專題08幾何證明（解答題23題）

1.（2025?上海徐匯?一模）如圖，在梯形ABCD中，AD〃BC,是梯形ABCD對角線，BD?=ADBC.

(1)求證：ADCD=ABBD；

CD2_CE

（2）以8為一邊作NCDE=ZADB,DE交邊BC于點、E,求證:

BD2-AD

2.（2025?上海虹口?一模）如圖，在RtaMC中，NA8C=90。，點。在邊AC上，過點。作。E垂直AC交

于點E,連接EC、BD交于點F.

⑴求證：^ABD-^ACE；

(2汝口果3C=8E,求證：^CE2=BFBD.

3.（2025?上海寶山?一模）學完“相似三角形”之后，小明和同學嘗試探索相似四邊形的判定與性質，以下

是他們的思考

【定義】如果兩個四邊形的四個角對應相等，四條邊對應成比例，那么這兩個四邊形相似.兩個相似四邊

形的對應邊的比等于相似比.

【思考】類比相似三角形，對相似四邊形的判定與性質提出了許多猜測，如：

①四條邊對應成比例，且有一組角對應相等的兩個四邊形相似；

②四個角對應相等，且有兩條相鄰的邊對應成比例的兩個四邊形相似；

③相似四邊形的面積的比等于相似比的平方.

邊AD、AB上的點，AE^AB,AF=^-AD,試求四—.的值.

22?四邊形CDG6

BC

4.(2025?上海青浦?一模)已知：如圖，點。、E分別在VABC的AB、AC邊上，AE=EC,AE2=^ADAB,

聯結。E.

(1)求證：^ADE^AACB；

(2)取AD的中點/，聯結EF、BE,求證：NDEF=NCBE.

5.(2025?上海黃浦?一模)已知在VABC中，CO平分/ACB,E是C。延長線上一點，AE=AD,尸是AB

延長線上的點，連接CP.

⑴證明：KEASACDB；

BDBF

(2)如果b〃AE,求證:

AD-CF

6.（2025?上海松江?一模）如圖，在VABC中，AB=AC,AD1BC,BEVAC,垂足分別為點。，點

E.AF〃BC,交砥的延長線于點F.

D

⑴求擊第唉

⑵求證：2AB班'BC.

7.（2025?上海金山?一模）已知：如圖，點E是平行四邊形A3CD的對角線3。上的一點，射線AE與DC交

于點尸，與2c的延長線交于點//.

⑴求證：AE2=EFEH;

（2）連接若DH=AB,AD2^AEAH，求證：四邊形ABCD是菱形.

8.（2025?上海閔行?一模）如圖：在四邊形ABCD中，對角線8。平分/ADC,且BD=AD,點E在線段3D

上且DE=OC,連接AE并延長交2C于點P,連接CE并延長交A3于點G.

⑴求證：AE=BC-

(2)求證：AGEF=FCBG.

9.（2025?上海普陀?一模）已知：如圖，梯形ABC。中，AD//BC,為對角線，BD1=ADBC.

⑴求證：ZABD=NC；

（2）E為BC的中點，作N￡）EF=NC,EF交邊AD于點F,求證：2AB-DE=BD-EF.

10.（2025?上海崇明?一模）如圖，在VABC中，AD是邊3c上的中線，點E在AD上（不與A、。重合），

連接8E、CE,并延長CE交A3于點￡NDCE=ND4C.

BDC

(1)求證：ADBES^DAB；

(2)當/BED=NACF時，求證：一=—.

11.（2025?上海楊浦?一模）已知：如圖，VABC中，NA=90。，點。是AB邊上一點，過點3作交

CD延長線于點E,ADBC^BECD.

⑴求證：BE2=ED-EC

(2)求證：ABBC=2CE?BE.

12.(2025?上海長寧?一模)如圖，在VABC中，點。、E分別在邊A3、3c上，連接CD、AE交于點尸,

AF=FC,ZADC=ZACB.

⑴求證：AC2=CDAE；

(2)如果點E是邊2c的中點，求證：BC2=2ADAB.

