三角函數的最值（北京習題集）（教師版）

一.選擇題（共6小題）

I2019?海淀區校級模擬）已知函數

f(x)=(l-2cos2x)sin(_^?_+6)-2sinxcosxcos€?--)(1|(皆~)在［-@3,衛-］上單調遞增,

N/Lo0

TT

且f（S）<IT，則實數〃?的取值范圍為（）

O

A.造，2B.&Q）C.[1,+8）D.四，400）

2.（2017秋?大興區期末）已知函數f（x）=sin（x+—）+1,則（)

2

A./（x）是偶函數，最大值為1

B./（x）是偶函數，最大值為2

C./（x）是奇函數，最大值為I

D./（A-）是奇函數，最大值為2

3.Q016春?西城區期末）已知函數f（x）=siii￥,若當xW[-3二-3~]時，in^f（x）W〃恒成立，則〃-的

63

最小值是（）

■T

A.2皿c.3

22,2

’2如（x>l）

4.（2015秋?北京校級月考）已知函數f（%）=',兀、，1,丁、，則/（x）的最小值為（)

4sin（7lx-）（^<x<1）

A.4B.2C.25/3D.4

5.（2014春?昌平區校級月考）已知函數）=COS2X+COSA?，則其最小值為（）

A.-2B.-9C.2D.0

8

6.（2011秋?通州區校級期末）設M和機分別是函數y」cos（2x-?L）-l的最大值和最小值，則M+"?等于<）

36

A.—2B.-2C.，4D.-2

333

二.填空題（共7小題）

7.（2020?西城區校級模擬）已知函數/（x）=sinv-2co&x,

?f（x）的最大值為:

②設當x=e時，f（x）取得最大值，則cos6=.

8.（2019秋?平谷區期末）函數f（x）=2sin（2xf）+l的最小值為

9.（2019春?海淀區校級月考）已知函數f（x）=?sin（2x+#滿足：對VxWR都有f6）<f（三），則/（%）的減

6

區間是.

第1頁（共9頁）

10.（2018秋?東城區期末）函數f（x）:sin（X1—井）+cos（x-f~）在區間［―T~>高九］上的最大值為______?

6363

TT

II.（2019?平谷區一模）已知函數/（》）=sin（2x+（p）（其中年為實數），若/（%）?［/（—）|對.隹R恒成立，則

6

滿足條件的叩值為（寫出滿足條件的一個中值即可）

TT

12.（2019?通州區三模）已知函數產sins（co>0）在（0,—）上有最大值，沒有最小值，則3的取值范圍為______

4

13.Q018秋?昌平區期末）已知函數/（x）=sinx若對任意的實數a￡,工），都存在唯一的實數（0,

46

〃。，使/（a）+f（B）=0,則實數m的最大值是

三.解答題（共2小題）

14.（2020春?海淀區校級期中）已知函數￡&）=3$111或乂*）-1.求：

（1）函數的最值及相應的x的值；

（2）函數的最小正周期.

15.（2019秋?東城區期末）已知函數f（x）=2sin（-^~x+。），。三（0,~）?/（。）=y/3-

（1）求/（X）的解析式和最小正周期；

（2）求/（x）在區間［0,2狙上的最大值和最小值.

第2頁（共9頁）

三角函數的最值(北京習題集)(教師版)

參考答案與試題解析

一.選擇題(共6小題)

1.(2019?海淀區校級模擬)已知函數

f(x)=(l-2cos2x)sin(-^z-+6)-2sinxcosxcos65--B)(|B|＜口)在上中調遞增，

乙LLOU

jr

且則實數〃，的取值范圍為()

o

A.[坐，400)B.[y,4CO)c.[1,+8)D.[當，400)

【分析】先利用三角恒等變換化簡函數的解析式，根據正弦函數的最大值求得了(公的最大值小于或等于1,可

得實數"7的取值范圍.

【解答】解：(x)=(1-2COS2X)sin(-^z--+9)-2sinxcosxcosC?—^)(1^|《卷)

=-cos2.v(-cos6)-sin2xsin0=cos(Zv+6),

??,函數/(x)在—,一丁］上單調遞增，，函數的最大值為/(-—=cos(。-飛-)&\>

若f(￡-)<!：恒成立，則函數的最大值為/(-專)=COS(0--y)Wm恒成立，而cos(0--y)Wl,

???只要1W〃?，

故選：c.

【點評】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數的最大值，函數的恒成立問題，屬于中檔題.

7T

2.(2017秋?大興區期末)已知函數f(x)=sin(A-+—)+1,則()

2

A.fCx)是偶函數，最大值為1

B./(x)是偶函數，最大值為2

C./(x)是奇函數，最大值為I

D./(X)是奇函數，最大值為2

【分析】利用誘導公式化簡，結合余弦函數的性質可得答案.

