第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式單元綜合測試卷

一、單選題

1.若1>0,&>0,且〃+b=4,則下列不等式恒成立的是（）

A11C11八

A.一>-B.-+-<1

ab2ab

C.y[ab>2D.2172-Z

a+b8

【答案】D

【解析】

【分析】

由基本不等式，求得。64（手）2=4,進而逐項判定，即可求解.

【詳解】

由。>0,b>0,且a+b=4,可得>64（"；與=4,

當且僅當a=b=2時，等號成立，

對于A中，由所以A錯誤；

ab4

11a+b4

對于B中，1+1=￡±￡=A>1；所以B錯誤；

ababab

對于C中，由ab<4,可得y[ab<2,所以C錯誤；

對于D中，三士藝士（巴心）2=4,所以“2+6222x4=8,

22

所以二所以D正確.

a+b8

故選：D.

2.“a>b>0”是“2>1”的（）

b

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；

【詳解】

解：由。>6>0,得反之不成立，如。=-2,b=-l,滿足f>l,但是不滿足。>人>0,

bb

故Z>6>0”是4>1”的充分不必要條件.

b

故選：B

3.某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入營運，據(jù)市場分析每輛客車營運的總利潤y（單位：10萬元）

與營運年數(shù)元（xeN*）為二次函數(shù)關(guān)系（如圖所示），則每輛客車營運（）年時，其營運的年平均利潤上

【答案】C

【解析】

【分析】

首先根據(jù)題意得到二次函數(shù)的解析式為y=-（x-6）2+11,再利用基本不等式求解"的最大值即可.

【詳解】

根據(jù)題意得到：拋物線的頂點為（6,11）,過點（4,7）,開口向下，

設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-6y+ll（a<0）,

所以7=a（4-6）2+11,解得。=—1,即y=-（%—了+11,

因為X￡N*,

所以上=-0.-6）2+11=一無一生+124一2后+12=2,

XXX

25

當且僅當工=一，即無=5時取等號.

x

故選：C

4.設(shè)加+〃>0,則關(guān)于冗的不等式0—戲(〃+%)>0的解集是(

A.[x\x<-nx>m]B.{x\—n<x<m}

C.{%|%<一機或冗>〃}D.{x\—m<x<n}

【答案】B

【解析】

【分析】

不等式變形為最高次項系數(shù)為正，然后比較相應二次方程兩根的大小后可不等式的解集.

【詳解】

不等式變形為（x-m）（尤+〃）<0,方程（X-m）0+〃）=。的兩根為私一〃，顯然由根+〃>0得根〉-〃，

所以不等式的解為f<x<m.

故選：B.

5.若不等式o^+辦一4<0的解集為凡則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.—16<a<0B.a>—16

C.—16<?<0D.a<0

【答案】C

【解析】

【分析】

fa<0

考慮4=0和"0兩種情況，得到"2八，解得答案.

[A=a-+16a<0

【詳解】

當a=0時，ax2+av-4<0,即T<0,成立；

fa<0

當awO時，需滿足：2M八，解得一16<。<0.

[AA=6T+16。<0

綜上所述：-16<aW0.

故選：C

6.若0<x<2,則無（2-幻的最大值是（）

31

A.2B.—C.1D.—

22

【答案】C

【解析】

【分析】

利用基本不等式求解.

【詳解】

因為x（2-x）v（x2）=1，當且僅當x=2-x,即x=l時成立，

所以x（2-x）的最大值是1,

故選：C.

7.已知關(guān)于x的不等式o^+Zzx+oO解集為{x|-2<x<3},則下列說法錯誤的是()

A.。<0

B.不等式ar+c>0的解集為{尤在<6}

C.a+b+c>0

D.不等式cx'-fer+avO的解集為，

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)已知條件得-2和3是方程中?+6x+c=0的兩個實根，且a<0,根據(jù)韋達定理可得6=-。,c=-6a,根

據(jù)/,=_〃,c=-6a且。<0，對四個選項逐個求解或判斷可得解.

【詳解】

由已知可得一2,3是方程G?+Z>x+c=O的兩根，

-2+3=--,

則由根與系數(shù)的關(guān)系可得0且a<0,解得3=-%=-6°,所以A正確；

-2x3=-,

、a

對于B,依+。>0化簡為九一6<0,解得％<6,B正確；

對于C,a+b+c=a-a-6a=-6a>0,C正確；

對于D,cf-Zzx+〃<0化簡為：6x2—x—1<0,解得-D錯誤.

故選：D.