13.(2025?上海靜安?一模)己知：如圖，在梯形A3CD中，AB//CD,連接AC、BD,VABC是等邊三角

形，DE//BC,DE與AC交于點E,ZADB=2ZDBC.

(1)求證：AADESABBC；

(2)求證：點E是線段AC的黃金分割點.

14.(2025?上海奉賢?一模)已知，如圖，在VABC中，點。在邊AC上，點M、N在邊BC上,AB是線段

AO與AC的比例中項，ZBAN=ZCAM,AM,4V分別交3。于點E、F.

(2)若點。為邊的中點，連接ON,5.BD2=2BN.BC,求證：ON\\AB.

15.(2025?上海嘉定?一模)如圖，在VABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點E是邊AB的中點,連接CE,

作AFLCE,垂足為點尸，連接

(1)求證：△EFBs/\EBC；

DFr-

⑵取BC邊的中點。，連接。尸，求證：—=V2.

16.(2025?浦東新區一模)如圖，在△ABC中，ZABC=90°,點D是邊AB上的一點，聯結CD過點

B作BELCD,垂足為點E。

(1)求證：ABDEs^CBE；

(2)如果A3=BC,聯結AE并延長，與邊8C相交于點?當點廠是BC的中點時，求證：BD2=A￡)MB.

專題08幾何證明(解答題23題)

1.(2025?上海徐匯?一模)如圖，在梯形A3CD中，AD〃3C,是梯形ABCD對角線，BD?=ADBC.

CD2CE

(2)以CD為一邊作=交邊BC于點E,求證：后=茄.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定方法，證明三角形相似，是解題

的關鍵:

(1)證明AADBSRBC,即可得證;

(2)證明ACDESACD3,得到CD?=KC-3C,結合臺獷=4).5。，即可得證.

【詳解】(1)?.?A￡)〃3C,

:.ZADB=ZCBD,

BD2=ADBC,

.ADBD

：.AADBS公DBC,

.ADAB

,茄一而‘

:.ADCD=ABBD；

(2)作NCDE=NADB,DE交邊BC于點、E，

由(1)得ZADB=NCBD,

:./CDE=/CBD,

又NC=NC,

:.ACDES^JBD,

ECCD

,?而―沃'

:.CD-=ECBC,

又BD°=AD-BC,

.CD^_EC-BC_EC

,BD7-ADBC-AZ)'

2.(2025?上海虹口?一模)如圖，在RtaABC中，NABC=9(T,點。在邊AC上，過點。作OE垂直AC交

A3于點E,連接EC、BD交于點、F.

(1)求證：AABDFACE；

(2)如果3c=BE,求證：^CE2=BFBD.

【答案】(1)詳見解析

(2)詳見解析

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質、勾股定理等知識:

AnAJ7AV)AD

(l)由乙4DE=NA2C=90。,NA=NA,證明AADEs△至c,得把=空，所以把=竺，則；

ABACAEAC

(2)由相似三角形的性質得NASD=/ACE,推導出/3r>C=N8EC,由3。=3后，NCBE=90°,得

ZBCF=ZBEC,CE2=BC2+BE2=2BC2,貝!]Z.BCF=Z.BDC,BC2=gcE?,而NFBC=NCBD,所以

RF1

小FBCs△CBD,則—――,所以BC2=BF-BD,則力CE?=BF-BD

BDBC2

【詳解】(1)vZABC=90°,DE±AC

:.ZADE=ZABC=90°

???NA=NA

..AADE^^ABC

.ADAE

,AB-AC

.ADAB

:AABD^ACE

(2)?.?△ABD^ACE

.\ZABD=ZACE

:.ZBFC-ZACE=ZBFC-ZABD

ZBDC=ZBFC-ZACE,ZBEC=ZBFC-ZABD

:.ZBDC=ZBEC

?.?BC=BE,/CBE=9U。

/.ZBCF=ZBEC,CE2=BC2+BE1=2BC2

22

ZBCF=ZBDC,BC=1CE

-.-ZFBC=ZCBD

.△FBCs^CBD

BCBF

'BD-BC

BC2=BF-BD

1

:.-CE92=BF-BD

2

3.（2025?上海寶山?一模）學完“相似三角形”之后，小明和同學嘗試探索相似四邊形的判定與性質，以下

是他們的思考

【定義】如果兩個四邊形的四個角對應相等，四條邊對應成比例，那么這兩個四邊形相似.兩個相似四邊

形的對應邊的比等于相似比.

