2024-2025學年第二學期期中考試高一年級數學試卷（考試時間：120分鐘卷面總分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數的虛部為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】應用復數的除法化簡，即可得虛部.【詳解】因為復數，則虛部為.故選：D2.已知的邊BC上有一點D，且滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，結合平面向量的線性運算法則，化簡計算可得出的表達式.【詳解】由，得，故選：C.3.設a，b是空間中不同的直線，，，是不同的平面，則下列說法正確的是（）A.若，，，則B.若，，，則C.若，，，，則D.若，，，則【答案】D【解析】【分析】由空間中直線與直線、直線與平面以及平面與平面位置關系的判定定理和性質逐一判斷即可．【詳解】對于A，若，，，則或與相交，故A錯誤；對于B，若，，，則或與異面，故B錯誤；對于C，若，，，，則或與相交，故C錯誤；對于D，若，，，則，故D正確.故選：D.4.已知向量，若向量與平行，則實數的值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分別求出向量與的坐標，然后根據向量平行，列出方程求解即可.【詳解】由題意知，，若向量與平行，則，解得.故選:B5.中國國家館以“城市發展中的中華智慧”為主題，表現出了“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉，富庶百姓”的中國文化精神與氣質.如圖，現有一個類似中國國家館結構的正四棱臺，，，側面面積為，則該正四棱臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由正四棱臺的側面積求出斜高，再求出高及體積.【詳解】取正四棱臺的上下底面的中心，棱的中點，連接，則分別是正四棱臺的高和斜高，依題意，，解得，在直角梯形中，，則，所以正四棱臺的體積.故選：A6.如圖，四邊形的斜二測畫法直觀圖為等腰梯形．已知，，則下列說法正確的是（

）A.B.C.四邊形的周長為D.四邊形的面積為【答案】D【解析】【分析】利用斜二測畫法將圖形還原計算幾何圖形的面積與周長以及相關.【詳解】如圖可知，四邊形的周長為，四邊形的面積為.故選:D.7.為了測量一座底部不可到達的建筑物的高度，復興中學跨學科主題學習小組設計了如下測量方案：如圖，設A，B分別為建筑物的最高點和底部．選擇一條水平基線HG，使得H，G，B三點在同一直線上，在G，H兩點用測角儀測得A的仰角分別是和，，測角儀器的高度是h．由此可計算出建筑物的高度AB，若，則此建筑物的高度是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】在中，利用正弦定理求出，再解求出，即可得解.【詳解】在中，，由正弦定理得，所以，，在中，，所以，即此建筑物的高度是.故選：A.8.符合下列條件的三角形有且只有一個的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】D【解析】【分析】選項A：利用正弦定理判斷；對于B：由正弦定理判斷；選項C：兩邊之和大于第三邊判斷；選項D：由正弦定理判斷；【詳解】對于A：因為，所以，三角形有兩解，故A錯誤;對于B：因為，所以，且，所以,所以或，故有兩解，故B錯誤；對于C：因為，所以無解，故C錯誤；對于D：因為，所以,故，三角形只有一解，故D正確.故選：D二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知為復數，有以下四個命題，其中真命題的序號是（）A.若，則 B.若，則C. D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】利用復數的意義判斷AD；由模的計算判斷BC.【詳解】對于A，是復數，如，由不全是實數的兩個復數不能比較大小，A錯誤；設，對于B，由，得，則，因此，，B正確；對于C，，，C正確；對于D，由，得都是實數，因此，D正確.故選：BCD10.已知向量，則下列選項正確的是（）A. B.C.已知，若，則 D.與夾角的余弦值為【答案】BC【解析】【分析】由向量垂直的坐標表示可判斷A錯誤，利用模長的坐標公式可得B正確，再由向量平行的坐標表示可判斷C正確，利用夾角的坐標公式計算可知D錯誤.