1設數列{an}的首項a1=a≠，且,記，n＝＝l，2，3，…·．（I）求a2，a3；（=2\*ROMANII）判斷數列{bn}是否為等比數列，并證明你的結論；解：（I）a2＝a1+=a+，a3=a2=a+；（=2\*ROMANII）∵a4=a3+=a+,所以a5=a4=a+,所以b1=a1－=a－,b2=a3－=(a－),b3=a5－=(a－),猜想：{bn}是公比為的等比數列·證明如下：因為bn+1＝a2n+1－=a2n－=(a2n－1－)=bn,(n∈N*)所以{bn}是首項為a－,公比為的等比數列·2在數列中，=0，且對任意k，成等差數列，其公差為2k.（Ⅰ）證明成等比數列；（Ⅱ）求數列的通項公式；（I）證明：由題設可知，，，，，。從而，所以，，成等比數列。（II）解：由題設可得所以.由，得，從而.所以數列的通項公式為或寫為，。設為數列的前項和，，，其中是常數．（I）求及；（II）若對于任意的，，，成等比數列，求的值．解析：（Ⅰ）當，（）經驗，（）式成立，（Ⅱ）成等比數列，，即，整理得：，對任意的成立，（2009北京文）（本小題共13分）設數列的通項公式為.數列定義如下：對于正整數m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，求數列的前2m項和公式；（Ⅲ）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范圍；如果不存在，請說明理由.【解析】本題主要考查數列的概念、數列的基本性質，考查運算能力、推理論證能力、分類討論等數學思想方法．本題是數列與不等式綜合的較難層次題.（Ⅰ）由題意，得，解，得.∴f(n)的最大值為f(1)=,f(n)的最小值為f(2)=,于是，由①式得a<-(λ+18),<當a<b3a時，由－b-18=-3a-18，不存在實數滿足題目要求；當b>3a存在實數λ，使得對任意正整數n,都有a<Sn<b,且λ的取值范圍是（－b-18,-3設數列的前項和為，對任意的正整數，都有成立，記。（I）求數列與數列的通項公式；（II）設數列的前項和為，是否存在正整數，使得成立？若存在，找出一個正整數；若不存在，請說明理由；（I）當時，又∴數列是首項為，公比為的等比數列，∴，…………………3分（II）不存在正整數，使得成立。證明：由（I）知∴當n為偶數時，設∴當n為奇數時，設∴∴對于一切的正整數n，都有∴不存在正整數，使得成立。…………………8分數列(Ⅰ)求并求數列的通項公式；(Ⅱ)設證明：當解:(Ⅰ)因為所以一般地，當時，＝，即所以數列是首項為1、公差為1的等差數列，因此當時，所以數列是首項為2、公比為2的等比數列，因此故數列的通項公式為(Ⅱ)由(Ⅰ)知，①②①-②得，所以要證明當時，成立，只需證明當時，成立.證法一(1)當n=6時，成立.(2)假設當時不等式成立，即則當n=k+1時，由(1)、(2)所述，當n≥6時，.即當n≥6時，證法二令，則所以當時，.因此當時，于是當時，綜上所述，當時，設是數列（）的前項和，，且，，．（I）證明：數列（）是常數數列；（II）試找出一個奇數，使以18為首項，7為公比的等比數列（）中的所有項都是數列中的項，并指出是數列中的第幾項．20．解：（I）當時，由已知得．因為，所以．…………①于是．…………………②由②－①得：．……………③于是．……………………④由④－③得：．…………………⑤即數列（）是常數數列．（II）由①有，所以．由③有，所以，而⑤表明：數列和分別是以，為首項，6為公差的等差數列．所以，，．由題設知，．當為奇數時，為奇數，而為偶數，所以不是數列中的項，只可能是數列中的項．若是數列中的第項，由得，取，得，此時，由，得，，從而是數列中的第項．等差數列的前項和為．（Ⅰ）求數列的通項與前項和；（Ⅱ）設，求證：數列中任意不同的三項都不可能成為等比數列．本小題考查數列的基本知識，考查等差數列的概念、通項公式與前項和公式，考查等比數列的概念與性質，考查化歸的數學思想方法