【思考】類比相似三角形，對相似四邊形的判定與性質提出了許多猜測，如:

①四條邊對應成比例，且有一組角對應相等的兩個四邊形相似；

②四個角對應相等，且有兩條相鄰的邊對應成比例的兩個四邊形相似；

③相似四邊形的面積的比等于相似比的平方.

邊AD、上的點，AE=^AB,AF=^-AD,試求曾巡眩的值.

22?四邊形CDG5

【答案】探究：證明見解析；運用：;

4

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，相似多邊形的性質，矩形的性質，熟練掌握相似三角形的

判定與性質，相似多邊形的性質是解題的關鍵.

【探究】連接AC,A'C,證明AABCSAAQCMACDSAAC，。，，得出=k2,

2

AD

□△AC。I=k\則可得出答案；【運用】由矩形的性質得出

^^A'C'D'ArDr

AFAF1

AB//CD,AD//BC,ZA=ZC=90°,AB=CD,AD=BC,證出——=——=-,由結論“四個角對應相等,

CDBC2

且有兩條相鄰的邊對應成比例的兩個四邊形相似”證明四邊形AEGFs四邊形CDGB,則可得出答案.

【詳解】【探究】證明:連接AC,AC,如圖所示:

???四邊形ABCD與四邊形A'B'CD相似,

.ABBCCDAD

,/D=/D',ZB=NB',

：.AABC^AB,C^ACD^^A!C,D,,

2

qABAD

,?.2AABCI=k2,且也I=k\

凡49(7A:B'ArDf

.S四邊形ABC。

ABC=k2?

S四邊形A/'。'。^^A'B'C'+^^A'C'D'

【運用】解：??,四邊形A5CD是矩形,

AAB//CD,AD//BC,ZA=ZC=90°,AB=CD,AD=BC,

：.ZAFG=ZGDC,ZAEG=ZCBG,

AE=-AB,AF=-AD

22f

???AE=-CD,AF=-BC,

22

.AEAF_1

*CD-BC-2

■:/FGE=/BGD,

???四邊形AEGFs四邊形CDGB,

.S四邊形AEGFAE

S四邊形C/JG5CD14

4.（2025?上海青浦?一模）已知：如圖，點0、E分別在VABC的AB、AC邊上，AE=EC,AE2=^ADAB,

聯結O￡.

A

(2)取AD的中點P,聯結EF、BE,求證：ZDEF=ZCBE.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵.

ArAri

⑴先證明macW轉化為比例式為法二就，再由加=/皿可得結論;

(2)由點尸是線段AO的中點，可得A￡>=2。尸，再由AADESAACB可得%==即

CBAC

DF2DFDF

3=束=正,可證明AOSSACBE,最后由相似三角形的性質可得答案.

【詳解】(1)證明：?.,AE=EC,

AC=2AE,

1

AE29=-ADAB,

2

2AE?=ADAB，

AEAC=ADABf

AEAD

NDAE=NCAB,

..^ADE^^ACB；

(2)證明：如圖,

點方是線段A￡>的中點,

BC

:.AD=2DF,

小ADES^ACB,

—=-ZFDE=ZECB,

CBAC9

DEIDFDF

~CB~2EC~~EC

.△DEFs衛BE,

.\ZDEF=ZCBE

5.（2025?上海黃浦?一模）已知在VABC中，CD平分工4CB,E是CD延長線上一點，AE=AD,尸是AB

延長線上的點，連接CF.

⑴證明：ACEASACDB；

（2）如果C尸〃AE,求證：箕=空.

ADCF

【答案】（1）見解析；

（2）見解析.

