：若，則的值為？課后習題1、若，則________2、計算：3、比較大小：（1）；（2）_______4、已知，求證：5、若，計算6、下列說法正確的是（）A.正數有一個偶次方根B.負數沒有偶次方根C.負數有兩個奇次方根D.正數有兩個奇次方根7、若，則（）A.B.C.D.8、已知，則=________9、化簡：10、設，求11、化簡：；12、證明：2.2方程與方程組以及不等式2.2.1韋達定理一、【歸納初中知識】1、一元二次方程的解法在初中時我們已學習過配方法、公式法、因式分解法等主要解法。2、對于任意的一元二次方程，通過判別式能夠判斷其方程解的個數。二、【銜接高中知識】我們已經知道如果有兩個解，則其分別為；，則我們可以得到上面揭示了二次方程的根與系數之間關系的等式我們叫做韋達定理，韋達定理在未來高中三年的學習中占據著非常重要的地位。反之，若滿足，則我們可以說一定是的兩個解，這叫做韋達定理的逆定理。【例題精講】例1：若是的兩個根，求：；（2）；（3）；（4）例2：任意寫出一個二次方程，使得它的兩個根分別為和.例3：已知關于的方程，根據下列條件，分別求出滿足條件的值.方程兩實根之積為5；（2）方程兩實根滿足.例4：若是方程的兩個根，當為何值時，有最小值？請你求出這個最小值例5：已知關于的方程有兩個實數根，并且兩根平方和比兩根之積大21，求的值.例6：若關于的方程有兩個根：當其中一個大于1，另一個小于1時，求的取值范圍；當兩個根都小于1時，求的取值范圍.例7：若是方程的兩實數根，且均大于1.求實數的取值范圍；若，求的值***例8：已知是一元二次方程的兩個實數根，求的值.課后習題關于的一元二次方程其中一個根是0，則=________關于的方程：若有一個根為0，則，此時方程另一個根為__________若兩根之和為，則，此時方程兩個根分別為______、________方程的兩根為，則設為方程的兩根，且為方程的兩根，則*5、已知實數滿足，，則***6、若實數滿足且，，求=______7、已知關于的方程兩根之比為，求證：8、已知方程有實數根，且兩根之積等于兩根之和的2倍，求9、若一元二次方程的兩個根均滿足，求的取值范圍2.2.2分式方程與無理方程以及二元方程組一、【歸納初中知識】1、牢記初中階段所學過解分式方程的關鍵步驟：①通過找最簡公分母去分母；②檢驗增根2、初中階段所學習過最直接去根號的方法：平方法3、初中階段學習過二元一次方程的基本解法：消元法【銜接高中知識】學會求解復雜的分式方程；學會求解帶根式的無理方程；學會求解二元方程組；【例題精講】解方程：例2：解方程：例3：解方程：例4：解方程：例5：解方程：例6：解方程：例7：解方程組：和例8：解方程組：例9：解方程組：課后習題關于的方程的解為__________若，則_____________關于的方程的解為__________________關于的方程的解為_________________關于的方程的解為___________關于的方程的解為___________關于的方程組：的解為_______________解方程組：2.2.3不等式一、【歸納初中知識】初中階段我們已經學習過一元一次不等式的解法，但在高中學習中往往不夠用，我們來總結一下已經學習過不等式的解法：解應該分三種情況討論：若，且，不等式無解；若，不等式有無數解若，則解為若，則解為二、【銜接高中知識】我們在高中階段主要會接觸到三類不等式：一元二次不等式：其通常求解方法有“因式分解乘積法”、“二次函數圖像法”；分式不等式：其主要求解方法為將分式不等式轉化為整式不等式；簡單的高次不等式：常用求解方法為“因式分解乘積法”規律總結：①一般地，解不等式先使不等式右邊為______②一般地，對于一元二次不等式，先化二次項系數為_______，然后找出方程的兩根，最后根據不等號：小于取______，大于取_____。三、【例題精講】例1：因式分解法解不等式：例2：因式分解法解不等式：例3：圖像法解不等式例4：已知不等式的解集為，求的解集例5：解不等式：（1）（2）例6：解不等式：課后習題1、不等式的解集為______________2、不等式的解集為_________________________3、已知不等式的解集為，則不等式的解為_______4、不等式的解集為_______________5、不等式的解集為____________________6、不等式的解集為____________________________7、不等式的解集為________________8、解不等式9、解不等式：第三章——學習新知3.1集合3.1.1集合的基本概念在小學和初中，我們已經接觸過一些集合。例如，自然數的集合，有理數的集合，不等式的解的集合（常稱為解集），到一個定點距離等于定長的點的集合即_______，到一條線段兩個端點距離相等的點的集合即________________。我們再來看下面的一些例子：（1）1~20以內的所有素數；（2）我國從2000~2019年的20年內所發射的所有人造衛星；某汽車廠2019年生產的所有汽車；2019年1月1日之前與中國建立外交關系的所有國家；所有的正方形；到直線的距離等于定長的所有點；方程的所有實數根；某中華2019年9月入學的所有高一學生；在例子（1）中，我們把1~20以內的每一個素數作為元素，這些元素的全體就是一個集合；同樣的，例子（2）中，把我國從2000~2019年的20年內發射的每一個人造衛星作為元素，這些元素的全體也構成一個集合。一般地，我們把研究對象統稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合。3.1.2集合的基本性質給定的集合，它的元素就必須是確定的。比如“中國的直轄市”構成一個集合，這個集合中的元素有北京、上海、重慶、天津，而成都、杭州、南京……等城市則不在這個集合中。而“成績較好的同學”不能構成一個集合，因為組成它的元素是不確定的，我們把集合的這個性質叫做確定性。一個集合當中的元素一定不能相同，也就是說同一個集合中不能出現重復的元素，我們把集合的這個性質叫做互異性。一個集合當中的元素是沒有順序之分的，比如“全球四大海洋”里的元素是大西洋、北冰洋、印度洋、太平洋，這四個元素沒有順序之分。我們把集合的這個性質叫做無序性。例1：下列各選項的全體能否構成一個集合（）A.皮膚很好的人；B.百米飛人C.身體素質棒的學生；D.立等于本身的數3.1.3集合的表示方法我們常用小寫字母……等表示集合中的元素，常用大寫字母……等表示集合。