專題17相似三角形（10個高頻考點）（強化訓練）

【考點1比例的性質】

1.（2022?遼寧撫順?統考一模）若￡=且a+b=14,貝—b的值是（）

A.2B.4C.6D.8

2.（2022?安徽蕪湖?蕪湖市第二十九中學校考一模）若”：，則M的值為（）

a5a+b

A.-B.-C.-D.-

4755

3.（2022?河北?模擬預測）已知a,b,c為正實數，且等=等=警=匕則直線y=依+（k+1）一定不

經.（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.（2022?四川內江?統考一模）已知實數x,y,z滿足2=3=工，則巨匕的值為

xy-zz+xy+2z

5.（2022,浙江寧波,校考模擬預測）銳角三角形△力BC的外心為O,外接圓直徑為d,延長40,B0,C。，分別

與對邊8C,CA,48交于D,E,F.

..tvODOEOFJLL

⑴求一+一+一的值;

'/40BECF

⑵求證：a+W+W=(

【考點2比例線段】

6.（2022?甘肅甘南?校考一模）下列各組線段中，成比例的是（）

A.2cm,3cm,4cmf5cmB.2cm,4cm,6cm,8cm

C.3cm,6cm,8cm,12cmD.lcm,3cm,5cm,15cm

7.（2022?統考一模）已知線段a=4+l,b=V5-1,則a,%的比例中項線段等于.

8.（2022?江蘇揚州?統考一模）如圖，將一條長為60cm的卷尺鋪平后折疊，使得卷尺自身的一部分重合，然

后在重合部分（陰影處）沿與卷尺邊垂直的方向剪一刀，此時卷尺分成了三段，若這三段長度由短到長的比為

1:2:3,則折痕對應的刻度有種可能.

才

-I~i_i~I~~i~i~I~?I?~I~i_i~~I_i_rn_I_i~i~i~I

01020I30405060|，|0'‘而

折’痕剪血處

9.（2022?江蘇鹽城?校考一模）在比例尺為1：100000的鹽都旅游地圖上，測得大縱湖東晉水城與楊侍生態

園的距離約為31cm,則大縱湖東晉水城與楊侍生態園的實際距離約為km.

10.（2022?浙江紹興?模擬預測）己知三條線段a,b,c滿足巴=2=2，且a+6+c=17.

324

（1）求a,b,c的值；

（2）若線段d是線段a和6的比例中項，求d的值.

【考點3黃金分割】

11.（2022,湖南衡陽?統考中考真題）在設計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的

高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感.如圖，按此比例設計一座高度為2m的雷鋒雕像，

那么該雕像的下部設計高度約是（）（結果精確到0.01m.參考數據:V2?1,414,V3?1.732,V5?2.236）

A.0.73mB.1.24mC.1.37mD.1.42m

12.（2022?山東棗莊?校考模擬預測）兩千多年前，古希臘數學家歐多克索斯發現了黃金分割，即：如圖，

點尸是線段A8上一點（AP>BP）,若滿足整=*，則稱點尸是的黃金分割點.黃金分割在日常生活中

APAB

處處可見，例如：主持人在舞臺上主持節目時，站在黃金分割點上，觀眾看上去感覺最好.若舞臺長20米，

主持人從舞臺一側進入，設他至少走x米時恰好站在舞臺的黃金分割點上，則尤滿足的方程是（）

APB

A.（20-x）2=20XB./=20（20-X）

C.尤（20-x）=202D.以上都不對

13.（2022?云南玉溪?統考一模）如圖，點A坐標是（0,0）,點C坐標是（2,2）,現有E、尸兩點分別從點。（0,

2）和點8（2,0）向下和向右以每秒一個單位速度移動，。為EF中點.設運動時間為f.

（1）在運動過程中始終與線段EC相等的線段是；四邊形CE4/面積=.

（2）當f=l秒時，求線段C。的長.

（3）過點B作8尸平行于CF交EC于點P.當/=時，線段AP最短，此時作直線EP與x軸交于點

14.（2011?河北廊坊?統考中考模擬）如圖1,點C將線段4B分成兩部分，如果若=夠，那么稱點C為線段力B

ABAC

的黃金分割點.

某研究小組在進行課題學習時，由黃金分割點聯想到"黃金分割線”，類似地給出"黃金分割線”的定義：直線

/將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為又，52,如果?=等，那么稱直線?為該圖形的黃

金分割線.

圖1圖2圖3圖4

（1）研究小組猜想：在AaBC中，若點。為邊上的黃金分割點（如圖2）,則直線CZ）是△ABC的黃金分

割線.你認為對嗎？為什么？

（2）請你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？

（3）研究小組在進一步探究中發現：過點C任作一條直線交力B于點E,再過點D作直線QF||CE,交AC于

點R連接斯（如圖3）,則直線所也是△力8C的黃金分割線.請你說明理由.

