空間角與空間距離的求解

命題趨勢

空間角與空間距離問題一直是高考數學必考點與熱點考向。通常小題及解答題的第2小問考查，難度中等。

在高考復習過程中除了掌握空間向量法，還需多鍛煉幾何法的應用。

熱考題型解讀

題型1幾何法求異面直線夾角題型5幾何法求平面與平面夾角

題型2向量法求異面直線夾角題型6向量法求平面與平面夾角

題型3幾何法求直線與平面夾角題型7幾何法解決空間距離問題

題型4向量法求直線與平面夾角題型8向量法解決空間距離問題

【題型1幾何法求異面直線夾角】

滿分技巧

1、求異面直線所成角一般步驟：

(1)平移：選擇適當的點，線段的中點或端點，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線.

(2)證明：證明所作的角是異面直線所成的角.

(3)尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之.

(4)取舍：因為異面直線所成角。的取值范圍是10,會，所以所作的角為鈍角時，應取它的補角作為異

面直線所成的角.

2、可通過多種方法平移產生，主要有三種方法：

(1)直接平移法(可利用圖中已有的平行線)；

(2)中位線平移法；

(3)補形平移法(在已知圖形中，補作一個相同的幾何體，以便找到平行線).

【例1】(2023.寧夏石嘴山.高三石嘴山市第三中學校考期中)在正方體ABCD-ABGR中，M,N,P,

。分別為4B，m,A,D,@的中點，則異面直線MN與所成角的大小是()

【答案】C

【解析】在正方體ABCD-ABCR中，連接A穌A2,

由M，P分別為AB，a。的中點，得M,尸分別為A綜AA中點,

而N,。分別為的中點，則MN//AA,PQ〃AC,

因此NC4。或其補角是異面直線“V與PQ所成的角，

在ACA"中，AC=ADl=CDl=y/2AB,貝（!/CAR=：,

所以異面直線MN與PQ所成角的大小是全故選：C

【變式1」】（2022.全國.高三專題練習）如圖，S是圓錐的頂點，AS是底面直徑，點C在底面圓上.若△SAB

為正三角形，且tan^BAC=2,則異面直線AC與SB所成角的余弦值為（）

【答案】A

【解析】由已知ZAC3=90。，所以tanZBAC=M=2,

AC

設AC=2,則3C=4,可得AB=2右,

分別取ABIC的中點O,,連接OE,OD,DE,貝[]OE〃S3,8〃AC,

所以/DOE或其補角為異面直線AC與S3所成角，

過點E作砂JLAB于F,連接DP,

則/為。4中點，與底面垂直，且EF=2逐、立、工=姮,

222

在V5D9中，BD=-BC=2,BF=245x-=^,cos/ABC=織=正,

242AB5

13

DF2=BF2+BD2-2BF-BD-cosZABC=—,

所以DE?=EF?+DF?=7f

所以在ADOE中,cosZDOE=---------------=----

2ODOE10

所以異面直線AC與S3所成角的余弦值為哈.故選：A.