如果元素是集合中的元素，我們就說屬于，寫作；如果元素不是集合中的元素，我們就說不屬于，寫作；常用集合的記法：①自然數集：②整數集：③正整數集：或④有理數集：⑤全體實數：例2：設集合表示世界聯合國常任理事國的集合，則：中國______；印度_______；英國_______；法國_______；意大利______列舉法：我們可以把“全球四大洋”組成的集合表示為太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋，把方程的所有實數根表示。像這種把集合的元素一一列舉出來并且用花括號“”括起來的表示方法叫做列舉法。例3：用列舉法表示下列集合由所有實數根組成的集合；（2）由1~20的素數組成的集合描述法：當我們遇到一些無法一一列舉出元素的集合時，例如“”的解集，它的元素是列舉不完的，此時我們就采用特征描述法記為：，又比如全體奇數組成的集合：，像這樣用元素特征表示集合的方法稱為描述法：值得注意的是，在這里“丨”前面的字母是隨便取的，取等都可以，只是用字母表示數字的一個方式，表示我們集合中的元素都是數字。特別地，如果集合中對元素沒有約束條件，我們默認為集合中的元素都屬于實數.例4：用描述法表示下列集合方程的根組成的集合；由大于10小于20的整數構成的集合；例5：如果集合和有兩個相同的元素，則實數的值為______例6：下列選項中，集合表示同一個集合的是（）{全體等邊三角形}，{全體正三角形}，，{中國古代四大發明}，{造紙術，指南針，印刷術，地動儀}例7：已知集合，則集合中元素的個數為__________再思考這樣一個集合，是否存在滿足條件的元素呢？我們把不含有任何元素的集合叫做空集，記為例8：在集合中，分別求出以下情形的取值或取值范圍是？當A中為空集時；A中僅有一個元素時；A中有兩個元素時。數軸表示法：對于某些集合而言，其元素都是處于一個范圍之中，例如，我們也可以將其表示在數軸上，這樣的方法叫做數軸表示法，常用于后面集合的運算當中。·33.1.4集合間的基本關系觀察下面幾個例子，尋找它們之間的關系：為新華中學高一（1）班全體女同學組成的集合，為新華中學高一（1）班全體同學組成的集合；可以發現，上述三個例子中，集合都可以看作被包含在集合中，因為集合有的元素，集合都有。一般地，如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，我們常稱為集合是集合的子集，記作（或）在數學上，我們經常用封閉曲線的內部代表集合，這種圖稱為圖，例如上述例子中的集合與的關系可以表示為下圖。一般情況，我們可認為作為子集的集合范圍更___。BA我們再看下面兩個集合：是兩條邊相等的三角形，是等腰三角形很明顯，上述兩個集合的元素是一樣，都代表全體等腰三角形。我們把元素完全一樣的兩個集合稱為相等集合，記作例9：若兩個集合滿足，則的關系為（類比）也就是說，當時，有可能。特殊地，當且時，我們把叫做的真子集，寫作?再思考這樣一個集合，是否存在滿足條件的元素呢？一般地，我們把不含有任何元素的集合稱作______，記作，并且它是任意集合的_______。例10：分別求出下列集合的子集：思考：，請問有多少個子集、真子集、非空子集、非空真子集？例11：若，，若，則的取值范圍為？例12：設集合，，分析兩個集合各自的含義與不同。3.1.5集合間的基本運算并集：考察下列集合：明顯地，上述例子中，集合相當于中所有的元素“加”在一起。一般地，由集合中所有元素構成的集合叫做與的并集記作，用圖表示如下：例13：判斷下列式子正確與否：；；若，則有例14：若，求交集：考察下列集合：明顯地，上述例子中，集合是的公共部分，當中的元素既屬于又屬于。一般地，由屬于集合且屬于集合的所有元素組成的集合叫做與的交集記作，你能用圖表示這種關系嗎？例15：若，求例16：若，，求例17：設.若，求的值若，求的取值范圍；補集：一般地，如果有兩個集合滿足，則我們把屬于但不屬于的部分稱作在內的補集，記作，并且我們常常把范圍更大的集合稱為全集。你能用圖表示這種關系嗎？例18：已知全集，，求例19：求例20：已知，，求例21：已知某班有54名學生，其中會打籃球的有36人，會打排球的有40人，兩種球都不會打的人數比兩種球都會打的人數的還少1，問兩種球都會打的有多少人？例22：如圖，其中代表全集，為的兩個子集。在圖上用陰影部分表示下列式子；（2）判斷集合間關系：；課后習題1、下列所給關系正確的有：（）①；②；③；④0B.1C.2D.32、下列表示M、N為同一集合的是：（）A.M={頂角為60°的等腰三角形}，N={等邊三角形}B.M，NC.M=，N=D.M=，N=3、設集合，，則下列說法正確的是：()A.B.C.D.4、設全集，集合，則下列關系式正確的個數為（）①②③④1B.2C.3D.45、集合的非空真子集個數為：（）A.6B.7C.8D.無法確定6、定義集合運算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，設A＝{1,2}，B＝{0,2}，則集合A*B的所有元素之和為()A．0B．2C．3D．67、若，，且，則的取值范圍為：（）B.C.D.8、若，則A,B,C的關系為（）A.B.C.D.無法確定9、已知集合則實數的取值范圍是（）A．B．C．D．10、已知集合，，則=（）A.B.C.D.12、已知集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0}，其中a∈R.若1是集合A中的一個元素，則為_______，集合A中的另一個元素為_____.13、已知，則．14、若集合，且，則15、設，且，則的取值范圍是____________16、已知集合，.若A、B中均有兩個元素，求的取值范圍。（2）若共有三個元素，求的值。17、設集合當時，求；若，求的值18、，是否存在實數，使得，若存在，求出的范圍，若不存在，請說明理由；是否存在實數，使得，若存在，求出的范圍，若不存在，請說明理由；（3）是否存在實數，使得，若存在，求出的范圍，若不存在，請說明理由；19、某年級進行數理化三科競賽，參加數學的有203人，參加物理的179人，參加化學的165人，參加數學和物理的143人，參加數學和化學的116人，參加物理和化學的97人，三科竇參加的有89人。求本次共有多少名學生參加了競賽。**20、已知集合,,,且,求的取值范圍。3.2常用邏輯用語3.2.1充分條件、必要條件、充要條件在初中時，我們對命題已經有了初步的認識，一般地，我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題。判斷結果為真的叫做真命題，判斷結果為假的叫做假命題。