8.已知集合4={“2—4<0},對于任意的―，使不等式好+及—>2%-1恒成立的x的取值范圍為()

A.{x|x<l或x>3}B.{小<-1或x>3}

C.{x|x<-l}D.{x|x>3|

【答案】B

【解析】

【分析】

、/\fx—1>01工―1<0

解不等式求出集合A,原不等式可轉(zhuǎn)化為(zx+"l)(x-1)>0對reA恒成立，由］+一］>0或x+/_］<0即

可求解.

【詳解】

由?-4V0,得-2Wt<2,所以A={r|-2WY2},

由不等式尤2+比一/>2》一1對于任意的一24/W2恒成立,

即不等式d+(/_2)x+lT>0對于任意的-2Vt<2恒成立,

所以即不等式(x+/T)(x-1)>。對-2VW2恒成立，

x-l>0x-l<0

所以只需或1+一<。對于任意的一2^2恒成立，

%+，一1>0

\X>1\x<l

只需mv或x<l—對于任意的一2紀2恒成立?

因為-1<1-所以只需x>3或％v-1,

故選：B.

二、多選題

9.已知正實數(shù)〃，匕滿足〃+人=2,下列式子中，最小值為2的有()

11?

A.labB.a2+b2C.-+-D.—

abab

【答案】BCD

【解析】

【分析】

利用基本不等式“一正二定三相等”的步驟進行判斷.

【詳解】

b>0,.\2=a+b>2y[ab,.\0<ab<l,當且僅當〃=。=1時等號成立.

由〃后1,得2〃區(qū)2,的最大值為2,A錯誤;

222

a+b=(a+b)-2ab>4~2=2fB正確；

11a+b2

—I—二----------=>2,C正確;

abab

2

D正確.

ab

故選：BCD.

10.已知。<b<c,且acvO,則下列不等式中一定成立的是()

A.ac<bcB.ab1<cb2C.a(a-b)>0D.ac(a-c)>0

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷.

【詳解】

因為且ac<0,所以c>0,a<0,故ac<bc,A正確.

當〃=0時，ab1=cb1,B錯誤.

a-b<Q,。（。-6）>0,C正確.

a-c<0,ac(a-c)>0,D正確.

故選：ACD.

11.解關(guān)于x的不等式：ax12+(2-4a)x-8>0,則下列說法中正確的是()

A.當a=0時，不等式的解集為{尤卜>4}

B.當a>0時，不等式的解集為{x|x>4或

C.當〃<0時，不等式的解集為卜1--〈xv4

D.當。=-g時，不等式的解集為0

【答案】ABD

【解析】

【分析】

討論參數(shù)。，結(jié)合一元二次不等式的解法求解集即可判斷各選項的正誤.

【詳解】

A：a=0,則2x-8>0,可得解集為何無>4},正確；

B：a>0,則(ax+2)(x-4)>0,可得解集為{x|x>4或,正確；

C：a<0,當一工<4時解集為〈尤<4]；當一工=4時無解；當一工>4時解集為[無4Vx<—2],錯誤;

a[aJaa

12

D：由C知：ci=——,即—=4,此時無解，正確.

2a

故選：ABD

11

12.設(shè)a>b>c>0,則當2。9+—+—--10?c+25c9取最小值時，下列說法正確的是().

aba{a-b)

A.a=V2B.b=2V2C.c=^~D.a+b+c=3屈

【答案】AC

【解析】

11

將原式整理為丁+〃。+二一-+a(a-b)+a9-10ac+25c9,根據(jù)基本不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)可得選項.

aba{a-b)

【詳解】

因為〃所以

1199

式^=---FabH-------------F-b)+Q—1Oac+25c

aba(a-b)

112

=-----FabH-------------F一b)+(ci—5c)

aba{a-b)

N2J----ab+2J------------CL{CLZ?)+0=4

Vabya(a-b)

ab=l

當且僅當Q(〃-與=1,即〃=&,b=叵,c=正時，等號成立，此時〃+6+°="2也,

u2510

fl=5c

故選：AC.

【點睛】

本題考查基本不等式的應用，屬于中檔題.

利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

(1)“一正二定三相等““一正”就是各項必須為正數(shù)；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成

積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所

求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

三、填空題

13.不等式”^4的解集是_________.

x-2

【答案】{x|2<x?12}

【解析】

【分析】

移項通分化簡，等價轉(zhuǎn)化為進一步等價轉(zhuǎn)化為二次不等式(組)，注意分母不能為零，然后求解即

得.

【詳解】

原不等式等價于生?-420,化簡得U—NO,又等價于］"2一"(；一;

x-2x-21x-2^0

解得：2<x<12,

故答案為：{%|2<xW12}.