（4）如圖4,點E是團4BCD的邊4B的黃金分割點，過點E作EF||4D,交DC于點F,顯然直線EF是因48CD

的黃金分割線.請你畫一條團4BCD的黃金分割線，使它不經過團4BCD各邊黃金分割點.

15.（2022?遼寧沈陽?沈陽市外國語學校校考一模）古希臘數學家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了

分線段的“中末比"問題：點G將一線段分為兩線段，使得其中較長的一段是全長與較短的段的比例中項,

即滿足黑嶗=?,后人把手這個數稱為“黃金分割"數，把點G稱為線段的“黃金分割〃點.如圖，在

EL4BC中，己知A2=AC=3,BC=4,若。，E是邊的兩個"黃金分割"點，則MOE的面積為.

【考點4平行線分線段成比例】

16.（2022春?九年級單元測試）如圖，在0ABe中，。是AC的中點，0ABe的角平分線AE交于點尸,

若BF：下￡）=3：1,AB+BE=3?則的周長為.

17.（2022?北京?統考中考真題）如圖，在矩形A8CD中，若力B=3,2C=5,黑=；,叫4E的長為_______

FC4

18.（2022?上海?統考中考真題）如圖，在0ABC中，0A=3O°,0B=9O°,。為AB中點，E在線段AC上，絲=匹,

則*

A.

19.(2022?浙江麗水?統考中考真題)如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直

線上的三個點A,B,C都在橫線上.若線段AB=3,則線段BC的長是()

20.(2022?湖南長沙?長沙市北雅中學校考模擬預測)知識拓展

如圖1,由。E||BC,AD=DB,可得力E=EC；

如圖2,由2BIIC0IEF,AE=EC,可得BF=FD；

解決問題如圖3,直線A8與坐標軸分別交于點0),B(0,n)(m>0,7i>0),反比例函數y=?(x>0)的

圖象與A2交于C,D兩點.

⑴若m+n=8,〃取何值時△力B。的面積最大？

(2)若544℃=5400￡)=$430￡),求點B的坐標.

【考點5相似多邊形】

21.（2022?山東青島?校考一模）下列結論不正確的是（）

A.所有的正方形都相似B.所有的菱形都相似

C.所有的等腰直角三角形都相似D.所有的正五邊形都相似

22.（2022?廣東陽江?統考一模）若兩個相似多邊形的面積之比為1：4,則它們的周長之比為（）

A.1：4B.1：2C.2：1D.1：16

23.（2022?河北?模擬預測）如圖所示的四邊形，與選項中的四邊形一定相似的是（）

24.（2022?河北衡水?統考一模）在研究相似問題時，甲、乙兩同學的觀點如下：

甲：將邊長為4的菱形按圖1的方式向外擴張，得到新菱形，它們的對應邊間距為1,則新菱形與原菱形相

似.

乙：將邊長為4的菱形按圖2方式向外擴張，得到新菱形，每條對角線向其延長線兩個方向各延伸1,則新

菱形與原菱形相似;

對于兩人的觀點,下列說法正確的是（

A.兩人都對B.兩人都不對C.甲對，乙不對D.甲不對，乙對

25.（2022?山東青島?山東省青島實驗初級中學校考模擬預測）如圖，一張矩形紙片沿它的長邊對折（EF為

折痕），得到兩個全等的小矩形，如果小矩形與原來的矩形相似，那么小矩形的長邊與短邊的比是

AED

BFC

【考點6相似三角形的判定與性質】

26.（2022?四川攀枝花?統考中考真題）如圖，直線y=1+6分別與x軸、y軸交于點48,點C為線段4B

上一動點（不與A、B重合），以C為頂點作NOCD=射線CD交線段。B于點。，將射線。C繞點。

順時針旋轉90。交射線CD于點E,連接8E.

⑴證明：器=黑；（用圖1）

DBDE

（2）當ABDE為直角三角形時，求DE的長度；（用圖2）

⑶點A關于射線。C的對稱點為R求8F的最小值.（用圖3）

27.（2022,江蘇淮安?統考中考真題）在數學興趣小組活動中，同學們對菱形的折疊問題進行了探究.如圖

（1）,在菱形ZBCD中，乙B為銳角,E為BC中點，連接DE,將菱形力BCD沿DE折疊，得到四邊形AB'ED,

點人的對應點為點4,點8的對應點為點夕.

