高二數學高難試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.已知雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)）的漸近線方程為\(y=\pm\frac{3}{4}x\)，則其離心率為（）A.\(\frac{5}{4}\)B.\(\frac{5}{3}\)C.\(\frac{4}{3}\)D.\(\frac{\sqrt{7}}{4}\)2.若直線\(l\)的方向向量\(\vec{a}=(1,-2,3)\)，平面\(\alpha\)的法向量\(\vec{n}=(-3,6,-9)\)，則（）A.\(l\subset\alpha\)B.\(l\parallel\alpha\)C.\(l\perp\alpha\)D.\(l\)與\(\alpha\)相交3.已知\(\vec{a}=(2,-1,3)\)，\(\vec=(-4,2,x)\)，若\(\vec{a}\perp\vec\)，則\(x\)的值為（）A.\(\frac{10}{3}\)B.\(-\frac{10}{3}\)C.\(\frac{11}{3}\)D.\(-\frac{11}{3}\)4.拋物線\(y=-\frac{1}{8}x^{2}\)的準線方程是（）A.\(x=\frac{1}{32}\)B.\(y=2\)C.\(y=\frac{1}{32}\)D.\(y=-2\)5.橢圓\(\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{4}=1\)的焦距為\(2\)，則\(m\)的值為（）A.\(5\)B.\(3\)C.\(5\)或\(3\)D.\(6\)6.設\(P\)是橢圓\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\)上一點，\(M\)，\(N\)分別是兩圓\((x+4)^{2}+y^{2}=1\)和\((x-4)^{2}+y^{2}=1\)上的點，則\(\vertPM\vert+\vertPN\vert\)的最小值、最大值分別為（）A.\(9\)，\(12\)B.\(8\)，\(11\)C.\(8\)，\(12\)D.\(10\)，\(12\)7.已知直線\(l\)過拋物線\(y^{2}=4x\)的焦點\(F\)，交拋物線于\(A\)，\(B\)兩點，若\(\vertAF\vert=3\)，則\(\vertBF\vert\)為（）A.\(2\)B.\(\frac{3}{2}\)C.\(1\)D.\(\frac{1}{2}\)8.已知\(\vec{a}\)，\(\vec\)，\(\vec{c}\)是空間向量的一組基底，\(\vec{a}+\vec\)，\(\vec{a}-\vec\)，\(\vec{c}\)是空間向量的另一組基底，若向量\(\vec{p}\)在基底\(\vec{a}\)，\(\vec\)，\(\vec{c}\)下的坐標為\((4,2,3)\)，則向量\(\vec{p}\)在基底\(\vec{a}+\vec\)，\(\vec{a}-\vec\)，\(\vec{c}\)下的坐標為（）A.\((4,0,3)\)B.\((3,1,3)\)C.\((1,2,3)\)D.\((2,1,3)\)9.已知雙曲線\(C\)：\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)）的右焦點為\(F\)，過\(F\)作雙曲線\(C\)的一條漸近線的垂線，垂足為\(H\)，若\(FH\)的中點\(M\)在雙曲線\(C\)上，則雙曲線\(C\)的離心率為（）A.\(\sqrt{2}\)B.\(\sqrt{3}\)C.\(2\)D.\(\sqrt{5}\)10.已知點\(A(1,0)\)，\(B(-1,0)\)，直線\(AM\)，\(BM\)相交于點\(M\)，且它們的斜率之積為\(-2\)，則動點\(M\)的軌跡方程為（）A.\(x^{2}+\frac{y^{2}}{2}=1(x\neq\pm1)\)B.\(\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1(x\neq\pm1)\)C.\(x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=1(x\neq\pm1)\)D.\(\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1(x\neq\pm1)\)二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列關于圓錐曲線的說法，正確的是（）A.橢圓的離心率越大，橢圓越扁B.雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)）的漸近線方程為\(y=\pm\frac{a}x\)C.拋物線\(y^{2}=2px\)（\(p\gt0\)）的焦點坐標為\((\frac{p}{2},0)\)D.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)（\(a\gtb\gt0\)）的長軸長為\(2a\)2.已知向量\(\vec{a}=(1,2,-1)\)，\(\vec=(x,1,2)\)，且\(\vec{a}\perp\vec\)，則（）A.\(x=0\)B.\(x=2\)C.\(\vec{a}+\vec=(1,3,1)\)D.\(\vec{a}-\vec=(-1,1,-3)\)3.設橢圓\(C\)：\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)（\(a\gtb\gt0\)）的左、右焦點分別為\(F_1,F_2\)，\(P\)是橢圓\(C\)上一點，則（）A.\(\vertPF_1\vert+\vertPF_2\vert=2a\)B.當\(P\)為短軸端點時，\(\angleF_1PF_2\)最大C.若\(\trianglePF_1F_2\)為直角三角形，則\(\vertPF_1\vert\)的取值范圍是\([a-c,a+c]\)D.