【分析】（1）由A￡=AD，可得NE=N4DE,推出/E=NCD3,根據角平分線的定義可得ZACE=ZBCD,

即可證明；

（2）由平行線的性質可得N石=NOCF,推出NBB=NC4r）,可證明，得至|」胃=多，結

CFAC

合ACEASACDB,AE=AD,即可證明.

【詳解】（1）證明：??,AE=AD,

ZE=ZADE.

??,ZADE=ZCDB,

.??/E=/CDB.

???CD平分/AC?,

ZACE=NBCD,

「?ACE4^ACDB.

(2)vCF//AE,

ZE=ZDCF.

'：ZDCF=ZDCB+ZBCF,ZE=Z.CDF=ZACE+ZCAD,

??.ZBCF=ZCAD.

又,:ZF=ZF,

△CFBS^AFC，

BFBC

~CF~~AC

???八CEA^ACDB,

.BCBD

,AC-AE,

又?,AE=AD,

.BCBD

??一，

ACAD

,BD_BF

一而一而，

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，平行線的性質，等腰三角形的性質，角平分線的性質，解

題的關鍵是掌握相關知識.

6.(2025?上海松江?一模)如圖，在VABC中，AB=AC,AD1BC,BELAC,垂足分別為點。，點

E.AF〃BC,交8E的延長線于點尸.

AECD

⑴求證:

AF-AC

⑵求證：2ABAD=BFBC.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題主要考查等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的判定和性質是解

題的關鍵.

(1)根據題意證明即可求解;

⑵設也與好交于點G,可證△,SAGS,得到翁票再證得到看=黑,

則有=由代入計算即可求解.

【詳解】（1）證明：如圖所示,

?.-AD1BC,BELAC,

ZAEF=NADC=90°,

-,-AF//BC,

.-.zi=zc,

.,.△AEF^ACTM,

.AE_AF

?而一法’

.AE_CD

**AF-AC；

(2)證明：設AD與正交于點G,

AF〃BC,

ZFAD=ZADB=9(T,21+/2=N1+/尸=90°,

/.Z2=ZF,

\AB=AC,ADLBC,

???/2=/3,BC=2BD,

:.N3=NF,

又NABb二NGBA,

:AAEFSAGBA,

.ABAG

一而一肅’

vZ3=ZF,ZFAD=ZADB,

..AAFG^^DAB,

AG_BD

,AF-AD)

ABBD

—=—即Hn=B尸m，

BFAD

■,BD=-BC,

2

:.2ABAD=BFBC.

7.（2025?上海金山?一模）已知：如圖，點E是平行四邊形A3CD的對角線3。上的一點，射線AE與DC交

⑴求證：AE1=EFEH-,

⑵連接D9,若DH=AB,AD2=AEAH，求證：四邊形ABCD是菱形.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】（D可得△AEDS^HEB,AAEBSJED,貝I售=空，與=段，即可證明；

EHEBAEEB

（2）先證明AWE“△470,再證明再根據相似三角形的性質以及平行四邊形的性質求

證.

【詳解】（1）證明：???平行四邊形ABCD

:.AD//BC,AB//DC,

?*.AAED^AHEB,AAEBS^FED,

,AEDEEF_DE

"EH~EB'AE~EB

AE_EF

"EH~AE

:.AE2=EF.EH;

(2)證明：如圖，連接O",

~■-=,又XJDAE=XDAH,

AEAD

「.△ADEs^AHD,

,\ZADE=ZAHD,

-/AD\\BC9AB//DC,

\?ADE?DBC,ZABC=ZDCH,

:.ZAHD=ZDBC,

??,平行四邊形A5CD,

/.AB=DC,

?.?DH=AB,

:.DC=DH,

:.ZDHC=ZDCH,

.\ZDHC=ZABC,

.\ZABE=ZAHBf又?.ZBAE=NBAH,

..△ABES/\AHB,

ABAE日口2

..-77=――即AB2=AE-AH，

AHAB

.\AB=AD，

???平行四邊形ABC。，

「?四邊形ABC。是菱形.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，菱形的判定，熟

練掌握知識點是解題的關鍵.