【變式1-2]（2024.廣東.高三校聯考開學考試）如圖，在直三棱柱ABC-中，所有棱長都相等，D,

E,尸分別是棱A3,BC,BQ的中點，則異面直線。尸與C|E所成角的余弦值是（）

A.——B.—C.—D.—

10101010

【答案】D

【解析】連接蘇，因為在直三棱柱ABC-4AG中，E,尸分別是棱BC,的中點，

故C/〃BE,CXF=BE,即四邊形BEC/為平行四邊形，

直三棱柱ABC-A耳G中，所有棱長都相等，設其棱長為2,

連接EF,DE,則EE=2,E/〃8月，而平面ABC,故斯/平面ABC,

DEu平面ABC,故EFIDE,

。是棱AB的中點，故DE=）AC=I,則DF=JEF、DE2=亞，

而巧尸=NEP+BE。=非,又DB=1,

DF2+BF2-DB25+5-19

故在ADBF中，cosNDFB=-----------------------=——,

'2DFBF2?班?近10

由于異面直線所成角的范圍為大于0。，小于等于90。，

9

故異面直線。尸與GE所成角的余弦值是二，故選：D

【變式1-3]（2022.全國.模擬預測）已知正方形A5CD的邊長為2，把△ABD沿3。折起，使點A與點E重

合，若三棱錐E-8CD的外接球球心。到直線CE的距離為好,則異面直線BC與。E所成角的余弦值為

2

（）

【答案】A

【解析】易得三棱錐E-BCZ）的外接球球心。為此的中點，連接OE,OC,貝KE=OC=應，

取CE的中點〃，連接OH,易知,

則3為點。到直線CE的距離，即QF/=半，/h

取的的中點尸，連接。尸，HF,得FH//BC,OF//DE,

則NO切或其補角是異面直線BC與。E所成角.

12+12-

因為OF=FH=1,所以OF?+FH2-OH2

cosZOFH=----------------

4

則異面直線3c與DE所成角的余弦值為:，故選：A.

【變式1-4]（2023.安徽.高三池州市第一中學校聯考階段練習）在正四棱臺ABC。-ABC9中，

CD=2CR=2，點。是底面ABCZ）的中心，若該四棱臺的側面積為3而,則異面直線。G與四所成角的

余弦值為（）

A.lBlC.|D.叵

8488

【答案】A

【解析】由題意知：正四棱臺側面為等腰梯形，

連接：AC,DB,。8-ODX,OCX,B。一作用E_LBC,如下圖所示，

因為棱臺側面積為3JI?,D工g

1_/7T,Z\

即：4乂;、（36+2。）><25=3厲，得：8乃=半，4X\

22/，必股\

所以：側棱長用

AB

因為：CD=2QD一得：OB=BiD1,

又因為：。8||4〃，所以：四邊形。班以是平行四邊形,

所以：=OG=2,zc,or>,（或其補角）是異面直線。G與84所成的角，

根據余弦定理可知：儂“M二氣手|黑丁］,故A項正確.故選：A.

【題型2向量法求異面直線夾角】

滿分技巧

異面直線所成角：若同值分別為直線14的方向向量，夕為直線/j的夾角，則

［例2］（2023?山東德州?高三德州市第一中學校考階段練習）如圖，在直三棱柱ABC-ABC中，

AA,=2AB=2AC,且AB/AC,D,E分別是棱BC,網的中點，則異面直線4。與所成角的正弦

C,巫回

9~6~

【答案】A

【解析】如圖所示：以AB，AC，的為％y，z軸建立空間直角坐標系，設AC=2,

則A(0,0,4),0(1,1,0),G(0,2,4),磯2,0,2),

40=(1,1,-1),甲=(-2,2,2),

麗?麻-2+2-82A/6

cosA)￡),6,E=

麗.礙-718x^/12

異面直線AQ與CE所成角的正弦值是J1-cos?而，印=殍.故選:A.

【變式2-1】（2023.安徽.高三校聯考期末）已知A3是圓錐尸。底面的直徑，。為底面圓心，C為半圓弧A3

的中點，D,E分別為線段9,3C的中點，出=2五，AB=4,則異面直線8與PE所成角的余弦值

為（)

A.返1172C5后3A/39

2618,2626

【答案】B

【解析】因為C為半圓弧A3的中點，則COLAB,如圖，建立空間直角坐標系，

因為尸4=2百,AB=4,

C為半圓弧A3的中點，D,E分別為線段上4,BC的中點，

則4(2,0,0),尸(0,0,4),C(0,2,0),3(-2,0,0),D(l,0,2),E(-l,l,0),

所以而=(1,-2,2),而=(-1,1,-4),

設異面直線8與PE所成角的角為0,

1111忘

則cos?=|cosCD,PE|=,故選：B.