若\(\vertPF_1\vert=2\vertPF_2\vert\)，則橢圓的離心率的取值范圍是\([\frac{1}{3},1)\)4.對于拋物線\(y^{2}=4x\)，下列說法正確的是（）A.焦點坐標為\((1,0)\)B.準線方程為\(x=-1\)C.過焦點的弦長最小值為\(4\)D.拋物線上一點\(M\)到焦點的距離為\(5\)，則\(M\)的橫坐標為\(4\)5.已知雙曲線\(C\)：\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)）的離心率為\(e\)，則（）A.當\(e=\sqrt{2}\)時，雙曲線\(C\)為等軸雙曲線B.\(e\)越大，雙曲線的漸近線斜率的絕對值越大C.\(e\)的取值范圍是\((1,+\infty)\)D.當\(e=2\)時，雙曲線\(C\)的漸近線方程為\(y=\pm\sqrt{3}x\)6.已知空間向量\(\vec{a}=(-1,1,3)\)，\(\vec=(2,-2,x)\)，若\(\vec{a}\)與\(\vec\)共線，則（）A.\(x=-6\)B.\(x=6\)C.\(\vec=-2\vec{a}\)D.\(\vec=2\vec{a}\)7.設\(F\)為拋物線\(y^{2}=4x\)的焦點，\(A\)，\(B\)，\(C\)為該拋物線上三點，若\(\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=\vec{0}\)，則（）A.\(\vert\overrightarrow{FA}\vert+\vert\overrightarrow{FB}\vert+\vert\overrightarrow{FC}\vert=6\)B.點\(F\)是\(\triangleABC\)的重心C.直線\(AB\)，\(AC\)，\(BC\)中至少有一條與\(x\)軸平行D.\(\triangleABC\)的面積最大值為\(6\sqrt{3}\)8.已知橢圓\(E\)：\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)（\(a\gtb\gt0\)）的左、右焦點分別為\(F_1,F_2\)，點\(P\)在橢圓\(E\)上，\(\trianglePF_1F_2\)的周長為\(6\)，面積的最大值為\(\sqrt{3}\)，則（）A.\(a=2\)B.\(b=\sqrt{3}\)C.\(c=1\)D.橢圓\(E\)的離心率為\(\frac{1}{2}\)9.已知雙曲線\(C\)：\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)）與橢圓\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\)有相同的焦點，且雙曲線\(C\)的漸近線方程為\(y=\pm\frac{4}{3}x\)，則（）A.\(a=3\)B.\(b=4\)C.\(c=5\)D.雙曲線\(C\)的方程為\(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)10.已知直線\(l\)過點\((0,-1)\)，且與拋物線\(y^{2}=4x\)相交于\(A\)，\(B\)兩點，則（）A.直線\(l\)的斜率可以為\(0\)B.若\(\vertAB\vert=8\)，則直線\(l\)的斜率為\(\pm1\)C.以\(AB\)為直徑的圓與拋物線的準線相切D.若\(F\)是拋物線的焦點，則\(\overrightarrow{FA}\cdot\overrightarrow{FB}\)的值可能為\(0\)三、判斷題（每題2分，共20分）1.若直線\(l\)的方向向量與平面\(\alpha\)的法向量垂直，則\(l\parallel\alpha\)。（）2.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)（\(a\gtb\gt0\)）上任意一點到兩焦點距離之和為\(2a\)。（）3.雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)）的漸近線方程與雙曲線方程中的\(a\)，\(b\)有關。（）4.拋物線\(y^{2}=2px\)（\(p\gt0\)）的焦點到準線的距離為\(p\)。（）5.若空間向量\(\vec{a}\)，\(\vec\)滿足\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，則\(\vec{a}\perp\vec\)。（）6.橢圓的離心率\(e\)越大，橢圓越圓。（）7.過雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)）的焦點且垂直于實軸的弦長為\(\frac{2b^{2}}{a}\)。（）8.若直線\(l\)的方向向量\(\vec{a}=(m,n,p)\)，平面\(\alpha\)的法向量\(\vec{n}=(x,y,z)\)，且\(mx+ny+pz=0\)，則\(l\perp\alpha\)。（）9.拋物線\(y=ax^{2}\)（\(a\neq0\)）的準線方程為\(y=-\frac{1}{4a}\)。（）10.已知雙曲線\(C\)：\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)），若\(a=b\)，則雙曲線\(C\)的離心率為\(\sqrt{2}\)。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.求橢圓\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1\)的焦點坐標、離心率。答案：由橢圓方程\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1\)，知\(a^{2}=25\)，\(b^{2}=16\)，則\(c^{2}=a^{2}-b^{2}=9\)，\(c=3\)。焦點坐標為\((\