2025屆河南省許平汝名校高三模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則是的（

）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．既不充分又不必要條件D．充要條件2．若，，則（

）A．3 B．4 C．5 D．63．拋物線(xiàn)上不同三點(diǎn)的縱坐標(biāo)的平方成等差數(shù)列，則這三點(diǎn)（

）A．到原點(diǎn)的距離成等差數(shù)列 B．到x軸的距離成等差數(shù)列C．到y(tǒng)軸的距離成等差數(shù)列 D．到焦點(diǎn)的距離的平方成等差數(shù)列4．如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的形態(tài)．圖（1）形成對(duì)稱(chēng)形態(tài)，圖（2）形成“右拖尾”形態(tài)，圖（3）形成“左拖尾”形態(tài)，根據(jù)所給圖做出以下判斷，不正確的是（

）

A．圖（1）的平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù) B．圖（2）的眾數(shù)<中位數(shù)<平均數(shù)C．圖（2）的平均數(shù)<眾數(shù)<中位數(shù) D．圖（3）的平均數(shù)<中位數(shù)<眾數(shù)5．已知，且，則（）A． B． C． D．6．已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．37．如圖，過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作軸、的垂線(xiàn)，且分別交橢圓于點(diǎn)，，連接交于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知，c為實(shí)數(shù)，則下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．10．如圖，某電子實(shí)驗(yàn)貓線(xiàn)路圖上有，兩個(gè)即時(shí)紅綠指示燈，當(dāng)遇到紅燈時(shí)，實(shí)驗(yàn)貓停止前行，恢復(fù)綠燈后，繼續(xù)前行，，兩個(gè)指示燈工作相互獨(dú)立，且出現(xiàn)紅燈的概率分別為，.同學(xué)甲從第一次實(shí)驗(yàn)到第五次實(shí)驗(yàn)中，實(shí)驗(yàn)貓?jiān)谔幱龅郊t燈的次數(shù)為，在，兩處遇到紅燈的次數(shù)之和為，則（

）A．B．C．一次實(shí)驗(yàn)中，，兩處至少遇到一次紅燈的概率為D．當(dāng)時(shí)，11．如圖，圓錐的底面直徑和母線(xiàn)長(zhǎng)均為，其軸截面為，為底面半圓弧上一點(diǎn)，且，，，則（

）

A．存在，使得B．當(dāng)時(shí)，存在，使得平面C．當(dāng)，時(shí)，四面體的體積為D．當(dāng)時(shí)，三、填空題12．已知，則的值為．13．折扇，古稱(chēng)聚頭扇、撒扇等，以其收攏時(shí)能夠二頭合并歸一而得名.某折扇的扇面是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖，如圖所示.設(shè)，，則扇面（圖中扇環(huán)）部分的面積是，.14．已知函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．四、解答題15．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，且．(1)若，求；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍．16．如圖，四棱柱的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，，側(cè)面平面，E是棱BC上一點(diǎn)，平面．(1)求證：E是BC的中點(diǎn)；(2)若（ⅰ）求二面角的余弦值；（ⅱ）設(shè)直線(xiàn)與平面的交點(diǎn)為P，求的值．17．已知函數(shù).(1)證明曲線(xiàn)是軸對(duì)稱(chēng)圖形；(2)設(shè)函數(shù)，解不等式（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.18．已知過(guò)點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為.如圖所示，過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)作與坐標(biāo)軸都不垂直的直線(xiàn)交的右支于兩點(diǎn).(1)求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)，求證：；(3)若以為直徑的圓被直線(xiàn)截得的劣弧為，則所對(duì)圓心角的大小是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．在前n項(xiàng)和為的等比數(shù)列中，，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，，…，是，，…，的任意排列，表示其中同時(shí)滿(mǎn)足條件①和②（）的排列的個(gè)數(shù)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和．（ⅰ）證明：；（ⅱ）證明：能被2整除．

