山東省菏澤市2024-2025學年高一下學期期中數學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．下面命題中，正確的是（

）A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則2．復數的虛部是（

）A． B．1 C． D．3．已知向量在上的投影向量為，且，則（

）A． B． C． D．4．設，則在復平面內對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限5．在中，，．若，則的值為（

）A． B． C． D．6．已知復數，則（

）A． B． C． D．17．在日常生活中，我們會看到這樣的情境：兩個人共提一個行李包.假設行李包所受重力為，作用在行李包上的兩個拉力分別為，，且，與的夾角為，則下列結論中正確的是（

）A．越小越費力，越大越省力 B．的范圍為C．當時， D．當時，8．在中，內角的對邊分別為，為BC邊上一點，且，則的面積為（）A． B． C． D．二、多選題9．若是復數，其在復平面內對應的點為，下列說法正確的是（

）A．為純虛數B．若，則C．若，則的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓D．若，則10．已知向量，則下列結論正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若在上的投影向量為，則向量與的夾角為D．的最大值為311．在中，角所對的邊分別為，，，O為外接圓圓心，則下列結論正確的有（

）A． B．外接圓面積為C． D．的最大值為三、填空題12．請寫出一個滿足的復數．（寫出一個即可）13．如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，，若P為線段BE上的動點，則的最小值為．14．深圳實驗學校高中園高一年級設計了一個“水滴狀”園徽的平面圖（如圖），徽章由等腰三角形及以弦和劣弧所圍成的弓形所組成，其中，劣弧所在的圓為三角形的外接圓，圓心為．已知，外接圓的半徑是2，則該圖形的面積為．四、解答題15．在復平面內，復數，．(1)若復數對應的點在虛軸上，求實數的取值范圍；(2)若復數對應的點在第二象限或第四象限，求實數的取值范圍．16．已知向量.(1)若向量與共線，求實數的值；(2)若向量與的夾角為銳角，求實數的取值范圍.17．如圖，在中，.設.(1)用表示；(2)若為內部一點，且.求證：三點共線.18．已知復數，，．(1)若，求角；(2)復數，對應的向量分別是，，（ⅰ）求的取值范圍；（ⅱ）存在使等式成立，求實數的取值范圍．19．“費馬點”是由十七世紀法國數學家費馬提出并征解的一個問題，該問題是：“在一個三角形內求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小.”意大利數學家托里拆利給出了解答，當的三個內角均小于120°時，使得的點O即為費馬點；當有一個內角大于或等于120°時，最大內角的頂點為費馬點.試用以上知識解決下面問題：已知的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)求角A；(2)若，設點P為的費馬點，求；(3)設點P為的費馬點，，求實數t的最小值.

山東省菏澤市2024-2025學年高一下學期期中數學試題參考答案題號12345678910答案CBABCACDBCDACD題號11答案ACD1．C【詳解】對于，若，但兩向量方向不確定，則不成立，故選項錯誤；對于，向量無法比較大小，故選項錯誤；對于，若，則兩向量反向，因此，故選項正確；對于，若，則，故選項錯誤.故選：C2．B【詳解】因為，虛部為.故選：B.3．A【詳解】依題意，向量在上的投影向量為，則，由，得，于是，又，所以.故選：A4．B【詳解】由于，故，所以在復平面內對應的點為，在第二象限.故選：B.5．C【詳解】因為，所以，又，所以，所以，又，、不共線，所以，所以.故選：C6．A【詳解】因為，所以.故選：A7．C【詳解】如圖所示，根據題意依次分析選項：對于A，由于，且，則有，即.又為定值，故越小越省力，越大越費力，A錯誤；對于B，當時，，行李包不會處于平衡狀態，即，B錯誤；對于C，當時，有，則，C正確；對于D，當時，有，則，D錯誤.故選：C8．D【詳解】因為在中，，又為邊上一點，且，所以，又，所以，所以，解得，所以.故選:D.9．BCD【詳解】對于A，若，不是純虛數，故A錯誤對于B，因為，所以，故B正確對于C，設即，表示圓心在，半徑為1的圓，故C正確對于D，，設，則，故D正確故選：BCD.10．ACD【詳解】對于A，由，得，因此，故A正確；對于B，若，則，所以，所以，故B錯誤；對于C，因，，由在上的投影向量為，解得，又，，故C正確；對于D，因，故，當，即時，也即時，取得最大值9，即的最大值為3，故D正確.故選：ACD.11．ACD【詳解】在中，由正弦定理及得：，而，則有，即，又，，則，所以，即，A正確；由正弦定理得外接圓半徑，該圓面積，B錯誤；如圖，，C正確；由余弦定理得：，當且僅當時取等號，因此，D正確.故選：ACD12．（答案不唯一）【詳解】令，則，故答案為：（答案不唯一）13．【詳解】解：在正方形中，建立如圖所示坐標系，由正方形邊長為3且，可得，設，，則，則，故，故當時，取得最小值為．故答案為：．14．【詳解】如圖將圓O補充完整，連接OB，OC，取BC中點為D，連接AD.因，為對應的圓周角，為對應的圓心角，則，為正三角形，又外接圓半徑為2，則弓形面積為.因，則三角形為等腰三角形，AD平分角.則，又，則.又，則，則.則圖形面積為：.故答案為：.15．(1)或(2)或．【詳解】（1）由題意得，解得或；（2）復數在復平面內對應的點為，依題意可得，則或解得或，即實數的取值范圍為或．16．(1)(2)【詳解】（1）由題意可得，，若向量與共線，可得，解得.（2）若向量與的夾角為銳角可得且與不共線，即可得，解得且，即實數的取值范圍為且17．(1)，(2)證明見解析【詳解】（1），；（2），又，故，故三點共線.18．(1)(2)（ⅰ），（ⅱ）【詳解】（1），，且，，，即，，又，故.（2）（ⅰ）由復數的坐標表示可得，，，，又，則.當時，取最大值為，當時，取最小值為，的取值范圍為；（ⅱ），，，又，則，化簡得，，，由小問（ⅰ）的結論可知，，解得或，綜上所述，的取值范圍為：.19．(1)(2)(3)【詳解】（1）由，得，故.由正弦定理可得，故直