第頁，共頁南充市嘉陵一中高2023級2025年春數學試題考試時間：120分鐘滿分：150分注意事項：1.答題前，考生先將自己的姓名?班級?考場/座位號?準考證號填寫在答題卡上.2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆填涂；答非選擇題時，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫；必須在題號對應的答題區域內作答，超出答題區域書寫無效；保持答卷清潔?完整.3.考試結束后，將答題卡交回（試題卷學生留存，以備評講）.一?單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知數列滿足，則這個數列的第4項是（）A.10 B.17 C.26 D.37【答案】C【解析】【分析】根據遞推關系可求第4項.詳解】由題設有，，，故選：C.2.口袋中裝有5個白球4個紅球，每個球編有不同號碼，現從中取出2個球，至少有一個紅球的取法種數是（）A.20 B.26 C.32 D.36【答案】B【解析】【分析】由間接法以及組合數即可求解.【詳解】從個球中任取個球的取法共有種，兩個球都不是紅球的取法有種，所以取出2個球，至少有一個紅球的取法種數為.故選：B.3.在二項式的展開式中，常數項為（）A.180 B.270 C.360 D.540【答案】A【解析】【分析】根據二項式展開式的通項公式求得正確答案.【詳解】二項式的展開式的通項公式為，令，解得，所以常數項為.故選：A4.已知函數，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】求出函數的導數，再賦值求出.【詳解】函數，求導得，取，則，所以.故選：A5.函數的極小值為（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據函數求極小值的過程求解：先求的解，再判斷在兩側的單調性，確定極值.【詳解】因為，所以.令得，當時，，當時，.故的單調遞增區間為和，單調遞減區間為.則當時，取得極小值，且極小值為.故選：C6.已知等差數列和的前n項和分別為，，若，則（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據等差中項與等差數列前項和得出，，即可代入已知得出答案.【詳解】由等差數列的性質可得：，，則，即，，故選：C.7.若，則以下不等式正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先構造函數判斷出最小，再依據函數單調性去比較的大小即可解決.詳解】令，則，由，得，由，得，即當時單調遞減，當時單調遞增，即當時取得最小值，則有，，即，，又，綜上的大小關系為.故選：A8.已知數列的首項，對任意，都有，則當時，()A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】令得到，故數列是等比數列，，故答案為：A．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.數列的前n項和為，則下列說法正確的是（）A.若，則數列的前5項和最大B.若等比數列是遞減數列，則公比q滿足C.已知等差數列的前n項和為，若，則D.已知為等差數列，則數列也是等差數列【答案】ACD【解析】【分析】根據等差數列和等比數列的性質逐項判斷即可.【詳解】選項A，由可得，，故數列前5項的和最大，故A正確；選項B，當時，等比數列也是遞減數列，故B錯誤；選項C，，若，則，故C正確；選項D，若為等差數列，則，，則為常數，數列也是等差數列，故D正確.故選：ACD10.有6本不同的書，按下列方式進行分配，其中分配種數正確的是（）A.分給甲?乙?丙三人，每人各2本，有540種分法；B.分給甲?乙?丙三人中，一人4本，另兩人各1本，有90種分法；C.分給甲乙每人各2本，分給丙丁每人各1本，有90種分法；D.分給甲乙丙丁四人，有兩人各2本，另兩人各1本，有1080種分法；【答案】BD【解析】【分析】選項A，先從6本書中分給甲（也可以是乙或丙）2本；再從其余的4本書中分給乙2本；最后的2本書給丙.根據分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案.選項B，先分堆再分配.先把6本書分成3堆:4本、1本、1本；再分給甲?乙?丙三人.根據分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案.選項C，6本不同的書先分給甲乙每人各2本；再把其余2本分給丙丁.根據分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案.選項D，先分堆再分配.先把6本不同的書分成4堆:2本、2本、1本、1本；再分給甲乙丙丁四人.根據分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案.【詳解】對A，先從6本書中分給甲2本，有種方法；再從其余的4本書中分給乙2本，有種方法；最后的2本書給丙，有種方法.所以不同的分配方法有種，故A錯誤；對B，先把6本書分成3堆:4本、1本、1本，有種方法；再分給甲?乙?丙三人，所以不同的分配方法有種，故B正確；對C，6本不同的書先分給甲乙每人各2本，有種方法；其余2本分給丙丁，有種方法，所以不同的分配方法有種，故C錯誤；對D，先把6本不同的書分成4堆:2本、2本、1本、1本，有種方法；再分給甲乙丙丁四人，所以不同的分配方法有種，故D正確.故選：BD.11.已知函數，則下列命題中正確的是（）A.是的極大值B.當時，C.當時，有且僅有一個零點，且D.若存在極小值點，且，其中，則【答案】ACD【解析】【分析】對于A，對函數求導并對參數進行分類討論得出函數單調性，即可判斷在處取得極大值，即可求解；對于B，根據的范圍得出單調性，即可求解；對于C，利用的單調性及零點存在性質原理，即可求解；對于D，利用選項A得，再利用選項中條件得，即可求解.