A______D4________D4______

f

"E艱"BE//，BEJ

B'B'B'

圖（1）圖⑵圖⑶

（1）【觀察發現】AD與B'E的位置關系是______；

（2）【思考表達】連接B'C,判斷NDEC與NB'CE是否相等,并說明理由;

⑶如圖（2）,延長DC交4?于點G,連接EG,請探究ADEG的度數，并說明理由;

⑷【綜合運用】如圖（3）,當NB=60。時，連接BC,延長DC交4B'于點G,連接EG,請寫出B'C、EG、DG之間

的數量關系，并說明理由.

28.（2022?寧夏?中考真題）如圖，一次函數y=kx+6（k40）的圖象與無軸、y軸分別相交于C、B兩點，與

反比例函數y=?（小力0,x>0）的圖象相交于點4,OB=1,tanzOBC=2,BC：CA=1：2.

⑴求反比例函數的表達式;

（2）點。是線段4B上任意一點，過點。作y軸平行線，交反比例函數的圖象于點E,連接BE.當ABDE面積最

大時，求點。的坐標.

29.（2022,遼寧鞍山?統考中考真題）如圖，在AABC中，AB=AC,^BAC=120°,點。在直線AC上，連接

BD,將DE繞點。逆時針旋轉120。，得到線段DE,連接BE,CE.

（2）當點。在線段2C上（點。不與點力，C重合）時，求穿的值;

⑶過點2作川VIIDE交于點N,若力。=2CD,請直接寫出勺的值.

CE

30.（2022?江蘇徐州,統考中考真題）如圖，在0ABe中，0BAC=90°,AB=AC=12,點P在邊A8上，D、

E分別為BC、PC的中點，連接。E.過點E作BC的垂線，與8C、AC分別交于尺G兩點.連接。G,交

PC于點H.

AA

⑴aeoc的度數為.

（2）連接PG,求0APG的面積的最大值;

（3）尸￡與OG存在怎樣的位置關系與數量關系？請說明理由;

⑷求多的最大值.

CE

【考點7網格中的相似三角形】

31.（2022?湖北恩施?統考模擬預測）如圖，在邊長相等的正方形網格中，A、B、C為小正方形的頂點，則

團ABC=_______

32.（2022?山東濟寧?模擬預測）如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1,朋8C和回0跖的頂

點都在網格線的交點上.設0ABe的周長為。，&DEF的周長為C2,則琲的值等于____.

5

33.（2022?浙江寧波?統考一模）如圖，方格紙中的每個小正方形的邊長都是1,AABC是格點三角形（頂點

在方格頂點處）.

⑴在圖1中畫出一個格點△&BiC「使得△&&&與△力BC相似，周長之比為2：1；

⑵在圖2中畫出一個格點△々々C2，使得△力2B2c2與△ABC相似，面積之比為2：1.

34.（2022?吉林長春?統考一模）圖①、圖②、圖③分別是6x6的正方形網格，網格中每個小正方形的邊

長均為1,小正方形的頂點稱為格點，點A、B、C、。、E、P、。、M、N均在格點上，僅用無刻度的直尺

在下列網格中按要求作圖，保留作圖痕跡.

⑴在圖①中，畫線段的中點廠.

⑵在圖②中，畫ACDE的中位線GH點G、X分別在線段CE上，并直接寫出ACGH與四邊形。E8G

的面積比.

⑶在圖③中，畫APQR,點R在格點上，且APQR被線段分成的兩部分圖形的面積比為1：3.

35.（2022?湖北武漢?統考一模）如圖是由邊長為1的小正方形構成的6X9網格，各個小正方形的頂點叫做

格點.0ABe的頂點在格點上，邊8c上的點。也是一個格點.僅用無刻度的直尺在定網格中畫圖.畫圖過

程用虛線表示，畫圖結果用實線表示.

（SD（圖2）

(1)在圖1中，先畫出AC的平行線DE交AB邊于點E,可在BC邊上畫點尸，4CF-ABCA；

(2)在圖2中，先在邊AB找點使0MOC與回肱4c的面積相等，再在AC上畫點N,使團CDN的面積是0ABC

的面積的三分之一.

【考點8相似三角形中的動點問題】

36.(2022?浙江金華?統考中考真題)如圖，在菱形4BCD中，4B=10,sinB=￡點E從點8出發沿折線B-

C-D向終點。運動.過點E作點E所在的邊(BC或CD)的垂線，交菱形其它的邊于點F,在EF的右側作

矩形EFGH.

⑴如圖1,點G在AC上.求證：FA=FG.

(2)若EF=FG,當EF過4C中點時，求4G的長.

⑶已知FG=8,設點E的運動路程為s.當s滿足什么條件時，以G,C,X為頂點的三角形與ABEF相似

(包括全等)?

37.(2022?江蘇蘇州?蘇州市振華中學校校考模擬預測)如圖，在△ABC中，乙4=90°,AB=6cm,AC=12cm.

