7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差(精講）目錄一、必備知識分層透析二、重點(diǎn)題型分類研究題型1:求離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差題型2：離散型隨機(jī)變量的方差公式及性質(zhì)題型3：兩點(diǎn)分布的方差題型4：方差的實(shí)際應(yīng)用三、高考（模擬）題體驗(yàn)一、必備知識分層透析知識點(diǎn)1：離散型隨機(jī)變量的方差（1）離散型隨機(jī)變量的方差的概念一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布列為：…………則稱為隨機(jī)變量的方差，有時也記為.稱為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差.（2）離散型隨機(jī)變量的方差的深層理解①離散型隨機(jī)變量的方差是個數(shù)值，是隨機(jī)變量的一個重要特征數(shù).描述了()相對于均值的偏離程度，而是上述偏離程度的加權(quán)平均值，刻畫了隨機(jī)變量的取值與其均值的平均偏離程度.隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定性和波動、集中與離散程度，越大，表明平均偏離程度越大，的取值越分散；反之，越小，的取值越集中在附近.②標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量有相同的單位，而方差的單位是隨機(jī)變量單位的平方.③均值與方差的關(guān)系在實(shí)際問題中僅靠均值還不能全面地說明隨機(jī)變量的特征，還必須研究隨機(jī)變量的集中與離散程度，這就需要求出方差.④方差公式的變形：⑤方差也是一個常數(shù)，它不具有隨機(jī)性，方差的值一定非負(fù).（3）兩點(diǎn)分布的方差公式一般地，如果隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，那么:.10（4）方差的性質(zhì)若與都是隨機(jī)變量，且，則由與之間分布列的關(guān)系可知.知識點(diǎn)2：樣本方差與離散型隨機(jī)變量方差的比較（1）樣本方差樣本數(shù)據(jù)；；；；記均值：，其中.方差：（2）離散型隨機(jī)變量方差離散型隨機(jī)變量的分布列…………均值方差：知識點(diǎn)3：求離散型隨機(jī)變量的方差步驟(1)理解離散型隨機(jī)變量的意義，寫出所有可能的取值.(2)判斷離散型隨機(jī)變量是否服從特殊分布（如兩點(diǎn)分布等).若服從特殊分布，則可利用公式直接求解；若不服從特殊分布，則繼續(xù)下面步驟.(3)求出離散型隨機(jī)變量取每個值的概率.(4)寫出離散型隨機(jī)變量的分布列.(5)利用均值的定義求.(6)利用求方差.其中求均值的關(guān)鍵是寫出離散型隨機(jī)變量的分布列，前提是準(zhǔn)確列出所有可能的取值，并真正理解取值的意義.二、重點(diǎn)題型分類研究題型1:求離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若隨機(jī)變量的分布列如表，則的方差是（

）01A．0 B．1 C． D．【答案】D【詳解】解：，則.故選：D.例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列為：01則當(dāng)在上增大時（

）A．單調(diào)遞增，最大值為B．先增后減，最大值為C．單調(diào)遞減，最小值為D．先減后增，最小值為【答案】D【詳解】由題知，解得，所以所以由二次函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，有最小值.故選：D例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）隨機(jī)變量的可能值，且，則D的最大值為___________.【答案】1【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量的可能值有1，2，3，且，所以，由，得所以.，，當(dāng)時，的最大值為故答案為：1例題4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）不透明袋中裝有質(zhì)地，大小相同的4個紅球，個白球，若從中不放回地取出2個球，在第一個取出的球是紅球的前提下，第二個取出的球是白球的概率為．(1)求白球的個數(shù)；(2)若有放回的取出兩個求，記取出的紅球個數(shù)為，求，．【答案】(1)(2)；（1）解：由題意知，袋中裝有質(zhì)地，大小相同的4個紅球，m個白球，因?yàn)榈谝粋€取出的球是紅球，第二個取出的球是白球的概率為，可得，解得．（2）解：由題意，隨機(jī)變量可能為，則，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：012則期望為，方差為.同類題型演練1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的分布列如下表：012P？!？其中，盡管“!”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相同.據(jù)此計(jì)算，下列各式中：①；②；③，正確的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【詳解】設(shè)“？”處的數(shù)據(jù)為則“!”處數(shù)據(jù)為,則,故,故選:C2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列為X012Pb則當(dāng)在內(nèi)增大時（

