常用概率分布題目及答案一、單項選擇題1.某隨機變量X服從標準正態分布，即X～N（0，1），則P（X＞0）的值為（）。A.0.5B.0.3C.0.7D.0.2答案：A2.某隨機變量X服從均值為μ，方差為σ2的正態分布，即X～N（μ，σ2），則P（X＞μ）的值為（）。A.0.5B.0.3C.0.7D.0.2答案：A3.某隨機變量X服從參數為λ的泊松分布，即X～P（λ），則E（X）的值為（）。A.λB.2λC.3λD.λ2答案：A4.某隨機變量X服從參數為λ的指數分布，即X～E（λ），則D（X）的值為（）。A.λB.1/λC.λ2D.1/λ2答案：D5.某隨機變量X服從參數為p的二項分布，即X～B（n，p），則E（X）的值為（）。A.npB.n(1-p)C.pD.1-p答案：A二、填空題1.某隨機變量X服從參數為λ的泊松分布，即X～P（λ），則P（X=k）=______。答案：λ^ke^(-λ)/k!2.某隨機變量X服從參數為λ的指數分布，即X～E（λ），其概率密度函數為f(x)=______，x≥0。答案：λe^(-λx)3.某隨機變量X服從參數為p的二項分布，即X～B（n，p），則P（X=k）=______。答案：C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)4.某隨機變量X服從均值為μ，方差為σ2的正態分布，即X～N（μ，σ2），則其概率密度函數為f(x)=______，x∈R。答案：(1/(σ√(2π)))e^(-(x-μ)2/(2σ2))5.某隨機變量X服從參數為p的幾何分布，即X～G（p），則P（X=k）=______。答案：(1-p)^(k-1)p三、計算題1.已知某隨機變量X服從參數為λ=2的泊松分布，即X～P（2），求P（X=3）。答案：P（X=3）=2^3e^(-2)/3!=8/3e^(-2)≈0.18042.已知某隨機變量X服從參數為λ=3的指數分布，即X～E（3），求P（1＜X＜3）。答案：P（1＜X＜3）=∫(1,3)3e^(-3x)dx=[-e^(-3x)](1,3)=e^(-3)-e^(-9)≈0.71653.已知某隨機變量X服從參數為p=0.4的二項分布，即X～B（5，0.4），求E（X）和D（X）。答案：E（X）=50.4=2D（X）=50.4(1-0.4)=1.64.已知某隨機變量X服從均值為μ=10，方差為σ2=4的正態分布，即X～N（10，4），求P（8＜X＜12）。答案：P（8＜X＜12）=∫(8,12)(1/(2√π))e^(-(x-10)2/8)dx=Φ((12-10)/2)-Φ((8-10)/2)=Φ(1)-Φ(-1)≈0.8413-0.1587=0.68265.已知某隨機變量X服從參數為p=0.5的幾何分布，即X～G（0.5），求P（X=3）。答案：P（X=3）=(1-0.5)^(3-1)0.5=0.250.5=0.125四、應用題1.某工廠生產的零件壽命X服從均值為1000小時，方差為100小時2的正態分布，即X～N（1000，100）。若規定零件壽命超過800小時為合格品，則求合格品率。答案：合格品率=P（X＞800）=1-P（X≤800）=1-Φ((800-1000)/10)=1-Φ(-2)≈1-0.0228=0.97722.某保險公司承保了10000輛汽車，每輛汽車發生事故的概率為0.05。假設各輛汽車是否發生事故相互獨立，則求發生事故的汽車數X的數學期望和方差。答案：X～B（10000，0.05）E（X）=100000.05=500D（X）=100000.05(1-0.05)=4753.某機器生產零件，每生產一個零件需要時間為1分鐘。已知生產一個零件所需時間X服從均值為1分鐘，方差為0.04分鐘2的正態分布，即X～N（1，0.04）。若機器每天工作8小時，則求機器一天能生產多少個零件？答案：機器一天工作時間=860=480分鐘設機器一天能生產n個零件，則有：P(X≤480/n)≈1由標準正態分布表可得：Φ((480/n-1)/0.2)≈1解得：n≈4764.某商店銷售某種商品，每件商品利潤為10元。顧客購買該商品的概率為0.6。假設一個小時內顧客流量為30人，則求該商品每小時平均利潤。答案：設每小時銷售該商品數量為X，則X～B（30，0.6）E（X）=300.6=18每小時平均利潤=10E（X）=1018=180元5.某工廠生產零件，每生產一個零件需要時間為1/3分鐘。已知生產一個零件所需時間X服從參數為λ=3的指數分布，即X～E（3）。若機器每天工作8小時，