概率論與數(shù)理統(tǒng)計a試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)\(A\)，\(B\)為兩事件，\(P(A)=0.6\)，\(P(B)=0.5\)，\(P(AB)=0.3\)，則\(P(A\cupB)\)=（）A.0.6B.0.7C.0.8D.0.92.隨機變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，若\(P(X=1)=P(X=2)\)，則\(\lambda\)=（）A.1B.2C.3D.43.設(shè)隨機變量\(X\)的概率密度為\(f(x)=\begin{cases}2x,&0\ltx\lt1\\0,&其他\end{cases}\)，則\(P(X\leq0.5)\)=（）A.0.25B.0.5C.0.75D.14.已知隨機變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(1,4)\)，則\(E(X)\)=（）A.1B.2C.3D.45.設(shè)\(X\)，\(Y\)為兩個隨機變量，\(E(X)=1\)，\(E(Y)=2\)，則\(E(X+Y)\)=（）A.1B.2C.3D.46.若隨機變量\(X\)的方差\(D(X)=4\)，則\(D(2X+3)\)=（）A.4B.8C.16D.207.設(shè)總體\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^{2})\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，則樣本均值\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)服從（）A.\(N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})\)B.\(N(\mu,\sigma^{2})\)C.\(N(n\mu,\sigma^{2})\)D.\(N(n\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})\)8.設(shè)\(X\)是離散型隨機變量，其分布律為\(P(X=k)=p(1-p)^{k-1}\)，\(k=1,2,\cdots\)，則\(X\)服從（）A.二項分布B.泊松分布C.幾何分布D.均勻分布9.對于任意兩個事件\(A\)和\(B\)，有\(zhòng)(P(A-B)\)=（）A.\(P(A)-P(B)\)B.\(P(A)-P(AB)\)C.\(P(A)-P(B)+P(AB)\)D.\(P(A)+P(B)-P(AB)\)10.設(shè)\(X\)和\(Y\)相互獨立，且\(D(X)=2\)，\(D(Y)=3\)，則\(D(X-Y)\)=（）A.1B.5C.-1D.6二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下屬于概率的基本性質(zhì)的有（）A.非負(fù)性B.規(guī)范性C.可列可加性D.有限可加性2.離散型隨機變量的分布律具有的性質(zhì)有（）A.\(P(X=x_k)\geq0\)，\(k=1,2,\cdots\)B.\(\sum_{k=1}^{\infty}P(X=x_k)=1\)C.\(P(X=x_k)\leq1\)D.\(P(X=x_k)\)是單調(diào)遞增的3.設(shè)隨機變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^{2})\)，則其概率密度函數(shù)\(f(x)\)的性質(zhì)有（）A.關(guān)于\(x=\mu\)對稱B.最大值為\(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\)C.以\(x\)軸為漸近線D.是偶函數(shù)4.下列關(guān)于期望的性質(zhì)正確的有（）A.\(E(C)=C\)（\(C\)為常數(shù)）B.\(E(aX+b)=aE(X)+b\)（\(a\)，\(b\)為常數(shù)）C.\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)D.若\(X\)，\(Y\)相互獨立，則\(E(XY)=E(X)E(Y)\)5.關(guān)于方差的性質(zhì)，正確的有（）A.\(D(C)=0\)（\(C\)為常數(shù)）B.\(D(aX)=a^{2}D(X)\)（\(a\)為常數(shù)）C.\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)D.若\(X\)，\(Y\)相互獨立，則\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)6.以下哪些是常見的離散型分布（）A.二項分布B.泊松分布C.正態(tài)分布D.幾何分布7.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，以下哪些是統(tǒng)計量（）A.\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)B.\(S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^{2}\)C.\(\sum_{i=1}^{n}X_i^{2}\)D.\(\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{\mu}\)（\(\mu\)為總體\(X\)的均值，未知）8.