2024年中考第三次模擬考試（南通卷）數學·全解全析注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）1．分式有意義，則的取值范圍是（

）A．全體實數 B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了分式有意義的條件，根據分式有意義的條件是分母不為0進行求解即可．【詳解】解；∵分式有意義，∴，∴，故選：B．2．下列各式中，計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查同底數冪的乘除法、冪的乘方與積的乘方、負整數指數冪．根據同底數冪的乘除法法則、冪的乘方與積的乘方法則、負整數指數冪法則進行解題即可．【詳解】解：A、，故該項不正確，不符合題意；B、，故該項不正確，不符合題意；C、，故該項正確，符合題意；D、，故該項不正確，不符合題意；故選：C．3．如圖，在數軸上A、B兩點分別對應數軸a、b，則下列結論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是數軸和絕對值，從數軸中提取已知條件是解題的關鍵．根據數軸可知，，由此逐一判斷各選項即可．【詳解】解：根據數軸可知，，∵，故選項A不符合題意；∵，故選項B不符合題意；∵，故選項C不符合題意；∵，故選項D符合題意；故選：D．4．某校為落實“雙減”政策，每周星期三下午開展“”活動，為學生全面發展搭建平臺．小田在素描課堂上觀察一幾何體的主視圖如圖所示，若，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是多邊形內角和，熟知多邊形內角和公式是解答此題的關鍵．先根據五邊形內角和定理得出，再根據進行解答即可．【詳解】解：根據題意可得，，∵，∴，故選：C．5．赫米納爾·丹德林是一位著名的法國數學家．他在圓錐與圓的切線等研究上取得了巨大的成果，并且舉世聞名的丹德林雙球（如圖）就以他的名字命名．在雙球中，一個球與圓錐面的交線為一個圓，并與圓錐的底面平行．利用這個模型，丹德林證明了平面截圓錐的截面為橢圓．若圖中所示為該模型的正面，且該模型不具有透光性，則丹德林雙球的正視圖為（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】本題考查了學生的觀察能力和對幾何體三種視圖的空間想象能力．細心觀察原立體圖形中幾何體的位置關系是解決問題的關鍵．【詳解】解：從正面看，可得如下圖形：

故選：D．6．在某次綜合與實踐活動中，小華同學了解到鞋號（碼）與腳長（毫米）的對應關系如下表：鞋號（碼）…3334353637…腳長（毫米）……若小華的腳長為259毫米，則他的鞋號（碼）是（

）A．39 B．40 C．41 D．42【答案】C【分析】本題主要考查了一次函數的應用，理解題意，正確獲得函數解析式是解題關鍵．根據題意，可知鞋號與腳長的對應關系為一次函數，設鞋號與腳長的關系式為，利用待定系數法解得函數解析式，即可獲得答案．【詳解】解：根據題意，可知鞋號與腳長的對應關系為一次函數，設鞋號與腳長的關系式為，根據題意，可得，解得，所以鞋號與腳長的關系式為，若小華的腳長為259毫米，可令，則有，解得，所以，他的鞋號（碼）是41．故選：C．7．已知，是一元二次方程的兩個根，則的值等于（

）A．8 B．9 C．10 D．與的值有關【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的解以及根與系數的關系，利用一元二次方程的解及根與系數的關系，找出“，，”是解題的關鍵．利用一元二次方程的解及根與系數的關系可得出，，，再將其代入中即可求出結論．【詳解】解：，是一元二次方程的兩個根，，，，．故選：B．8．如圖，中，，利用尺規在，上分別截取，使；分別以為圓心、以大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點；作射線交于點．在上找一點，使得，若，則的度數為（）

A． B． C． D．無法確定【答案】B【分析】本題考查了作圖—復雜作圖，角平分線的定義、等腰三角形的性質、三角形內角和定理，先求出的度數，再求出的度數，最后利用角平分線的定義計算即可得出答案．【詳解】∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，故選：B．9．如圖，在矩形中，對角線的垂直平分線交于點，交于點．設，則關于的函數圖像大致為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了函數的圖像、相似三角形的性質與判定等知識點，由三角形相似得出y與x的關系式是解題關鍵．根據兩角可得，再利用對應邊成比例可得y與x的關系式，進而可得對應圖像．【詳解】解：∵四邊形是矩形，，．的垂直平分線交于點E，交于點H，，，∴，∴，即，．∴對應函數圖像為A選項．故選：A．10．已知非負數，，滿足，，設的最大值為，最小值為，則的值為（