JT

【解答】解:函數/(x)=sin(x+——)+1=cosx+l；

2

那么/(-x)=cos(-x)+1=cos,v+l=/(x)

則/(X)是偶函數；

*.\y=cosx的最大值為1,

A/Cr)的最大值為2：

故選：B.

第3頁(共9頁)

【點評】本題考杳誘導公式的化簡和余弦函數的性質，屬于基礎題.

3.Q016春?西城區期末）已知函數/（x）=siiu-,若當在［-哈，時，〃W/（x）W〃恒成立，則〃■〃的

最小值是（）

A9B聰+1c3口蟲T

A.Z15.------lz?—D.------

222

【分析】由正弦函數的性質，分段求得函數的值域，結合mWflx）W〃得到小，〃的范圍，從而可求出〃-〃?的

最小值.

【解答】解：函數/（x）=sinx在在［-衛二工］上為減函數，在［工，-馬上為增函矩

6223

...當工日?"，-］W,/（%）e［-1,1］;當工日工，?里］時，/（1）4?］,-X^］.

622232

???當陽-0，-=］時，函數的值域為卜1，41.

632

???當4包-絲，-2L］時，〃w/（x）w〃恒成立，

63

，〃忘-1,〃力工.

2

則廣小的最小值是工-（-1）=3.

22

故選：C.

【點評】本題考查了三角函數的最值，考查了正弦函數的性質，是基礎題.

2V3（x>l）

4.（2015秋?北京校級月考）已知函數/（%）=,（兀7T）（1（〈1），則/（'）的最小值為（）

A.-4B.2C.2?D.4

【分析】由三角函數求《WxWl時的最小值，綜合可得.

【解答］解：當2時，—^-2L^22L,

2633

jr

/.y=4sin（nx-飛-）日2,4］,

???當/WxWl時，/（x）的最小值為2,

當QI時，/（x）=2?,

綜合可得/G）的最小值為：2

故選：B.

【點評】本題考查三角函數區間的最值，屬基礎題.

5.Q014春?昌平區校級月考）已知函數）=COS2K+COSX,則其最小值為（）

9

A.-2B.--C.2D.0

8

第4頁（共9頁）

【分析】只要對解析式變形為關于COSA?的二次函數的形式，結合COSX的范圍求最小值.

【解答】解：由己知，y=cos2r+cosx=2cos2x+cosx-1=2（cosx+JL）2--5.：

48

Vcos.tG[-1,1],

:.當COSX=時,ymin=這：

48

故選:B.

【點評】本題考查了三角函數最值的求法，關鍵是將解析式變形為關于COSX的二次函數解析式的形式，通過COSA，

的范圍求函數的最小值.

6.311秋?通州區校級期末）設Af和，”分別是函數y」cos（2x-工）-1的最大值和最小值，則加+〃，等于（）

A.2B.N.C._J.D.-2

333

【分析?】由題意可得:1=?2,〃?=?i,問題解決.

333

【解答】解：,??函數y」cos⑵一空A]的最大值”=工.L最小值

3633

.*?M+m=~2.

故選：D.

【點評】本題考查三角函數的最值，著重考察余弦函數的性質，屬于基礎圖.

二.填空題（共7小題）

7.（2020?西城區校級模擬）已知函數/（x）=sinv-2COSA-.

?f（x）的最大值為一叵：

②設當x=e時，/（x）取得最大值，則COS0=_二

一_5_

【分析】（1）直接利用函數的關系式的變換，把函麗茨系式變形成正弦型函數，進一步利用函數的性質的應用

求出結果.

（2）利用函數的關系式的變換的應用求出結果.

【解答】解：（1）函數/（x）=siiu--2cosx.=&sin（x+8），

當sin（xi0）=1時，函數的最大值為近.

（2）由于/（、）=&[sinx?Y5cosx?（-里）]，

所以當x=0時，cos0=5.

5

故答案為：赤，2近

5

【點評】本題考查的知識要點：三角函數關系式的恒等變換，正弦型函數的性質的應用，主要考查學生的運算能

力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題型.

第5頁（共9頁）

8.Q019秋?平谷區期末）函數f（x）=2sin（2xg~）+l的最小值為

【分析】利用正弦函數的取值范圍是I-1,I］,即可得到函數/5）的最小值.

7T

【解答】解：當sin（2%+石）=7時，/（x）有最小值，則/（x）最小值為-2+1=7,

O

故答案為-I.

【點評】本題考查正弦函數的最值，屬于基礎題.

9.Q019春?海淀區校級月考）已知函數￡&）=“$廿（2乂+，）滿足：對swR都有f（x）<f（?L），則/（工）的減

6

區間是_［3+k打，等+k九］,k€乙.