）A．增大 B．減小 C．先減小后增大 D．先增大后減小【答案】A【詳解】根據(jù)隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可知，，，因?yàn)椋詥握{(diào)遞增，故選：A3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，隨機(jī)變量X的分布列是（

）X01Pb則當(dāng)a在內(nèi)增大時，（

）A．增大 B．減小 C．先增大再減小 D．先減小再增大【答案】C【詳解】解折：因?yàn)椋裕驗(yàn)椋运援?dāng)時，增大增大，當(dāng)時，減小減小.故選：C.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列如下，012Pba(1)求的取值范圍；(2)當(dāng)a為何值時，取最大值？并求出的最大值.【答案】(1)，；(2)當(dāng)時，取得最大值.（1）依題意，，解得，又，解得，所以，.（2）由（1）知，，，所以當(dāng)時，取得最大值.題型2：離散型隨機(jī)變量的方差公式及性質(zhì)典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）今年3月份以來，隨著疫情在深圳、上海等地爆發(fā)，國內(nèi)消費(fèi)受到影響，為了促進(jìn)消費(fèi)回暖，全國超過19個省份都派發(fā)了消費(fèi)券，合計(jì)金額高達(dá)50億元通過發(fā)放消費(fèi)券的形式，可以有效補(bǔ)貼中低收入階層，帶動消費(fèi)，從而增加企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)能，最終拉動經(jīng)濟(jì)增長，除此之外，消費(fèi)券還能在假期留住本市居民，減少節(jié)日期間在各個城市之間的往來，客觀上能夠達(dá)到降低傳播新冠疫情的效果，佛山市某單位響應(yīng)政策號召，組織本單位員工參加抽獎得消費(fèi)優(yōu)惠券活動，抽獎規(guī)則是：從裝有質(zhì)地均勻、大小相同的2個黃球、3個紅球的箱子中隨機(jī)摸出2個球，若恰有1個紅球可獲得20元優(yōu)惠券，2個都是紅球可獲得50元優(yōu)惠券，其它情況無優(yōu)惠券，則在一次抽獎中：(1)求摸出2個紅球的概率；(2)設(shè)獲得優(yōu)惠券金額為，求的方差．【答案】(1)(2)261（1）記事件A：摸出2個紅球.則.（2）由題意可得：X的可能取值為：0，20，50.則：；；.所以數(shù)學(xué)期望，方差.例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某袋中裝有大小相同質(zhì)地均勻的5個球，其中3個黑球和2個白球．從袋中隨機(jī)取出2個球，記取出白球的個數(shù)為，（1）求的概率即（2）求取出白球的數(shù)學(xué)期望和方差【答案】（1）；（2），.【詳解】（1）因?yàn)椋裕?）的可能取值為，，所以的分布列為：012所以例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知兩個投資項(xiàng)目的利潤率分別為隨機(jī)變量和，根據(jù)市場分析，和的分布列如下：(1)在兩個項(xiàng)目上各投資200萬元，和（單位：萬元）表示投資項(xiàng)目和所獲得的利潤，求和；(2)將萬元投資項(xiàng)目，萬元投資項(xiàng)目，表示投資項(xiàng)目所得利潤的方差與投資項(xiàng)目所得利潤的方差之和.則當(dāng)為何值時，取得最小值？【答案】(1)=24，=36；(2).（1）依題意得：102041624，.（2）設(shè)投資項(xiàng)目所獲利潤為，投資項(xiàng)目所獲利潤為.，故當(dāng)時，取得最小值.例題4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）隨著經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，市場條件的成熟以及監(jiān)管機(jī)制的不斷完善，投資理財(cái)逐漸融入人們的生活.若家庭有資產(chǎn)萬，他們的投資預(yù)期年收益率不低于，通過考察，有兩個投資方案供他們選擇：甲方案：年收益(萬元)概率()乙方案：年收益(萬元)概率()（1）如果家庭投資甲方案，且達(dá)到他們的投資預(yù)期年收益率，試求的最小值；（2）在（1）的條件下他們投資哪個方案較好？請說明理由；（3）若年收益率不變，根據(jù)（2）中的選擇，那么他們至少需要多少年才會使資產(chǎn)翻一番？注：上年度的收益和本金都作為下年度的投資本金，，.【答案】（1）；（2）甲方案比較好，理由見解析；（3）年.【詳解】（1）設(shè)他們投資甲方案的年收益為，則，∴要達(dá)到他們的投資預(yù)期年收益率，則，解得，又∵，，∴，即；（2）由（1）知：，設(shè)投資乙方案的年收益為，則，

