江西省新九校協作體高二年級第二次聯考數學考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：北師大版選擇性必修第一冊?第二冊.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知函數，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據復合函數求導即可得到答案.【詳解】.故選：C.2.對兩組數據進行統計，獲得如圖所示的散點圖，關于其相關系數的比較，正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據散點圖及相關系數的概念判斷即可.【詳解】由散點圖可知，圖（1）中兩個變量成正相關，且散點圖近似在一條直線上，所以且；圖（2）中兩個變量成負相關，且散點圖比較分散，所以且；所以.故選：D3.已知是函數的導函數，若，且在上的最大值為5，則的值為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函數的導函數，由求出的值，即可得到函數在上的單調性，從而求出的值.【詳解】因為，所以，所以，解得，所以，則，所以當時，所以在上單調遞增，所以，解得.故選：D4.若函數存在極值點，則實數的取值范圍為（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】先求得，根據函數存在極值點，可得，進而求得實數的取值范圍.【詳解】由函數，可得，因為函數存在極值點，則滿足，即，解得或，所以實數的取值范圍為.故選：B.5.若數列滿足，，則（）A. B.2 C.3 D.【答案】D【解析】【分析】求出數列周期性即可得到答案.【詳解】數列滿足，，，，，，，是周期為3的周期數列，而，故．故選：D.6.的展開式中常數項為（）A. B.80 C. D.160【答案】C【解析】【分析】由，寫出展開式的通項，利用通項計算可得.【詳解】因為，其中展開式的通項為（且），所以展開式中常數項為.故選：C7.設隨機變量，函數在定義域上是單調遞增函數的概率為，則（）附：若，則.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出函數的導函數，若恒成立，求出的取值范圍，即可得到，，再由正態曲線的性質計算可得.【詳解】因為，所以，若對任意實數恒成立，則，所以，又，所以，，，，，，所以，，則.故選：B.8.若函數（是自然對數的底數）有兩個零點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，則，令，利用導數說明函數的單調性，畫出的圖象，依題意與有兩個交點，即可得解.【詳解】令，則，則，令，則，當時，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，又當時，當時，所以的圖象如下所示：依題意與有兩個交點，則，則.故選：D二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.有三名男生?兩名女生排隊照相，五個人排成一排，則下列說法正確的有（）A如果兩名女生必須相鄰，那么有48種不同排法B.如果三名男生均不相鄰，那么有12種不同排法C.如果女生不能站在兩端，那么有48種不同排法D.如果三名男生不能連排在一起，那么有108種不同的排法【答案】AB【解析】【分析】對A，利用捆綁法即可計算；對B，利用插空法即可計算；對C，先排男生在兩端即可；對D，根據正難則反的原則計算即可.【詳解】對于A，將這兩名女生捆綁，作為一個＂元素＂與剩下的三名男生進行全排列，此時共有種不同的排法，故A正確；對于B，先對三名男生進行全排列，再將女生插入三名男生所形成的中間2個空中，此時共有種不同的排法，故B正確；對于C，如果女生不能站在兩端，則兩端安排男生，其他位置的安排沒有限制，此時共有種不同的排法，故C錯誤；對于D，5個人排成一排的全排列有種，三名男生連排在一起的排法有種，所以如果三名男生不能連排在一起，此時有種不同的排法，故D錯誤．故選：AB．10.已知點在拋物線上，過的焦點的直線與相交于兩點，在，兩點處的切線相交于點的中點是，若，則（）A.B.的準線方程是C.點在拋物線上D.點在的準線上【答案】BCD【解析】【分析】首先表示出拋物線的焦點坐標與準線方程，根據焦半徑公式求出，即可得到拋物線方程，從而判斷A、B，設直線的方程為，，，聯立直線與拋物線方程，消元，表示出點坐標，即可判斷C，利用導數的幾何意義表示出切線方程，聯立求出點坐標，即可判斷D.【詳解】拋物線的焦點為，準線方程為，因為，所以，解得，所以拋物線，準線方程為，故B正確；又點在拋物線上，所以，解得，故A錯誤；設直線的方程為，由，可得，設，，則，，所以的中點的橫坐標為，則，即，顯然，所以點在拋物線上，故C正確；由，則，所以拋物線在，兩點處的切線分別為，，則，解得，所以，所以，即點在的準線上，故D正確.故選：BCD11.設函數，數列滿足，，則（）A. B.數列是等比數列C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據求出，即可判斷A，根據等比數列的定義判斷B，求出，再由作差法比較大小，即可判斷C，利用基本不等式判斷D.【詳解】對于A：因為，即，解得，故A錯誤；對于B：因為，所以，又，所以是以為首項，為公比的等比數列，故B正確；對于C：由B可知，則，又，所以，故C正確；對于D：，當且僅當，即時成立，又，所以，故D正確.故選：BCD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若焦點在軸上的雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，則的離心率為__________.【答案】【解析】【分析】設雙曲線的方程為，依題意可得，即可求出其離心率.