一元二次方程試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.方程$x^{2}-3x=0$的一次項系數是（）A.-3B.3C.1D.02.一元二次方程$2x^{2}-3x+1=0$的根的情況是（）A.有兩個相等的實數根B.有兩個不相等的實數根C.沒有實數根D.無法確定3.方程$(x-1)^{2}=4$的解是（）A.$x_{1}=3$，$x_{2}=-1$B.$x_{1}=-3$，$x_{2}=1$C.$x_{1}=1$，$x_{2}=-1$D.$x_{1}=3$，$x_{2}=1$4.用配方法解方程$x^{2}+4x-1=0$，配方后所得方程是（）A.$(x+2)^{2}=5$B.$(x-2)^{2}=5$C.$(x+2)^{2}=3$D.$(x-2)^{2}=3$5.若關于$x$的一元二次方程$x^{2}+mx+2n=0$有一個根是$2$，則$m+n$的值是（）A.-2B.2C.-4D.46.一元二次方程$x^{2}-2x-3=0$的兩根分別為$x_{1}$，$x_{2}$，則$x_{1}+x_{2}$的值為（）A.-2B.2C.3D.-37.方程$x^{2}-5x=0$的解是（）A.$x=5$B.$x=0$C.$x_{1}=0$，$x_{2}=5$D.$x_{1}=0$，$x_{2}=-5$8.若一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$（$a\neq0$）的兩根為$x_{1}$，$x_{2}$，則$x_{1}x_{2}$等于（）A.$\frac{b}{a}$B.$-\frac{b}{a}$C.$\frac{c}{a}$D.$-\frac{c}{a}$9.方程$x^{2}-6x+k=0$有兩個相等的實數根，則$k$的值為（）A.9B.6C.3D.-910.用公式法解方程$2x^{2}-3x-1=0$，$b^{2}-4ac$的值為（）A.1B.17C.-1D.-17二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列方程中，是一元二次方程的有（）A.$x^{2}-5x=0$B.$2x^{2}-3xy+4=0$C.$x^{2}+\frac{1}{x}=0$D.$(x-1)(x+2)=1$2.一元二次方程$x^{2}-4x+3=0$的根是（）A.$x_{1}=1$B.$x_{2}=3$C.$x_{1}=-1$D.$x_{2}=-3$3.用配方法解一元二次方程$x^{2}-6x-5=0$，下列變形正確的是（）A.$(x-3)^{2}=5+9$B.$(x-3)^{2}=5-9$C.$(x-3)^{2}=14$D.$(x-3)^{2}=4$4.關于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$（$a\neq0$），下列說法正確的是（）A.當$a+b+c=0$時，方程一定有一個根為$1$B.當$c=0$時，方程一定有一個根為$0$C.當$b=0$時，方程一定有兩個相等的實數根D.當$a-b+c=0$時，方程一定有一個根為$-1$5.下列方程中，兩根之和為$2$的是（）A.$x^{2}-2x+3=0$B.$x^{2}-2x-3=0$C.$2x^{2}-4x+1=0$D.$2x^{2}+4x-1=0$6.一元二次方程$x^{2}-2x-1=0$的根的情況是（）A.有兩個不相等的實數根B.有兩個相等的實數根C.沒有實數根D.根的判別式$\Delta=8$7.方程$(x-2)(x+3)=0$的解是（）A.$x=2$B.$x=-3$C.$x=3$D.$x=-2$8.用因式分解法解方程$x^{2}-3x=0$，可化為（）A.$x(x-3)=0$B.$x=0$或$x-3=0$C.$x=0$D.$x=3$9.若一元二次方程$x^{2}+mx+n=0$的兩根為$x_{1}$，$x_{2}$，則（）A.$x_{1}+x_{2}=-m$B.$x_{1}x_{2}=n$C.$x_{1}+x_{2}=m$D.$x_{1}x_{2}=-n$10.關于$x$的一元二次方程$x^{2}-mx+2m-1=0$的兩個實數根分別是$x_{1}$，$x_{2}$，且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=7$，則$(x_{1}-x_{2})^{2}$的值是（）A.1B.12C.9D.13三、判斷題（每題2分，共20分）1.方程$x^{2}=4$的解是$x=2$。（）2.一元二次方程$x^{2}-2x+1=0$有兩個相等的實數根。（）3.用配方法解方程$x^{2}+4x-1=0$，配方得$(x+2)^{2}=5$。