線性方程組的試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.線性方程組\(Ax=b\)有解的充要條件是（）A.\(r(A)=r(A|b)\)B.\(r(A)\ltr(A|b)\)C.\(r(A)\gtr(A|b)\)D.\(A\)可逆2.設\(A\)是\(m×n\)矩陣，非齊次線性方程組\(Ax=b\)的導出組為\(Ax=0\)，如果\(m\ltn\)，則（）A.\(Ax=b\)有無窮多解B.\(Ax=0\)有非零解C.\(Ax=b\)有唯一解D.\(Ax=0\)只有零解3.齊次線性方程組\(Ax=0\)僅有零解的充要條件是（）A.\(A\)的行向量組線性無關B.\(A\)的列向量組線性無關C.\(A\)的行向量組線性相關D.\(A\)的列向量組線性相關4.線性方程組\(\begin{cases}x_1+x_2=1\\x_1-x_2=3\end{cases}\)的解為（）A.\(x_1=2,x_2=-1\)B.\(x_1=-1,x_2=2\)C.\(x_1=1,x_2=0\)D.\(x_1=0,x_2=1\)5.設\(A\)為\(n\)階方陣，且\(|A|=0\)，則\(A\)中（）A.必有一行元素全為零B.必有兩行元素對應成比例C.必有一個行向量是其余行向量的線性組合D.任一行向量是其余行向量的線性組合6.已知線性方程組\(Ax=b\)，\(A\)為\(3×4\)矩陣，且\(r(A)=2\)，\(r(A|b)=3\)，則該方程組（）A.有唯一解B.有無窮多解C.無解D.不確定7.若線性方程組\(Ax=b\)的增廣矩陣\((A|b)\)經初等行變換化為\(\begin{pmatrix}1&0&0&1\\0&1&0&2\\0&0&1&3\end{pmatrix}\)，則方程組的解是（）A.\(x_1=1,x_2=2,x_3=3\)B.\(x_1=3,x_2=2,x_3=1\)C.\(x_1=2,x_2=1,x_3=3\)D.\(x_1=1,x_2=3,x_3=2\)8.設\(A\)是\(m×n\)矩陣，\(Ax=0\)是\(Ax=b\)的導出組，則下列結論正確的是（）A.若\(Ax=b\)有無窮多解，則\(Ax=0\)只有零解B.若\(Ax=b\)有唯一解，則\(Ax=0\)只有零解C.若\(Ax=0\)只有零解，則\(Ax=b\)有唯一解D.若\(Ax=0\)有非零解，則\(Ax=b\)有無窮多解9.已知\(n\)元齊次線性方程組\(Ax=0\)的系數矩陣\(A\)的秩\(r(A)=n-1\)，則\(Ax=0\)的基礎解系所含向量個數為（）A.\(n\)B.\(n-1\)C.\(1\)D.\(0\)10.設\(A\)是\(n\)階可逆矩陣，線性方程組\(Ax=b\)的解為（）A.\(x=A^{-1}b\)B.\(x=bA^{-1}\)C.\(x=Ab\)D.\(x=bA\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列關于線性方程組的說法正確的是（）A.齊次線性方程組一定有解B.非齊次線性方程組可能無解C.線性方程組的解唯一時，其導出組只有零解D.線性方程組有無窮多解時，其導出組有非零解2.設\(A\)是\(m×n\)矩陣，線性方程組\(Ax=b\)，則（）A.當\(m=n\)且\(|A|\neq0\)時，方程組有唯一解B.若\(r(A)=r(A|b)\)，方程組有解C.若\(r(A)\ltr(A|b)\)，方程組無解D.若\(r(A)\gtr(A|b)\)，方程組無解3.齊次線性方程組\(Ax=0\)的基礎解系具有的性質是（）A.基礎解系中的向量線性無關B.基礎解系中的向量個數為\(n-r(A)\)（\(n\)為未知數個數，\(r(A)\)為系數矩陣\(A\)的秩）C.基礎解系中的向量都是方程組的解D.方程組的任意一個解都能由基礎解系線性表示4.已知線性方程組\(\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2\\a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3\end{cases}\)，其增廣矩陣\((A|b)\)經初等行變換后得到\(\begin{pmatrix}1&0&2&1\\0&1&-1&2\\0&0&0&0\end{pmatrix}\)，則（）A.方程組有無窮多解B.方程組的通解為\(x_1=1-2k,x_2=2+k,x_3=k\)（\(k\)為任意常數）C.方程組的導出組的基礎解系所含向量個數為1D.方程組有唯一解5.設\(A\)為\(n\)階矩陣，下列哪些條件能推出\(Ax=0\)只有零解（）A.\(A\)可逆B.\(r(A)=n\)C.\(A\)的列向量組線性無關D.\(|A|\neq0\)6.非齊次線性方程組\(Ax=b\)的解的情況有（）A.無解B.有唯一解C.有無窮多解D.以上都不對7.線性方程組\(Ax=b\)中，若\(A\)是\(4×5\)矩陣，且\(r(A)=3\)，\(r(A|b)=3\)，則（）A.方程組有無窮多解B.方程組的導出組的基礎解系所含向量個數為2C.方程組有唯一解D.