14.函數(shù)y=J,2—2履+4的定義域為R,則實數(shù)上的取值范圍為.

【答案】原么4

【解析】

【分析】

函數(shù)y=J履2一2履+4的定義域為R，等價于近2一2近+420恒成立，然后分左=0和左力。兩種情況討論求

解即可得答案

【詳解】

函數(shù)y=依-2履+4的定義域為R，等價于爪2一2履+4>0恒成立，

當左=0時，顯然成立；

當上力0時，由八=（一2左）2—4）1x440,得0〈左（4.

綜上，實數(shù)上的取值范圍為噫以4.

故答案為：噫女4

15.為配制一種藥液，進行了二次稀釋，先在體積為V的桶中盛滿純藥液，第一次將桶中藥液倒出10升后

用水補滿，攪拌均勻第二次倒出8升后用水補滿，若第二次稀釋后桶中藥液含量不超過容積的60%,則V的

取值范圍為.

【答案】10<V<40

【解析】

【分析】

根據(jù)題意列出不等式，最后求解不等式即可.

【詳解】

第一次操作后，利下的純藥液為V70,

v-io

第二次操作后，利下的純藥液為V-10———X8,由題意可知：

V-10-^-Z^X8<V-60%=>V2-45V+200<0=>5<V<40,

V

因為V210,所以10WV440,

故答案為：10<V<40

21

16.已知尤>0,y>0,滿足x+2y+—+—=6,存在實數(shù)如對于任意無，y,使得mWx+2y恒成立，則加

xy

的最大值為.

【答案】2

【解析】

【分析】

首先根據(jù)題意得到xyW（x+2y）2,從而得至|」6<口+2田+；^―,Bp2<%+2y<4,再根據(jù)旭（了+2y恒成

82y+x

立，即可得到優(yōu)的最大值.

【詳解】

因為1>0,y>0,

所以-=L-2y<L(x+2y)、(x+2?,

2248

乙C212y+x/\2y+x->.8

6=x+2yH1—=x+2yH---------2(x+2y)H-------------=(x+2y)H----------

所以Xy)孫l〃(％+2?I72y+x.

8

8

gp6>(x+2v)+-------,

2y+x

(x+2y)~-6(x+2y)+8<0,解得2<x+2y<4.

因為加Wx+2y恒成立，所以加《(犬+2工)疝/即〃?W2.

所以機的最大值為2.

故答案為：2

【點睛】

本題主要考查基本不等式，同時考查了不等式的恒成立問題，屬于中檔題.

四、解答題

17.(1)設(shè)孫<0,試比較(/+_/)(元-y)與(d-y2)(x+y)的大小；

(2)已知1<。+人<3,-2<a-b<2,求2a+38的取值范圍.

317

【答案】⑴答案見解析；(2):<2a+3b<=.

22

【解析】

【分析】

(1)通過作差化簡原式等價于-2孫(x-y),通過分為%>丫和了<y兩種情形得結(jié)果;

(2)將2a+3》用。+人，線性表示，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可得結(jié)果.

【詳解】

(1)(x2+/)(x-^)-(x2-/)(x+y)

=(x-y)[x2+y2-(x+y)2]

=-2xy(x-y).

,：xy<0,.?.當尤>、時，尤一>>0,

—2xy(x—y)>0,

得(/+V)(x-y)>(V-V)(x+y)；

當時，x-y<0,-2xy(x-y)<0,

得(Y+力(x-y)<，-力(x+y).

(2)^2a+3b=m(a+b)+n(a-b),

m+n=2,

則

m-n=3,

解得〃;=1,九=一;

貝ij2〃+3Z?=g(a+Z?)—g(〃一匕).

l<a+Z?<3,—2<a—Z?<2,

g</(a+6)<g,-l<-^(a-Z7)<l.

.35.1...17

..—<—(a+b)——(a-b)<——.

2222

^^3<2a+3b<—17.

18.已知二次函數(shù)丫=加+法-cz+2.

⑴若關(guān)于x的不等式axi+bx-a+2>0的解集是{刃-l<x<3},求實數(shù)a,匕的值;

(2)若6=2,<7>0,解關(guān)于x的不等式以耳云-a+2>0.

【答案】(1)。=-1,b=2

(2)見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)一元二次不等式的解集性質(zhì)進行求解即可；

(2)根據(jù)一元二次不等式的解法進行求解即可.