設(shè)投資甲方案的方差為，則，設(shè)投資乙方案的方差為，則，∵，，∴選擇甲方案比較好，（3）假設(shè)至少需要年才會使資產(chǎn)翻一番，由已知得甲方案的年收益率為，∴，即，∴至少需要年才會使資產(chǎn)翻一番.同類題型演練1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）為迎接2022年北京冬奧會，推廣滑雪運(yùn)動，某滑雪場開展滑雪促銷活動．該滑雪場的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時間不超過1小時免費(fèi)，超過1小時的部分每小時收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時的部分按1小時計(jì)算)．有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來該滑雪場運(yùn)動，設(shè)甲、乙不超過1小時離開的概率分別為；1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為；兩人滑雪時間都不會超過3小時．(1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列與均值E(ξ)，方差D(ξ)．【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）兩人所付費(fèi)用相同，相同的費(fèi)用可能為0，40，80元，甲、乙兩人2小時以上且不超過3小時離開的概率分別為1－－＝，1－－＝．兩人都付0元的概率為P1＝×＝，兩人都付40元的概率為P2＝×＝，兩人都付80元的概率為P3＝×＝，則兩人所付費(fèi)用相同的概率為P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝．（2）ξ的所有可能取值為0，40，80，120，160，則P(ξ＝0)＝×＝，P(ξ＝40)＝×＋×＝，P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝，P(ξ＝120)＝×＋×＝，P(ξ＝160)＝×＝．所以ξ的分布列為ξ04080120160PE(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80，D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）為了響應(yīng)大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)的號召，小李畢業(yè)后開了水果店，水果店每天以每個5元的價格從農(nóng)場購進(jìn)若干西瓜，然后以每個10元的價格出售．如果當(dāng)天賣不完，剩下的西瓜作贈品處理．(1)若水果店一天購進(jìn)16個西瓜，求當(dāng)天的利潤（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量（單位：個，）的函數(shù)解析式；(2)水果店記錄了100天西瓜的日需求量（單位：個），整理得下表：日需求量14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率．①若水果店一天購進(jìn)16個西瓜，表示當(dāng)天的利潤（單位：元），求的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差；②若水果店計(jì)劃一天購進(jìn)16個或17個西瓜，你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)16個還是17個？請說明理由．【答案】(1)(2)①分布列見解析；期望為，方差；②應(yīng)購進(jìn)17個；理由見解析（1）解：當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以.（2）解：①依題意可得的可能取值為，，，所以，，，所以的分布列為所以，．②購進(jìn)個時，當(dāng)天的利潤為，因?yàn)椋詰?yīng)購進(jìn)17個．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）袋中裝有大小相同的2個白球和3個黑球．(1)采取放回抽樣方式，從中依次摸出兩個球，求兩球顏色不同的概率；(2)采取不放回抽樣方式，從中依次模出兩個球，記為摸出兩球中白球的個數(shù)，求的期望和方差．