并且我們知道，很多命題都可以寫作“若，則”的形式，其中表示命題的條件，表示命題的結論。接下來我們要學習數學中常用的三個邏輯用語——充分條件、必要條件、充要條件。判斷下列命題的真假：如果平行四邊形的對角線互相垂直，則這個平行四邊形是菱形；若兩個三角形周長相等，則這兩個三角形全等；若，則；若平面內兩條直線均垂直于另一條直線，則.顯然，在命題（1）和（4）中，通過數學知識可以由條件推出結論，所以他們是真命題，（3）（4）反之。一般地，如果條件可以推出結論，我們記作，并且說是的充分條件，是的必要條件。例1：下列“若，則”形式的命題中，哪些是的充分條件？若四邊形的兩組對角分別相等，則這個四邊形是平行四邊形；若兩個三角形的三邊對應成比例，則這兩個三角形相似；若四邊形的對角線互相垂直，則這個四邊形是菱形；若，則；若是有理數，為無理數，則為無理數。我們已經知道，如果，則是的充分條件，是的必要條件。反之，如果我們有，則是的充分條件，是的必要條件。所以，如果能推到，也能推到，記為，則我們知道既是的充分條件，也是的必要條件，此時我們就說是的充要條件，顯然，也可以說是的充要條件。上述（1）~（5），哪些表示前者與后者是充要條件的關系？例2：下列“若，則”形式的命題中，哪些是的充要條件？四邊形是正方形，四邊形的對角線互相垂直且平分；兩個三角形相似，兩個三角形兩邊成比例；，；是一元二次方程的一個根，例3：設則“”是“”的()A,充分不必要條件B,必要不充分條件C,充要條件D,既不充分也不必要條件例4：設p：實數滿足且，q：實數滿足，則p是q的()A,充分不必要條件B,必要不充分條件C,充要條件D,既不充分也不必要條件例5：設則“”是“”的()A,充分不必要條件B,必要不充分條件C,充要條件D,既不充分也不必要條件例6：你能給出“四邊形是平行四邊形”的充要條件嗎？例7：判斷下列各題中，是的什么條件，，?，（均為非空集合）3.2.2全稱量詞與存在量詞我們知道，命題是可以判斷真假的陳述句。在數學中，有時候會遇到含有變量的陳述句，由于變量的不確定而無法判斷真假，因此它們不是命題。但如果在原有語句上加上一些短語詞匯，使得可以判斷真假，就能讓其變成命題，我們把這樣的短語稱作量詞。判斷下列語句是否是命題，并思考（1）（3）、（2）（4）之間的關系是整數對所有的，對任意的，是整數全稱量詞：一般地，短語“對所有的”、“對任意一個”等限定性詞匯在邏輯中叫做全稱量詞，用符號“”表示。含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題，例如“，為奇數”。例8：判斷下列全稱量詞命題的真假所有的素數都是奇數判斷下列語句是否是命題，并思考（1）（3）、（2）（4）之間的關系（1）（2）能被整數（3）存在一個，（4）至少有一個，能被整數存在量詞：一般地，短語“存在”、“至少一個”等詞匯在邏輯中叫做存在量詞，用符號“”表示。含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題。例如“”例9：判斷下列存在量詞命題的真假（1）（2）存在兩條相交直線垂直于同一條直線（3）有些平行四邊形是菱形全程量詞命題與存在量詞命題之間的否定：一般地，對一個命題進行否定，可以得到一個新的命題，我們稱作原命題的否定，記作。比如：，則我們來看下面幾個命題的否定應該如何表達：所有的質數都不是偶數；；存在一個對角線互相垂直平分的四邊形不是菱形；，使得我們發現，上述命題是全稱量詞命題或者存在量詞命題，在對這兩類命題進行否定時，需要注意兩點：1.____________________，2.___________________例10：已知命題“?x∈R，x2－5x＋eq\f(15,2)a>0”的否定為真命題，則實數a的取值范圍是________．課后習題1、命題“”的否定是()A． B．C． D．2、下面四個條件中，使成立的充分而不必要的條件是()A．B．C． D．3、設，則“”是“”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4、“”是“”成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5、使得“”成立的一個必要不充分條件為（）A． B．C． D．6、設甲是乙的充分不必要條件，乙是丙的充要條件，丁是丙的必要不充分條件，則丁是甲的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7、設命題（1）則的真假性為______（2）：_______________________8、已知命題，，若是的充分不必要條件，求的取值范圍。3.3函數的概念與性質3.3.1函數的概念我們先來回顧一下初中階段的函數定義“在某個變化的過程中，有兩個變量，如果任意給一個值，都有一個唯一確定的值與之對應，則稱為自變量，為因變量，且是關于的函數”。接下來我們要接觸新的函數定義：問題1：某“復興號”高速列車加速到后保持勻速行駛半小時，這段時間內，列車行進的路程（單位：千米）與行進的時間（單位：小時）的關系可表示為在這里，和是兩個變量，并且對于的每一個取值，都有唯一的與之對應，所以是一個關于的函數。而實際上，本題更準確的說法應當是：變化的數集范圍是，變化的數集范圍是，對于數集中的任一時刻，按照對應關系，在數集中都有唯一確定的路程與之對應。問題2：某電氣維修公司要求工人每周至少工作1天，至多不超過6天。如果公司確定的工資標準為每人每天350元，并且每周結算一次工資。那么一個工人的工資（單位：元）是他工作天數（單位：天）的函數嗎？顯然，工資是工作天數的函數，其對應關系是：其中，天數所變化的數集為，工資所變化的數集為對于數集中的任一天數，按照對應關系，在數集中都有唯一確定的工資與之對應。請問上述兩個問題當中的函數相同嗎？一般地，設是兩個非空數集，如果對于集合中的任一元素，按照某種對應關系，在集合中都有唯一確定的數與之對應，那么稱為集合到集合的一個函數，記為：例如以前的二次函數，新的寫法就為其中仍然叫做自變量，的取值范圍叫做函數的定義域，仍然叫做函數值，的取值范圍叫做值域。其中表示的是自變量與函數值的對應關系，該對應關系常體現在解析式中。定義域、值域、對應關系統稱函數的三要素。例1：求函數的定義域和值域.由函數的定義可知，一個函數組成的三要素為：定義域、值域、對應關系，只有當這三要素完全相同時，我們才可說兩個函數相同。比如問題1和問題2中的函數明顯定義域與值域都不相同，故不是相同函數。例2：下列函數中哪一個與是同一個函數？