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，設雙曲線的方程為，則雙曲線的漸近線方程為，依題意可得，所以的離心率.故答案為：13.設兩個等差數列的前項和分別為，若對任意正整數都有，則的值為__________.【答案】【解析】【分析】根據等差數列的性質和求和公式計算即可.【詳解】因為為等差數列，所以．故答案為：.14.若為自然對數的底數，是定義在上的函數，且，則不等式的解集為__________.【答案】【解析】【分析】令，利用導數說明函數的單調性，則問題轉化為，結合單調性解得即可.【詳解】令，則，∵，∴，∴，則在上單調遞減，∵，∴，等價于，根據的單調性解得，所以不等式的解集為.故答案為：．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知各項均不相等的等差數列的前項和為，且成等比數列.（1）求的通項公式；（2）若，求數列前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（1）根據等差數列通項公式得到方程組，解出即可；（2）首先得到，再利用錯位相減法即可得到答案.【小問1詳解】設數列的公差為，則．由得化簡得，因為，所以，所以．【小問2詳解】由（1）知，則，,兩式相減得，所以．16.甲?乙兩人用同一臺機床加工同一規格的零件，隨機抽取他們加工后的零件各50個，得到他們加工后的零件尺寸（單位：）及個數，如下表：零件尺寸1.011.021.031.041.05零件個數甲4520156乙9715811已知一等品零件尺寸與的誤差不超過，其余零件為二等品.（1）試根據上述數據建立一個列聯表，并判斷能否有的把握認為加工后的零件是不是一等品與甲?乙有關？（2）如果從已經抽檢出的這100個零件中，按照甲?乙分層隨機抽樣的方法抽取7個一等品零件，再從這7個零件中隨機抽取4個零件送給有意向購買此零件的商家進行試用.設乙加工的零件送給商家試用的個數為隨機變量，求的分布列與數學期望.參考公式：，其中.參考數據：0.100.050.0252.7063.8415.024【答案】（1）有的把握認為加工后的零件是不是一等品與甲?乙有關（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）建立列聯表，計算出卡方，即可判斷；（2）首先求出甲加工、乙加工抽取的零件數，則的可能取值為、、、，求出所對應的概率，即可得到分布列與數學期望.【小問1詳解】依題意可得列聯表為：一等品零件數二等品零件數合計甲401050乙302050合計7030100所以，所以有的把握認為加工后的零件是不是一等品與甲?乙有關．【小問2詳解】依題意甲加工的抽取個，乙加工的抽取個，則的可能取值為、、、，所以，，，，所以的分布列為：0123所以.17.如圖，在三棱柱中，，，，是的中點，.（1）求三棱柱的體積；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先證明平面平面，作交于點，即可得到平面，再由柱體的體積公式計算可得；（2）以為軸，為軸，過點作與平行的直線為軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得；【小問1詳解】因為，，是的中點，所以，，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，又平面平面，作交于點，平面，所以平面，則為三棱柱的高，又，，所以，，又，所以，則，即為等腰直角三角形，所以，所以三棱柱的體積.【小問2詳解】如圖以為軸，為軸，過點作與平行的直線為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，所以，，，設平面的法向量為，則，取，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.已知函數定義域為，區間是的子集，若的圖象上存在兩點，，使直線恰好是曲線的一條切線，且為切點，記直線的方程為，如果都有，則稱函數是“橋函數”，稱兩點為“橋墩”.（1）若，試說明函數能否是以兩點為“橋墩”的“橋函數”？（2）判斷函數與是不是“橋函數”？并說明你的理由.【答案】（1）是（2）不是“橋函數”，是“橋函數”，理由見解析【解析】【分析】（1）求出函數的導函數，即可求出兩點處的切線方程，再結合所給定義判斷即可；（2）求出的導函數，根據導函數的單調性判斷不是“橋函數”；設設，求出函數的導函數，表示出切線方程，依題意可得且，取，，結合所給定義證明即可.【小問1詳解】因為，所以，則，，所以函數在處的切線均為，因此經過兩點的直線恰好為的一條切線，又對恒成立，所以函數是以兩點為“橋墩”的“橋函數”.【小問2詳解】函數不是“橋函數”，是“橋函數”，理由如下：對于函數，則，顯然在定義域上單調遞減，所以在函數上任意兩點的切線的斜率均不相同，故不滿足“直線恰好是曲線的一條切線”，所以不是“橋函數”；對于，則，設，所以點處的切線方程為和，所以，所以，不妨取且，代入，可得則，即，所以，不妨取，則，，所以，又在點處的切線的斜率，，所以函數在，兩點的直線恰好是曲線的一條切線，此時切線的方程為，再說明當時，函數的圖象不在的下方，即需要說明對恒成立，因為對任意的實數，橫跨，即恒成立，所以是“橋函數”.19.已知過點的橢圓的離心率為.（1）求的方程；（2）已知是的左頂點，直線與相交于，兩點，且兩點均不與點重合.（i）若直線與圓相切，證明：以為直徑的圓經過坐標原點；（ii）若直線的斜率之積為，證明直線過定點，并求出定點的坐標.【答案】（1）（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析，定點坐標為【解析】【分析】（1）根據所給條件得到關于、、的方程組，解得即可；（2）聯立直線與橢圓方程，消元，設