）A．6 B．5 C．4 D．【答案】C【分析】用表示出、并求出的取值范圍，再代入整理成關于的函數形式，然后根據二次函數的增減性求出、的值，再相減即可得解．【詳解】∵，，∴，，∵，都是非負數，∴，解不等式①得，，解不等式②得，，∴，又∵是非負數，∴，∴對稱軸為直線，∴時，最小值，時，最大值，∴．故選：C．填空題（本大題共8小題，第11～12題每小題3分，第13～18題每題4分，共30分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）11．因式分解：．【答案】【分析】先提取公因式，使原式化為，再逆用完全平方公式進行因式分解，即可得答案．本題考查了利用提公因式法和公式法進行因式分解．【詳解】．故答案為：．12．劉慈欣科幻巨作《三體》中所描述的三體文明距地球大約光年，它們之間被大量氫氣和暗物質紐帶連接，看起來似乎是連在一起的“三體星系”．其中數字用科學記數法表示為．【答案】【分析】此題考查了科學記數法的表示方法，根據科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數即可求解，解題的關鍵要正確確定的值以及的值．【詳解】解：，故答案為：．13．某商場購進一款年貨大禮包，經調研發現，當該款大禮包每盒的售價為45元時，每天可售出100盒．每盒的售價每降低1元，每天的銷量增加10盒．要使該款大禮包每天的銷售額達到6000元，每盒的售價應降低多少元？若設該款大禮包每盒降價x元，則可列方程為．【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是設該款大禮包每盒降價元，根據該款大禮包每天的銷售額達到6000元，列出方程即可．【詳解】解：設該款大禮包每盒降價元，根據題意得：，故答案為：．14．如圖，正比例函數的圖象與反比例函數的圖象交于兩點，過點作軸于點，連接．若的面積為，則的值為．【答案】【分析】本題考查了反比例函數的性質，反比例函數比例系數的幾何意義，根據反比例函數的性質可判斷點與點關于原點對稱，得到，再根據反比例函數比例系數的幾何意義可得，即可求解，掌握反比例函數的性質及比例系數的幾何意義是解題的關鍵．【詳解】解：∵正比例函數的圖象與反比例函數的圖象交于兩點，∴點關于原點對稱，∴，∵軸于點，∴，∵的面積為，∴，∴，故答案為：．15．如圖，某中學數學活動小組在學習了“利用三角函數測高”后，選定測量小河對岸一幢建筑物的高度，他們先在斜坡上的D處，測得建筑物頂端B的仰角為，且D離地面的高度．坡底，然后在A處測得建筑物頂端B的仰角是，點E，A，C在同一水平線上，則建筑物的高為（結果用含有根號的式子表示）【答案】【分析】本題主要考查的是解直角三角形的應用，過點作，交于點，先證明四邊形為矩形，得到，，再根據三角函數值得到，最后利用即可算出答案；掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．【詳解】解：過點作，交于點，如圖，∵，，，∴四邊形為矩形，∴，，又∵，，∴，∴，又∵，∴，即，∴；故答案為：．16．如圖，已知，在矩形中，，分別以所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，F是邊上的一個動點（不與B、C重合），過F點的反比例函數（）的圖象與邊交于點E，將沿對折后，C點恰好落在上的點D處，則k的值為．【答案】【分析】過點E作于點G，根據，設，，根據折疊性質，；，利用勾股定理，三角函數，反比例函數的性質計算即可．【詳解】過點E作于點G，∵，∴設，，∵矩形，∴，，∴四邊形是矩形，∴，根據折疊性質，；，，∴，∴，∴，根據反比例函數的性質，得，解得，∴，∴，∴，解得，∴，故答案為：．17．如圖，矩形中，已知為邊上一動點，將沿邊翻折到．點與點重合．連接．則的最小值為．【答案】【分析】本題考查了矩形的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理等知識，在上取點G，使，連接，，證明，可得出，則，當D、F、G三點共線時，最小，在中，利用勾股定理求出即可．【詳解】解：在上取點G，使，連接，，∵翻折，∴，又，∴，，∴，又，∴，∴，∴，∴，當D、F、G三點共線時，最小，在中，，，，∴，即的的最小值為．故答案為：．18．如圖，，，點是線段上一個動點，連接，將線段沿直線進行翻折，點落在點處，連接，以為斜邊在直線的左側或者下方構造等腰直角三角形，則點從運動到的過程中，線段的最小值是，當從點運動到點時，點的運動總路徑長是．【答案】【分析】由，可得在以為圓心，為半徑的圓上運動從運動到，當、、共線時，最小；連接，，可證明∽，從而得出，故點在以為圓心，為半徑的圓上運動，當點從點運動到點時，點運動，進一步求得結果．【詳解】解：如圖，連接，而，，∴，由折疊得：，點在以為圓心，為半徑的圓上運動從運動到，當、、共線時，最小，，連接，，，，同理：，，，，，∽，，，點在以為圓心，為半徑的圓上運動，如圖，當點從點運動到點時，點運動，，點運動的路徑長為：，故答案為：，．三、解答題（本大題共8個小題，共90分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）19．計算：(1)不等式組的解集；(2)計算：．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了解一元一次不等式組，實數的運算，負整數指數冪，零指數冪，特殊角的三角函數值，解題的關鍵是熟練掌握相關的法則和定義，（1）先求出兩個不等式的解集，再求出其公共解即可，（2）先化簡各式，再進行計算即可；【詳解】（1）解：解①得解②得則等式組的解集為：，（2）解：20．隨著社會經濟發展和物質消費水平的大幅度提高，我國每年垃圾產生量迅速增長，為了倡導綠色社區，做好垃圾分類工作，某社區成立了甲、乙兩個檢查組，采取隨機抽查的方式對轄區內四個小區進行抽查，并且每個小區不重復檢查．(1)若由甲組對四個小區進行抽查，則抽到B小區的概率是________；(2)若甲、乙兩組同時抽查，請用畫樹狀圖法或列表法求出甲組抽到C小區，同時乙組抽到D小區的概率．【答案】(1)(2)【分析】此題考查列表法與樹狀圖法，解題關鍵在于根據題意畫出樹狀圖．（1）直接利用概率公式求解可得；（2）畫樹狀圖列出所有等可能結果，根據概率公式求解可得．【詳解】（1）解：由甲組對四個小區進行抽查，則抽到B小區的概率是；（2）畫樹狀圖為：