（2）（3）（4）研究函數時常用到區間的概念，設，我們規定：滿足不等式的實數的集合可以寫作，讀作到的閉區間；（2）滿足不等式的實數的集合可以寫作，讀作到的開區間；（3）滿足不等式的實數的集合可以寫作，讀作到的左閉右開區間（4）全體實數集可以表示為例3：用區間表示以及3.3.2函數的表示法我們已經學習過目前函數的三大主要表示方法：解析法：用數學表達式表達兩個變量間的對應關系；表格法：列出表格表示兩個變量的對應關系；圖象法：用圖象描述兩個變量的對應關系例4：請你用圖象描述以下三件事情：我離家去上學不久之后，發現作業本忘帶，返回家中找到作業本再繼續去上學；我離家一路勻速開車去上班，結果中途嚴重堵車動彈不得一段時間，再繼續去公司；我離家騎自行車去找朋友小明，一路上心情愉快，緩緩加速前進。3.3.3分段函數例5：出租車的收費（元）與行駛路程千米具有以下關系：當行駛路程在5公里之內時，保持起步價10元；當行駛路程在5~10公里時，在起步價上額外收費2元公里；在行駛路程在10公里以上時，多出的路程按每公里3元收費請你用函數表示出租車收費與行駛路程之間的關系，并畫出函數圖象例6：設，若表示對于，中的較大者，記為，例如當時，，請你用解析法表示.課后習題的定義域為__________________若的定義域為，的定義域是，則之間的關系為__________3、已知求___________。4、已知求:=___________5、函數若，則=___________。6、設函數則不等式的解集為()A.B.C.D.7、若函數的定義域為，求的取值范圍8、若函數的定義域為，的定義域為，且，求的取值范圍3.3.4函數的圖象3.3.4.1含絕對值的圖象例7：給出三個函數：，，（1）寫出不帶絕對值符號的三個函數的解析式；（2）畫出上述三個函數圖像；（3）觀察下列三組函數圖像，說說你發明的規律：①②③（4）根據作出的圖像①由的圖像變換過程：1.________________________________；2.____________________________________②由的圖像變換過程：1.________________________________；2.____________________________________例8：設，分別求出下列情況時，的取值范圍與沒有交點（2）與有兩個交點（3）與有三個交點（4）與有四個交點3.3.4.2圖象的平移在初中階段我們已經學習過圖象的平移技巧：將圖象向右平移1個單位可以得到向上平移1個單位可以得到“左加右減，上加下減，左右變，上下變”例9：作出函數的圖象例10：若方程恒有兩個解，求的取值范圍3.3.5函數的定義類問題例10：，求例11：若，求例12：若，求例13：求的定義域例14：已知的定義域為，求的定義域為_________例15：已知的定義域為，求的定義域為_________例16：已知的定義域為，求的定義域為________________。總結：定義域一定代表________的范圍，同一法則括號內范圍_________3.3.6函數值域的求法例21：求的值域例22：求定義域為的函數的值域例23：求的值域例24：求，的值域例25：求函數的值域例26：求的值域例27：求的值域例28：求值域例29：求，的值域例30：求的值域3.3.7恒成立問題例17：若函數的定義域為，求的取值范圍____________例18：若函數的定義域為，則實數的取值范圍是____________例19：函數在上恒成立，則實數的取值范圍是___________例20：當時，不等式恒成立，則實數的取值范圍是___________例21：已知，，，使得恒成立，求的取值范圍。例22：已知，，，，使得恒成立，求的取值范圍。課后習題1、下列圖像中不能作為函數圖像的是()2、下列函數中，不滿足的是()A． B．C． D．3、若二次函數g(x)滿足，，且圖像過原點，則g(x)的解析式為()A． B．C． D．4、如圖所示是張校長晨練時所走的離家距離(y)與行走時間(x)之間的函數關系的圖像．若用黑點表示張校長家的位置，則張校長散步行走的路線可能是（）5、函數的定義域為()A．(－∞，1] B．[－1,1]C．[1,2)∪(2，＋∞) D.6、設，則＝()A．－1B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,2)7、已知函數，若a>b>c且a＋b＋c＝0，則它的圖象可能是()8、下列各組函數是同一函數的是()A,與B,與C,與D,與9、若對于任意實數x恒有則＝()A．2B．0C．1 D．－110、一次函數滿足，則=_____________11、已知二次函數滿足則=_____________12、若函數滿足，寫出一個滿足條件的解析式________13、若與軸至少有三個交點，則的取值范圍是_______14、記，求的解析式以及最大值15、已知求矩形中，設點分別是邊上的點，且滿足，若求的解析式求的最大值已知，.若對，使得恒成立，求的取值范圍；若，使得恒成立，求的取值范圍目錄TOC\o"1-3"\h\u8712第一章——前言 123538第二章——銜接補充 3298402.1數與式 39752.1.1乘法公式 315952.1.2因式分解 8317932.1.3分式與根式 12147392.2方程與方程組以及不等式 1778842.2.1韋達定理 17259682.2.2分式方程與無理方程以及二元方程組 228442.2.3不等式 265713第三章——學習新知 2945193.1集合 29214773.1.1集合的基本概念 29153903.1.2集合的基本性質 29213873.1.3集合的表示方法 30179623.1.4集合間的基本關系 3220573.1.5集合間的基本運算 34265993.2常用邏輯用語 40163363.2.1充分條件、必要條件、充要條件 40229693.2.2全稱量詞與存在量詞 42200993.3函數的概念與性質 45292503.3.1函數的概念 45255043.3.2函數的表示法 4743233.3.3分段函數的應用 47326303.3.4函數的圖象 4985363.3.5函數的定義類問題 51165933.3.6函數值域的求法 52105513.3.7恒成立問題 54第一章——前言首先，恭喜同學們進入高中數學殿堂的學習，同時也祝賀大家在數學的學習上進入一個更高的層次。當然，隨之而來的是學習內容的增多，學習方法的巨變，學習技巧的提高，高中數學對同學們的學習提出了更高的要求，主要體現在高中數學學習時“知識體系更嚴謹”、“考查方式更靈活”、“數學思想更重要”。