|CD|-|PE|3A/1818

【變式2-2］（2024?江西.高三統考期末）已知圓柱的底面半徑為1,高為2,A3,8分別為上、下底面圓

4

的直徑，四面體"CQ的體積為§,則直線AC與囪）所成角的余弦值為（）

A.正B.BC.—D,-

3333

【答案】D

【解析】如圖，找底面圓心。，作OG與底面垂直，OF//AB,OM^OF,

故以。為原點，建立空間直角坐標系，規定4。，T，2）,3（。,1,2）,

設C(x,y,0),。(一x,-y,0),

易知底面圓方程為一+/=1,則通=(0,2,0),AC=(x,y+1,-2),

2y+2

故cos/CAB=sinZCAB=

2j?+4+(y+l)2

設。到面48c的距離為d，設面ABC的法向量;?=（x°,%,z°）,

2

故有2%=。，*o+(y+l)yo-2zo=。，解得/=-，%=。，z0=1,

x

一2

故”=（-,0,1）,由點到平面的距離公式得

X

4

已知四面體ABCD的體積為§,

24

—=-x7x+4x?=

故得33I]?4,解得％=1（負根舍去）,

易得y=0,故C(1,O,O),￡>(-1,0,0),

AC=(1,1,-2),B5=(-1,-1,-2),

1-2+411

設直線AC與3。所成角為6,故有cos。=故選：D

【變式2-3】（2024.湖南長沙?高三長沙一中校考開學考試）三棱錐P-ABC中，尸4,平面ABC,

AB=BC=2.PA=26，點。是面內的動點（不含邊界），ADLCD，則異面直線8與A3所成角的

余弦值的取值范圍為（

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】由平面ABC,8CU平面ABC，得PAJ_BC,

又ABL3C,24n■=平面上4B,則BC/平面E4B,

ADu平面,則AD18C,

XAD±CZ),BC^CD=C,BC,CDcBCD,

因此AD_L平面BCD,而3￡>u平面BCD,則ADSBD,

如圖，以A為坐標原點，而，就，羽的方向為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標系，

則4(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),尸(0,0,2我，

設O(x,0,z),AD=(x,0,z),BD=(x-2,0,z),

3

由，彳導V—2%+z2=0(0<]<]),

AB=(2,0,0),CD=(x-2,-2,z),

設異面直線8與所成角為6,

\ABCD\2(2-x)2-x

則cos0=|cos(AB,CD)|=

I畫I畫一2j(x-2)2+4+z2一'

-------fu)產一2

令｛4—x=t，貝[|%w(-x--,2),cos3=-j=—

2<2t

顯然函數y="2在(典,2)上單調遞增，此時

,1),cos。

t2t

所以異面直線CD與AB所成角的余弦值的取值范圍為耳I，點）.故選：A

【變式2-4】（2023?廣東汕頭?高三潮陽實驗學校校考階段練習）正四棱錐的側棱長為正，底面的邊長為百,

E是PA的中點，則異面直線BE與PC所成的角為（）

A71c兀

A-6R兀

B-7DI

【答案】c

【解析】連接AC3。,交于點。，連接尸O,

以。4為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，

,??正四棱推的側棱長為0,底面的邊長為g,E是9的中點，

:6=蚌叵=顯

,OP

22

、c、

fV6

A,0,0,P0,0,孚,￡臣0金,B0,坐,o],C

~T44I2

7\7I'7

A/6yf2

~BE=

'一石不,PC=-字。,-

7

設異面直線仍與PC所成的角為。，

BEPC1

則cos0=；?Y

BE\\PC72X72I，

TT

.?異面直線仍與PC所成的角為］.故選：C.