8.（2025?上海閔行?一模）如圖：在四邊形ABCD中，對角線5。平分/AOC,且=,點E在線段50

上且。￡=OC,連接AE并延長交5C于點/，連接CE并延長交A3于點G.

A

⑴求證：AE=BC-

(2)求證：AGEF=FCBG.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，掌握全等三角形與相似三角形

的性質與判定是解題的關鍵.

(1)證明AADE當ABDC(S2,即可得到AE=BC;

(2)證明AAGESACEE,即可得出結論.

【詳解】(1)證明：。平分NADC,

ZADE=ZBDC,

在AME和ABDC中，

AD=BD

<ZADE=ZBDC,

DE=CD

AADE之△BOC(SAS),

AE=BC；

(2)證明：,:AD=BD,DE=CD,AADB=/CDB,

：.ZBAD=ZABD=ZDCE=ZDEC,

■:/DEC=/BEG,

：.BG=GE,ZBGE=ZADE=ZBDC,

又「AADE'BDC,

：.ZAED=NBCD,

,:ZAED=ZBEF,

???ZBEF=ZBCD,

:NCBD+NBEF+NBFE=NCBD+/BCD+ZBDC=182。,

:?/BFE=/BDC,

：.ZBFE=/BGE,

ZEFC=ZAGE9

:?公AGEs^CFE,

AGGE

*FC-EF?

AGBG

,FC-EF?

AGEF=FCBG.

9.(2025?上海普陀?一模)已知：如圖，梯形A3CD中，AD//BC,5。為對角線，BD2=ADBC.

AD

⑴求證：ZABD=NC；

(2)E為BC的中點，作NDEF=NC,EF交邊AD于點F,求證：2AB-DE=BD-EF.

【答案】(1)詳見解析

(2)詳見解析

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定方法，證明三角形相似，是解題

的關鍵：

(1)證明&4Z歸即可得證；

(2)先證明可得空=空，再由△ABDSADCB可得絲=處，結合3c=2EC,得

ECDEDCBC

【詳解】⑴證明：???瓦)2=4)?5。,

.ADBD

**BC*

???AD//BC,

:.ZADB=ZDBC.

：.^ABD^ADCB.

：.ZABD=ZC.

（2）如圖,

:AD//BC,

??/FDE=/DEC,

又NDEF=NC,

AFEDsADCE.

,DEEF

*EC-DCJ

.DCEF

'~EC~~DE'

：AABD^ADCB,

.ABDC

*B5-BC*

?,BC=2EC,

.ABDC2A5DC

*~BD~2EC~BD~~EC

.2AB_EF

9^D~^E

??2ABDE=BDEF

10.（2025?上海崇明?一模）如圖，在VABC中，AD是邊5c上的中線，點E在AD上（不與4。重合），

連接跖、CE,并延長CE交AB于點END。石=NDAC.

ABAC

⑵當石D=NACF時，求證:

ACAE

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質與判定，等角對等邊:

(1)先證明△DCEs/^c得到=再由三角形中線的定義得到CD=&),據此可證明結論;

DECD

AnAT

(2)先由相似三角形的性質得到再證明△ACFs44Bc,得至ij=,導角證明

ACAF

AnAT

ZAFE=ZAEF,得至!)AE=AF,則可證明:77二77；.

ACAE

【詳解】(1)證明：?；NDCE=NDAC,NCDE=ZADC,

:.ADCE^ADAC,

.CDAD

'~DE~~CD"

又???AZ)是邊3C上中線，

:.CD=BD,

.BDAD

,,瓦—茄’

X\ZBDE=ZADB,

.^DBE^DAB；

(2)證明：?；ADBESADAB,

:.ZBED=ZABD,

?;/BED=ZACF,

:.ZABD=ZACF

又?.?NCAF=ZBAC,

.?.△ACFs△鉆c,

.ABAC

*AC-AF?