方程組無解8.已知齊次線性方程組\(Ax=0\)，\(A\)為\(3×4\)矩陣，且\(r(A)=2\)，則（）A.基礎解系所含向量個數為2B.方程組的通解可表示為\(x=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2\)（\(k_1,k_2\)為任意常數，\(\alpha_1,\alpha_2\)為基礎解系向量）C.方程組有非零解D.方程組只有零解9.設\(A\)是\(m×n\)矩陣，\(Ax=b\)，如果\(m\gtn\)，則（）A.\(Ax=0\)可能有非零解B.\(Ax=b\)可能無解C.\(Ax=b\)一定有無窮多解D.\(Ax=0\)一定只有零解10.對于線性方程組\(Ax=b\)，以下說法正確的是（）A.若\(b=0\)，則方程組為齊次線性方程組B.若\(A\)是方陣且\(|A|\neq0\)，則可用克萊姆法則求解C.方程組的解集合構成向量空間（在有解情況下）D.增廣矩陣\((A|b)\)的秩決定方程組的解的情況三、判斷題（每題2分，共10題）1.非齊次線性方程組\(Ax=b\)有解的充分必要條件是其系數矩陣\(A\)的秩等于增廣矩陣\((A|b)\)的秩。（）2.齊次線性方程組\(Ax=0\)有非零解的充要條件是系數矩陣\(A\)的行數小于列數。（）3.若線性方程組\(Ax=b\)有唯一解，則其導出組\(Ax=0\)只有零解。（）4.設\(A\)是\(m×n\)矩陣，若\(r(A)=m\)，則非齊次線性方程組\(Ax=b\)一定有解。（）5.線性方程組的基礎解系是唯一的。（）6.若\(A\)是\(n\)階可逆矩陣，則線性方程組\(Ax=b\)的解為\(x=A^{-1}b\)。（）7.非齊次線性方程組\(Ax=b\)無解時，其導出組\(Ax=0\)只有零解。（）8.齊次線性方程組\(Ax=0\)的解向量的任意線性組合還是該方程組的解。（）9.若線性方程組\(Ax=b\)的增廣矩陣\((A|b)\)經初等行變換后得到的矩陣有一行全為零，則方程組無解。（）10.已知\(n\)元齊次線性方程組\(Ax=0\)，若\(r(A)=n-2\)，則基礎解系所含向量個數為2。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述非齊次線性方程組\(Ax=b\)有解、無解、有唯一解、有無窮多解時，系數矩陣\(A\)和增廣矩陣\((A|b)\)的秩的關系。答案：有解時\(r(A)=r(A|b)\)；無解時\(r(A)\ltr(A|b)\)；有唯一解時\(r(A)=r(A|b)=n\)（\(n\)為未知數個數）；有無窮多解時\(r(A)=r(A|b)\ltn\)。2.如何求齊次線性方程組\(Ax=0\)的基礎解系？答案：先對系數矩陣\(A\)進行初等行變換化為行最簡形，確定自由未知量，將自由未知量分別賦值為單位向量，代入求解得到基礎解系向量，基礎解系所含向量個數為\(n-r(A)\)（\(n\)為未知數個數）。3.已知線性方程組\(Ax=b\)的增廣矩陣\((A|b)\)經初等行變換化為\(\begin{pmatrix}1&2&0&1\\0&0&1&2\\0&0&0&0\end{pmatrix}\)，求方程組的通解。答案：由增廣矩陣可知\(r(A)=r(A|b)=2\)，\(n=3\)，自由未知量為\(x_2\)。令\(x_2=k\)（\(k\)為任意常數），得\(x_1=1-2k\)，\(x_3=2\)，通解為\(x_1=1-2k,x_2=k,x_3=2\)。4.說明線性方程組\(Ax=b\)的解與它的導出組\(Ax=0\)的解之間的關系。答案：若\(x_1,x_2\)是\(Ax=b\)的解，則\(x_1-x_2\)是\(Ax=0\)的解；\(Ax=b\)的通解等于它的一個特解加上\(Ax=0\)的通解。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論線性方程組\(\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\x_1+2x_2+ax_3=2\\2x_1+3x_2+(a+1)x_3=b\end{cases}\)解的情況，其中\(a,b\)為參數。答案：對增廣矩陣進行初等行變換，化為\(\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&a-1&1\\0&0&0&b-3\end{pmatrix}\)。當\(b\neq3\)時，無解；當\(b=3\)時，若\(a=1\)，有無窮多解，若\(a\neq1\)，有唯一解。2.已知線性方程組\(Ax=b\)，\(A\)為\(m×n\)矩陣，當\(m\)，\(n\)不同關系時，討論方程組解的情況。答案：當\(m\ltn\)，\(Ax=0\)有非零解，\(Ax=b\)可能無解、無窮多解；當\(m=n\)，\(A\)可逆時\(Ax=b\)有唯一解，否則可能無解、無窮多解；當\(m\gtn\)，\(Ax=0\)可能有非零解，\(Ax=b\)可能無解、有解（唯一或無窮多解）。3.舉例說明線性方程組在實際生活中的應用，并闡述求解過程。答案：比如在資源