（）4.方程$x^{2}-3x=0$的根是$x=0$。（）5.若一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$（$a\neq0$）的兩根為$x_{1}$，$x_{2}$，則$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$。（）6.方程$x^{2}-5x+6=0$可因式分解為$(x-2)(x-3)=0$。（）7.一元二次方程$x^{2}+2x+3=0$有兩個不相等的實數根。（）8.用公式法解方程$x^{2}-2x-1=0$，$b^{2}-4ac=8$。（）9.方程$(x-1)^{2}=1$的解是$x=0$或$x=2$。（）10.若關于$x$的一元二次方程$x^{2}+mx+1=0$有兩個相等的實數根，則$m=2$。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.用配方法解方程$x^{2}+6x+4=0$。-答案：移項得$x^{2}+6x=-4$，配方得$x^{2}+6x+9=-4+9$，即$(x+3)^{2}=5$，開方得$x+3=\pm\sqrt{5}$，解得$x_{1}=-3+\sqrt{5}$，$x_{2}=-3-\sqrt{5}$。2.已知一元二次方程$x^{2}-3x-1=0$的兩根為$x_{1}$，$x_{2}$，求$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$的值。-答案：由韋達定理得$x_{1}+x_{2}=3$，$x_{1}x_{2}=-1$。$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=3^{2}-2\times(-1)=9+2=11$。3.寫出一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$（$a\neq0$）求根公式，并說明其推導過程。-答案：求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。推導：移項得$ax^{2}+bx=-c$，二次項系數化為1后配方，$x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}}=-\frac{c}{a}+\frac{b^{2}}{4a^{2}}$，即$(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$，開方可得求根公式。4.當$m$為何值時，關于$x$的一元二次方程$x^{2}-(2m-1)x+m^{2}=0$有兩個不相等的實數根？-答案：$\Delta=b^{2}-4ac=[-(2m-1)]^{2}-4m^{2}=4m^{2}-4m+1-4m^{2}=1-4m$。方程有兩個不相等實數根，則$\Delta>0$，即$1-4m>0$，解得$m<\frac{1}{4}$。五、討論題（每題5分，共20分）1.一元二次方程在實際生活中有哪些應用？舉例說明。-答案：在面積問題中常用。如矩形面積問題，已知矩形長比寬多2，面積為24，設寬為$x$，則長為$x+2$，可得方程$x(x+2)=24$，解此方程可求出矩形的長和寬。2.對于一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$（$a\neq0$），當$a$、$b$、$c$滿足什么條件時，方程有兩個正根？-答案：需滿足$\Delta=b^{2}-4ac\geq0$保證有根，且兩根之和$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}>0$，兩根之積$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}>0$，即$a$、$c$同號，$a$、$b$異號且$b^{2}-4ac\geq0$。3.如何選擇合適的方法解一元二次方程？-答案：若方程一邊為0，另一邊能因式分解，用因式分解法；若方程形如$(x+m)^{2}=n$（$n\geq0$），用直接開平方法；若不易因式分解，用公式法；配方法適用于各種方程，但一般較繁瑣，不常用。4.討論一元二次方程根的判別式的作用。-答案：根的判別式$\Delta=b^{2}-4ac$可判斷方程根的情況。$\Delta>0$，方程有兩個不相等實數根；$\Delta=0$，方程有兩個相等實數根；$\Delta<0$，方程沒有實數根。還能在已知根的情況時，確定方程中參數的取