XZAFE=ZABD+ZDCE,ZAEF=ZACF+ZDAC,ZDCE=ZDAC,

ZAFE=ZAEF,

:.AE=AF,

.ABAC

"AC-AE'

11.（2025?上海楊浦?一模）已知：如圖，VABC中，NA=90。，點。是AB邊上一點，過點6作交

8延長線于點E,ADBC=BECD.

E

A

⑴求證：BE2=ED-EC;

(2)求證：ABBC^ICEBE.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，三角形內角和定理，等腰三角形的判定與性質，掌握以上

知識點是解答本題的關鍵.

(1)先證明得到NACD=NBCE,ZADC=ZEBC,又因為NADC=/ED3,所以

FDBF

NEDB=NEBC,然后證明,得到——=——，即可得證；

BEEC

(2)延長C4、BE交于點、H,由已知條件得BC=CH,又ZACD=/BCE,所以NEDB=NEBC,證明

△EB4AECB,得券=黑，即可得證.

【詳解】(1)證明：?.?AZ>5C=5E-CD,

ADCD

一茄一二’

一—qADCD

在RUADC與Rt△/石。中，ZE=ZA=90°,—=—,

BEBC

:.^ADC^^BEC,

.,.NACD=NBCE,ZADC=ZEBC,

又ZADC=/EDB,

:.ZEDB=ZEBC,

在△班。與△￡(%中，/EDB=NEBC,2￡是公共角，

:AEBD^AECB,

.EDBE

一正一訪‘

即BE2=EDEC;

(2)解：延長C4、BE交于點H,如圖：

H

E/\AvZACD=ZBCE,/BEC=90。,由三角形內角和可得NEBC=NH,

B匕--------

:.BC=CH,

又ZACD=NBCE,

:.BH=2BE=2EH,

在RtZXABH與RS3EC中，ZBEC=ZBAH=90°,/EBC=/H,

RtAABH^RtABEC,

.ABBH

'~CE~~BC'

即ABBC=2BECE.

12.(2025?上海長寧?一模)如圖，在VABC中，點￡)、E分別在邊A3、BC±,連接CD、AE交于點尸,

AF=FC,ZADC=ZACB.

⑴求證：AC2=CDAE；

(2)如果點E是邊2C的中點，求證：BC2=2ADAB.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質等知識點，掌握相似三角形的判定

與性質是解題的關鍵.

Arm

(1)先證明ADCASAG魚可得/=三即可證明結論；

AEAC

(2)先證明△￡)&4s△CBA可得AC'AB.AD,結合ADC4sAe4￡■可得△C4￡S/\CB4,即

貝13c-CE=AZ>AB,最后結合點E是2C中點即可證明結論.

【詳解】(1)證明：：AF=bC,

ZFAC=ZFCA,

'：ZADC=ZACB

ziOC4s△G4E,

.ACCD

??=,

AEAC

AC2=AECD.

(2)解：VZADC=ZACB,ZDAC=ZCAB,

ADC4s△CR4,

.ACAD

"ABAC)

/.AC2=ABAD,

'：^DCA^ACAE,ADCA^ACBA,

：.△C4￡W\CB4

.CEAC

"'~AC~1BC

：.AC2=BCCE

：.BCCE=ADAB

:點E是BC中點，

/.CE=-BC,

2

BC2^2ADAB.

13.(2025?上海靜安?一模)已知：如圖，在梯形A3CD中，AB//CD,連接AC、BD,VABC是等邊三角

形，DE//BC,DE與AC交于點E,ZADB=2NDBC.

(2)求證：點E是線段AC的黃金分割點.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題主要考查相似三角形的判定和性質，黃金分割點的計算，掌握相似三角形的判定和性質是解

題的關鍵.

(1)根據VA3c為等邊三角形，AB//CD,得到/08=/1+/3=120。,由。石〃3(7,得到

ZEDC=1W-ZDCB=1801-120=60,ZAE￡>=Z￡DC+Z3=120°DE//BC,得到/5=N6,結合

ZADB=2Z5,得到/5=/4,由相似三角形的判定方法即可求解；

(2)根據題意可得ACDE為等邊三角形，即C￡=OE=CD,由VABC為等邊三角形，得到AC=3C,根

AFDFAFFC

據△ADEsADBC,得至1」黑=笠，即差=黑，由此即可求解.