高中數學的知識會讓同學們覺得更復雜、關聯性更強，這就要求我們需要有“舉一反三”、“化繁為簡”、“知識遷移”的學習技巧。在后續的銜接課程中，我們將通過具體的例子去體會上述所講的各類名詞的具體含義。下面簡要列出高中階段最重要的幾類數學思想，請同學們在學習時，多加思考，每次學習時、每次做題時，都使用到了什么數學思想。“數形結合思想”、“分類與整合思想”、“特殊與一般思想”、“函數與方程思想”接下來，我們通過幾類可以利用初中知識解決的題目來具體體會一下高中數學學習的魅力。引例1：是什么？是什么？又是什么？答案：對于對于同理，限于篇幅不在此繼續分析。引例1體現了數形結合、分類與整合、特殊與一般的數學思想，體現了舉一反三的學習技巧。引例2：設為均為正數，且，證明：答案：①特殊情況：觀察易得當時，不等式取等②一般情況：可用代數和幾何意義解決，我們著重講解幾何意義易得綜上兩種情況，可得引例2體現了特殊與一般、數形結合的數學思想，體現了化繁為簡的學習技巧。*思考題：設為均為正數，求證：本題與引例2有什么不同？做一做并體會其中奧妙解析：由于大小關系不確定，所以需要引入絕對值保持該式仍然成立。第二章——銜接補充2.1數與式2.1.1乘法公式一、【歸納初中知識】在初中，我們學習了多項式的運算，知道乘法公式可以讓多項式的運算變得簡單方便，初中我們主要學習了兩個基本乘法公式：①平方差公式：②完全平方公式：在初中階段我們常要求掌握上述2個公式，但從今往后我們更多要求的是對公式的推廣、對定理的多重認知，比如我們可以利用引例2的思想來研究上述公式的幾何維度解析。你能說出上述圖形驗證了哪一個式子嗎？例1：利用幾何圖形證明當時，解析：由完全平方公式我們還可以得到兩個重要式子：，我們常常把這種式子之間的變換方式稱作恒等變換，恒等變換在高中數學當中是一個非常重要的工具。【銜接高中知識】高中代數部分是以函數為主線展開學習的，為研究函數的性質，需要同學們具有很強的代數恒等變換能力，在此，我們對乘法公式進行一些拓展，請大家進行部分自主提煉：③完全立方和公式：④完全立方差公式：公式③、④我們統稱為完全立方公式，我們能否由完全立方和與完全立方差的公式得到立方和與立方差的公式呢？⑤立方和公式：⑥立方差公式：最后，我們再填補三數平方和的公式：⑦三數平方和：【例題精講】例1：觀察下列算式：按照上述規律續寫2個式子；用文字反應出上述式子的規律；證明你所發現規律的正確性；答案：（1）（2）任意相鄰奇數之差為8的倍數（本題是大數減小數）（3）例2：觀察下列算式：按照上述規律續寫兩個式子；求答案：（1）（2）由題意可知，連續相鄰自然數的立方差具有規律，則從此入手。則有：例3：若求；（2）求；答案：（1）…………①其中………②將②帶入①式得例4：已知，求的值。答案：由所以例5：證明：函數中與具有相同的增減性答案：要證與具有相同的增減性當時，故設，則所以例6：設，則對于任意的，與的大小關系為（）B.C.D.答案：在本題中得出一個重要結論由本題，我們可以引出高中乃至高考的重點知識：⑧基本不等式：或初步認識“對勾函數”在平時的學習中，我們應該注重多深究，多追問，多歸納！課后習題已知，，則2、三角形的三邊滿足，則該三角形的形狀為____等腰_____3、，則4、已知：，則5、當時，計算6、7、已知，求8、已知，，，則9、已知且，則代數式10、函數在時的最小值為解析：11、已知均為正數，且，則的最小值為解析：***12、函數的最大值為解析：取倒，故（此題不考慮最小值）2.1.2因式分解一、【歸納初中知識】把一個多項式化為幾個整式乘積的形式，叫做因式分解。初中階段我們常用的兩種因式分解方法有：方式①：提取公因式法方式②：公式法【銜接高中知識】下面我們介紹幾種常用的高中因式分解的方法：方式③：分組分解法我們知道形如這樣的二次三項式可以分解為，它的特點是二次項系數為1，常數與一次項系數可以通過“十字相乘，乘積相加”的方式建立聯系，得到。這種方法能推廣到更深層次嗎？下面來看二次三項式，將二次項系數與常數項建立十字形式：我們發現“十字相乘，乘積相加”剛好得到一次項系數，從而我們有方式④：十字相乘法***方式⑤：大除法我們引入這樣一個問題：求方程的解顯然，由觀察得出是方程的一個根，那么該方程左邊的多項式必定可以寫成下面形式：，那么我們如何確定空缺部分呢？下面我們介紹大除法：【例題精講】例1：分解因式例2：分解因式（1） （2）（3）（4）例3：已知是正整數，且是質數，求的值解析：質數只能分解為1和本身之積，所以首先需要對其進行因式分解易錯點：，此路無法進行分解課后習題若則，若，且均為整數，則4、下列各式中，不是因式的是（D）B、C、D、解析：5、分解因式解析：若多項式能用完全平方公式進行分解，則解析：分解因式：解析：分解因式：=__________解析：法一：易得為其中一個因式，大除法：***法二：拆項9、設，試用表示解析：***10、多項式的一個因式是，計算法一：大除法法二：設項，由左邊六項可得右邊剩余一項為的形式，設出計算即可設，左右展開一樣得代入原式可得2.1.3分式與根式一、【歸納初中知識】1.在初中階段我們把形如的式子叫做分式，并且常常用到以下性質：在初中階段我們把形如的式子叫做二次根式，表示的是非負數的算數平方根，并且常用到以下性質：二、【銜接高中知識】1.進入高中之后，我們對分式部分知識點的要求就變得逐漸高起來，具體體現在要求同學們需要有更強的運算能力以及恒等變形能力。2.進入高中之后，我們對根式部分的掌握要求就不再是二次根式，而是更高的三次根式，四次根式，次根式等等……三、【例題精講】例1：若，求的值解析：例2：，求的值解析：例3：設，求的值解析：例4：設，求解析：***例5：已知，證明解析：例6：閱讀材料，回答下列問題：…………我們發現計算；求證：解析：（1）（2）例7：（1）若，求；（2）求（為正整數）解析：（1）（2）例8：已知，求的值解析：已知***例9：已知實數非負，若，求證：解析：**例10：若，則的值為？解析：課后習題1、若，則2、計算：3、比較大小：（1）；（2）___<___解析：（1）（2）4、已知，求證：解析：5、若，計算解析：6、下列說法正確的是（B）A.正數有一個偶次方根B.負數沒有偶次方根C.負數有兩個奇次方根D.正數有兩個奇次方根7、若，則（C）A.B.C.D.8、已知，則=9、化簡：解析：10、設，求解析：11、化簡：；解析：解析：若，則若，則12、證明：解析：2.2方程與方程組以及不等式2.2.1韋達定理一、【歸納初中知識】1、一元二次方程的解法在初中時我們已學習過配方法、公式法、因式分解法等主要解法。2、對于任意的一元二次方程，通過判別式能夠判斷其方程解的個數。