第頁，共頁北京市東直門中學2023-2024學年度第二學期6月學情調研高一數學考試時間：120分鐘總分：150分班級：

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學號：一、選擇題：（共12小題，每小題4分，共48分）1.已知向量．若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，得列方程求解即可.【詳解】因為，，所以，解得.故選：A2.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接用正弦和差角公式即可得到結果.【詳解】因為故選:A.3.要得到函數的圖象，只要將函數的圖象（）A.向右平移個單位長度 B.向左平移個單位長度C.向右平移個單位長度 D.向左平移個單位長度【答案】D【解析】【分析】由題意利用函數的圖象變換規律，得出結論.【詳解】解：只要將函數的圖象向左平移個單位長度，即可得到函數的圖象，故選：D.【點睛】此題考查函數的圖象變換，屬于基礎題4.在復平面內，復數對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】化簡復數，找出對應點得到答案.【詳解】對應點為在第二象限故答案選B【點睛】本題考查了復數的化簡，屬于簡單題.5.設是一條直線，，是兩個平面，下列結論正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】C【解析】【分析】由線面平行的性質和面面的位置關系，可判斷；由線面的位置關系可判斷；由線面平行與垂直的性質定理和面面垂直的判定定理，可判斷；由面面垂直的性質定理和線面的位置關系可判斷．【詳解】解：是一條直線，，是兩個不同的平面，若，，可得或、相交，故錯誤；若，，可得或、與相交，故錯誤；若，可得過的平面與的交線，由，可得，又，則，故正確；若，，可得或，故錯誤．故選：．6.已知A，B，C，D是平面內四個不同的點，則“”是“四邊形為平行四邊形”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據必要條件、充分條件的定義即可判斷.【詳解】解：由可不一定推出四邊形為平行四邊形，但由四邊形為平行四邊形一定可得，故“”是“四邊形為平行四邊形”的必要而不充分條件，故選：B.【點睛】此題考查充分條件和必要條件的判斷，考查推理能力，屬于基礎題7.如圖，平面，中，，則（）A.直角三角形 B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.以上都有可能【答案】A【解析】【分析】由線面垂直數為判定定理證明平面，再證明，由此判斷的形狀.【詳解】因為平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，故是直角三角形，故選：A.8.如圖，在正方體中，與直線互為異面直線的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由異面直線的定義對選項一一判斷即可得出答案.【詳解】對于選項A，，故A不正確；對于選項B，，故B不正確；對于選項C，直線與直線相交，故C不正確；對于選項D，因為直線與直線不同在任意一個平面，所以直線與直線是異面直線，故D正確.故選：D.9.已知正四棱錐，底面邊長是，體積是，那么這個四棱錐的側棱長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設正四棱錐的高為h，由體積是，求出.利用勾股定理求出側棱長.【詳解】因為正四棱錐，底面邊長是，所以底面積為.設正四棱錐的高為h，由，所以.所以側棱長為.即側棱長為.故選：C10.設為非零向量，，則“夾角為鈍角”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】將模的關系平方得到，進而判斷即可.【詳解】由，平方得，，即，又因為，即，所以，所以夾角為鈍角或平角，所以“夾角為鈍角”是“”的充分不必要條件.故選：A11.已知正方體的棱長為2，E，F，G分別為的中點，則下列結論中正確的是（）①直線與直線垂直；②直線與平面平行；③點C與點G到平面的距離相等；④平面截正方體所得的截面面積為．A①② B.②③ C.②④ D.③④【答案】C【解析】【分析】由即為直線與直線所成的角，即可判斷①；對于②，連接，由線面平行的判定即可判斷②；由平面不過的中點即可判斷③；先找出截面，再計算面積即可判斷④.【詳解】解：對于①，由正方體得，則即為直線與直線所成的角，連接AC，而平面ABCD，所以，所以在中，則不可能是直角，直線與直線不垂直，故①不正確；對于②，連接，則，所以平面，平面，平面，所以∥平面，故②正確；對于③，若點C與點G到平面的距離相等，則平面必過的中點，連接交于，且不是的中點，則平面不過的中點，即點C與點G到平面的距離不相等，③不正確；對于④，因為，，所以等腰梯形即為平面截正方體所得的截面，則，之間的距離為，則面積為，故④正確.故選：C.12.沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，利用細沙全部流到下部容器所需要的時間進行計時.如圖，某沙漏由上、下兩個圓錐組成.這兩個圓錐的底面直徑和高分別相等，細沙全部在上部時，其高度為圓錐高度（h）的（細管長度忽略不計）.假設細沙全部漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆.這個沙堆的高與圓錐的高h的比值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】細沙全部在上部時，沙漏上部分圓錐中的細沙的高為，設圓錐的底面半徑為r，則細沙形成的圓錐的底面半徑為，求出細沙的體積，再設細沙漏入下部后，圓錐形沙堆的高為，求出細沙的體積，由體積相等求解，則答案可求.【詳解】解：細沙全部在上部時，沙漏上部分圓錐中的細沙的高為，設圓錐的底面半徑為r，則細沙形成的圓錐的底面半徑為，∴細沙的體積為.細沙漏入下部后，圓錐形沙堆的底面半徑r，設高為，則，得.∴.故選：A.