復旦數(shù)學考博試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=x^2\)在\(x=1\)處的導數(shù)是（）A.1B.2C.3D.42.若\(A\)是\(3\)階方陣，\(\vertA\vert=2\)，則\(\vert2A\vert\)=（）A.4B.8C.16D.323.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)是（）A.發(fā)散B.條件收斂C.絕對收斂D.不確定4.向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)與\(\vec{b}=(2,4,6)\)的關系是（）A.垂直B.平行C.相交D.異面5.方程\(x^2+y^2-2x+4y=0\)表示的圖形是（）A.點B.直線C.圓D.橢圓6.設\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，在\((a,b)\)內(nèi)可導，且\(f(a)=f(b)\)，則至少存在一點\(\xi\in(a,b)\)，使得（）A.\(f'(\xi)=0\)B.\(f'(\xi)>0\)C.\(f'(\xi)<0\)D.\(f'(\xi)\)不存在7.若\(z=x^y\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}\)=（）A.\(yx^{y-1}\)B.\(x^y\lnx\)C.\(y^x\lny\)D.\(xy^{x-1}\)8.行列式\(\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}\)的值為（）A.-2B.2C.-10D.109.設\(X\)服從正態(tài)分布\(N(1,4)\)，則\(E(X)\)=（）A.1B.2C.3D.410.曲線\(y=\sinx\)在\(x=\frac{\pi}{2}\)處的切線方程是（）A.\(y=1\)B.\(y=x+1\)C.\(y=x-1\)D.\(y=-x+1\)多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是線性代數(shù)中的概念（）A.行列式B.矩陣C.向量D.線性方程組2.下列函數(shù)中，在\(x=0\)處連續(xù)的有（）A.\(y=\vertx\vert\)B.\(y=\frac{1}{x}\)C.\(y=x^2\)D.\(y=\sinx\)3.關于數(shù)列極限，正確的說法有（）A.極限唯一B.有界數(shù)列必有極限C.單調(diào)有界數(shù)列必有極限D(zhuǎn).無界數(shù)列極限不存在4.以下哪些是多元函數(shù)的概念（）A.偏導數(shù)B.全微分C.方向?qū)?shù)D.梯度5.下列級數(shù)中，收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}\)6.向量空間中，向量的運算有（）A.加法B.數(shù)乘C.內(nèi)積D.叉積7.關于矩陣的運算，正確的有（）A.矩陣加法滿足交換律B.矩陣乘法滿足交換律C.矩陣的轉(zhuǎn)置滿足\((A^T)^T=A\)D.\((AB)^T=B^TA^T\)8.下列曲線中，是二次曲線的有（）A.圓B.橢圓C.拋物線D.雙曲線9.概率論中，常見的分布有（）A.正態(tài)分布B.泊松分布C.均勻分布D.指數(shù)分布10.對于函數(shù)\(y=f(x)\)，以下說法正確的有（）A.駐點可能是極值點B.極值點一定是駐點C.拐點處二階導數(shù)為0D.二階導數(shù)為0的點可能是拐點判斷題（每題2分，共10題）1.常數(shù)函數(shù)的導數(shù)為0。（）2.若\(A\)，\(B\)為方陣，\((AB)^2=A^2B^2\)。（）3.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內(nèi)處處連續(xù)。（）4.所有的無窮小量都是相等的。（）5.向量組中向量個數(shù)大于向量維數(shù)時，向量組一定線性相關。（）6.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\)收斂。（）7.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在某點處偏導數(shù)存在，則函數(shù)在該點一定可微。（）8.圓的方程一定可以寫成\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)的形式。（）9.若\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，則\(P(X=\mu)=0\)。（）10.函數(shù)\(y=x^3\)在\(R\)上是單調(diào)遞增函數(shù)。（）簡答題（每題5分，共4題）1.簡述羅爾定理的內(nèi)容。答：若函數(shù)\(f(x)\)在閉區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，在開區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)可導，且\(f(a)=f(b)\)，那么在\((a,b)\)內(nèi)至少存在一點\(\xi\)，使得\(f'(\xi)=0\)。2.求矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的逆矩陣。答：先求行列式\(\vertA\vert=1\times4-2\times3=-2\)。伴隨矩陣\(A^=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)，則\(A^{-1}=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)。3.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+1\)的極值。答：求導\(y'=3x^2-6x=3x(x-2)\)，令\(y'=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。當\(x<0\)，\(y'>0\)；\(0<x<2\)，\(y'<0\)；\(x>2\)，\(y'>0\)。所以極大值\(y(0)=1\)，極小值\(y(2)=-3\)。4.簡述正態(tài)分布的概率密度函數(shù)特點。答：正態(tài)分布概率密度函數(shù)圖像關于\(x=\mu\)對稱，\(\mu\)為均值；在\(x=\mu\)處取得最大值；\(\sigma\)決定曲線的陡峭程度，\(\sigma\)越大曲線越平緩，\(\sigma\)越小曲線越陡峭，且曲線與\(x\)軸圍成面積為1。討論題（每題5分，共4題）1.討論線性方程組解的情況與系數(shù)矩陣、增廣矩陣秩的關系。答：設線性方程組\(Ax=b\)，\(A\)為系數(shù)矩陣，\(\overline{A}\)為增廣矩陣。若\(r(A)=r(\overline{A})=n\)（\(n\)為未知數(shù)個數(shù)），有唯一解；若\(r(A)=r(\overline{A})<n\)，有無窮多解；若\(r(A)<r(\overline{A})\)，無解。2.探討函數(shù)的連續(xù)性、可導性與可微性之間的關系。答：可微一定可導且連續(xù)，可導一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導，可導不一定可微。即可微性最強，可導是可微的必要條件，連續(xù)是可導的必要條件。例如\(y=\vertx\vert\)在\(x=0\)連續(xù)但不可導。3.談談級數(shù)收斂性判別方法及其適用情況。答：比較判別法適用于正項級數(shù)與已知斂散性的級數(shù)比較；比值判別法、根值判別法常用于通項含\(n!\)、\(a^n\)等形式的正項級數(shù)；萊布尼茨判別法用于交錯級數(shù)。絕對收斂判別法對任意級數(shù)，若其絕對值級數(shù)收斂則原級數(shù)收斂。4.舉例說明多元函數(shù)偏導數(shù)存在與函數(shù)連續(xù)之間的關系。答：偏導數(shù)存在不能推出函數(shù)連續(xù)，例如\(f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2},(x,y)\neq(0,0)\\0,(x,y)=(0,0)\end{cases}\)，在\((0,0)\)處偏導數(shù)存在，但函數(shù)在該點不連續(xù)；函數(shù)連續(xù)也不能推出偏導數(shù)存在，如\(z=\vertx\vert+\verty\vert\)在\((0,0)\)連續(xù)但偏導數(shù)不存在。答案單項選擇題1.B2.C3.C