二、【銜接高中知識】我們已經知道如果有兩個解，則其分別為；，則我們可以得到上面揭示了二次方程的根與系數之間關系的等式我們叫做韋達定理，韋達定理在未來高中三年的學習中占據著非常重要的地位。反之，若滿足，則我們可以說一定是的兩個解，這叫做韋達定理的逆定理。【例題精講】例1：若是的兩個根，求：；（2）；（3）；（4）,.解析：略，注意例2：任意寫出一個二次方程，使得它的兩個根分別為和.解析：或例3：已知關于的方程，根據下列條件，分別求出滿足條件的值.方程兩實根之積為5；（2）方程兩實根滿足.解析：（1）綜上，若，則例4：若是方程的兩個根，當為何值時，取得最小值？請你求出這個最小值解析：當時，有最小值例5：已知關于的方程有兩個實數根，并且兩根平方和比兩根之積大21，求的值.解析：例6：若關于的方程有兩個根：當其中一個大于1，另一個小于1時，求的取值范圍；當兩個根都小于1時，求的取值范圍.解析：（1）由已知設且所以（2）法一：法二：借鑒二次函數圖形，根據兩根均小于1可知當時，函數值，同時也需滿足例7：若是方程的兩實數根，且均大于1.求實數的取值范圍；若，求的值解析：（1）（2）***例8：已知是一元二次方程的兩個實數根，求的值.解析：課后習題關于的一元二次方程其中一個根是0，則=關于的方程：若有一個根為0，則，此時方程另一個根為：若兩根之和為，則，此時方程兩個根分別為：方程的兩根為，則設為方程的兩根，且為方程的兩根，則解析：由題意有*5、已知實數滿足，，則解析：由題意有***6、若，且，，則解析：故7、已知關于的方程兩根之比為，求證：證明：設8、已知方程有實數根，且兩根之積等于兩根之和的2倍，求解析：由題意綜上，9、若一元二次方程的兩個根均滿足，求的取值范圍法一：借助函數圖像可知：①當時函數值均②③對稱軸綜上，法二：設兩根為，則有2.2.2分式方程與無理方程以及二元方程組一、【歸納初中知識】1、牢記初中階段所學過解分式方程的關鍵步驟：①通過找最簡公分母去分母；②檢驗增根2、初中階段所學習過最直接去根號的方法：平方法3、初中階段學習過二元一次方程的基本解法：消元法【銜接高中知識】學會求解復雜的分式方程；學會求解帶根式的無理方程；學會求解二元方程組；【例題精講】解方程：解析：例2：解方程：解析：令，原方程為①②綜上，原方程的解為例3：解方程：解析：例4：解方程：解析：例5：解方程：解析：令經檢驗是原方程的根例6：解方程：解析：平方法解得例7：解方程組：和解析：（1）（2）例8：解方程組：解析：例9：解方程組：解析：課后習題關于的方程的解為__________解析：若，則_____________解析：關于的方程的解為__________________解析：關于的方程的解為_________________解析：關于的方程的解為___________解析：關于的方程的解為___________解析：關于的方程組：的解為_______________解析：（簡寫，實際是4組解）解方程組：解析：2.2.3不等式一、【歸納初中知識】初中階段我們已經學習過一元一次不等式的解法，但在高中學習中往往不夠用，我們來總結一下已經學習過不等式的解法：解應該分三種情況討論：若，且，不等式無解；若，不等式有無數解若，則解為若，則解為二、【銜接高中知識】我們在高中階段主要會接觸到三類不等式：一元二次不等式：其通常求解方法有“因式分解乘積法”、“二次函數圖像法”；分式不等式：其主要求解方法為將分式不等式轉化為整式不等式；簡單的高次不等式：常用求解方法為“因式分解乘積法”規律總結：①一般地，解不等式先使不等式右邊為______②一般地，對于一元二次不等式，先化二次項系數為_______，然后找出方程的兩根，最后根據不等號：小于取______，大于取_____。三、【例題精講】例1：用因式分解法解不等式：解析：略例2：利用因式分解法解不等式：解析：略例3：圖像法解不等式解析：略例4：已知不等式的解集為，求的解集解析：易知為方程兩根例5：解不等式：（1）（2）解析：（1）；（2）例6：解不等式：解析：課后習題不等式的解集為______________解析：不等式的解集為_________________________解析：已知不等式的解集為，則不等式的解為______解析：，不等式的解集為_______________解析：不等式的解集為____________________解析：不等式的解集為____________________________解析：不等式的解集為________________解析：8、解不等式解析：9、解不等式：解析：第三章——學習新知3.1集合3.1.1集合的基本概念在小學和初中，我們已經接觸過一些集合。例如，自然數的集合，有理數的集合，不等式的解的集合（常稱為解集），到一個定點距離等于定長的點的集合即_______，到一條線段兩個端點距離相等的點的集合即________________。我們再來看下面的一些例子：（1）1~20以內的所有素數；（2）我國從2000~2019年的20年內所發射的所有人造衛星；某汽車廠2019年生產的所有汽車；2019年1月1日之前與中國建立外交關系的所有國家；所有的正方形；到直線的距離等于定長的所有點；方程的所有實數根；某中華2019年9月入學的所有高一學生；在例子（1）中，我們把1~20以內的每一個素數作為元素，這些元素的全體就是一個集合；同樣的，例子（2）中，把我國從2000~2019年的20年內發射的每一個人造衛星作為元素，這些元素的全體也構成一個集合。一般地，我們把研究對象統稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合。3.1.2集合的基本性質給定的集合，它的元素就必須是確定的。比如“中國的直轄市”構成一個集合，這個集合中的元素有北京、上海、重慶、天津，而成都、杭州、南京……等城市則不在這個集合中。而“成績較好的同學”不能構成一個集合，因為組成它的元素是不確定的，我們把集合的這個性質叫做確定性。一個集合當中的元素一定不能相同，也就是說同一個集合中不能出現重復的元素，我們把集合的這個性質叫做互異性。一個集合當中的元素是沒有順序之分的，比如“全球四大海洋”里的元素是大西洋、北冰洋、印度洋、太平洋，這四個元素沒有順序之分。我們把集合的這個性質叫做無序性。例1：下列各選項的全體能否構成一個集合（B）A.皮膚很好的人；B.百米飛人C.身體素質棒的學生；D.立等于本身的數3.1.3集合的表示方法我們常用小寫字母……等表示集合中的元素，常用大寫字母……等表示集合。