【點睛】此題考查圓錐體積公式的應用，屬于中檔題二、填空題：（共6小題，每小題5分，共30分）13.函數的初始相位為____________.【答案】【解析】【分析】根據給定函數,結合三角函數的初始相位定義可得.【詳解】函數的初始相位為.故答案為：.14.已知復數，，那么___________.【答案】##【解析】【分析】直接利用復數的乘法法則求解即可【詳解】因為，，所以，故答案為：15.已知均為單位向量，且，那么___________.【答案】【解析】【分析】由模長公式計算即可.【詳解】故答案為：16.已知在中，，，，則______.【答案】或.【解析】【分析】由已知利用正弦定理可得，結合，可得范圍，即可求解B的值.【詳解】解：∵，，，∴由正弦定理，可得，∵，可得，∴，或.故答案為：，或.【點睛】此題考查正弦定理的應用，考查計算能力，屬于基礎題17.已知l，m是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，給出下列四個論斷：①，②，③，④.以其中的兩個論斷作為命題的條件，作為命題的結論，寫出一個真命題：______.【答案】若，，則【解析】【分析】若，，則，運用線面垂直的性質和判定定理，即可得到結論.【詳解】解：l，m是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，可得若，，則，理由：在內取兩條相交直線a，b，由可得.，又，可得.，而a，b為內的兩條相交直線，可得.故答案為：若，，則【點睛】此題考查線面垂直的判定定理和性質定理的應用，考查推理能力，屬于基礎題18.如圖，在正方體中，點為線段上異于的動點，則下列四個命題：①是等邊三角形；②平面平面；③設，則三棱錐的體積隨著增大先減少后增大；④連接，總有平面.其中正確的命題是___________.【答案】①②④【解析】【分析】對①：由正方體的面對角線相等即可判斷；對②：由線面垂直的判斷定理證明平面，即可得證平面平面；對③：由平面,可得點M到平面的距離為定值，從而可得三棱錐的體積為定值；對④：由面面平行的判斷定理證明平面平面，再根據面面平行的性質定理即可判斷.【詳解】解：對①：在正方體中，設邊長為1，則，所以是等邊三角形，故①正確；對②：在正方體中，，又平面，所以，因為，所以平面，又平面，所以平面平面，故②正確；對③：在正方體中，因為平面平面,平面,所以平面,所以點M到平面的距離為定值，所以為定值，故③錯誤；對④：在正方體中，因為，平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，所以平面平面，因為平面，所以平面，故④正確.故答案為：①②④.三、解答題：（解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟，共6道題，共72分）19.在△中，若．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求△的面積．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（I）利用正弦定理化簡已知條件，由此求得的大小.（II）利用余弦定理求得的值，再根據三角形面積公式求得三角形面積.【詳解】解：（Ⅰ）在△中，由正弦定理可知，，所以．所以．即．（Ⅱ）在△中，由余弦定理可知，．所以．所以．所以△的面積．【點睛】本小題主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，屬于基礎題.20.已知向量．（1）求；（2）求與夾角的大小；（3）求．【答案】（1）5，（2），（3）5【解析】【分析】（1）直接利用坐標求解即可；（2）利用向量夾角公式求解；（3）先求出坐標，再求其模【詳解】解：（1）因為，所以，（2）設與夾角為，則，因為，所以，所以與夾角的大小為，（3）因為，所以，所以21.已知，.（1）求的值；（2）求的值；（3）在平面直角坐標系中，以為始邊，已知角的終邊與角的終邊關于軸對稱，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用同角三角函數關系及兩角和的余弦公式計算即可；（2）利用二倍角公式及兩角和正弦公式計算即可；（3）根據角的終邊與角的終邊關于軸對稱求出，然后利用兩角和的余弦公式計算即可.【小問1詳解】因，，所以，所以；【小問2詳解】因為，，所以，，所以；【小問3詳解】因為角的終邊與角的終邊關于軸對稱，所以，，所以.22.如圖，在正四棱柱中，，，是的中點．（1）求證：平面；（2）證明：；（3）求點到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）3【解析】【分析】（1）證明線面平行，只需在平面找到一條直線與平行即可，顯然為；（2）證明線線垂直，只需證面,易證,，進而得證；（3）由題可知，根據等體積法計算即可.【小問1詳解】設,連接在四棱柱中,四邊形是正方形,為BD中點,又為中點,,又平面平面,平面;【小問2詳解】在四棱柱中,平面,又平面,又在正方形中,,且平面平面,平面,又平面,;【小問3詳解】令點到平面的距離為,即,是的中點,,即,解得,即點到平面的距離為3.23.已知函數．（1）求的值；（2）求函數的單調遞增區間；（3）若函數在區間上有且只有兩個零點，求m的取值范圍．【答案】（1）1（2）（3）【解析】【分析】（1）直接根據解析式計算可得結果；（2）化簡，根據正弦函數的單調遞增區間可得結果；（3）根據正弦函數的圖象列式可得結果.【小問1詳解】.【小問2詳解】，由，，得，，所以的單調遞增區間是．【小問3詳解】因為，所以．依題意，解得．所以m的取值范圍為．24.如圖，從長、寬，高分別為，，的長方體中截去部分幾何體后，所得幾何體為三棱錐．（1）求三棱錐的體積；（2）證明：三棱錐的每個面都是銳角三角形；（3）直接寫出一組，，的值，使得二面角是直二面角．【答案】（1）（2）證明見解析（3），，（滿足或均可）（答案不唯一）【解析】【分析】（1）利用長方體的體積減去四個角的三棱錐的體積即可得解；（2）三棱錐的每個面的三角形的三條邊均為，，，不妨設，則為最大邊，各面的最大角為，利用余