河北省張家口市2025屆高三下學期第三次模擬考試數學試題一、單選題1．若集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知復數，則在復平面內對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．某同學記錄了自己升入高三以來8次的數學考試成績，分別為125，117，129，132，115，119，126，130，則該同學這8次的數學考試成績的第40百分位數為（

）A．119 B．122 C．125 D．1324．在中，，，則（

）A．2 B． C． D．5．若的展開式中的系數為240，則（

）A．4 B．5 C．6 D．86．已知直線為圓在處的切線，若直線經過橢圓的兩個頂點，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．7．已知，則（

）A． B． C． D．8．已知函數，，且，都有，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知，，且，若，則（

）A． B．的最小值為C．的最小值為 D．的取值范圍為10．在三棱錐中，，，為等邊三角形，側面底面，為棱的中點，，，三棱錐的體積為，則（

）A．若，則B．若，則三棱錐的外接球的表面積為C．若平面，則四棱錐的體積為D．若，與平面所成角相等，則11．已知函數，，則（

）A．當時，函數有三個零點B．當時，，C．若，則D．若函數在處取得極值，且，使，則三、填空題12．已知曲線在處的切線與軸垂直，則實數的值為.13．已知等比數列的前項和為，若，，則.14．已知為拋物線的焦點，過上一點作的準線的垂線，垂足為，若，則.四、解答題15．為大力弘揚中華民族尊老、敬老、愛老的傳統美德，某醫(yī)院從，兩個科室的志愿者中隨機抽調4人為某社區(qū)養(yǎng)老院的老人進行“免費健康體檢”活動，已知，兩個科室中的志愿者分布如下：

類別科室志愿者醫(yī)生護士A科室23B科室33（1）求抽到的4人中，恰好有2名醫(yī)生，且這2名醫(yī)生恰好來自同一科室的概率；（2）設為選出的4人中醫(yī)生的人數，求隨機變量的分布列和數學期望.16．已知雙曲線的一條漸近線方程為，為個焦點.（1）求雙曲線的標準方程；（2）若傾斜角為的直線經過與的右支交于不同的兩點，，的面積為（為坐標原點），，求的值.17．在中，內角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若的外接圓面積為，且，，求的長.18．如圖，在正三棱柱中，，，且，滿足，，過，，三點的平面與棱交于點，若.（1）求的值；（2）求異面直線與所成角的余弦值；（3）求平面與平面夾角的正切值.19．已知函數.（1）求證：.（2）若，，為的最大值，（i）求的極小值；（ii）設，，求證：.