【題型3幾何法求直線與平面夾角】

滿分技巧

1、垂線法求線面角（也稱直接法）：

（1）先確定斜線與平面，找到線面的交點B為斜足；找線在面外的一點A,過點A向平面a做垂線，確

定垂足O；

（2）連結斜足與垂足為斜線AB在面a上的投影；投影BO與斜線AB之間的夾角為線面角；

（3）把投影BO與斜線AB歸到一個三角形中進行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）

3、公式法求線面角（也稱等體積法）：

用等體積法，求出斜線PA在面外的一點P到面的距離，利用三角形的正弦公式進行求解。

公式為：sine=彳,其中。是斜線與平面所成的角，八是垂線段的長，（是斜線段的長。

方法：已知平面廠內一個多邊形的面積為S,它在平面a內的射影圖形的面積為勾田,

s

平面a和平面夕所成的二面角的大小為夕,則cose=等.這個方法對于無棱二面角的求解很簡便。

[例3]（2022.全國?高三專題練習）在正方體ABCD-ABCQ中，棱BC,4用的中點分別為E，/，貝恒

線EF與平面AB4A所成角的正弦值為（）

AB2小Q^6口^/30

5566

【答案】C

【解析】連接,在正方體ABC。-A4GR中，8cl平面q4,

棱BC的中點為E,則BE，平面ABB^,

而BFu平面ABB^，故BELBF,

則NEFB即為直線EF與平面ABB,4所成角，

設正方體棱長為2,貝（JBE=1,2P=廊耳請=71^4=石，

則EFZBP+BE。=底,

故sin/EFB=^=、=￡，故選：C

EFJ66

【變式3-1J2024.山西運城.高三統考期末）已知四棱錐P-AfiCD的底面是邊長為4的正方形,PA=PB=3,

/PAC=45。，則直線PD與平面A5C。夾角的正弦值為（）

A亞B.mC.@D.2

171733

【答案】B

【解析】如圖，由題意可知，AC=40,

△PAC中，根據余弦定理可知尸C?=9+32—2x3x4&、變=17,貝!）PC=g,

2

過點p作尸。1平面ABCD,OMrAB,連結PM,ONIBC,連結PN,

因為尸0/平面ABC。,ABu平面ABC。,所以「0LAB

OM[}PO=O,且OM,POu平面尸OM

所以431平面「QM,PA/u平面尸OAf,

所以ABJ_R0,又因為24=尸3=3,所以M4=MB=2,

同理尸N,3c,

△PBC中，COSZP8C=9：1?一：7=!,則$山/尸2。=迪,

2x3x433

根據等面積公式，，x3x4x區1='X4XPN,

232

所以PN=20,NC=y/PC2-PN2=V17-8=3,OD=d方+*=岳

又ON=MB=2,所以po=NPN?-ON?=2,

則PD=NPO?+on?=而,

直線尸。與平面ABC。夾角的夾角為"DO,sinZPDO=需=京=岑.故選：B

【變式3-2］（2024.黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱市第六中學校校聯考期末）過正四棱錐P-ABCD的高的

中點作平行于底面A3。的截面ABC2,若四棱錐P-ABCD與四棱臺ABCD-ABGR的表面積之比為

12

-,則直線母I與底面A3C。所成角的余弦值為（）

A.叵B.姮C."D.走

5533

【答案】A

【解析】依題意過正四棱錐P-ASCD的高產”的中點作平行于底面"CD的截面4BCA,

則A,4,G,。1分別為9,PB,PC,PD的中點，

設正方形ABCD的邊長為a,PA=b,

所以正方形ABCD的面積為1,正方形4片￡，的面積為:/,

2

正四棱錐的側面積為4xga卜一||J=2Jb2_M,

四棱臺ABCD-AAGA的側面積為

所以正四棱錐P-ABCD的表面積為a2+2a

四棱臺ABCD-ABGR的表面積為"+1=|a2+|a.

2U,

由尸人平面筋8,所以,為直線PA與底面所成角,所以=A

又AH=aIPA=b=--a,

22

所以cosZPAH=半.故選：A.