動點P從點4出發，沿力B方向以lcm/s的速度向點B運動，動點Q從點8同時出發，沿B4方向以lcm/s的速度

向點力運動.當點P到達點B時，P,Q兩點同時停止運動，以4P為一邊向上作正方形力PDE,過點Q作QFIIBC,

交4C于點F.設點P的運動時間為t(單位：s),正方形和梯形重合部分的面積為Sen?.

備用圖

(1)當t=s時，點P與點Q重合;

(2)當t=s時，點。在QF上;

⑶當點P在Q,B兩點之間(不包括Q,B兩點)時，求S與t之間的函數關系式；

⑷是否存在某一時刻，使得正方形4PDE的面積被直線QF平分？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說

明理由.

38.(2022?山東青島?校考二模)已知，如圖，矩形力BCD中，AB=3,BC=4,點P以每秒1個單位從點C向

點8運動，同時點Q沿著4C以每秒2個單位從4向C運動，在點Q運動的同時，作QF12C交4。于F,當點尸移

動到。時，點P和點Q停止運動.以Q尸和PQ為邊作平行四邊形PQFE,設運動時間為t秒.

(1)幾秒時，AAQFs△CPQ?

⑵設平行四邊形PQFE的面積是S,用t表示S；

(3)當PF14D時，CP=PQ嗎？說明理由.

⑷存不存在某個時刻，使得QEIIBC?若存在，求出t；若不存在，說明理由.

39.(2022?浙江紹興?一模)如圖L平面直角坐標系中，已知A(0,4),B(5,0),D(3,0),點尸從點

A出發，沿y軸負方向在y軸上以每秒1個單位長度的速度勻速運動，過點尸作PEIIK軸交直線AD于點E.

(1)設點P的運動時間為f(s),的單位長度為y,求y關于f的函數關系式，并寫出f的取值范圍；

(2)當f為何值時，以EP為半徑的回￡恰好與x軸相切？并求此時SE的半徑；

⑶在點P的運動過程中，當以。，E,尸三點為頂點的三角形是等腰三角形時，求此時f的值；

(4)如圖2,將沿直線翻折，得到△力9D,連結夕0,如果N40E=N80夕，求f值.(直接寫出答案,

不要求解答過程）.

40.（2022,遼寧大連?統考三模）如圖，中，乙4cB=90。，AC=3cm,BC=4cm,A。平分EI8AC交

8C于點。，動點尸從點A出發以2cm/s的速度沿邊AB運動，當點P與點8重合時，停止運動.過點P作

（s）,團印/與EL48O重合部分圖形面積為s（cm2）.

（2）求回D48的正切值;

⑶求S關于f的函數解析式，并直接寫出自變量f的取值范圍.

【考點9相似三角形的應用】

41.（2022?廣西賀州?統考中考真題）某餐廳為了追求時間效率，推出一種液體"沙漏”免單方案（即點單完成

后，開始倒轉"沙漏"，"沙漏"漏完前，客人所點的菜需全部上桌，否則該桌免費用餐）."沙漏”是由一個圓

錐體和一個圓柱體相通連接而成.某次計時前如圖（1）所示，已知圓錐體底面半徑是6cm,高是6cm；圓

柱體底面半徑是3cm,液體高是7cm.計時結束后如圖（2）所示，求此時"沙漏”中液體的高度為（）

圖⑴圖(2)

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

42.（2022?貴州銅仁?模擬預測）如圖1,某溫室屋頂結構外框為A4BC,立柱4D垂直平分橫梁BC,=30°,

斜梁2C=4m,為增大向陽面的面積，將立柱增高并改變位置，使屋頂結構外框變為AEBC（點E在84的延

長線上），立柱EF1BC,如圖2所示，若EF=3m,則斜梁增加部分4E的長為（）

43.（2022?河北邯鄲,校考三模）一種燕尾夾如圖1所示，圖2是在閉合狀態時的示意圖，圖3是在打開狀

態時的示意圖（數據如圖，單位：mm）,則從閉合到打開8,。之間的距離減少了（）

圖1圖2圖3

A.25mmB.20mmC.15mmD.8mm

44.（2022?內蒙古赤峰,統考中考真題）如圖，為了測量校園內旗桿的高度，九年級數學應用實踐小組,

根據光的反射定律，利用鏡子、皮尺和測角儀等工具，按以下方式進行測量：把鏡子放在點。處，然后觀

測者沿著水平直線80后退到點D,這時恰好能在鏡子里看到旗桿頂點A,此時測得觀測者觀看鏡子的俯角

a=60。，觀測者眼睛與地面距離CD=1.7m,B￡）=llm