PAGEPAGE101.1.1命題學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解命題的概念.2.會(huì)推斷命題的真假．學(xué)問點(diǎn)命題的概念1．命題的概念：在數(shù)學(xué)中，我們把用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以推斷真假的陳述句叫做命題．2．命題定義中的兩個(gè)要點(diǎn)：“可以推斷真假”和“陳述句”．我們學(xué)習(xí)過的定理、推論都是命題．3．分類命題eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(真命題：推斷為真的語句，,假命題：推斷為假的語句.))1．一般陳述句都是命題．(×)2．命題也可以是這樣的表達(dá)式：“x>5”．(×)3．我們學(xué)過的“定義”、“定理”都是命題．(√)4．含有變量的語句也可能是命題．(√)5．假如一個(gè)陳述句推斷為假，那么它就不是命題．(×)題型一命題的推斷例1下列語句為命題的有________．(填序號(hào))①一個(gè)數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；②梯形是不是平面圖形呢？③220是一個(gè)很大的數(shù)；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.答案①④解析①是陳述句，且能推斷真假；②不是陳述句；③不能斷定真假；④是陳述句，且能推斷真假；⑤不是陳述句．反思感悟推斷一個(gè)語句是不是命題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)陳述句才可能是命題，祈使句、疑問句、感嘆句等都不是命題．(2)語句表述的結(jié)構(gòu)可以推斷真假，含義模糊不清，無法推斷真假的語句不是命題．(3)對(duì)于含有變量的語句，要留意依據(jù)變量的取值范圍，看能否推斷真假，若能，就是命題；否則就不是命題．跟蹤訓(xùn)練1推斷下列語句是不是命題，并說明理由．(1)eq\f(π,3)是有理數(shù)；(2)3x2≤5；(3)梯形是不是平面圖形呢？(4)若x∈R，則x2＋4x＋5≥0；(5)一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根肯定是負(fù)數(shù)；(6)若a與b是無理數(shù)，則ab是無理數(shù)．考點(diǎn)命題的定義題點(diǎn)命題的定義解(1)“eq\f(π,3)是有理數(shù)”是陳述句，并且它是假的，所以它是命題．(2)因?yàn)闊o法推斷“3x2≤5”的真假，所以它不是命題．(3)“梯形是不是平面圖形呢？”是疑問句，所以它不是命題．(4)“若x∈R，則x2＋4x＋5≥0”是陳述句，并且它是真的，所以它是命題．(5)“一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根肯定是負(fù)數(shù)”是陳述句，并且它是假的，所以它是命題．(6)“若a與b是無理數(shù)，則ab是無理數(shù)”是陳述句，并且它是假的，所以它是命題．題型二命題真假的推斷例2給定下列命題：①若a>b，則2a>2b；②命題“若a，b是無理數(shù)，則a＋b是無理數(shù)”是真命題；③直線x＝eq\f(π,2)是函數(shù)y＝sinx的一條對(duì)稱軸；④在△ABC中，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))>0，則△ABC是鈍角三角形．其中為真命題的是________．(填序號(hào))答案①③④解析結(jié)合函數(shù)f(x)＝2x的單調(diào)性，知①為真命題；函數(shù)y＝sinx的對(duì)稱軸方程為x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，故③為真命題；因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|cos(π－B)＝－|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|cosB>0，所以cosB<0，從而得B為鈍角，所以④為真命題．引申探究本例中命題④改為：若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))<0，則△ABC是銳角三角形，該命題還是真命題嗎？解不是真命題，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))<0只能說明∠B是銳角，其他兩角的狀況不確定．只有三個(gè)角都是銳角時(shí)，才可以判定三角形為銳角三角形．反思感悟一個(gè)命題要么為真命題，要么為假命題，且必居其一．欲推斷一個(gè)命題為真命題，需進(jìn)行論證，而要推斷一個(gè)命題為假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．跟蹤訓(xùn)練2下列命題中為真命題的是()A．若x＜e，則lnx＜1B．若向量a，b，c滿意a∥b，b∥c，則a∥cC．已知數(shù)列{an}滿意an＋1－2an＝0，則該數(shù)列為等比數(shù)列D．在△ABC中，設(shè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若滿意acosB＝bcosA，則該三角形為等腰三角形答案D解析對(duì)于A，需滿意x＞0；對(duì)于B，若b＝0，其結(jié)論不肯定成立；對(duì)于C，若an＝0，則結(jié)論不成立．命題改寫要關(guān)注大前提典例“已知c>0，當(dāng)a>b時(shí)，ac>bc”．