共有12種等可能的結果數，其中甲組抽到C小區，同時乙組抽到D小區的結果數為1，∴甲組抽到C小區，同時乙組抽到D小區的概率為．21．近期教育部表示“雙減”依然是今年工作中的“重中之重”，作為“雙減”政策落地后第二個學期，不少學校的作業總量已經大幅減少．依據政策要求，初中書面作業平均完成時間不超過分鐘，學生每天完成作業的時長不能超過小時．某中學自糾自查，對本校學生的作業情況進行了抽樣調查，統計結果如圖所示：(1)這次抽樣共調查了名學生，并補全條形統計圖；(2)計算扇形統計圖中表示作業時長為小時對應的扇形圓心角度數為；(3)若該中學共有學生人，請據此估計該校學生的作業時間不少于小時的學生人數；(4)通過本次調查，你認為該學校作業布置是否滿足教育部的“雙減”政策要求？請說明理由．【答案】(1)，見解析(2)(3)估計該校學生的作業時間不少于小時的學生人數有人(4)不滿足，見解析【分析】本題主要考查統計與調查及平均數，熟練掌握統計與調查及平均數是解題的關鍵．（1）根據統計圖可知作業時長為小時的人數有人，所占百分比為，進而問題可求解；（2）由（1）及作業時長為小時的人數可求所占百分比；（3）由題意知作業時長不少于小時的人數為人，然后問題可求解；（4）先由題意得出作業時長為小時的所占百分比，然后求出作業時長的平均值，進而問題可求解．【詳解】（1）解：由兩幅統計圖可知：部分學生完成作業所需要的時間為小時的有人，占調查學生總數的，每天完成作業所需要的時間為小時的占調查學生總數的，∴這次抽樣共調查了（名）學生，∴每天完成作業所需要的時間為小時的有人，補全條形統計圖如下：故答案為：；（2）由條形統計圖可知：每天完成作業所需要的時間為小時的有人，∴扇形統計圖中表示作業時長為小時對應的扇形圓心角度數為；故答案為：．（3）由條形統計圖可知：調查學生中作業時間不少于小時的學生人數為（人），∴（人），答：該校學生的作業時間不少于小時的學生人數人；（4）通過本次調查，我認為該學校作業布置不滿足教育部的“雙減”政策要求，理由如下：由統計圖中的數據可知：調查學生中，每天完成作業時長超過小時的學生有人，占調查總人數的，調查學生中，作業平均完成時間為（小時），而初中書面作業平均完成時間不超過分鐘（即小時），學生每天的完成作業時長不超過小時，∴該學校作業布置不滿足教育部的“雙減”政策要求；建議如下：要進一步減輕學生的作業負擔及校外培訓負擔，將學生書面作業平均完成時間控制在小時內；大多數學生每天的完成作業時長都不超過小時，要教育少數學生每天的完成作業時長不超過小時．22．如圖，是的外接圓，為的直徑，點為弧中點，連接，作的平分線交于點，連接．(1)求證：；(2)若過C點的切線與的延長線交于點F，已知，求弧、線段圍成的陰影部分面積；【答案】(1)見詳解(2)1【分析】（1）先根據圓周角定理得到，則，然后證明得到；（2）連接、，如圖，根據垂徑定理得到，則利用和都為等腰直角三角形，所以，再根據切線的性質得到，接著證明為等腰直角三角形得到，然后根據扇形的面積公式，利用弧、線段、圍成的陰影部分面積進行計算．本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．也考查了垂徑定理、圓周角定理和扇形的面積公式．【詳解】（1）證明：為的直徑，，點為弧中點，，，平分，，，，，；（2）解：連接、，如圖，點為弧中點，，∴和都為等腰直角三角形，，，，為的切線，，，，∴為等腰直角三角形，，弧、線段、圍成的陰影部分面積．23．問題情境：如圖①，一只螞蟻在一個長為，寬為的長方形地毯上爬行，地毯上堆放著一根正三棱柱的木塊，它的側棱平行且等于寬，木塊從正面看是一個邊長為的等邊三角形，求一只螞蟻從點A處到達點C處需要走的最短路程．(1)數學抽象：將螞蟻爬行過的木塊的側面“拉直”“鋪平”，“化曲為直”，請在圖②中用虛線補全木塊的側面展開圖，并用實線連接；(2)線段的長即螞蟻從點A處到達點C處需要走的最短路程，依據是_________；(3)問題解決：求出這只螞蟻從點A處到達點C處需要走的最短路程．【答案】(1)圖形見解析(2)兩點之間線段最短.(3)這只螞蟻從點A處到達點C處需要走的最短路程為．【分析】本題考查平面展開—最短路徑問題，兩點之間線段最短，勾股定理，要注意培養空間想象能力，解題的關鍵是熟練掌握兩點之間線段最短．（1）根據題意畫出三棱柱木塊的平面展開圖，根據兩點之間線段最短連接即可；（2）根據題（1）結合兩點之間線段最短即可求解；（3）根據題意可得，展開圖中等于長方形地毛毯的長和三角形一條邊長之和，展開圖中等于長方形地毛毯的寬，根據勾股定理計算的長即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求：（2）解：線段的長即螞蟻從點處到達點處需要走的最短路程，依據是兩點之間線段最短，故答案為：兩點之間線段最短；（3）根據題意可得：展開圖中的，．在中，由勾股定理可得：，即這只螞蟻從點A處到達點C處需要走的最短路程為．24．如圖是一個東西走向近似于拋物線的山坡，以地面的東西方向為軸，西側的坡底為原點建立平面直角坐標系，山坡近似滿足函數解析式，無人機從西側距坡底為10米處的點起飛，沿山坡由西向東飛行，飛行軌跡可以近似滿足拋物線．當無人機飛越坡底上空時（即點），與地面的距離為20米．