【詳解】對于選項A，因，則，當時，令，得到或，當或時，，當時，，所以是的極大值點，極大值為，是極小值點，極小值為，當時，，由極值的定義知，的極大值為，無極小值，當時，令，得到或，當或時，，當時，，所以是的極大值點，極大值為，是極小值點，極小值為，綜上，是的極大值，所以選項A正確，對于選項B，因為，由選項A知，在區間上單調遞增，又，則，，所以，故選項B錯誤，對于選項C，當時，，由選項A知，的增區間為，，減區間為，當時，，，，由零點存在性原理知，當時，有且僅有一個零點，且，所以選項C正確，對于選項D，因為存在極小值點，由選項A知，，得到，因為，則，整理得到，即，又，所以，故選項D正確，故選：ACD.【點晴】方法點睛：求解三次函數含有參數的單調性問題，經常利用含有參數的一元二次不等式的解法，并對其進行分類討論即可得出單調性及其極值、極值點等問題.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡的橫線上.12.某電視臺連續播放個不同的廣告，其中個不同的商業廣告和個不同的公益廣告，要求所有的公益廣告必須連續播放，則不同的播放方式的種數為_______.【答案】720【解析】【分析】分兩步求解，第一步將所有的公益廣告捆綁一起當成一個元素和其他4個不同商業廣告進行排列，第二部對個不同的公益廣告進行排列，得結果【詳解】解：由題意，第一步將所有的公益廣告捆綁一起當成一個元素和其他4個不同商業廣告進行排列，不同的安排方式有種，第二部對個不同的公益廣告進行排列，不同的安排方式有種，故總的不同安排方式有種，故答案為720.【點睛】本題考查捆綁法解排列組合問題，是基礎題.13.函數的單調遞減區間為_________.【答案】【解析】【分析】先求出函數的定義域，然后對函數求導，再由可求出函數的單調遞減區間.【詳解】的定義域為，由，得，由，得，解得，因為，所以，所以單調遞減區間為.故答案為：14.在數1和100之間插入n個實數，使得這個數構成遞增的等比數列，將這個數的乘積記作，再令.則數列的通項公式為__________.【答案】，【解析】【分析】記這個數構成遞增的等比數列為，則由，，可得到，將化簡后代入即可得出答案.【詳解】記由個數構成遞增的等比數列為，則，，則，即所以，即故答案為：，.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.由，，，，組成的五位數中，分別求解下列問題.（應寫出必要的排列數或組合數，結果用數字表示）（1）沒有重復數字且為奇數的五位數的個數；（2）沒有重復數字且和不相鄰的五位數的個數；（3）恰有兩個數字重復的五位數的個數.【答案】（1）72個；（2）72個；（3）1200個.【解析】【分析】（1）由題知，該五位數個位數為奇數，然后余下的四個數全排列即可.（2）先對1,3,5三個數全排列，然后利用插空法排列2和4即可.（3）從5個數中挑選出重復的數字，從剩下的4個數中挑選3個數字，先對重復數字排列，然后余下的三個數全排列即可.【詳解】解：（1）由題知，該五位數個位數為奇數，然后余下的四個數全排列即可.個.（2）先對1,3,5三個數全排列，然后利用插空法排列2和4,即個（3）從5個數中挑選出重復的數字，從剩下的4個數中挑選3個數字，先對重復數字排列，然后余下的三個數全排列即個16.已知．（1）求的值；（2）求的值（結果用數字表示）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據題目條件，令，化簡可得的值，再令，化簡可得結果；（2）結合二項式展開式通項公式可得，結合組合數性質求值.【小問1詳解】在中，令，得，所以.在中，令，得，所以.【小問2詳解】∵的展開式的通項公式為，∴.17.已知數列的首項，且滿足.（1）求證：數列為等比數列；（2）求數列的通項公式和前項和；（3）記，求數列的前項和，并證明.【答案】（1）證明見解析（2）；（3）；證明見解析【解析】【分析】（1）根據題意，化簡得到，結合等比數列的定義，即可得證；（2）由（1），得到，得到，結合等比數列的求和公式，即可求解；（3）由（2），求得，得到，結合裂項法求和，求得，進而證得.【小問1詳解】證明：因為數列滿足，可得，又因為，可得，從而可得，即，所以數列是首項為，公比為的等比數列.【小問2詳解】解：由（1）知，數列是首項為，公比為的等比數列，可得，所以，則數列的前項和為.【小問3詳解】解：由（2）知：，可得，所以，所以，當時，易知關于是單調遞增數列，當時，取得最小值，最小值為，又因為，可得，所以.18.已知函數.（1）討論函數的單調性；（2）若，不等式恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）分和，兩種情況分類討論得出導函數的正負即得函數單調性；（2）先化為恒成立，應用導數求右側的最值，即可得參數范圍.小問1詳解】因為，所以.因為，若，即時，在上單調遞增，若，即時，令，得；令，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減.綜上，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減.【小問2詳解】因為，恒成立，所以，則，令且，則，令，則，故在上單調遞增，又，所以時，；時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，，所以，實數的取值范圍為.19.已知函數，，是的導數.（1）討論的單調性，并證明：；（2）若函數在區間內有唯一的零點，求a的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）求出導函數，根據，分類討論即可，構造函數，利用導數法求解最值即可證明；（2）把問題轉化為方程在區間內有唯一解，構造函數，利用導數研究單調性，數形結合即可求解.【小問1詳解】因為，所以，當時，，則在上單調遞增，當時，令得，令得，所以函數的增區間為，減區間為，令，則，令得，令得，所以函數的