2024-2025學年福州市高三年級第四次質(zhì)量檢測數(shù)學試題（完卷時間：120分鐘；滿分：150分）友情提示：請將所有答案填寫到答題卡上！請不要錯位、越界答題！一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義及復數(shù)的運算求解即可.【詳解】依題意可知，所以，故選：A2.曲線在點處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得切線斜率與切線方程.【詳解】由已知，則，即切線斜率，又，所以切線方程為，即，故選：D.3.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解三角不等式求出集合再求交集可得答案.【詳解】，因，則.故選：B.4.展開式中常數(shù)項是（）A.20 B.15 C. D.【答案】D【解析】【分析】寫出展開式的通項公式，再令得，再代入通項公式即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，的展開式的通項公式，令，解得，所以常數(shù)項為.故選：D5.已知分別為的三個內(nèi)角的對邊，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦定理，由角化邊，得到，再根據(jù)余弦定理求出.【詳解】根據(jù)已知條件，得，，，,故選：C.6.已知拋物線的焦點為，準線為，點為上一點，過點作的垂線，垂足為，若，且點在直線上，則直線的斜率為（）A.或 B.或 C.1或 D.或【答案】B【解析】【分析】由題意得，準線為，設，由題意得點坐標，再根據(jù)點在直線上，由斜率公式求出，得到直線的斜率即可.【詳解】由題意，，準線為，設，則，由于，則為的中點，即，又點在直線上，則，解得，則.故選：B.7.若為函數(shù)的零點，則（）A.0 B.1 C.2 D.【答案】C【解析】【分析】利用導數(shù)可得在上無零點，當時，由，可得，即，兩邊取對數(shù)可得結(jié)論.【詳解】當時，，求導得，令，可得，當時，，當時，，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，所以在上無零點，當時，。令，得，得，即，因為為函數(shù)的零點，則，兩邊取對數(shù)得，所以.故選：C.8.在平面四邊形中，是邊長為的等邊三角形，是以點為直角頂點的等腰直角三角形，將該四邊形沿對角線折成四面體，在折起的過程中，四面體的外接球體積最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】因為是以點為直角頂點的直角三角形，所以的外接圓圓心是的中點，所以外接球的球心與中點的連線垂直面,再使用余弦定理列出方程，根據(jù)運動過程中角的范圍，求出外接球半徑的范圍，得出答案.【詳解】如圖，設三棱錐的外接球球心為，取的中點,連接，因為是以點為直角頂點的直角三角形，所以的外接圓圓心是點，則由球的性質(zhì)可知，平面，設外接球半徑為,是邊長為的等邊三角形,是以點為直角頂點的等腰直角三角形,,在中勾股定理可知,則在中利用余弦定理可得，,，則，得，所以的最小值為1，外接球體積最小值為.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)的圖象關于點中心對稱，則（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞增B.在區(qū)間上的最大值為1C.直線是曲線的對稱軸D.當時，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象上方【答案】BD【解析】【分析】先根據(jù)對稱中心求出函數(shù)解析式，結(jié)合選項余弦函數(shù)的單調(diào)性及值域?qū)ΨQ軸逐個驗證即可.【詳解】因為的圖象關于點對稱，所以，即，；因為，所以，即.令，由可得，因為，所以函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，故A不正確；令，由可得，所以，所以當，故B正確，，所以函數(shù)的圖象關于點對稱，直線不是曲線的對稱軸，故C不正確；當時，函數(shù)，，；當時，函數(shù)，所以，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象上方，故D正確.故選：BD.10.有一組成對樣本數(shù)據(jù)，設．由這組數(shù)據(jù)得到新成對樣本數(shù)據(jù)．利用一元線性回歸模型，根據(jù)最小二乘法，下列結(jié)論一定正確的是（）附：經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：．相關系數(shù)，決定系數(shù)（其中）．A.兩條經(jīng)驗回歸直線都過點 B.兩條經(jīng)驗回歸直線的截距相同C.兩組數(shù)據(jù)的相關系數(shù)相同 D.兩組數(shù)據(jù)的決定系數(shù)相同【答案】CD【解析】【分析】對A，根據(jù)回歸直線經(jīng)過樣本中心點，求出新成對樣本數(shù)據(jù)的樣本中心點判斷；對B，利用公式求出回歸直線的截距判斷；對C，利用公式求新成對樣本數(shù)據(jù)的相關系數(shù)比較即可；對D，利用公式求新成對樣本數(shù)據(jù)的決定系數(shù)，可以作出判斷.