如果元素是集合中的元素，我們就說屬于，寫作；如果元素不是集合中的元素，我們就說不屬于，寫作；常用集合的記法：①自然數集：②整數集：③正整數集：或④有理數集：⑤全體實數：例2：設集合表示世界聯合國常任理事國的集合，則：中國______；印度______；英國______；法國____；意大利______列舉法：我們可以把“全球四大洋”組成的集合表示為太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋，把方程的所有實數根表示。像這種把集合的元素一一列舉出來并且用花括號“”括起來的表示方法叫做列舉法。例3：用列舉法表示下列集合由所有實數根組成的集合；（2）由1~20的素數組成的集合解析：略描述法：當我們遇到一些無法一一列舉出元素的集合時，例如“”的解集，它的元素是列舉不完的，此時我們就采用特征描述法記為：，又比如全體奇數組成的集合：，像這樣用元素特征表示集合的方法稱為描述法：值得注意的是，在這里“丨”前面的字母是隨便取的，取等都可以，只是用字母表示數字的一個方式，表示我們集合中的元素都是數字。特別地，如果集合中對元素沒有約束條件，我們默認為集合中的元素都屬于實數.例4：用描述法表示下列集合方程的根組成的集合；由大于10小于20的整數構成的集合；解析：（1）；（2）例5：如果集合和有兩個相同的元素，則實數的值為______解析：易知例6：下列選項中，集合表示同一個集合的是（A）{全體等邊三角形}，{全體正三角形}，，{中國古代四大發明}，{造紙術，指南針，印刷術，地動儀}例7：已知集合，則集合中元素的個數為____10______解析：再思考這樣一個集合，是否存在滿足條件的元素呢？我們把不含有任何元素的集合叫做空集，記為例8：在集合中，分別求出以下情形的取值或取值范圍是？當A中為空集時；A中僅有一個元素時；A中有兩個元素時。解析：（1）；（2）；（3）數軸表示法：對于某些集合而言，其元素都是處于一個范圍之中，例如，我們也可以將其表示在數軸上，這樣的方法叫做數軸表示法，常用于后面集合的運算當中。·33.1.4集合間的基本關系觀察下面幾個例子，尋找它們之間的關系：為新華中學高一（1）班全體女同學組成的集合，為新華中學高一（1）班全體同學組成的集合可以發現，上述三個例子中，集合都可以看作被包含在集合中，因為集合有的元素，集合都有。一般地，如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，我們常稱為集合是集合的子集，記作（或）在數學上，我們經常用封閉曲線的內部代表集合，這種圖稱為圖，例如上述例子中的集合與的關系可以表示為下圖：一般情況，我們可認為作為子集的集合范圍更小。BA我們再看下面兩個集合：是兩條邊相等的三角形，是等腰三角形很明顯，上述兩個集合的元素是一樣，都代表全體等腰三角形。我們把元素完全一樣的兩個集合稱為相等集合，記作例9：若兩個集合滿足，則的關系為（類比）也就是說，當時，有可能。特殊地，當且時，我們把叫做的真子集，寫作?再思考這樣一個集合，是否存在滿足條件的元素呢？一般地，我們把不含有任何元素的集合稱作空集，記作，并且它是任意集合的子集。例10：分別求出下列集合的子集：解析：略思考：，請問有多少個子集、真子集、非空子集、非空真子集？解析：略例11：若，，若，則的取值范圍為？解析：①②，綜上，的取值范圍為例12：設集合，，分析兩個集合各自的含義與不同。解析：集合的研究對象是數字，并且集合的研究對象是點3.1.5集合間的基本運算并集：考察下列集合：明顯地，上述例子中，集合相當于中所有的元素“加”在一起。一般地，由集合中所有元素構成的集合叫做與的并集，記作，用圖表示如下：例13：判斷下列式子正確與否：；；若，則有解析：（1）錯誤；（2）錯誤；（3）正確；（4）正確例14：若，求解析：交集：考察下列集合：明顯地，上述例子中，集合是的公共部分，當中的元素既屬于又屬于。一般地，由屬于集合且屬于集合的所有元素組成的集合叫做與的交集記作，你能用圖表示這種關系嗎？例15：若，求解析：例16：若，，求解析：例17：設.若，求的值若，求的取值范圍；解析：（1），又且至多含有兩個元素（2）①；②綜上，補集：一般地，如果有兩個集合滿足，則我們把屬于但不屬于的部分稱作在內的補集，記作，并且我們常常把范圍更大的集合稱為全集。你能用圖表示這種關系嗎？例18：已知全集，，求解析：略例19：求解析：略例20：已知，，求解析：例21：已知某班有54名學生，其中會打籃球的有36人，會打排球的有40人，兩種球都不會打的人數比兩種球都會打的人數的還少1，問兩種球都會打的有多少人？解析：可借助圖分析，設兩種球都會打的為，則有：例22：如圖，其中代表全集，為的兩個子集。在圖上用陰影部分表示下列式子；如后圖陰影部分所示（2）判斷集合間關系：；課后習題1、下列所給關系正確的有：（B）①；②；③；④0B.1C.2D.32、下列表示M、N為同一集合的是：（A）A.M={頂角為60°的等腰三角形}，N={等邊三角形}B.M，NC.M=，N=D.M=，N=3、設集合，，則下列說法正確的是：(A)A.B.C.D.4、設全集，集合，則下列關系式正確的個數為（B）①②③④1B.2C.3D.45、集合的非空真子集個數為：（A）A.6B.7C.8D.無法確定6、定義集合運算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，設A＝{1,2}，B＝{0,2}，則集合A*B的所有元素之和為(D)A．0B．2C．3D．67、若，，且，則的取值范圍為：（D）B.C.D.8、若，則A,B,C的關系為（C）A.B.C.D.無法確定9、已知集合則實數的取值范圍是（C）A．B．C．D．10、已知集合，，則=（C）A.B.C.D.12、已知集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0}，其中a∈R.若1是集合A中的一個元素，則為____-3___，集合A中的另一個元素為_____.13、已知，則-2．14、若集合，且，則__14__解析：易得2,3是B的元素，則5屬于A，p=8,q=615、設，且，則的取值范圍是___t<-3___解析：16、已知集合，.若A、B中均有兩個元素，求的取值范圍。（2）若共有三個元素，求的值。解析：（1）（2）①當A為一個元素時②當B為一個元素時綜上，k的的值為-2,417、、設集合當時，求；若，求的值解析：（1）（2）易得是方程的根滿足題意18、，是否存在實數，使得，若存在，求出的范圍，若不存在，請說明理由；是否存在實數，使得，若存在，求出的范圍，若不存在，請說明理由；（3）是否存在實數，使得，若存在，求出的范圍，若不存在，請說明理由；解析：（1）綜上，滿足題意的實數m的取值范圍是：（2）顯然綜上，不存在符合題意的m（3）綜上，滿足題意的實數m的取值范圍是：19、某年級進行數理化三科競賽，參加數學的有203人，參加物理的179人，參加化學的165人，參加數學和物理的143人，參加數學和化學的116人，參加物理和化學的97人，三科竇參加的有89人。