【變式3-312023?全國?高三校聯考階段練習并圖在三棱臺ABC-A與G中，的，平面ABC,ZABC=90°,

(1)求證：平面，平面8CG4；

(2)求AC與平面BCG耳所成角正弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)sin。=(

【解析】(1)由ZABC=90。，彳導AB上BC,

由相，平面ABC,3Cu平面ABC,則44,，BC,

又A41cABnAAVABu平面4期4，所以3C/平面A即A,

因為3Cu平面ABC,B,,所以平面ABB^±平面BCC}B}.

(2)將棱臺補全為如下棱錐D-ABC,

由ZABC=90。,AA=48=4G=1,AB=2,易知ZM=AB=3C=2,AC=2五,

由AA?L平面ABC,AB,AC,BCu平面ABC，則441_LAB,±AC,AAt1.BC,

所以應＞=2A/^,CD=2A/3，可得SABCD=3x2x2母=2近,

設A到平面BCG用的距離為/7,

又力.ABC=CBCD,則;X2x；x2x2=；〃x2&,可得人=0,

設AC與平面BCG4所成角為6,。/0,事，則sin"?：.

乙ACZ

【變式3-4］（2023?河北滄州?高三泊頭市第一中學校聯考階段練習放口圖，在四棱錐E-ASCD中,AB//CD,

1-L

BC1AB,CD1CE,ZADC=ZEDC=45°,AB=-CD,AD=y/2,BE=y/3.

（1）求證：平面BCE，平面ABC。;

（2）若M為AE上一點，S.DM=^（DA+DE）,求直線DW與平面ABC。所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）f

4

【解析】（1）-BC1AB,AB//CD，:.CD1BC,

?;CD_LCE,BCC\CE=C,BC,CEu平面BCE,\CDA平面3CE,

?.?CDu平面ABCD，，平面BCEJ_平面ABCD；

（2）取的中點N.連接DN、MN,

由（1）知CD,平面BCE,

?.?3Eu平面BCE,:.CD±BE,

如圖，過點A作A尸LCD,

?.?ZADC=45°,AD=5/2,：.AF=\,DF=FC=1,:.BC=1,

?;/EDC=45：CDLCE,：.CD=CE=2,

?.?B￡=A/3,由勾股定理可知鹿，3c,

BCC\CD=C,BC、C￡>u平面ABCD,平面ABCD,

-：DM='^DA+DE），，”為AE的中點，

平面ABC。，,ZMDN為直線DM與平面ABCD所成角,

由（1）知CDLBC,又ABICD,AB=；CD,

ZADC=45°,AD=y[2,AB=BC=^CD=1,

______________________________府

貝!JON=，A02+4V2—2A?4V?COS/OAN=",

2

133

:.DM2=DN2+MN2=一+—=4..DM=2,

44

?…zrMN2=6

sin/MDN=-----

DM~2~~^

，直線加與平面"CD所成角的正弦值為%

【題型4向量法求直線與平面夾角】

滿分技巧

直線與平面所成角：設E是直線/的方向向量，足是平面a的法向量，直線與平面的夾角為氏則

sin。=cos<%,%>

【例4】（2023?福建福州?高三校聯考期中）正四棱柱ABC。-ABCQ中，AB=3C=2,四面體AC耳口體

Q

積為§,則AC與平面BGA所成角的正弦值為（）

【答案】C

Q

【解析】設朋=。,因為四面體體積為§,

11Q

所以丫=4<2-4x—X—x2x2xtz=-,解得。=2,

建立如圖所示空間直角坐標系：

則4(2,0,0)6(0,2,2),8(2,2,0)4(2,0,2),

所以ACX=(一2,2,2),甌=(0,-2,2),=(-2,0,2),

設平面BGA的一個法向量為正=(x,y,z),

-m=0f-2y+2z=0

-m=0'即\—2x+2z=0'

令犬=1,貝！Jz=l,y=lf所以m=,

設AG與平面6C4所成的角為0,

-m

^^sin^=|cos^AC,m^|=2

1辰雨=泰落§'故選:C

【變式4-1]（2023?上海嘉定?高三校考期中）在正方體ABC。-ABQQ中，。是AC中點，點P在線段AG

上,若直線。尸與平面ABG所成的角為，,貝Ucosd的取值范圍是（)