【詳解】對于A，易知，所以不垂直，即A錯誤；對于B，，可得，可得B正確；對于C，由且可得，解得，即C正確；對于D，設與的夾角為，所以，可得D錯誤.故選：BC11.如圖，點是正方體的頂點或所在棱的中點，則下列各圖中滿足平面的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】結合題目條件，根據線面平行的判斷定理，構造線線平行，證明線面平行.【詳解】對A：如圖：連接，因為為正方體棱的中點，所以，又，所以，平面，平面，所以平面.故A正確；對B：如圖：因為是正方體棱的中點，所以，，，所以，同理：，所以5點共面，所以平面不成立.故B錯誤；對C：如圖：因為是正方體棱的中點，所以，，所以.平面，平面，所以平面.故C正確；對D：如圖：因為為正方體棱的中點，連接交于，連接，則為的中位線，所以，平面，平面，所以平面.故D正確.故選：ACD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分，請把答案記錄在答題卡上）12.已知，，則在方向上的投影為________.【答案】【解析】【分析】由投影的定義計算．【詳解】由題意，所以在方向的投影為．故答案為：．【點睛】本題考查向量數量積的幾何意義，掌握數量積的定義是解題關鍵．13.已知球O的表面積與圓錐的側面積相等，且球O的直徑為2，圓錐的母線長為4，則圓錐的底面半徑為__________.【答案】1【解析】【分析】利用球的表面積公式及圓錐的側面積公式列式求解.【詳解】設圓錐的底面半徑為，依題意，，解得，所以圓錐的底面半徑為1.故答案為：114.在中，分別是角的對邊，的面積為，則的值為___________．【答案】【解析】【分析】根據三角形的面積公式，求得，在利用余弦定理求得，結合，即可求解.【詳解】由，可得，即，解得，又由余弦定理得，解得，所以．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知復數．（1）求；（2）若，求；（3）若，且是純虛數，求．【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）根據模的計算公式直接求解；（2）利用復數的除法進行計算；（3）設，根據條件列方程求解即可.【小問1詳解】；【小問2詳解】；【小問3詳解】設，則，所以①，因為是純虛數，所以②由①②聯立，解得或所以或．16.在中，分別是角所對的邊，且滿足．（1）求角的大小；（2）設向量，向量，且，判斷的形狀．【答案】（1）；（2）直角三角形【解析】【分析】（1）利用余弦定理求解即可；（2）由，可得，即有，，即可得結論.【小問1詳解】解：因為，所以，因為，所以；小問2詳解】解：因為，，且，所以，所以，所以或（舍），當時，，所以為直角三角形．17.如圖，在直角梯形中，||＝2，，＝2，為直角，E為的中點，＝λ(，).（1）當時，用向量，表示向量；（2）求||的最小值，并指出相應的實數λ的值.【答案】（1）＋（2），【解析】【分析】（1）利用平面向量的線性運算求解即可；（2）用向量，表示向量，應用數量積運算先求的最小值，即可求出.【小問1詳解】解：因為當時，＝，所以＝(＋)＝[(－)＋(＋)]＝＝＋【小問2詳解】因為＝(＋)＝[(－)＋(＋)]＝＝＝＋，由于||＝2，，＝2，知||＝||＝2，∴||2＝2＋2＋＝＝，因為，所以當λ＝時，||2有最小值，即||有最小值.18.某景區為打造景區風景亮點，欲在一不規則湖面區域（陰影部分）上兩點之間建一條觀光通道，如圖所示．在湖面所在的平面（不考慮湖面離地平面的距離，視湖面與地平面為同一平面）內距離點米的點處建一涼亭，距離點米的點處再建一涼亭，測得，．（1）求的值；（2）測得，觀光通道每米造價為2000元，若景區準備預算資金8萬元建觀光通道，問：預算資金夠用嗎？【答案】（1）（2）預算資金夠用【解析】【分析】（1）在中，利用正弦定理，由求解；（2）在中，利用余弦定理求得CD，在中，由，，求得AC，然后在中，利用余弦定理求得AB即可.小問1詳解】解：由，得，則，在中，由正弦定理得，即，所以．【小問2詳解】在中，由余弦定理得，整理得，解得（舍去）．在中，，所以，又，解得．在中，，所以．由于觀光通道每米的造價為2000元，所以總造價低于元，故預算資金夠用．19.如圖，在棱長為的正方體中，分別是的中點.（1）求證：；（2）求的長；（3）求證：.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.【解析】【詳解】試題分析：（1）利用中位線，證明即可證