/安徽省馬鞍山市2024-2025學年高二下冊4月期中數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．在的展開式中，項的系數為（

）A．1 B．10 C．40 D．802．若函數滿足，則（）A． B．4 C．1 D．23．函數的導函數的圖象如圖所示，則下列判斷中正確的（

）

A．在上單調遞增B．在上單調遞減C．在上單調遞減D．在上單調遞增4．已知函數的導函數為，且，則（

）A． B． C． D．5．某地的中學生中有的同學愛好滑冰，的同學愛好滑雪，的同學愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學生中隨機調查一位同學，若該同學愛好滑雪，則該同學也愛好滑冰的概率為（

）A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.46．現有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（

）A．120 B．60 C．30 D．207．小明將1，4，0，3，2，2這六個數字的一種排列設為自己的六位數字的銀行卡密碼，若兩個2之間只有一個數字，且1與4相鄰，則可以設置的密碼種數為（

）A．48 B．32 C．24 D．168．函數的兩個極值點滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知隨機變量的分布列如下表：-1012若，則（

）A． B． C． D．10．我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項式系數表，數學愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究.則下列結論正確的是（

）

A．第6行、第7行、第8行的第7個數之和為第9行的第8個數B．C．第2020行的第1010個數最大D．第12行中從左到右第2個數與第3個數之比為11．定義在上的函數與的導函數分別為和，若，，且，則下列說法中一定正確的是（

）A．為偶函數 B．為奇函數C．函數是周期函數 D．三、填空題（本大題共3小題）12．春天是鼻炎和感冒的高發期，某人在春季里鼻炎發作的概率是，感冒發作的概率是，鼻炎發作且感冒發作的概率是，則此人在鼻炎發作的條件下感冒的概率是．13．已知的展開式中的常數項為240，則．14．，恒成立，則實數的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．已如曲線在處的切線與直線垂直.(1)求的值；(2)若恒成立，求的取值范圍.16．某地舉辦了一次地區性的中國象棋比賽，小明作為選手參加.除小明外的其他參賽選手中，一、二、三類棋手的人數之比為5:7:8，小明與一、二、三類棋手比賽獲勝的概率分別是0.6，（1）從參賽選手中隨機抽取一位棋手與小明比賽，求小明獲勝的概率；（2）如果小明獲勝，求與小明比賽的棋手分別為一、二、三類棋手的概率.17．現在4本不同的書，按以下方式進行分配．(1)分成兩堆，每堆2本，則有多少種分法；(2)分成兩堆，一堆3本、一堆1本，則有多少種分法；(3)分給甲、乙兩人，每人2本，則有多少種分法；18．為弘揚偉大建黨精神，某校團委決定舉辦“中國共產黨黨史知識”競賽活動.競賽共有A和B兩類試題，每類試題各10題，其中每答對1道A類試題得10分,每答對1道B類試題得20分，答錯都不得分.每位參加競賽的同學從這兩類試題中共抽取3道題回答（每道題抽取后不放回）.已知某同學在A類試題中有7道題能答對，而他答對每道B類試題的概率均為23（1）若該同學只抽取3道A類試題作答，設X表示該同學答這3道試題的總得分，求X的分布列和數學期望；（2）若該同學在A類試題中只抽取1道題作答，求他在這次競賽中僅答對1道題的概率.19．閱讀材料一：“裝錯信封問題”是由數學家約翰·伯努利（JohannBernoulli，1667～1748）的兒子丹尼爾·伯努利提出來的，大意如下：一個人寫了封不同的信及相應的個不同的信封，他把這封信都裝錯了信封，問都裝錯信封的這一情況有多少種？后來瑞士數學家歐拉（LeonhardEuler，1707～1783）給出了解答：記都裝錯封信的情況為種，可以用全排列減去有裝正確的情況種數，結合容斥原理可得公式：，其中．閱讀材料二：英國數學家泰勒發現的泰勒公式有如下特殊形式：當在處階可導，則有：，注表示的階導數，該公式也稱麥克勞林公式．閱讀以上材料后請完成以下問題：(1)求出的值；(2)估算的大小（保留小數點后2位），并給出用和表示的估計公式；(3)求證：，其中．