參考答案1．【答案】A【分析】若求出的取值，當(dāng)時(shí)判斷是否正確，判斷時(shí)，是否可能為.【詳解】若，則且，所以或，故當(dāng)時(shí)有，而時(shí)，不一定是，故是的充分而不必要條件.故選：A.2．【答案】C【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)相等列方程求復(fù)數(shù)，進(jìn)而求模長(zhǎng).【詳解】設(shè)，，則，∵，∴，∴，解得，∴，∴.故選：C3．【答案】C【分析】先設(shè)三點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)縱坐標(biāo)的平方成等差數(shù)列可得到其橫坐標(biāo)也成等差數(shù)列，即可得到答案．【詳解】設(shè)這三點(diǎn)為，，，，因?yàn)榭v坐標(biāo)的平方成等差數(shù)列，即，，成等差數(shù)列，三點(diǎn)縱坐標(biāo)分別代入拋物線(xiàn)方程得，得，因?yàn)槿c(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為，所以三點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離成等差數(shù)列.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線(xiàn)的基本性質(zhì)和等差中項(xiàng)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.4．【答案】C【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的概念，結(jié)合圖形分析即可求解.【詳解】圖（1）的分布直方圖是對(duì)稱(chēng)的，所以平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù)，故A正確；圖（2）中眾數(shù)最小，右拖尾平均數(shù)大于中位數(shù)，故B正確，C錯(cuò)誤；圖（3）左拖尾眾數(shù)最大，平均數(shù)小于中位數(shù)，故D正確.故選C.5．【答案】B【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的平方式，求得已知角的正弦值和余弦值，結(jié)合余弦的差角公式，可得答案.【詳解】由，，可得，則，，則或，由于，所以，，，故選：B6．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性且，再利用指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)確定參數(shù)的范圍，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】由題設(shè)，則或時(shí)，時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減，且，由，即，而在R上遞增，在R上遞減，顯然，故，所以，又趨向時(shí)趨向趨向時(shí)趨向，綜上，共有3個(gè)零點(diǎn)．故選：D7．【答案】D【分析】設(shè)，則，由，共線(xiàn)，點(diǎn)在橢圓上，得坐標(biāo)關(guān)系，聯(lián)立求解即可.【詳解】設(shè)，則，由，則，即，①由三點(diǎn)共線(xiàn)，則，即，②又因?yàn)椋矗蹖ⅱ佗诖擘鄣茫瑒t.故選：D.8．【答案】B【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)時(shí)，恒成立，不妨設(shè)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在單調(diào)遞減，再結(jié)合利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍．【詳解】，所以得.進(jìn)而，故，由于對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，恒成立，，不妨設(shè)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化成在單調(diào)遞減，所以其中，解得.故選：B9．【答案】AC【分析】由題意可得，利用不等式的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】由題意可得，A項(xiàng):由單調(diào)遞增，知，故選項(xiàng)A正確；B項(xiàng):時(shí)選項(xiàng)B不正確；C項(xiàng):由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∵，∴等號(hào)不成立，故選項(xiàng)C正確；D項(xiàng):構(gòu)造函數(shù)，，∴單調(diào)遞增，又，得，故選項(xiàng)D不正確．故選:AC．10．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意知道，再根據(jù)二項(xiàng)分布得概率公式，方差公式，期望公式逐個(gè)計(jì)算判定即可.【詳解】由題意可知，所以，，故A正確，B錯(cuò)誤；一次實(shí)驗(yàn)中，，兩處至少遇到一次紅燈的概率為，故C正確；當(dāng)時(shí)，一次實(shí)驗(yàn)中沒(méi)有遇到紅燈的概率為，遇到一次紅燈的概率為，遇到兩次紅燈的概率為，故一次實(shí)驗(yàn)中遇到紅燈次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，所以，故D正確.故選：ACD.11．【答案】BCD【分析】對(duì)于A，用反證法判定.對(duì)于B，運(yùn)用面面平行得到線(xiàn)面平行.對(duì)于C,通過(guò)條件，分析出體積之間的關(guān)系，運(yùn)用等體積發(fā)計(jì)算即可.對(duì)于D，運(yùn)用向量法，結(jié)合垂直的數(shù)量積為0計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于A，，則與不可能垂直，若，則面，則，則面矛盾，A錯(cuò)．對(duì)于B，取中點(diǎn)，則，過(guò)作交于點(diǎn)，此時(shí)為中點(diǎn)，則面平面，∴平面，對(duì)．對(duì)于D，如圖建系，，，，