【詳解】對于A，因為，，所以新成對樣本數(shù)據(jù)過點，故A錯誤；對于B，因為，所以新成對樣本數(shù)據(jù)的回歸直線的截距為，故B錯誤；對于C，因為新成對樣本數(shù)據(jù)的相關系數(shù)，所以兩組數(shù)據(jù)的相關系數(shù)相同，故C正確；對于D，因為新成對樣本數(shù)據(jù)的決定系數(shù)，，其中，，所以，所以兩組數(shù)據(jù)的決定系數(shù)相同，故D正確.故選：CD.11.在平面直角坐標系中，點是曲線上的動點，點坐標為，射線從軸的非負半軸開始，繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，終止位置為．定義：，則（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】先求出直線與曲線的交點坐標，再結(jié)合各選項一一計算即可得出答案.【詳解】對于A，當時，射線從軸的非負半軸開始，繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，直線為，此時曲線與的交點為，所以，，故A正確.對于B，射線從軸的非負半軸開始，繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，此時，，射線旋轉(zhuǎn)后，此時，，所以，故B正確；對于C，當時，，①，當時，曲線為②，將①代入②可得：，所以，所以，要證明，即證明，即證明：，因為當時，，所以，故C正確.對于D，當，此時，③，當時，曲線為②，把③代入②可得：，所以，所以，當時，此時，④，當時，曲線為②，把④代入②可得：，所以，所以，要證，即證，因為，所以，即證：，取，，因為，所以D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，若向量與垂直，則____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標表示求解即可.【詳解】因，所以，解得，故答案為：13.陳嘉豪發(fā)現(xiàn)，《九章算術》中，稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面四棱錐為陽馬．已知長方體，若陽馬以該長方體的頂點為頂點，則這樣的陽馬的個數(shù)是____________（用數(shù)字作答）．【答案】24【解析】【分析】要確定以長方體頂點為頂點的陽馬個數(shù)，需要考慮長方體的面與頂點的關系，通過分析每個面作為陽馬底面的情況來計算總數(shù).【詳解】長方體有6個面.以其中一個面為底面，比如底面.當以底面為陽馬的底面時，從頂點中任選一個頂點作為垂直于底面的側(cè)棱的頂點，都可以構成1個陽馬，這樣就有4個陽馬.因為長方體有6個面，每個面都可以像底面這樣構成4個陽馬.所以陽馬的總個數(shù)為.故答案為：24.14.已知雙曲線的右焦點為，其左、右頂點分別為，過且與軸垂直的直線交于兩點，直線與交于點，若與的面積相等，則的離心率為____________．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程和焦點位置，確定右頂點、右焦點以及直線與雙曲線的交點的坐標，分別求出直線和的方程，聯(lián)立求解交點Q的坐標，由面積相等條件列出方程，最終求出離心率.【詳解】雙曲線左頂點，右頂點，右焦點（其中，將代入雙曲線方程可得，解得，不妨設和，直線的斜率為，其方程為：，同理可得直線的方程為：，直線的方程為：，即直線的一般式方程為，聯(lián)立直線與直線，解得：，即，因為與的面積相等，所以點到直線的距離等于點到直線的距離，即：，因為，所以化簡得，即，故答案為：2四、解答題：本題共5小題，共7分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，滿足．（1）求的通項公式；（2）設的前項和為，若，求的最大值．【答案】（1）（2）最大值為5．【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項公式寫出表達式，再結(jié)合這個條件，代入與表達式，通過等式計算求出首項，進而得到通項公式.也可令，利用和公差求出.（2）先由第一問得到的通項公式，根據(jù)等差數(shù)列前項和公式求出.再結(jié)合列出不等式，將其轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，求解不等式得到的取值范圍，最后根據(jù)取值范圍確定的最大值.【小問1詳解】因為數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，所以，由可得，解得，所以的通項公式為．【小問2詳解】由（1）得，由得，即，解得，由于，所以，所以最大值為5．16.某校組織學生參觀中國船政文化博物館，并抽取20個學生進行船政文化知識競賽，成績?nèi)缦拢?3，79，76，92，63，63，65，77，66，68，72，67，73，57，66，85，87，79，90，61．（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求成績的上四分位數(shù)（說明：上四分位數(shù)即第75百分位數(shù)）；（2）在大于70分的成績中隨機抽取2個，設表示抽取的2個成績中大于上四分位數(shù)的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望．