(1)

由題意知，T和3是方程aj^+bx-。+2=0的兩根，

所以-&。,解得。=-1,匕=2；

/y、c—a+2

(2)

當0=2時，不等式ax^+bx-〃+2>0為aj^+2x-〃+2>0,

即(ax-a+1)(x+1)>0,所以1%}x+l)>0,

當p=T即a=l時，解集為{小

當/<一1即0<。<1時，解集為，x|x<p或》>-!}；

當g>T即">1時，解集為［無?>佇^或x<T}.

aIa

ah

19.(1)已知c>a>Z7>0,求證：--->----.

c-ac-b

(2)已知a>0,b>0,〃+人=1,求證：—+

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】

【分析】

(1)由條件可得c-a>0,c-6>0,11然后可得c一—a〈一c—h，然后可證明；

abab

(2)由條件可得1+工=2+匕l(fā)+：=2+；(1+邛1+9=(2+4(2+￡|=5+2?+小，然后利用基本

不等式證明即可.

【詳解】

(1)\9c>a>b>0,c-a>0,c-b>0

11cc

*.*b>0f.'?一<：,又c>0,/.一<-9

abab

c~bab

<----,又c—a>0,c-6>0,------〉------

bc-ac—b

(2)因為a>O,b>O,a+b=l

所以1+工=1+^^=2+2,同理1+工=2+巴

aaabb

所以(1+規(guī)1+(!12+覆2+￡|=5+2]+酢5+4=9

(當且僅當。=b=g時等號成立)

20.近日，隨著新冠肺炎疫情在多地零星散發(fā)，一些城市陸續(xù)發(fā)出“春節(jié)期間非必要不返鄉(xiāng)，就地過年”的倡

議.為最大程度減少人員流動，減少疫情發(fā)生的可能性，某地政府積極制定政策，決定政企聯(lián)動，鼓勵企業(yè)

在春節(jié)期間留住員工在本市過年并加班追產(chǎn).為此，該地政府決定為當?shù)啬?企業(yè)春節(jié)期間加班追產(chǎn)提供

20)(萬元)的專項補貼.A企業(yè)在收到政府x(萬元)補貼后，產(chǎn)量將增加到，=(x+2)(萬件).同時A企業(yè)

7240

生產(chǎn)(萬件)產(chǎn)品需要投入成本為(〃+7+2x)(萬元),并以每件(6+7)元的價格將其生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售出.

注：收益=銷售金額+政府專項補貼-成本

(1)求A企業(yè)春節(jié)期間加班追產(chǎn)所獲收益式(元)(萬元)關(guān)于政府補貼x(萬元)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當政府的專項補貼為多少萬元時，A企業(yè)春節(jié)期間加班追產(chǎn)所獲收益最大？

【答案】(1)R(x)=38-2龍—-，噫/20；(2)即當政府的專項補貼為4萬元時，A企業(yè)春節(jié)期間加

x+2

班追產(chǎn)所獲收益最大，最大值為18萬元;

【解析】

（1）依題意得到我（無）的函數(shù)解析式；

（2）利用基本不等式求出函數(shù)的最大值，即可得解；

【詳解】

解：（1）依題意可知，銷售金額（6+邛）=（6+*]"+2）萬元，政府補貼x萬元，成本為

7272

7/H----F2x=7（x+2）H---------F2x萬萬｝；

tx+2

（40「72172

所以收益R（x）=6+—-（x+2）+.r-7（x+2）+—-+2x=38—2尤——怎/20

k十乙JJ\）十4Js,乙

727272

（2）由（1）可知R（x）=38—2x——-=42-2（x+2）——-=42-2（x+2）+--,娛/20

x+2x+2Lx+2_

其中2（x+2）+922小2"+2卜白=24,當且僅當2（x+2）=W，即尤=4時取等號，

~72~

所以R（x）=42-2（x+2）+—<42-24=18,

所以當x=4時，A企業(yè)春節(jié)期間加班追產(chǎn)所獲收益最大，最大值為18萬元；

即當政府的專項補貼為4萬元時，A企業(yè)春節(jié)期間加班追產(chǎn)所獲收益最大，最大值為18萬元；

21.設(shè)有一元二次方程d+2（7〃—l）x+（7”+2）=O.試問：

⑴為何值時，有一根大于1、另一根小于1.

（2）m為何值時，有兩正根.

【答案】⑴相<T；⑵一2〈機4士手.

【解析】

【分析】

⑴設(shè)一元二次方程的兩個根分別為玉，X一旦%<1,x2>l,利用韋達定理有

（777+2）+2（777-1）+1<0,進而求出機的取值范圍；

A=4（/W-1）2-4（/W+2）>0

（2）由題意得卜+々=-2（〃[-1）>0,進而求出機的取值范圍.

Xj-x2=m+2>0

【詳解】

⑴設(shè)