63____________

【分析】由題意知當X吟時，/（“）取得最大值點，從而求出。，然后得到了（X）的解析式，再利用整體法求

出/（X）的單調遞減區間即可.

【解答】解：?"&R都有f（x）<f（3），???當X―時，/G）取得最大值北，

66

7TJlJi

???2X—+$=—+2kn（k€Z>????—+2k冗（k6Z>

bNb

IT

?*,f（x）=Fsin（2x+~^->

由丁+2k兀<2xF<\~+2k兀（k€Z），

G0Z

，g+k^<x<2^-+k兀（k€Z）?

0o

???/a）的減區間為［3+k兀，"+k兀］,k€z.

o3

故答案為：［-^-+k兀，2：L+k兀］,k€Z.

o3

【點評】本題考查了三角函數的圖象與性質，考杳了整體思想和運算能力，屬基礎題.

10.（2018秋?東城區期末）函數f（x）=sin（X-^~）+COS（X-T-）在區間［一*I?兀］上的最大值為一Vs—?

0O0O

【分析】利用和與差公式化簡，根據x在［一上，高九］上，結合三角函數的性質可得最大值?

63

兀、.IT7171..71質.

【解答】解：(x)=sin(x^-)+cos(x----)=sirLvcos--cosxsin---+cos.rcos---+snusm---=v3>nv；

0376633

17玲，!上

06

???當入=守時，f（x）取得最大值為七

故答案為：M

【點評】本題考查了和與差公式的應用和計算能力.屬于基礎題.

TT

11.（2019?平谷區一模）已知函數/（x）=sin（2x+（p）（其中（p為實數），若/（%）W/（乂-）|對xWR恒成立，則

6

第6頁（共9頁）

滿足條件的（p值為_三_（寫出滿足條件的一個叩值即可）

6

717T

【分析】根據/（x）（冬）I，可得?時，/（X）取得最大值或最小值.即寫出答案；

66

【解答】解：由題意，/（x）<1/,：—）|對X6R恒成立，可得工=工1時，/（X）取得最大值或最小值.

66

若/=三時，/（X）取得最大值，可得e=匹+2配，k￡Z

66

若大=m41寸，f（X）取得最小值，可得<p=kWZ

故答案為：2L

6

【點評】本題考查了三角形函數的性質的應用.屬于基礎題

7T

12.Q019?通州區三模）已知函數），=sinu*（3>0）在（0,—）上有最大值，沒有最小值，則3的取值范圍為

4

（2.61.

'冗<2兀

3TT43

【分析】根據X的范圍可得3x6（0,2上），然后根據條件制bE解不

49+2k"〈筌〈等+2k兀（k€Z）

乙士乙

等式即可.

【解答】解：當.隹（0,2）時，（0x6（0,上『），

44

TT

Vy=sino）x（co>0）在（0,—）上有最大值，沒有最小值，

4

冗《2兀

A+2kjr<^2L<3IL+2k7r（k￡z）’

乙七乙

JO<3<8

?12+8k<3<6+8k（k€Z）’

.??2<3<6.

3的取值范圍為：（2,6J.

故答案為：（2,6].

【點評】本題主要考查研究有關三角的函數時要利用整體思想，靈活應用三角函數的圖象和性質解題，屬基礎

題.

13.Q018秋?昌平區期末）己知函數/（-）=sinx若對任意的實數a￡,工），都存在唯一的實數肥（0,

46

M,使/（a）V<P>=（），則實數機的最大值是

4

【分析】由任意性和存在性原命題可轉化為即/（Q—k,kC（1,返）有且僅有一個解，即作函數圖象

22

第7頁（共9頁）

（p）與直線工=鼠ke（-1,乂2）,只有一個交點，作圖觀察即可

22

【解答】解：由/（x）=sinaag,工），則,f（a）w（一返，」），

存在唯一的實數pe（0,m）,

使/（a）V（p）=0

即/（0）=k,k￡（1,返）有且僅有一個解，

22

作函數圖象〉=_/?）與直線x=A,依（工，返）,

22

當兩圖象只有一個交點時，由圖知，2L<W<12L

4工4

故實數〃，的最大值是&L,

4

故答案為：12L.

【點評】本題考查了任意性和存在性，三角函數的圖象，屬中檔題.

三.解答題（共2小題）

14.Q020春?海淀區校級期中）已知函數f（x）=3sinGx*）-：L.求：

（1）函數的最值及相應的X的值；

（2）函數的最小正周期.

【分析】（1）由-iWsin2入三）W1,可推得-4W3sinAx匹）-1W2,即可求解函數的最值及其相應的

2626