把該命題改寫成“若p，則q”的形式．解該命題的“若p，則q”的形式為已知c>0，若a>b，則ac>bc.[素養(yǎng)評(píng)析](1)將含有大前提的命題改寫成“若p，則q”的形式時(shí)，要留意其書寫格式為“大前提，若p，則q”，對(duì)含有大前提的命題，在寫其他三種命題時(shí)，應(yīng)保持大前提不變．(2)駕馭命題的基本形式和規(guī)則是進(jìn)行邏輯推理的前提和基礎(chǔ)，有利于培育學(xué)生有條理，合乎邏輯的思維素養(yǎng).1．下列語句為命題的是()A．2x＋5≥0 B．求證對(duì)頂角相等C．0不是偶數(shù) D．今日心情真好啊考點(diǎn)命題的定義題點(diǎn)命題的定義答案C解析結(jié)合命題的定義知C為命題．2．下列命題是真命題的為()A．若a>b，則eq\f(1,a)<eq\f(1,b)B．若b2＝ac，則a，b，c成等比數(shù)列C．若|x|<y，則x2<y2D．若a＝b，則eq\r(a)＝eq\r(b)答案C解析選項(xiàng)A，只有當(dāng)a>b且ab>0時(shí)，才能得到eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；選項(xiàng)B，令a＝b＝c＝0，此時(shí)明顯不是等比數(shù)列；選項(xiàng)D，若a＝b<0，則結(jié)論明顯不成立，故選C.3．下列命題：①面積相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，則|x|＋|y|＝0；③若a>b，則ac2>bc2；④矩形的對(duì)角線相互垂直．其中假命題的個(gè)數(shù)是________．答案4解析①等底等高的三角形都是面積相等的三角形，但不肯定全等；②當(dāng)x，y中一個(gè)為零，另一個(gè)不為零時(shí)，|x|＋|y|≠0；③當(dāng)c＝0時(shí)不成立；④菱形的對(duì)角線相互垂直，矩形的對(duì)角線不肯定垂直．4．若命題“關(guān)于x的方程ax2＋2x＋1＝0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)解”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________．答案(－∞，0)∪(0,1)解析據(jù)題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,Δ>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,4－4a>0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,a<1，))故a的取值范圍為(－∞，0)∪(0,1)．5．若命題“函數(shù)y＝log2(x2－mx＋4)的值域?yàn)镽”為真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________________．答案(－∞，－4]∪[4，＋∞)解析由題意可知，滿意條件時(shí)，需方程x2－mx＋4＝0的判別式Δ≥0，即(－m)2－4×4≥0，解得m≤－4或m≥4.1．依據(jù)命題的定義，可以推斷真假的陳述句是命題．命題的條件與結(jié)論之間屬于因果關(guān)系，真命題須要給出證明，假命題只需舉出一個(gè)反例即可．2．任何命題都是由條件和結(jié)論構(gòu)成的，可以寫成“若p，則q”的形式．含有大前提的命題寫成“若p，則q”的形式時(shí)，大前提應(yīng)保持不變，且不寫在條件p中．一、選擇題1．下列語句中是命題的是()A．周期函數(shù)的和是周期函數(shù)嗎？B．sin45°＝1C．x2＋2x－1>0D．指數(shù)函數(shù)的圖象真美麗！答案B2．下列說法正確的是()A．命題“直角相等”的條件和結(jié)論分別是“直角”和“相等”B．語句“標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，100℃時(shí)水沸騰”不是命題C．命題“對(duì)角線相互垂直的四邊形是菱形”是真命題D．語句“當(dāng)a>4時(shí)，方程x2－4x＋a＝0有實(shí)根”是假命題考點(diǎn)命題的真假推斷題點(diǎn)命題真假的推斷答案D解析對(duì)于A，改寫成“若p，則q”的形式應(yīng)為“若有兩個(gè)角是直角，則這兩個(gè)角相等”；對(duì)于B，所給語句是命題；對(duì)于C，反例可以是“用邊長為3的等邊三角形與底邊為3，腰為2的等腰三角形拼成的四邊形不是菱形”來說明．3．已知命題“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命題，那么下列命題中真命題的個(gè)數(shù)為()①M(fèi)中的元素都不是P的元素；②M中有不屬于P的元素；③M中有屬于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1B．2C．3D．4答案B解析②④正確．4．下列命題是真命題的是()A．若ab＝0，則a2＋b2＝0B．若a>b，則ac>bcC．若M∩N＝M，則N?MD．若M?N，則M∩N＝M答案D解析A中，當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)，a2＋b2＝0不成立；B中，c≤0時(shí)不成立；C中，M∩N＝M說明M?N.故A，B，C均錯(cuò)誤．5．已知a，b為兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，且a⊥α，b⊥β，則下列命題中的假命題是()A．若a∥b，則α∥βB．若α⊥β，則a⊥bC．若a，b相交，則α，β相交D．