線性代數試題庫及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.設矩陣\(A\)為\(3\)階方陣，\(\vertA\vert=2\)，則\(\vert2A\vert=(\)\)A.\(4\)B.\(8\)C.\(16\)D.\(32\)2.若\(A\)是\(n\)階可逆矩陣，則下列說法錯誤的是（）A.\(A\)的秩為\(n\)B.\(A\)可經過初等行變換化為單位矩陣C.\(\vertA\vert\neq0\)D.\(A\)一定是對稱矩陣3.向量組\(\alpha_1=(1,0,0)\)，\(\alpha_2=(0,1,0)\)，\(\alpha_3=(0,0,1)\)的秩為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(0\)4.方程組\(Ax=0\)僅有零解的充要條件是（）A.\(A\)的行向量組線性無關B.\(A\)的列向量組線性無關C.\(A\)的行向量組線性相關D.\(A\)的列向量組線性相關5.設\(A\)、\(B\)均為\(n\)階方陣，且\(AB=O\)，則（）A.\(A=O\)或\(B=O\)B.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)C.\(A+B=O\)D.\(A\)與\(B\)都不可逆6.已知矩陣\(A\)的特征值為\(1\)，\(2\)，\(3\)，則\(\vertA\vert=(\)\)A.\(6\)B.\(5\)C.\(4\)D.\(3\)7.若矩陣\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A=B\)B.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)C.\(A\)與\(B\)有不同的特征值D.\(A\)與\(B\)秩不同8.二次型\(f(x_1,x_2)=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2\)的矩陣為（）A.\(\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\)9.\(n\)階單位矩陣\(E\)的秩是（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(n-1\)D.\(n\)10.設\(A\)為\(n\)階方陣，\(k\)為非零常數，則\(\vertkA\vert=(\)\)A.\(k\vertA\vert\)B.\(k^n\vertA\vert\)C.\(\vertA\vert\)D.\(k^{n-1}\vertA\vert\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下關于矩陣運算正確的有（）A.\((AB)^T=B^TA^T\)B.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)C.\(k(AB)=(kA)B=A(kB)\)D.\(A(BC)=(AB)C\)2.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)線性相關的充分必要條件是（）A.存在不全為零的數\(k_1,k_2,\cdots,k_m\)，使\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0\)B.向量組中至少有一個向量可由其余向量線性表示C.向量組的秩小于\(m\)D.向量組中任意一個向量都可由其余向量線性表示3.設\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=BA\)，則（）A.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)B.\((AB)^k=A^kB^k\)C.\(A\)與\(B\)有相同的特征值D.\(A\)與\(B\)可同時對角化4.下列哪些矩陣是可逆矩陣（）A.滿秩矩陣B.行列式不為零的矩陣C.經過初等變換可化為單位矩陣的矩陣D.零矩陣5.關于矩陣的秩，下列說法正確的是（）A.矩陣\(A\)的秩等于它的行向量組的秩B.矩陣\(A\)的秩等于它的列向量組的秩C.若\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，則\(r(A)\leq\min(m,n)\)D.對矩陣進行初等變換不改變矩陣的秩6.已知\(\lambda\)是矩陣\(A\)的特征值，\(\xi\)是對應的特征向量，則（）A.\(A\xi=\lambda\xi\)B.\((A-\lambdaE)\xi=0\)C.\(\vertA-\lambdaE\vert=0\)D.對于任意常數\(k\)，\(k\xi\)也是\(A\)對應于\(\lambda\)的特征向量7.實對稱矩陣具有以下哪些性質（）A.特征值都是實數B.不同特征值對應的特征向量正交C.一定可以對角化D.相似于單位矩陣8.下列屬于二次型的是（）A.\(f(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2\)B.\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1\)C.\(f(x_1)=x_1^2\)D.\(f(x_1,x_2)=x_1+x_2\)9.對于線性方程組\(Ax=b\)，下列說法正確的是（）A.若\(r(A)=r(A|b)\)，則方程組有解B.若\(r(A)=r(A|b)=n\)（\(n\)為未知數個數），則方程組有唯一解C.若\(r(A)\ltr(A|b)\)，則方程組無解D.若\(r(A)=r(A|b)\ltn\)，則方程組有無窮多解10.以下關于初等矩陣說法正確的是（）A.初等矩陣都是可逆矩陣B.對矩陣\(A\)左乘一個初等矩陣，相當于對\(A\)進行一次相應的初等行變換C.對矩陣\(A\)右乘一個初等矩陣，相當于對\(A\)進行一次相應的初等列變換D.初等矩陣的逆矩陣還是初等矩陣三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，則\(\vertA+B\vert=\vertA\vert+\vertB\vert\)。（）2.向量組中向量個數大于向量的維數時，向量組一定線性相關。（）3.若矩陣\(A\)的行列式\(\vertA\vert=0\)，則\(A\)的列向量組線性相關。（）4.相似矩陣有相同的特征多項式。（）5.二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x^TAx\)（\(A\)為對稱矩陣）正定的充要條件是\(A\)的所有特征值都大于零。（）6.零矩陣是可逆矩陣。（）7.若\(A\)是\(n\)階方陣，\(k\)為常數，則\((kA)^T=kA^T\)。（）8.線性方程組\(Ax=0\)有非零解的充要條件是\(r(A)\ltn\)（\(n\)為未知數個數）。（）9.矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。（）10.實對稱矩陣一定可以正交相似對角化。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述矩陣可逆的充要條件。答案：\(n\)階矩陣\(A\)可逆的充要條件有：\(\vertA\vert\neq0\)；\(r(A)=n\)；\(A\)可經過初等變換化為單位矩陣；\(A\)的列（行）向量組線性無關；\(Ax=0\)僅有零解等。2.如何判斷向量組的線性相關性？答案：可通過定義，看是否存在不全為零的數使線性組合為零向量；也可求向量組的秩，若秩小于向量個數則線性相關；還可將向量組構成矩陣，根據矩陣的行列式是否為零判斷，為零則線性相關。3.簡述矩陣相似的定義及性質。答案：定義：設\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，若存在可逆矩陣\(P\)，使\(P^{-1}AP=B\)，則稱\(A\)與\(B\)相似。性質：相似矩陣有相同的特征多項式、特征值、秩、行列式等。4.說明二次型正定的判定方法。答案：可通過定義，對任意非零向量\(x\)，\(x^TAx\gt0\)；也可看二次型矩陣\(A\)的特征值是否都大于零；還可利用順序主子式全大于零來判定。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論線性方程組解的情況與系數矩陣、增廣矩陣秩的關系。答案：當\(r(A)=r(A|b)=n\)（\(n\)為未知數個數），方程組有唯一解；當\(r(A)=r(A|b)\ltn\)，有無窮多解；當\(r(A)\ltr(A|b)\)，方程組無解。秩的關系決定了解的存在性與唯一性。2.探討相似矩陣在實際應用中的意義。答案：相似矩陣有相同特征值等性質。在實際中，如物理系統的振動分析、數據壓縮等領域，通過相似變換可簡化矩陣計算，將復雜矩陣轉化為簡單的相似對角矩陣，更方便分析系統特性和處理數據。3.闡述向量組的極大線性無關組的求法及意義。答案：求法：將向量組構成矩陣，通