答案1．【正確答案】D【分析】利用通項求解可得.【詳解】通項公式為，當時，，所以項的系數為80.故選D.2．【正確答案】C【詳解】.故選C.3．【正確答案】C【詳解】時，，故在上單調遞減，時，，故在上單調遞增，當時，，故在上單調遞減，當時，，故在上單調遞增，顯然C正確，其他選項錯誤.故選C.【易錯警示】這道題不難，關鍵點在與區別題目所給出的函數圖象是的，還是導函數的，若將其理解為的圖象，容易被所給函數圖象的趨勢所迷惑.題目所給的B,D選項，便是把的圖象當成的圖象.4．【正確答案】C【詳解】因為，所以，令，則，．故選C.5．【正確答案】A【分析】先算出同時愛好兩項的概率,利用條件概率的知識求解.【詳解】同時愛好兩項的概率為，記“該同學愛好滑雪”為事件,記“該同學愛好滑冰”為事件，則，所以.故選.6．【正確答案】B【分析】利用分類加法原理，分類討論五名志愿者連續參加兩天公益活動的情況，即可得解.【詳解】不妨記五名志愿者為，假設連續參加了兩天公益活動，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動，共有種方法，同理：連續參加了兩天公益活動，也各有種方法，所以恰有1人連續參加了兩天公益活動的選擇種數有種.故選B.7．【正確答案】C【分析】根據相鄰問題用捆綁法和不相鄰問題用插空法即可求解.【詳解】1與4相鄰，共有種排法，兩個2之間插入1個數，共有種排法，再把組合好的數全排列，共有種排法，則總共有種密碼．故選C.8．【正確答案】A【詳解】由函數，，令，則，因為函數兩個極值點，則①，②，得③，設，則且，代入③得，，設，則，設，則，在單調遞減，，從而，在單調遞減，，，故的最小值為．故選A.9．【正確答案】AD【詳解】依題意，，所以.故選AD10．【正確答案】ABD【詳解】對于A：第行，第行，第行的第個數字分別為：，，，其和為；而第行第個數字就是，故A正確；對于B：因為，，所以，故B正確；對于C：由圖可知：第行有個數字，如果是偶數，則第（最中間的）個數字最大；如果是奇數，則第和第個數字最大，并且這兩個數字一樣大，所以第行的第個數最大，故C錯誤；對于D：依題意：第行從左到右第個數為，第行從左到右第個數為，所以第行中從左到右第個數與第個數之比為，故D正確.故選ABD.11．【正確答案】BCD【分析】根據奇函數，偶函數和周期函數的定義逐項分析選項，并利用周期函數的性質進行求和.【詳解】對A：由，故為奇函數，若為偶函數，則，與條件不符，故A錯誤；對B：由，則，又，即，即，又定義在上，故為奇函數，故B正確；對C：由，，，所以，則，所以，，所以，所以，則函數是周期為的周期函數，函數也是周期為的周期函數，故C正確；對D：由是周期為的周期函數，由，令，則，即，令，則，即，由，，則，則關于對稱，則關于對稱，又為奇函數，即關于中心對稱，故關于對稱，則，則，故D正確.故選：BCD.12．【正確答案】/0.75【詳解】記事件＝“某人在春季里鼻炎發作”，事件＝“某人在春季里感冒發作”，由題意可知，此人在鼻炎發作的條件下感冒的概率為.13．【正確答案】3【詳解】的展開式的通項，令得，令，無解，所以的展開式中的常數項為，所以.14．【正確答案】【詳解】由，恒成立，得當時，，即，整理得或，解得或，，不等式，令，求導得，即函數在上單調遞增，而，當時，；當時，，令函數，求導得，函數在上單調遞增，，當時，，由恒成立，得恒成立，而，則，當時，，由恒成立，得恒成立，則，，當時，若，則，，不等式成立，若，則，，不等式成立，因此當且僅當或時，不等式對恒成立，所以實數的取值范圍是.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由于的斜率為，所以，又,故，解得，（2）由（1）知，所以，故當時，單調遞增，當時，單調遞減，故當時，取最小值，要使恒成立，故，解得，故的取值范圍為16．【正確答案】（1）記事件B：小明獲勝，事件Ai：由題可得PA1=520=0.25，PA2由全概率公式可知PB（2）由貝葉斯公式可得PAPAPA故小明獲勝，對手為一、二、三類棋手的概率分別為3097，3597，【名師點撥】對全概率公式與貝葉斯公式的理解簡單來說，如果導致一個事件發生的原因有很多種而且各種原因是互斥的，那么這個事件發生的概率就是每種原因引起該事件發生的概率的總和，而求出這個概率，就是全概率公式要解決的問題.而如果一個事件已經發生了，有很多原因都能導致這個事件發生，那么其中的一種原因導致該事件發生的概率是多少，則是貝葉斯公式要解決的問題.故全概率公式是“由因推果”，貝葉斯公式是“執果索因”.【名師點撥】對全概率公式與貝葉斯公式的理解簡單來說，如果導致一個事件發生的原因有很多種而且各種原因是互斥的，那么這個事件發生的概率就是每種原因引起該事件發生的概率的總和，而求出這個概率，就是全概率公式要解決的問題.而如果一個事件已經發生了，有很多原因都能導致這個事件發生，那么其中的一種原因導致該事件發生的概率是多少，則是貝葉斯公式要解決的問題.故全概率公式是“由因推果”，貝葉斯公式是“執果索因”.17．【正確答案】(1)3(2)4(3)6【詳解】（1）先將4本書分成有順序的2堆，其中第1堆有2本書，第2堆有2本書，則有種情況，由于這兩堆書數量相同并無實際的順序，因此需要除以來去序，綜上所述，不同分法的種數為．（2）先將4本書分成有順序的2堆，其中第1堆為3本書，第2堆為1本書，則有種情況，由于這兩堆書數量不同因此確實有順序．綜上所述，不同分法的種數為．（3）先將4本書平均分成有順序的2堆，則有種情況，再分給甲、乙兩人，不同分法的種數為．18．【正確答案】（1）【解】由題知隨機變量X的可能取值為0,10,20,30，則P(X=P(X=所以X的分布列為X0102030P11207402140724所以數學期望E(（2）記“該同學僅答對1道題”為事