高數c下學期期末試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數$f(x)$在點$x_0$處可導是$f(x)$在$x_0$處連續的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2.$\int\frac{1}{x}dx$等于（）A.$\ln|x|+C$B.$-\ln|x|+C$C.$\frac{1}{x^2}+C$D.$-\frac{1}{x^2}+C$3.二元函數$z=x^2+y^2$在點$(1,1)$處關于$x$的偏導數是（）A.1B.2C.3D.44.級數$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$是（）A.收斂級數B.條件收斂級數C.絕對收斂級數D.發散級數5.曲線$y=x^2$在點$(0,0)$處的切線斜率為（）A.0B.1C.2D.不存在6.若函數$y=f(x)$的一個原函數是$F(x)$，則$\intf(x)dx$=（）A.$F(x)$B.$F(x)+C$C.$F^\prime(x)$D.$F^\prime(x)+C$7.定積分$\int_{0}^{1}x^2dx$的值是（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{1}{4}$D.18.函數$z=xy$的全微分$dz$是（）A.$ydx+xdy$B.$xdx+ydy$C.$(x+y)dxdy$D.$xydxdy$9.冪級數$\sum_{n=0}^{\infty}x^n$的收斂半徑$R$=（）A.0B.1C.+∞D.不存在10.函數$f(x)=\sinx$的導數$f^\prime(x)$是（）A.$-\cosx$B.$\cosx$C.$\sinx$D.$-\sinx$多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列哪些函數是基本初等函數（）A.$y=x^2$B.$y=e^x$C.$y=\sinx$D.$y=\log_2x$2.下列積分運算正確的是（）A.$\intkdx=kx+C$（$k$為常數）B.$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$（$n\neq-1$）C.$\int\cosxdx=\sinx+C$D.$\int\sinxdx=-\cosx+C$3.關于二元函數$z=f(x,y)$的偏導數，下列說法正確的是（）A.$\frac{\partialz}{\partialx}$表示固定$y$時，$z$關于$x$的變化率B.$\frac{\partialz}{\partialy}$表示固定$x$時，$z$關于$y$的變化率C.函數在某點偏導數存在，則函數在該點一定連續D.函數在某點連續，則函數在該點偏導數一定存在4.下列級數中，收斂的是（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}2^n$5.下列求導公式正確的是（）A.$(x^n)^\prime=nx^{n-1}$B.$(e^x)^\prime=e^x$C.$(\lnx)^\prime=\frac{1}{x}$D.$(\cosx)^\prime=\sinx$6.定積分的性質包括（）A.$\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx$B.$\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx$（$k$為常數）C.$\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx$D.$\int_{a}^f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^f(x)dx$（$a<c<b$）7.二元函數$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處的全微分存在的充分條件是（）A.函數在該點連續B.偏導數$f_x(x_0,y_0)$和$f_y(x_0,y_0)$都存在C.偏導數$f_x(x,y)$和$f_y(x,y)$在點$(x_0,y_0)$的某鄰域內存在且連續D.函數$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處沿任意方向的方向導數都存在8.冪級數$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的收斂性可能是（）A.僅在$x=0$處收斂B.在整個數軸上都收斂C.在某區間$(-R,R)$內收斂，在區間端點處斂散性不定D.在任何點都不收斂9.以下哪些與函數單調性有關（）A.函數導數大于零則函數單調遞增B.函數導數小于零則函數單調遞減C.駐點可能是函數單調性的轉折點D.導數不存在的點不會影響函數單調性10.關于中值定理，正確的是（）A.羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情況B.拉格朗日中值定理可用于證明不等式C.柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣D.中值定理都要求函數在某區間上具有連續性和可導性判斷題（每題2分，共10題）1.若函數$f(x)$在點$x_0$處的導數不存在，則$f(x)$在$x_0$處一定不連續。（）2.$\int\sin^2xdx=-\frac{1}{2}\cos2x+C$（）3.二元函數$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處的偏導數等于該點處沿坐標軸方向的方向導數。（）4.級數$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收斂，則$\lim_{n\to\infty}a_n=0$。（）5.函數$y=\sqrt{x}$的導數是$y^\prime=\frac{1}{2\sqrt{x}}$（）6.定積分的值與積分變量用什么字母表示無關。（）7.若二元函數$z=f(x,y)$在某區域內的兩個二階混合偏導數$\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}$和$\frac{\partial^2z}{\partialy\partialx}$都連續，則二者相等。（）8.冪級數$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$在其收斂區間內一定絕對收斂。（）9.函數$f(x)$在區間$[a,b]$上的極大值一定大于極小值。（）10.函數$F(x)$和$G(x)$都是$f(x)$的原函數，則$F(x)-G(x)$為常數。（）簡答題（每題5分，共4題）1.求函數$y=x^3-3x^2+5$的單調區間。-答案：對函數求導得$y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)$。令$y^\prime>0$，解得$x<0$或$x>2$，此為單調遞增區間；令$y^\prime<0$，解得$0<x<2$，此為單調遞減區間。2.計算定積分$\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx$-答案：因為$(\lnx)^\prime=\frac{1}{x}$，根據牛頓-萊布尼茨公式，$\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx=\lnx\big|_{1}^{e}=\lne-\ln1=1-0=1$。3.求函數$z=x^2y+xy^2$的偏導數$\frac{\partialz}{\partialx}$和$\frac{\partialz}{\partialy}$-答案：求$\frac{\partialz}{\partialx}$時，把$y$看成常數，得$\frac{\partialz}{\partialx}=2xy+y^2$；求$\frac{\partialz}{\partialy}$時，把$x$看成常數，得$\frac{\partialz}{\partialy}=x^2+2xy$。4.寫出冪級數$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$的收斂區間。-答案：用比值判別法，$lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=lim_{n\to\infty}|\frac{\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{x^n}{n!}}|=lim_{n\to\infty}\frac{|x|}{n+1}=0$，收斂半徑$R=+\infty$，收斂區間為$(-\infty,+\infty)$。討論題（每題5分，共4題）1.討論導數與函數極值的關系-答案：函數在某點可導且導數為0，該點可能是極值點（駐點），但駐點不一定是極值點。函數導數不存在的點也可能是極值點。如$y=|x|$在$x=0$處不可導卻是極小值點。要判斷駐點等是否為極值點，還需用極值判定定理等方法。2.說明定積分與不定積分的聯系與區別-答案：聯系是不定積分是求原函數的全體，而定積分是原函數在區間端點函數值的差（在被積函數連續等條件下，由牛頓-萊布尼茨公式聯系）。區別在于不定積分是函數族，定積分是數值，且定積分有積分上下限，不定積分沒有。3.探討多元函數連續、可偏導、可微之間的關系-答案：可微則函數連續且可偏導，但連續不一定可偏導，可偏導也不一定可微。例如函數在某點連續但在該點偏導數可能不存在；函數在某點可偏導，但偏導數不連續時函數不一定可微。4.講述級數收斂性判別方法的應用場景-答案：對于正項級數，常用比較判別法（已知收斂或發散級數作比較）、比值判別法（通項含階乘、冪次等）、根值判別法（通項含$n$次冪）。對于交錯級數用萊布尼茨判別法。對于一般級數，先看通項極限是否為0