參考答案1．【答案】A【詳解】，，所以，故選A2．【答案】D【詳解】，在復平面內對應的點的坐標為，它位于第四象限.故選D.3．【答案】C【詳解】從小到大排序：115,117,119,125,126,129,130,132，，所以第40百分位數為第四個數，即125.故選C4．【答案】C【詳解】依題意，.故選C.5．【答案】C【詳解】的展開式通項為.令得展開式中的系數為，即，對于A，時，，不滿足方程；對于B，時，，不滿足方程；對于C，時，，滿足方程；對于B，時，，不滿足方程.故選C6．【答案】A【詳解】設切線斜率為，由圓的性質可知：，解得：，可得切線方程：，由可得：，令，可得，由題意可知：，所以，所以，故選A7．【答案】D【詳解】因為，則.故選D8．【答案】B【詳解】，，且，都有即，記，則由單調性的定義知，函數在上單調遞增，則需滿足：在上單調遞增①，在上單調遞增②，且③，對于①，要使在上單調遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，所以，因為，所以，解得；對于②，因為在上單調遞增，所以在上單調遞增時，；對于③，，所以；所以，解得，所以實數的取值范圍是.故選B9．【答案】BCD【詳解】A.由條件可知，，，則，故A錯誤；B.由題意可知，，則，當時等號成立，則的最小值為，故B正確；C.，當，即時等號成立，則的最小值為，故C正確；D.，當，均單調遞增，且時，，則在區(qū)間上單調遞增，∴當時取得最大值5，且時，，所以的取值范圍為，故D正確.故選BCD.10．【答案】AC【詳解】設，由可得，取的中點，連接，由為等邊三角形可得，又側面底面，側面底面，面，所以由面面垂直的性質定理可得面，由，所以三棱錐體積.對于A，若，即，即，故A正確；對于B，若，由A可得，則，設三棱錐外接球的球心為，半徑為，，則，解得，所以，所以三棱錐的外接球的表面積為，故B錯誤；對于C，若平面，平面平面，平面，所以，又為棱的中點，所以為的中點，則，由三角形相似可得，且到平面的距離不變，所以，所以四棱錐的體積為，故C正確；對于D，以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，設，由題意得為與平面所成的角，且，，所以，由，，可得，所以，平面的法向量為，因為，與平面所成角相等，所以，化簡可得，解得無解，故D錯誤.故選AC11．【答案】AC【詳解】對于A，當時，，，易得當時，，函數在上單調遞減；當或時，，函數在和上單調遞增，所以極大值，極小值，又，，所以函數在，，各有一個零點，所以函數有三個零點，故A正確；對于B，當時，，，易得當時，，函數在上單調遞減；又，，所以，故B錯誤；對于C，若，則的圖象關于成中心對稱，又的定義域為，所以，即，即，整理可得，故C正確；對于D，因為，所以，由題有，即，由，得，令，則，又，所以，得到，整理得到，又，代入化簡得到，又，，所以，得到，即，即，故D錯誤.故選AC.12．【答案】/0.5【詳解】對函數求導得，，因為曲線在處的切線與軸垂直，所以，解得.13．【答案】【詳解】由可得，若，則與矛盾，所以，則.14．【答案】【詳解】由題意為拋物線的焦點，過上一點作的準線的垂線，垂足為，且，所以，所以，所以，設準線與縱軸交于點，根據拋物線定義可知，所以，因為，所以，在中，，所以．15．【答案】（1）（2）分布列見解析，【詳解】（1）由已知，恰好有2名醫(yī)生的情況包含這2名醫(yī)生都來自A科室和都來自B科室，有種情況，從11人中抽4人有種情況，所以所求的概率為.（2）隨機變量的所有可能取值為、、、、，，，，，，所以隨機變量的分布列為所以.16．【答案】（1）（2）12【詳解】（1）由可得，即，又，即，且，聯立可得，所以雙曲線的標準方程為.（2）由題意可得當時，，顯然不合題意，所以，設直線方程為，，聯立，消去可得，因為直線經過與的右支交于不同的兩點，，所以，，，即兩邊取平方后化簡可得，進一步化簡可得，因為直線經過與的右支交于不同的兩點，所以，解得，又，原點到直線的距離，所以.17．【答案】（1）（2）【詳解】（1）因為，所以，所以，所以，由正弦定理可知，即，又由余弦定理可知，又，則；（2）由的外接圓面積為，得外接圓半徑為1，由正弦定理得，由余弦定理及得，，化簡得，解得（負根舍去），從而，因為，所以，，所以，故的長是.18．【答案】（1）（2）（3）【詳解】（1）取中點為，連接，因為為正三角形，所以，又因為正三棱柱中，平面平面，平面平面，平面，所以平面，以為坐標原點，所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，由，可得，所以，因為，所以為中點，則，又，設，則，即，解得，所以，設，則，因為四點共面，所以存在實數，使得，即，即，解得，則，所以，即.（2）由（1）可知，，設異面直線與所成角為，則.（3）平面的一個法向量為，設平面的法向量為，因為，則，令，則，所以，設平面與平面的夾角為，則，且，所以.19．【答案】（1）證明見解析；（2）（i）0；（ii）證明見解析.【詳解】（1）令，定義域為，則，因為，所以，當時，恒成立，在上單調遞增，當時，恒成立，在上單調遞減，故的最大值