求本次共有多少名學生參加了競賽。解析：可借助Venn圖，得：203+179+165-143-116-97+89=280**20、已知集合,,,且,求的取值范圍。解析：題意可知A非空，對B：對C：①②③綜上，3.2常用邏輯用語3.2.1充分條件、必要條件、充要條件在初中時，我們對命題已經有了初步的認識，一般地，我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題。判斷結果為真的叫做真命題，判斷結果為假的叫做假命題。并且我們知道，很多命題都可以寫作“若，則”的形式，其中表示命題的條件，表示命題的結論。接下來我們要學習數學中常用的三個邏輯用語——充分條件、必要條件、充要條件。判斷下列命題的真假：如果平行四邊形的對角線互相垂直，則這個平行四邊形是菱形；若兩個三角形周長相等，則這兩個三角形全等；若，則；若平面內兩條直線均垂直于另一條直線，則.顯然，在命題（1）和（4）中，通過數學知識可以由條件推出結論，所以他們是真命題，（3）（4）反之。一般地，如果條件可以推出結論，我們記作，并且說是的充分條件，是的必要條件。:例1：下列“若，則”形式的命題中，哪些是的充分條件？若四邊形的兩組對角分別相等，則這個四邊形是平行四邊形；是若兩個三角形的三邊對應成比例，則這兩個三角形相似；是若四邊形的對角線互相垂直，則這個四邊形是菱形；不是若，則；是若是有理數，為無理數，則為無理數。是反證法：設有理，則我們已經知道，如果，則是的充分條件，是的必要條件。反之，如果我們有，則是的充分條件，是的必要條件。所以，如果能推到，也能推到，記為，則我們知道既是的充分條件，也是的必要條件，此時我們就說是的充要條件，顯然，也可以說是的充要條件。上述（1）~（5），哪些表示前者與后者是充要條件的關系？例2：下列“若，則”形式的命題中，哪些是的充要條件？四邊形是正方形，四邊形的對角線互相垂直且平分；不是兩個三角形相似，兩個三角形兩邊成比例；是，；不是是一元二次方程的一個根，是例3：設則“”是“”的(A)A,充分不必要條件B,必要不充分條件C,充要條件D,既不充分也不必要條件例4：設p：實數滿足且，q：實數滿足，則p是q的(A)A,充分不必要條件B,必要不充分條件C,充要條件D,既不充分也不必要條件例5：設則“”是“”的(B)A,充分不必要條件B,必要不充分條件C,充要條件D,既不充分也不必要條件例6：你能給出“四邊形是平行四邊形”的充要條件嗎？1.兩組對邊分別平行；2.兩組對邊分別相等；3.對角線互相平分；4.一組對邊平行且相等5.兩組對角相等例7：判斷下列各題中，是的什么條件，充分不必要，必要不充分?，（均為非空集合）充分不必要3.2.2全稱量詞與存在量詞我們知道，命題是可以判斷真假的陳述句。在數學中，有時候會遇到含有變量的陳述句，由于變量的不確定而無法判斷真假，因此它們不是命題。但如果在原有語句上加上一些短語詞匯，使得可以判斷真假，就能讓其變成命題，我們把這樣的短語稱作量詞。判斷下列語句是否是命題，并思考（1）（3）、（2）（4）之間的關系是整數對所有的，對任意的，是整數全稱量詞：一般地，短語“對所有的”、“對任意一個”等詞匯在邏輯中叫做全稱量詞，用符號“”表示。含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題，例如“，為奇數”。例8：判斷下列全稱量詞命題的真假所有的素數都是奇數假假假，舉反例：判斷下列語句是否是命題，并思考（1）（3）、（2）（4）之間的關系（1）（2）能被整數（3）存在一個，（4）至少有一個，能被整數存在量詞：一般地，短語“存在”、“至少一個”等詞匯在邏輯中叫做存在量詞，用符號“”表示。含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題。例如“”例9：判斷下列存在量詞命題的真假（1）假（2）存在兩條相交直線垂直于同一條直線假（3）有些平行四邊形是菱形真全程量詞命題與存在量詞命題之間的否定：一般地，對一個命題進行否定，可以得到一個新的命題，我們稱作原命題的否定，記作。比如：，則我們來看下面幾個命題的否定應該如何表達：所有的質數都不是偶數；；存在一個對角線互相垂直平分的四邊形不是菱形；，使得我們發現，上述命題是全稱量詞命題或者存在量詞命題，在對這兩類命題進行否定時，需要注意兩點：1.___變換量詞_______，2._______否定結論_______例10：已知命題“?x∈R，x2－5x＋eq\f(15,2)a>0”的否定為真命題，則實數a的取值范圍是________．解析：課后習題1、命題“”的否定是(C)A． B．C． D．2、下面四個條件中，使成立的充分而不必要的條件是(A)A．B．C． D．3、設，則“”是“”的(A)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4、“”是“”成立的（A）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5、使得“”成立的一個必要不充分條件為（C）A． B．C． D．6、設甲是乙的充分不必要條件，乙是丙的充要條件，丁是丙的必要不充分條件，則丁是甲的（B）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7、設命題（1）則的真假性為___真___（2）：____________8、已知命題，，若是的充分不必要條件，求的取值范圍。解析：，，則3.3函數的概念與性質3.3.1函數的概念我們先來回顧一下初中階段的函數定義“在某個變化的過程中，有兩個變量，如果任意給一個值，都有一個唯一確定的值與之對應，則稱為自變量，為因變量，且是關于的函數”。接下來我們要接觸新的函數定義：問題1：某“復興號”高速列車加速到后保持勻速行駛半小時，這段時間內，列車行進的路程（單位：千米）與行進的時間（單位：小時）的關系可表示為在這里，和是兩個變量，并且對于的每一個取值，都有唯一的與之對應，所以是一個關于的函數。而實際上，本題更準確的說法應當是：變化的數集范圍是，變化的數集范圍是，對于數集中的任一時刻，按照對應關系，在數集中都有唯一確定的路程與之對應。問題2：某電氣維修公