【答案】(1)(2)，（1）記“摸出一球，放回后再摸出一個球，兩球顏色不同”為事件A，摸出一球是白球的概率為，摸出一球是黑球的概率為，由互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率公式得到．（2）由題意知，的可能取值為0，1，2，當(dāng)時，表示摸出兩球中白球的個數(shù)為0，當(dāng)時，表示摸出兩球中白球的個數(shù)為1，當(dāng)時，表示摸出兩球中白球的個數(shù)為2，∴，．即摸出白球個數(shù)ξ的期望和方差分別是，．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）為選拔奧運(yùn)會射擊選手，對甲、乙兩名射手進(jìn)行選拔測試.已知甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分分別為兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，，甲、乙兩名射手在每次射擊中擊中的環(huán)數(shù)均大于環(huán)，且甲射中，，，環(huán)的概率分別為，，，，乙射中，，環(huán)的概率分別為，，.(1)求，的分布列；(2)求，的均值與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)并從中選拔一人.【答案】(1)答案見解析；(2)，，，，甲的射擊技術(shù)好，選甲.（1）解：依據(jù)題意知，，解得.因?yàn)橐疑渲校h(huán)的概率分別為，，，所以乙射中環(huán)的概率為.所以，的分布列分別為（2）解：結(jié)合中，的分布列，可得：，，，.因?yàn)椋f明甲平均射中的環(huán)數(shù)比乙高.又因?yàn)椋f明甲射中的環(huán)數(shù)比乙集中，比較穩(wěn)定，所以甲的射擊技術(shù)好，故應(yīng)選甲.5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）為迎接年北京冬奧會，推廣滑雪運(yùn)動，某滑雪場開展滑雪促銷活動.該滑雪場的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時間不超過小時免費(fèi)，超過小時的部分每小時收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為元（不足1小時的部分按小時計(jì)算）.有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來該滑雪場運(yùn)動，設(shè)甲、乙不超過小時離開的概率分別為、；小時以上且不超過小時離開的概率分別為、；兩人滑雪時間都不會超過小時.（1）求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；（2）設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量（單位：元），求的分布列與數(shù)學(xué)期望，方差.【答案】（1）；（2）分布列見解析，，.【詳解】（1）兩人所付費(fèi)用相同，相同的費(fèi)用可能為、、元，兩人都付元的概率為，兩人都付元的概率為，兩人都付元的概率為.則兩人所付費(fèi)用相同的概率為；（2）設(shè)甲、乙所付費(fèi)用之和為，可能取值為、、、、，則，，，，.所以，隨機(jī)變量的分布列為..題型3：兩點(diǎn)分布的方差典型例題例題1．（2022·全國·高二專題練習(xí)）隨機(jī)變量的概率分布為，．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：由題意，得，∴，．由題意知隨機(jī)變量服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布，故．故選：D例題2．（2022春·甘肅張掖·高三高臺縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量滿足，，且，．若，則（

）．A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】B【詳解】由題知變量，的分布列均為兩點(diǎn)分布．變量，的分布列如下：0101則，，，，由，因?yàn)椋瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以.故選:B．例題3．（多選）（2022秋·黑龍江七臺河·高二勃利縣高級中學(xué)校考期中）若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，其中，，分別為隨機(jī)變量的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，所以，，所以，故A正確；，故B正確；，故C正確；，故D不正確.故選：ABC同類題型演練1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）有甲、乙兩個盒子，甲盒子里有個紅球，乙盒子里有個紅球和個黑球，現(xiàn)從乙盒子里隨機(jī)取出個球放入甲盒子后，再從甲盒子里隨機(jī)取一球，記取到的紅球個數(shù)為個，則隨著的增加，下列說法正確的是（