CDBCCEAC

【詳解】(1)證明：如圖所示,

??,VA5C為等邊三角形，

??.N1=N2=6O。，

?:AB//CD,

??.N3=N2=60。，

ZDCB=N1+N3=120°,

DE//BC,

Z￡DC=180=180-120=60,

???ZAED=NEDC+N3=120°,

JZAED=ZDCB,

?/DE//BC,

AZ5=Z6,

VZADB=2Z5f且NADB=N4+N6,

JN5=N4,

AADE^ADBC.

(2)解：VZ3=ZEDC=60°,

二?△CD￡為等邊三角形，即CE=DE=CD,

???VA5C為等邊三角形，

:.AC=BC,

*：/\ADE^ADBC,

.AEDE

??五一五'

**.——=—-;，即EC2=AE-AC,

CEAC

.??點E是線段AC的黃金分割點.

14.(2025?上海奉賢?一模)已知，如圖，在VABC中，點。在邊AC上，點M、N在邊BC上，AB是線段

AD與AC的比例中項，/8AN=NC4M,AM、⑷V分別交3。于點E、F.

(2)若點。為邊的中點，連接ON,且BD?=2BN.BC,求證：ON\\AB.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

4RRDAU

【分析】(1)根據一,/區4。=/。鉆證明4瓶。6448,得到——=——，ZABD=ZACB,

ADABCBAC

APAg

結合NA4N=NG4Af可以證明△AB尸S2XACM,繼而得到——=——,NAEB=NAMC證明NAFE=NAMN,

AMAC

結合NE4E=NA1AN證明17/6“@加，等量代換即可證明些=匹.

AEAN

(2)在NC上截取NQ=BN,連接。。，證明ON||DQ,再三角形相似，平行線的判定證明,解

答即可.

【詳解】⑴證明：??,A3是線段AD與AC的比例中項,

.ABAC

?茄一瓦’

:ZBAD=ZCABf

??Z\ABD^^\ACB,

BDAB

ZABD=ZACB,

AC

：ZBAN=ACAM,

??AABF^AACM,

AFAB

?-ZAFB=ZAMC

*AMACf

*.1800-ZAFB=1800-ZAMCf

ZAFE=ZAMN,

ZFAE=ZMAN

小AFEs小AMN,

.AF_AE

.BD_AE

，9~CB~AN"

.BDBC

**AE-A7V*

(2)證明：在NC上截取NQ=BN,連接OQ,

??,點。為3。邊的中點，

：.ON\\DQ,

?.?NQ=BN,

：.BQ=2BN,

,:BD2=2BN?BC,

,BDBQ

??拓―訪’

?.?ZQBD=ZDBC

:.AQBDS^DBC,

：.ZBDQ=/BCD,

,:△AB4/\ACB,

：.ZABD=ZACB,

：.ZABD=ZBDQ

：.DQ//AB,

：.ON\\AB,

【點睛】本題考查了三角形相似的判定和性質，三角形中位線定理，平行線的判定和性質，比例中項的意

義，熟練掌握三角形相似的判定和性質是解題的關鍵.

15.（2025?上海嘉定?一模）如圖，在VABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點E是邊AB的中點，連接CE,

作AF_LCE,垂足為點尸，連接防.

c

F

(1)求證：AEFBsAEBC；

r)F「

(2)取BC邊的中點D,連接。尸，求證：—=V2.

EF

【答案】(1)見詳解

(2)見詳解

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定以及性質，等腰直角三角形的判定以及性質，三角形中位線的

判定以及性質，掌握這些判定定理以及性質是解題的關鍵.

FFFA

(1)先證明由相似三角形的性質得出==蕓，由線段中點的定義得出E4=￡B,等量

EAEC

EFEB

代換可得出——=——，結合NFEB=NBEC