FA/32V21FA/6y/71.「2萬&T任V13

AA?h]BD.[§，司C.[亍，丁D-式

【答案】B

【解析】設正方體邊長為2,以。為原點建立空間直角坐標系如圖所示,

則0(1,1,0),4(2,0,2),B(2,2,0),C,(0,2,2),

lgP(a,2-a,2)(0<a<2),

貝脈=(a-1,1-a,2),奉=(0,2,-2),而'=(-2,2,0),

設平面4BG的法向量為/=（%,，/）,

n=02y-2z=0

則―2x+2…取Lj=l

-n=0

所以％=（1,1,1）為平面\BC1的一個法向量，

所以疝二|留|=耳a—1后+1—〃=+至221

0飛飛X—+2

由于04q42,所以J(。-If+2epi百］,

21?JjA/3

所以.八百衍二'

因為6Og所以cos"Jl-sin?de與（■.故選：B

【變式4-2】（2023?四川南充統考一模）如圖，在四棱錐。-4?￡>￡中，DEI平面BCD,AB=AD=26,

（1）求證：AE//平面BCD；

（2）若BC,CD,二面角A-BC-D的正切值為2&,求直線CE與平面ABC所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）?

【解析】（1）如圖，取8。中點。，連接A。，因為AB=A￡>=2若,BD=4,

所以,且AO=dAD?-OD。=&2-4=2插,

又。平面BCD,即u平面BCD,所以DELBD,

又AO,DEu面ABDE,所以DE//AO,

又AO=DE=2近，所以四邊形AODE是平行四邊形，得到AE〃OD,

又。。u平面BCD,AE<Z平面BCD,所以AE//平面BCD

（2）如圖，取3c中點M,連接OM,AM,則OM//DC,

因為￡>EJ,平面BCD，由（1）知D￡V/AO,所以AO_1_平面BCD,

又BCLCD,所以QWL3C,過M作///Q4,建立如圖所示的空間直角坐標系知一孫z,

因為40,平面BCD,BCu面BCD,所以A013C,

又OM,3c,OMr>AO=O,所以3C1面AON,

又AMu面AOM，所以

故ZAMO為二面角A-BC-D的平面角，所以,

OM

又AO=2夜,所以OM=1,又即=4,所以BC=，8￡)2一⑦=J16-4=2百,

所以B(O,-73,O),C(O,/0),A(-l,0,2回,E(-2,瓜272),

則配=(0,2A/3,0),AB=(1,一6,-2血),CE=(-2,0,20),

設平面ABC的一個法向量為萬=（x,y,z）,

n-BC=020=0

則由＜…得到，

x-y/iy-2yf2z=0'

取天=20f=0*=1,所以萬=(20,0,1),

設直線CE與平面ABC所成角為6,

?\n-CS\1-472+2V2I2\/2-^6

貝[]sin。=COSH,CE\----1?=—,—----------廣

11\n\-\cE\也可3x2739

所以直線CE與平面ABC所成角的正弦值為當

【變式4-3］（2023?四川雅安?統考一模）如圖，在正方體ABCD-中，點尸是線段相上的動點（含

端點），點。是線段AC的中點，設PQ與平面ACA所成角為e,貝hose的最小值是（）

C.延D還

33

【答案】A

【解析】如圖，以點。為原點建立空間直角坐標系，

設=,不妨設鉆=2,

則A（2,0,0）,C（0,2,0）,Q（Ll,0）,〃（0,0,2）,312,2,2）,

故/=（-2,2,0）由=（-2,0,2）,

PQ=AQ-AP=AQ-2A^=（-l,l,0）-A（0,2,2）=（-l,l-2A,-2A）,

設平面AC"的法向量為萬=（x,y,z）,

n-AC=-lx+2y=G/、

則——，可取為=(1,1,1),

nADx=-2x+2z=0

一

??\PQ-n\I-1+1-2A-224A

貝"sin0=cosPQ,n\=i-----=-j=

|尸0同^1+(1-22)2+(-22)2xV3?屈2-4A+2

\2

42I18萬

所以cos0=Vl-sin20=1-

、百々8X2—44+2/12A2-62+3

當4=0時，cos0=1,

,1cos江?