）A．增加，增加 B．增加，減小C．減小，增加 D．減小，減小【答案】C【詳解】由題意可知，從乙盒子里隨機(jī)取出個球，含有紅球個數(shù)服從超幾何分布，即，其中，其中，且，.故從甲盒中取球，相當(dāng)于從含有個紅球的個球中取一球，取到紅球個數(shù)為.故，隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，所以，隨著的增大，減小；，隨著的增大，增大.故選：C.2．（2022秋·北京·高二北京八十中校考期中）已知隨機(jī)變量滿足，，若，則A．，B．，C．，D．，【答案】C【詳解】依題意可知：0101由于，不妨設(shè).故,，故選C.3．（多選）（2022秋·廣東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，其中，，分別為隨機(jī)變量的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【詳解】隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，其中，，，，在A中，，故A正確；在B中，，故B正確；在C中，，故C錯誤；在D中，，故D正確．故選：ABD．題型4：方差的實(shí)際應(yīng)用典型例題例題1．（2022·上海虹口·統(tǒng)考一模）本市某區(qū)對全區(qū)高中生的身高（單位：厘米）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下的頻率分布直方圖．(1)若數(shù)據(jù)分布均勻，記隨機(jī)變量X為各區(qū)間中點(diǎn)所代表的身高，寫出X的分布列及期望；(2)已知本市身高在區(qū)間的市民人數(shù)約占全市總?cè)藬?shù)的10%，且全市高中生約占全市總?cè)藬?shù)的1.2%．現(xiàn)在要以該區(qū)本次統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)估算全市高中生身高情況，從本市市民中任取1人，若此人的身高位于區(qū)間，試估計(jì)此人是高中生的概率；(3)現(xiàn)從身高在區(qū)間的高中生中分層抽樣抽取一個80人的樣本．若身高在區(qū)間中樣本的均值為176厘米，方差為10；身高在區(qū)間中樣本的均值為184厘米，方差為16，試求這80人的方差．【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為171.7；(2)0.0312；(3)27.25【詳解】（1）由，解得．所以的分布列為X155165175185195205P0.220.270.250.150.10.01（2）設(shè)事件A為任取一名本市市民的身高位于區(qū)間，事件為任取一名本市市民為高中生，則，．所以．于是，此人是高中生的概率為0.0312．（3）由于身高在區(qū)間，的人數(shù)之比為5：3，所以分層抽樣抽取80人，區(qū)間，內(nèi)抽取的人數(shù)分別為50人與30人．在區(qū)間中抽取的50個樣本記為，，…，其均值為176，方差為10，即，．在區(qū)間中抽取的30個樣本記為，，…，．其均值為184，方差為16，即，；所以這80人身高的均值為．從而這80人身高的方差為因此，這80人身高的方差為27.25．例題2．（2022春·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)校考階段練習(xí)）某種水果按照果徑大小可分為四類：標(biāo)準(zhǔn)果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果.某采購商從采購的一批水果中隨機(jī)抽取100個，利用水果的等級分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下：等級標(biāo)準(zhǔn)果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果個數(shù)10304020(1)若將頻率視為概率，從這100個水果中有放回地隨機(jī)抽取5個，求恰好有2個水果是禮品果的概率（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）；(2)用樣本估計(jì)總體，果園老板提出兩種購銷方案給采購商參考，方案1：不分類賣出，單價為21元；方案2：分類賣出，分類后的水果售價如下：等級標(biāo)準(zhǔn)果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果售價（元16182224從采購商的角度考慮，應(yīng)該采用哪種方案？(3)用分層抽樣的方法從這100個水果中抽取10個，再從抽取的10個水果中隨機(jī)抽取3個，表示抽取的是精品果的數(shù)量，求的分布列及方差.【答案】(1)(2)應(yīng)該采用第二種方案，理由見詳解(3)分布列見詳解，【詳解】（1）記“從這100個水果中隨機(jī)抽取1個，這個水果是禮品果”為事件A，則，從這100個水果中有放回地隨機(jī)抽取5個，設(shè)禮品果的個數(shù)為，則，故恰好有2個水果是禮品果的概率.