若α，β相交，則a，b相交答案D解析D中假如α，β相交，a和b可以相交，也可以異面．6．對(duì)隨意平面對(duì)量a，b，下列關(guān)系式中不恒成立的是()A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2答案B解析設(shè)向量a，b的夾角為θ，因?yàn)閍·b＝|a||b|cosθ，所以|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a||b|，A成立；由向量的運(yùn)算律易知C，D成立．故選B.7．“若x2－2x－8<0，則p”為真命題，那么p是()A．2<x<4 B．x<2或x>4C．－2<x<4 D．x<－2或x>4考點(diǎn)命題的真假推斷題點(diǎn)由命題的真假求參數(shù)的取值范圍答案C解析由x2－2x－8<0，解得－2<x<4，∴p是“－2<x<4”．8．已知命題“直線l與平面α有公共點(diǎn)”是真命題，那么下列命題：①直線l上的點(diǎn)都在平面α內(nèi)；②直線l上有些點(diǎn)不在平面α內(nèi)；③平面α內(nèi)隨意一條直線都不與直線l平行．其中真命題的個(gè)數(shù)是()A．3B．2C．1D．0答案D解析直線l與平面α有公共點(diǎn)，則直線l與平面α相交或直線l在平面α內(nèi)，因此可推斷①②③都是假命題，故選D.二、填空題9．給出下列語句，其中不是命題的有________．(填序號(hào))①eq\r(2)是無限循環(huán)小數(shù)；②當(dāng)x＝4時(shí)，2x>0；③垂直于同一條直線的兩條直線肯定平行嗎？④一個(gè)數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)；⑤2030年6月1日上海會(huì)下雨．答案③⑤解析③為疑問句，故③不是命題；⑤不是命題，因?yàn)樵撜Z句無法推斷其真假．10．給定下列命題：①若k>0，則方程x2＋2x－k＝0有實(shí)數(shù)根；②若a>b>0，c>d>0，則ac>bd；③對(duì)角線相等的四邊形是矩形；④若xy＝0，則x，y中至少有一個(gè)為0.其中真命題的序號(hào)是____________．答案①②④解析①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，故為真命題；②由不等式的性質(zhì)知，明顯是真命題；③如等腰梯形對(duì)角線相等，但它不是矩形，故為假命題；④為真命題．11．若函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________．答案(0,2)解析函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)y＝|2x－2|與y＝b的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝|2x－2|及y＝b的圖象，如圖．由圖可知b∈(0,2)．三、解答題12．把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并推斷命題的真假．(1)當(dāng)ac>bc時(shí)，a>b；(2)當(dāng)m>eq\f(1,4)時(shí)，mx2－x＋1＝0無實(shí)根；(3)當(dāng)ab＝0時(shí)，a＝0或b＝0.解(1)若ac>bc，則a>b.∵ac>bc，當(dāng)c<0時(shí)，a<b，∴該命題是假命題．(2)若m>eq\f(1,4)，則mx2－x＋1＝0無實(shí)根．∵Δ＝1－4m<0，∴該命題是真命題．(3)若ab＝0，則a＝0或b＝0.該命題是真命題．13．(1)已知命題“方程ax2＋bx＋1＝0有解”是真命題，求a，b滿意的條件；(2)已知命題“若x1<x2<0，則eq\f(a,x1)>eq\f(a,x2)”是假命題，求a滿意的條件．解(1)因?yàn)閍x2＋bx＋1＝0有解，所以當(dāng)a＝0時(shí)，bx＋1＝0有解，只有b≠0時(shí)，方程有解x＝－eq\f(1,b).當(dāng)a≠0時(shí)，方程為一元二次方程，有解的條件為Δ＝b2－4a≥0.綜上，當(dāng)a＝0，b≠0或a≠0，b2－4a≥0時(shí)，方程ax2＋bx＋1＝0有解．(2)因?yàn)槊}當(dāng)x1<x2<0時(shí)，eq\f(a,x1)>eq\f(a,x2)為假命題，所以應(yīng)有當(dāng)x1<x2<0時(shí)，eq\f(a,x1)≤eq\f(a,x2)，即eq\f(ax2－x1,x1x2)≤0.因?yàn)閤1<x2<0，所以x2－x1>0，x1x2>0，所以a≤0.14．給出兩個(gè)命題：命題甲：關(guān)于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集為?；命題乙：函數(shù)y＝(2a2－a)x為增函數(shù)．分別求出符合下列條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍：(1)甲、乙至少有一個(gè)是真命題；(2)甲、乙中有且只有一個(gè)是真命題．解命題甲為真命題時(shí)，Δ＝(a－1)2－4a2<0，即a>eq\f(1,3)或a<－1.命題乙為真命題時(shí)，2a2－a>1，即a>1或a<－eq\f(1,2).(1)甲、乙兩個(gè)命題中至少有一個(gè)是真命題時(shí)，a的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(a<－\f(1,2)或a>\f(1,3))))).(2)甲、乙兩個(gè)命題中有且只有一個(gè)是真命題，有兩種狀況：甲真乙假時(shí)，eq\f(1,3)<a≤1；甲假乙真時(shí)，－1≤a<－eq\f