，，，，∴，∴，D對(duì)．

對(duì)于C,時(shí)，，時(shí)，到平面的距離是到平面距離的.，其中表示到平面的距離，是到平面距離，，C對(duì)，故選：BCD．12．【答案】255【分析】通過(guò)賦值，可得，再由求出項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳解】由，令，可得，又，上式二項(xiàng)展開(kāi)的通項(xiàng)為：．令，可得．∴．故答案為:255.13．【答案】【分析】根據(jù)扇形面積公式，即可求解扇面的面積；根據(jù)向量數(shù)量積公式求模.【詳解】由條可知，，，所以扇形的面積，扇形的面積,所以扇面的面積是；.故答案為：；14．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，將不等式等價(jià)變形為，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求出最小值即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，令函數(shù)，依題意，當(dāng)時(shí)，恒成立，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在單調(diào)遞增，，，存在，使得，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，因此，則，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：15．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理可得，結(jié)合已知可得，進(jìn)而利用余弦定理可求得；（2）結(jié)合（1）可得，根據(jù)為銳角三角形，可得，求解即可.【詳解】（1）由，得．因?yàn)椋裕矗裕?）由，得，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，則，解得，即的取值范圍為．16．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)（ⅰ）；（ⅱ）．【分析】（1）連接交于O，連接OE，利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理可得，然后利用三角形中位線(xiàn)性質(zhì)進(jìn)行證明.（2）（ⅰ）連結(jié)，利用面面垂直的性質(zhì)定理、線(xiàn)面垂直的判定及性質(zhì)定理可得平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，利用向量法求解二面角的余弦值.（ⅱ）設(shè)，則，由平面，得，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】（1）連接交于O，連接OE，∵平面，平面，平面平面，∴，又∵四邊形是平行四邊形，∴O是的中點(diǎn)，∴E是BC的中點(diǎn)．（2）（ⅰ）連結(jié)，∵底面ABCD是正方形，∴，又∵側(cè)面平面，且側(cè)面平面，平面，∴平面，又平面，∴，，在中，∵，，∴，在中，∵，，∴，又，平面，∴平面，又，∴如圖建立空間直角坐標(biāo)系，其中，，，，且，，易知為平面的一個(gè)法向量，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即．不妨設(shè)，則，，可得，∴，∵二面角的平面角是鈍角，設(shè)為θ，故，∴二面角的余弦值為．（ⅱ）設(shè)，又，，則，∴，∴，∵平面，∴，∴，解得，∴．17．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）求出的定義域，分別求出和即可證明；（2）寫(xiě)出函數(shù)并求導(dǎo)，令，，利用導(dǎo)數(shù)分別判斷和的單調(diào)性，進(jìn)而得到的單調(diào)性，再結(jié)合即可求解.【詳解】（1）由得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)椋裕躁P(guān)于對(duì)稱(chēng)，即曲線(xiàn)是軸對(duì)稱(chēng)圖形；（2）因?yàn)椋瑒t，令，則，令，則，所以在單調(diào)遞增，所以，即，所以在單調(diào)遞增，所以，即，所以在單調(diào)遞增，又，則，即，所以，所以不等式的解集為.18．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)詳解；(3)是，定值為.【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，所以設(shè)雙曲線(xiàn)方程為，又雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，則，所以雙曲線(xiàn)的方程為，即.（2）證明：由(1)可知，的斜率存在且不為0，所以設(shè)的方程為，聯(lián)立，消去得，設(shè)，由題意得，所以，且，所以，所以，即得證.（3）由(2)可知恒成立，，所以圓心到的距離，半徑，設(shè)所對(duì)圓心角為，則，因?yàn)闉榱踊。裕裕裕此鶎?duì)圓心角的大小為定值.19．【答案】(1)(2)（ⅰ）證明見(jiàn)解析；（ⅱ）證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列基本量運(yùn)算求得或，然后結(jié)合，求得，，即可求得通項(xiàng)公式.（2）（ⅰ）分，和，，兩種情況討論，得到遞推關(guān)系，然后利用累加法即可證明.（ⅱ）根據(jù)余數(shù)規(guī)律猜測(cè)猜測(cè)余數(shù)列以7為周期，再證明該猜想即可，結(jié)合，即可證明.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為q，由，得，∴，解得或，若，則由，得，∴，與矛盾，∴，若，則由，得，∴，，符合，∴，，∴．故數(shù)列的通項(xiàng)公式為：．（2）（ⅰ）∵，∴或．當(dāng)，則，，…，各項(xiàng)分別除以2后，恰是，，…，滿(mǎn)足條件①②的排列，其個(gè)數(shù)為；當(dāng)，，則，此時(shí)，，…，各項(xiàng)分別除以8后，恰是，，…，滿(mǎn)足條件①②的排列，其個(gè)數(shù)為；當(dāng)，，設(shè)是該排列中第一個(gè)出現(xiàn)的2的偶數(shù)次