（2）方案2：每公斤的單價為（元），∵，故從采購商的角度考慮，應(yīng)該采用第二種方案.（3）用分層抽樣的方法從這100個水果中抽取10個，則標(biāo)準(zhǔn)果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果應(yīng)抽取的個數(shù)分別為，即4個精品果，6個非精品果，由題意可得：的可能取值有：，則有：,的分布列如下：0123P則，.例題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知投資甲?乙兩個項(xiàng)目的利潤率分別為隨機(jī)變量和.經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析，和的分布列分別為表1：表2：(1)若在甲?乙兩個項(xiàng)目上各投資100萬元，和分別表示投資甲?乙兩項(xiàng)目所獲得的利潤，求和的數(shù)學(xué)期望和方差，并由此分析投資甲?乙兩項(xiàng)目的利弊；(2)若在甲?乙兩個項(xiàng)目總共投資100萬元，求在甲?乙兩個項(xiàng)目上分別投資多少萬元時，可使所獲利潤的方差和最小？注：利潤率.【答案】(1)，，，，分析答案見解析(2)甲項(xiàng)目投資25萬元，乙項(xiàng)目投資75萬元（1）由題意，得，，，，由，又，得，，因此投資甲的平均利潤18萬元大于投資乙的平均利潤17萬元，但投資甲的方差48也遠(yuǎn)大于投資乙的方差16.所以投資甲的平均利潤大，方差也大，相對不穩(wěn)定，而投資乙的平均利潤小，方差也小，相對穩(wěn)定.若長期投資可選擇投資甲，若短期投資可選投資乙.（2）設(shè)萬元投資甲，則萬元投資了乙，則投資甲的利潤，投資乙的利潤設(shè)為投資甲所獲利潤的方差與投資乙所獲利潤的方差和，則當(dāng)時，的值最小.故此時甲項(xiàng)目投資25萬元，乙項(xiàng)目投資75萬元，可使所獲利潤的方差和最小.例題4．（2022·高二課時練習(xí)）為響應(yīng)市政府“綠色出行”的號召，王老師將工作日上下班的方式由自駕車改為乘坐地鐵或騎共享單車.根據(jù)王老師從2020年3月到2020年5月的出行情況統(tǒng)計(jì)可知，王老師每次出行乘坐地鐵的概率是0.4，騎共享單車的概率是0.6.乘坐地鐵單程所需的費(fèi)用是3元，騎共享單車單程所需的費(fèi)用是1元.記王老師在一個工作日內(nèi)上下班（一個工作日內(nèi)上?下班各一次）的交通總費(fèi)用為元，假設(shè)王老師上下班選擇出行方式是相互獨(dú)立的.（1）求的分布列和數(shù)學(xué)期望.（2）已知王老師在2020年6月的所有工作日（按22個工作日計(jì)）的交通總費(fèi)用共110元，請依據(jù)以下原則，判斷王老師6月的出行規(guī)律與3~5月的出行規(guī)律相比是否發(fā)生明顯變化.原則：設(shè)表示王老師某月每個工作日出行的平均費(fèi)用，若，則有95%的把握認(rèn)為王老師該月的出行規(guī)律與前幾個月的出行規(guī)律相比有明顯變化.【答案】（1）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望為；（2）有95%的把握認(rèn)為王老師6月的出行規(guī)律與3~5月的出行規(guī)律相比發(fā)生了明顯變化.【詳解】（1）依題意，的可能取值是2，4，6，則，，.的分布列為2460.360.480.16.（2）∵6月共有22個工作日，其交通總費(fèi)用為110元，∴每個工作日出行的平均費(fèi)用（元）.又，則，∴有95%的把握認(rèn)為王老師6月的出行規(guī)律與3~5月的出行規(guī)律相比發(fā)生了明顯變化.同類題型演練1．（2022秋·上海楊浦·高二上海市楊浦高級中學(xué)校考期末）某網(wǎng)站規(guī)定：一個郵箱在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤，該郵箱將被鎖定24小時.小王發(fā)現(xiàn)自己忘記了郵箱密碼，但是可以確定該郵箱的正確密碼是他常用的6個密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個進(jìn)行嘗試.若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該郵箱被鎖定.(1)求當(dāng)天小王的該郵箱被鎖定的概率；(2)設(shè)當(dāng)天小王嘗試該郵箱的密碼次數(shù)為，求的分布列及，的值.【答案】(1)(2)的分布列見解析，，（1）設(shè)“當(dāng)天小王的該郵箱被鎖定”為事件，則（2）由題意，可能取到1，2，3，則，，，所以的分布列為：123所以，2．（2022秋·重慶萬州·高二校考期中）甲、乙兩名同學(xué)與一臺智能機(jī)器人進(jìn)行象棋比賽，記分規(guī)則如下：在一輪比賽中，如果甲贏而乙輸，甲得1分；如果甲輸而乙贏，甲得1分；如果甲和乙同時贏或同時輸，甲得0分.