【答案】（1）79（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）先把20個成績按從小到大排序，再根據(jù)上四分位數(shù)定義求解即可；（2）列出的所有可能取值，再根據(jù)超幾何分布的概率公式求得對應概率即可得到分布列，進而可求得數(shù)學期望.【小問1詳解】把20個成績按從小到大排序，可得53，57，61，63，63，65，66，66，67，68，72，73，76，77，79，79，85，87，90，92．由，可知成績的上四分位數(shù)為第15個成績與第16個成績的平均數(shù)，即；小問2詳解】由數(shù)據(jù)可知，成績大于70分的有10個，大于上四分位數(shù)79的成績有4個，根據(jù)題意，的所有可能取值為0，1，2，，則的分布列為012所以的數(shù)學期望．17.如圖，在三棱柱中，平面，的中點為，．（1）證明：平面；（2）在平面內(nèi)，動點在以為圓心，為半徑的劣弧上（不含端點），若直線與平面所成的角為，證明：三點共線．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）法1，連結(jié)與交于點，可得，根據(jù)線面平行的判定定理得證；法2，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用向量法證明；法3，設中點為，可證平面，平面，進而得到平面平面，得證；（2）法1，建立空間直角坐標系，設，利用與平面所成的角為，結(jié)合向量法求出點的坐標，進而確定的關系，得證；法2，設，解法同1；法3，設平面平面，過點作，垂足為，可得為與平面所成角，利用已知條件求解得證.【小問1詳解】解法一：連結(jié)與交于點，連結(jié)．因為點為與的交點，所以點為中點，又因為為中點，所以．因為平面，平面，所以平面．解法二：以為坐標原點，的方向為軸正向，建立如圖所示的空間直角坐標系.則，．設平面的法向量為，則，即，可取．因為，平面，所以平面．解法三：設中點為，連結(jié)、、，則且．因為且，所以且，四邊形是平行四邊形，所以．因為、分別為、中點，所以，又因為，所以四邊形是平行四邊形，所以．因為，平面，所以平面，同理平面，又因為，所以平面平面，因為平面，所以平面．【小問2詳解】法1，以為坐標原點，的方向為軸正向，建立如圖所示的空間直角坐標系．則，．設平面的法向量為，則，即，可取．因為動點在以為圓心，為半徑的劣弧上（不含端點），所以可設，則，由于與平面所成的角為，所以，所以，所以，即，解得，所以，故三點共線．法2，前面同上，設平面的法向量為，則即可取．因為動點在以為圓心，為半徑的劣弧上（不含端點），所以可設，則，因為與平面所成的角為，所以，所以，化簡得，即，得或．因為不成立．由可得，從而，得，所以，故三點共線．法3，設平面平面，則．過點作，垂足為，連結(jié)．因為，平面，所以平面，又因為平面平面，平面，所以．因為平面平面，所以.又因為，所以平面，為斜線在平面上的射影，為與平面所成角，則．在中，，所以．因為，所以，設，則，設劣弧上（不含端點）時，，，所以，化簡得，解得或（舍去）．當點在上（不含端點）時，，，所以，化簡得，解得或，均舍去．綜上，得，此時點與點重合，又因為的中點為，故三點共線．18.已知橢圓的兩個焦點分別是，長軸長是短軸長的倍．（1）求的方程；（2）過點的直線與交于兩點，以為直徑的圓記為．（i）當直線過原點時，求與的交點坐標；（ii）是否過定點？若是，請求出定點坐標；若不是，請說明理由．【答案】（1）（2）（i）；（ii）過定點，定點坐標為．【解析】【分析】（1）由題意列出方程組求出的值即可；（2）（i）首先得出方程：，然后聯(lián)立橢圓方程即可求解；（ii）采取先猜后證的思想，分析得定點只能為或，然后證明當直線斜率存在時，是否過定點即可.【小問1詳解】解法一：由于橢圓的焦點在軸上，設其標準方程為，由條件得，解得，所以的方程為．【小問2詳解】解法一：（i）當直線過原點時，直線的方程為，將其與方程聯(lián)立，可求兩交點坐標分別為，從而方程為．聯(lián)立與，得，故與的交點坐標為．（ii）當直線垂直軸時，將代入中，得，從而方程為．當直線過原點時，方程為．聯(lián)立與方程，解得，或，故若過定點，則定點只能為或．當直線斜率存在時，設其方程為，由于在直線上，可得．由，得，設，則．若為所求定點，則必有，由于，將代入，得不恒為零，故定點為所求定點，則必有，由于，將代入，得，故定點為．綜上，過定點，定點坐標為．解法二：（i）同解法一（ii）當直線垂直軸時，將代入中，得，從而方程為．當直線過原點時，方程為．聯(lián)立與方程，解得，若，故若過定點，則定點只能為或．當直線斜率存在時，設其方程為，由于在直線上，可得．由得，設，則．由，得的橫坐標為，將其代入中，得，所以的坐標為．又，若為所求定點，則必有，由于，將代入，得不恒為零，故定點不為．若為所求定點，則必有，由于，將代入，得，故定點為．綜上，過定點，定點坐標為．解法三：（i）同解法一（ii）當直線斜率存在時，設其方程為，由于在直線上，可得．由得，設，則．由得的橫坐標為，將其代入中，得，所以的坐標為．又，所以的方程為，即．由于，所以由的方程得，即．又因為，將其代入上式，并整理化簡得，解方程組得，故此時過定點．當直線垂直軸時，將代入中，得，從而方程為，令得成立，故此時同樣過點．綜上，過定點，定點坐標為．19.已知函數(shù)，記，若滿足，則稱是上的“可控函數(shù)”．由“可控函數(shù)”的定義可得