當北（0,1］時，。/V.12A2-6A+312-9+且

V222

11

當彳=1,即2=1時，（cos0）3=a,

Aa

綜上所述，COS6的最小值是;.故選：A.

【變式4-4】(2024?江蘇南通?高三海安高級中學校考開學考試)如圖，己知三棱臺ABC-AAG的高為1,

AB=AC=2,ZBAC=90°,0為BC的中點，=A.C,=1,Z^AB^Z^AC，平面ABC,平面ABC.

(1)求證：A。，平面ABC;

(2)求cq與平面AB4A所成角的大小.

【答案】(1)證明見解析；(2)30°

【解析】(1)由A8=AC=2,=ZA^AC,M,

故△44。與皿8全等，故*=48,

又。為BC的中點，故AQ_L8C,

又3C=平面ABCc平面ABC,平面ABC，平面ABC,

且AQu平面A0C,故A。，平面ABC；

(2)連接A。,由AOu平面ABC,AQL平面ABC，故A。，A。，

又AB=AC=2,。為BC的中點，故A0/3C,

即BC、AO、AQ兩兩垂直，且OA=；BC=|?衣'^'二血，

故可以。為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，

有0(0,0,0)、川后0,0)、A(0,&,0)、C(-A/2,0,0),

由三棱臺ABC-A⑸G的高為1,故。A=1,

故4(0,0,1),4佟，-冬1]、冬-冬1]，

\/\7

貝(JCC],A3=(0,-0,O),AB[=，，一

令平面A244的法向量為碗=(x，y，z),

y/lx-=0

m?AB=0

則有，即3A/2_

m-AB1=0——x--------y+z=。

I22

令x=i,貝!J有y=i、z=V2,故/=（1,L應）,

CC-m1

則有cosCC,m=X

X|cq|-HJg+g+l'Jl+l+22，

故CG與平面所成角的正弦值為g,

即CC,與平面A網A所成角為30°.

【題型5幾何法求平面與平面夾角】

滿分技巧

1、定義法(棱上一點雙垂線法)：提供了添輔助線的一種規律

(1)方法：在二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內分別過該點作垂直于棱的射線.

(2)具體演示：如圖所示，以二面角的棱?上的任意一點。為端點，

在兩個面內分別作垂直于a的兩條射線0A,0B,則NAO8為此二面角的平面角

2、三垂線法(面上一點雙垂線法)--最常用

(1)方法：自二面角的一個面上一點向另外一個面作垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(即斜足),

斜足和面上一點的連線與斜足和垂足的連線所夾的角，即為二面角的平面角

(2)具體演示：在平面a內選一點A向另一個平面￡作垂線AB,垂足為B,再過點B向棱a作垂線B0,

垂足為0,連接A。,則NA02就是二面角的平面角。

3、垂面法(空間一點垂面法)

(1)方法：過空間一點作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平

面角。

【例5】（2024.全國模擬預測）已知三棱錐尸-ABC的外接球半徑為5,AB=6,ZACB=90°,ZAPB=6O0,

則平面尸4?與平面ABC的夾角的余弦值為（）

【答案】D

【解析】不妨設二面角尸-AB-C為銳角，設A3的中點為M,

因為NAC3=90。，所以M為AABC的外接圓圓心；設49的外接圓圓心為N,

三棱錐尸-ABC的外接球球心為。，如圖，翅妾OM,ON,MN,OC,

則OM_L平面ABC,ON_L平面RIB,MN_LAB,

在ABAB中，ZAP