設(shè)甲贏機(jī)器人的概率為0.6，乙贏機(jī)器人的概率為0.5.(1)在一輪比賽中，甲的得分X的分布列；(2)在兩輪比賽中，甲的得分Y的分布列；(3)Y的均值和方差.【答案】(1)見解析(2)見解析(3)，(1)由題設(shè)，的可能取值為－1，0，1，，，．的概率分布為X－101P0.20.50.3(2)由題設(shè)，的可能取值－2，－1，0，1，2，，，，，．的概率分布為Y－2－1012P0.040.20.370.30.09(3)所以.3．（2022·高二課時練習(xí)）某校辯論隊(duì)計(jì)劃在周六、周日各參加一場辯論賽，分別由正、副隊(duì)長負(fù)責(zé)，已知該校辯論隊(duì)共有10位成員（包含正、副隊(duì)長），每場比賽除負(fù)責(zé)人外均另需3位隊(duì)員（同一隊(duì)員可同時參加兩天的比賽，正、副隊(duì)長只能參加一場比賽）．假設(shè)正、副隊(duì)長分別將各自比賽的通知信息獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)給辯論隊(duì)8名隊(duì)員中的3位，且所發(fā)信息都能收到．(1)求辯論隊(duì)員甲收到正隊(duì)長或副隊(duì)長所發(fā)比賽通知信息的概率；(2)設(shè)辯論隊(duì)收到正隊(duì)長或副隊(duì)長所發(fā)比賽通知信息的隊(duì)員人數(shù)為X，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望和方差．【答案】(1)(2)分布列見解析，，（1）設(shè)事件A為“辯論隊(duì)員甲收到正隊(duì)長的通知信息”，則，．設(shè)事件B為“辯論隊(duì)員甲收到副隊(duì)長的通知信息”，則，．所以，所以辯論隊(duì)員甲收到正隊(duì)長或副隊(duì)長所發(fā)比賽通知信息的概率為．（2）由題意可得隨機(jī)變量X可能的取值為3，4，5，6，則，，，，所以隨機(jī)變量X的分布列為X3456P故數(shù)學(xué)期望，方差．4．（2022·高二課時練習(xí)）為回饋顧客，新華都購物商場擬通過摸球兌獎的方式對500位顧客進(jìn)行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個球（球的大小、形狀一模一樣），球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.（1）若袋中所裝的4個球中有1個所標(biāo)的面值為40元，其余3個所標(biāo)的面值均為20元，求顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）商場對獎勵總額的預(yù)算是30000元，并規(guī)定袋中的4個球由標(biāo)有面值為20元和40元的兩種球共同組成，或標(biāo)有面值為15元和45元的兩種球共同組成．為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡．請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設(shè)計(jì)，并說明理由．提示：袋中的4個球由標(biāo)有面值為a元和b元的兩種球共同組成，即袋中的4個球所標(biāo)的面值“既有a元又有b元”．【答案】（1）分布列見解析；期望為50；（2）應(yīng)該選擇面值設(shè)計(jì)方案“”，即標(biāo)有面值元和面值元的球各兩個【詳解】解：（1）設(shè)顧客獲得的獎勵額為，隨機(jī)變量的可能取值為.，，所以的分布列如下：所以顧客所獲的獎勵額的期望為（2）根據(jù)商場的預(yù)算，每個顧客的平均獎勵額為元.所以可先尋找使期望為60元的可能方案：當(dāng)球標(biāo)有的面值為元和元時，若選擇“”的面值設(shè)計(jì)，因?yàn)樵敲嬷抵偷淖畲笾担云谕豢赡転椋蝗暨x擇“”的面值設(shè)計(jì)，因?yàn)樵敲嬷抵偷淖钚≈担云谕豢赡転?因此可能的面值設(shè)計(jì)是選擇“”，設(shè)此方案中顧客所獲得獎勵額為，則的可能取值為..的分布列如下：所以的期望為的方差為當(dāng)球標(biāo)有的面值為元和元時，同理可排除“”、“”的面值設(shè)計(jì)，所以可能的面值設(shè)計(jì)是選擇“”，設(shè)此方案中顧客所獲的獎勵額為，則的可能取值為..的分布列如下：所以的期望為的方差為因?yàn)榧磧煞N方案獎勵額的期望都符合要求，但面值設(shè)計(jì)方案“”的獎勵額的方差要比面值設(shè)計(jì)方案“”的方差小，所以應(yīng)該選擇面值設(shè)計(jì)方案“”，即標(biāo)有面值元和面值元的球各兩個.三、高考（模擬）題體驗(yàn)1．（2022·河北石家莊·石家莊二中校考模擬預(yù)測）已知袋子中有除顏色外完全相同的4個紅球和8個白球，現(xiàn)從中有放回地摸球8次（每次摸出一個球，放回后再進(jìn)行下一次摸球），規(guī)定每次摸出紅球計(jì)3分，摸出白球計(jì)0分，記隨機(jī)變量表示摸球8次后的總分值，則（

）A．8 B． C． D．16【答案】D