(1)求無人機飛行軌跡的函數解析式；(2)當無人機飛行的水平距離距起點為30米時，求無人機與山坡的豎直距離；(3)由于山坡上有障礙物，無人機不能離山坡過近．當無人機與山坡的豎直距離大于9米時，無人機飛行才是安全的，請判斷無人機此次飛行是否安全，并說明理由．【答案】(1)(2)當無人機飛行的水平距離距起點為米時，無人機與山坡的豎直距離為米(3)無人機此次飛行是安全的，理由見解析【分析】本題考查了二次函數在實際問題中的應用，理清題中的數量關系并熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵.（1）把點代入，解答即可；（2）根據已知求得無人機與山坡的豎直距離把代入求得即可；（3）無人機與山坡的豎直距離的最小值與比較即可得解.【詳解】（1）解：由題意可知，點，將坐標分別代入，得：，解得：，∴無人機飛行軌跡的函數表達式為，（2）當無人機飛行的水平距離距起點為米時，，∵無人機與山坡的豎直距離∴當時，(米)，答：當無人機飛行的水平距離距起點為米時，無人機與山坡的豎直距離為米；（3）安全，理由如下：由（2）知，，時，有最小值，∴無人機此次飛行是安全的.25．問題情境：數學活動課上，王老師給同學們每人發了一張矩形紙片探究折疊的性質在矩形的邊上取一點，將沿翻折，使點恰好落在邊上點處．實踐探究：（1）如圖1，若，求的度數；（2）如圖2，當，且時，求的長；問題解決：（3）如圖3，延長，與的角平分線交于點，交于點，當時，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）由折疊的性質得出，，根據直角三角形的性質得出，可求出答案；（2）根據相似三角形的判定解答即可；（3）過點作于點，證明，得出，設，設，則，由勾股