對于兩個事件\(A\)，\(B\)，若\(A\subseteqB\)，則（）A.\(P(A)\leqP(B)\)B.\(P(A\cupB)=P(B)\)C.\(P(A\capB)=P(A)\)D.\(P(B-A)=P(B)-P(A)\)9.設(shè)隨機變量\(X\)的分布函數(shù)為\(F(x)\)，則\(F(x)\)具有的性質(zhì)有（）A.\(0\leqF(x)\leq1\)B.\(F(-\infty)=0\)，\(F(+\infty)=1\)C.\(F(x)\)單調(diào)不減D.\(F(x)\)右連續(xù)10.以下關(guān)于協(xié)方差\(Cov(X,Y)\)的性質(zhì)正確的有（）A.\(Cov(X,X)=D(X)\)B.\(Cov(X,Y)=Cov(Y,X)\)C.\(Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)\)（\(a\)，\(b\)為常數(shù)）D.\(Cov(X_1+X_2,Y)=Cov(X_1,Y)+Cov(X_2,Y)\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.概率為0的事件一定是不可能事件。（）2.若隨機變量\(X\)和\(Y\)的期望都存在，則\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)。（）3.隨機變量\(X\)的分布函數(shù)\(F(x)\)是連續(xù)函數(shù)。（）4.設(shè)\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^{2})\)，則\(P(X\lt\mu)=0.5\)。（）5.樣本方差\(S^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^{2}\)是總體方差\(\sigma^{2}\)的無偏估計。（）6.若\(A\)，\(B\)為兩個互斥事件，則\(P(AB)=0\)。（）7.離散型隨機變量\(X\)的所有可能取值是有限個或可列無限個。（）8.對于任意隨機變量\(X\)，都有\(zhòng)(D(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}\)。（）9.若\(X\)，\(Y\)相互獨立，則\(Cov(X,Y)=0\)。（）10.設(shè)總體\(X\)的均值為\(\mu\)，樣本均值\(\overline{X}\)是\(\mu\)的無偏估計。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述概率的公理化定義。答：設(shè)\(E\)是隨機試驗，\(\Omega\)是它的樣本空間，對于\(E\)的每一事件\(A\)賦予一個實數(shù)，記為\(P(A)\)，若\(P(A)\)滿足非負(fù)性、規(guī)范性、可列可加性，則稱\(P(A)\)為事件\(A\)的概率。2.簡述正態(tài)分布概率密度函數(shù)的特點。答：正態(tài)分布概率密度函數(shù)\(f(x)\)關(guān)于\(x=\mu\)對稱，在\(x=\mu\)處取得最大值\(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\)，以\(x\)軸為漸近線，圖像呈鐘形，\(\mu\)決定對稱軸位置，\(\sigma\)決定曲線“胖瘦”。3.說明期望和方差的含義。答：期望\(E(X)\)反映隨機變量\(X\)取值的平均水平；方差\(D(X)\)衡量隨機變量\(X\)取值相對于其均值\(E(X)\)的離散程度，方差越大，取值越分散。4.簡述樣本與總體的關(guān)系。答：總體是研究對象的全體，樣本是從總體中抽取的一部分個體。通過對樣本的研究，如計算樣本統(tǒng)計量，來推斷總體的特征，如總體均值、方差等。五、討論題（每題5分，共4題）1.在實際生活中，哪些現(xiàn)象可以用正態(tài)分布來近似描述？并舉例說明。答：很多自然和社會現(xiàn)象可近似用正態(tài)分布描述。如學(xué)生考試成績，大部分學(xué)生成績集中在平均分附近，特別高和特別低的是少數(shù)；人的身高，多數(shù)人身高在平均身高左右，過高或過矮的是少數(shù)。2.討論為什么樣本方差\(S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^{2}\)中分母是\(n-1\)而不是\(n\)。答：用\(n-1\)做分母，是為了使樣本方差\(S^{2}\)是總體方差\(\sigma^{2}\)的無偏估計。若用\(n\)做分母，得到的估計值會偏小，不能準(zhǔn)確反映總體方差情況。3.舉例說明獨立性在概率計算中的作用。答：比如同時拋兩枚均勻硬幣，事件\(A\)為第一枚硬幣正面朝上，事件\(B\)為第二枚硬幣正面朝上，\(A\)與\(B\)相互獨立。計算\(P(AB)\)時，因為獨立，\(P(AB)=P(A)P(B)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\)，簡化了計算。4.如何根據(jù)樣本數(shù)據(jù)對總體參數(shù)進行估計？答：可通過點估計和區(qū)間估計。點估計用樣本統(tǒng)計量作為總體參數(shù)的估計值，如用樣本均值估計總體均值。區(qū)間估計則給出包含總體參數(shù)的區(qū)間及該區(qū)間包含參數(shù)的概率，如構(gòu)造總體均值的置