第2章常用邏輯用語章末小結(jié)

第2章《常用邏輯用語》章末小結(jié)...........................................................1

知識框架...............................................................................1

一、基礎(chǔ)知識點........................................................................1

知識點1充分條件與必要條件的判斷......................................3

知識點2充分、必要、充要條件的應用....................................6

知識點3全稱量詞命題與存在量詞命題...................................10

二、活學活用培優(yōu)訓練.................................................................42

命題、定理、定義

無1笠）條彳牛

常

用必要條件

邏

輯充要條件

用

語全稱量詞命題

存在量詞命題

全稱（存在）量詞命題的否定

基礎(chǔ)知識點

知識點1充分條件與必要條件的判斷：充分條件、必要條件是高考對邏輯部分的主要考查點,

有些題目比較簡單，直接根據(jù)定義即可判斷.有些題目與不等式集合等內(nèi)容結(jié)合可借助數(shù)軸轉(zhuǎn)

化為集合間的關(guān)系解決.采用數(shù)形結(jié)合的方法，可使問題直觀化、形象化.

例1設(shè)p：l<x<2,q：|x-l|<l,則p是q成立的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

例2“a=0”是“二次函數(shù)y=N+G（xGR）的圖象關(guān)于軸對稱，，的（填"充分不必

要，，“必要不充分，，“充要，，或“既不充分也不必要，，)條件.

【解答】例1A例2充要［例1當1VXV2時，OVx—lVl,所以即pnq;但

由|x-1|V1,得0VxV2,所以qRp.

例2當a=O時，二次函數(shù)y=%2+ax(xGR)即為火%)=舄關(guān)于y軸對稱；二次函數(shù)丫=乎

+ax(x￡R)的對稱軸為x=一當其關(guān)于y軸對稱，則一A。，解得a=0.

綜上可知，“a=0”是“二次函數(shù)y=x2+ox(xGR)的圖象關(guān)于y軸對稱”的充要條件.］

知識點2充分、必要、充要條件的應用：充分、必要及充要條件的應用主要體現(xiàn)在以下兩類.一

類是已知兩個命題的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，另一類是與充要條件相關(guān)的證明題.這部分內(nèi)容

也是考查的重點，常用不等式集合、方程交匯命題.對于第一類問題常轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系求

解，但要注意端點值能否取到，對于證明題要從充分性和必要性兩方面說明.

例1已知非空集合A={x|2a—3Vx<3。+1},集合3={x|—5<x<4}.

⑴若是的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)是否存在實數(shù)a,使是的充要條件？若存在，求出a的值；若不存在，說

明理由.

［解］⑴因為“無G4”是“無G3”的充分條件，

所以又A#0,

(2a—3>—5,

則，

36Z+1<4,解得一1%口，所以〃￡［一1,1］.

[2〃一3<3a+1,

2a—3=-5,

(2)若存在實數(shù)〃，使是“％￡5”的充要條件，即A=5,則必有彳

、3。+1=4,

a=-1,

即彳則方程組無解.

1,

故不存在實數(shù)見使匕￡4’是“工￡5”的充要條件.

例2求證：次〉"的一個充分不必要條件是〃

［證明］充分性：因為〃>|勿，所以〃>0,

^\a\>\b\>0,所以。2>兄

所以〃>族|是〃2>店的充分條件，

因為a=—2,8=1時於功2,但〃<|如

所以不是］2>。2的必要條件.

綜上，。2>按的一個充分不必要條件是。>|回.

知識點3全稱量詞命題與存在量詞命題：全稱量詞命題和存在量詞命題主要包括這兩類命題的

判定與否定.對于判定類的題目可直接根據(jù)定義判斷，對于否定類的要否定量詞和結(jié)論.本知

識點常用方程的解、不等式、集合等交匯命題，難度為基礎(chǔ)題，主要考查邏輯推理能力和綜合

應用能力.

例1命題2："VxGR,x2〉。“，則（）

A.”是假命題；「p：r<0

B.2是彳取命題；「p：BxER,^<0

C.p是真命題；「p：VxGR,/<0

D.2是真命題；rp：VxCR,x2<0

【解答】由于。2>0不成立，故"VxGR,無2>0”為假命題，根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞

命題可知，“VxGR,N>0，，的否定是FXGR,Nwo"，故選B.

例2已知命題FxdR,使4x2+x+（（q—2）40”是假命題，求實數(shù)a的取值范圍.

[解]?命題叼xGR,使4/+工+；（。一2）0”是假命題.

...命題“VxGR,使4r+工+（^一2）>0”是真命題.

2

即判別式/=l-4x4x1（a-2）<0.

9

即?>4.

活學活用培優(yōu)訓練

一、單選題

1.命題“任意xe[l,2],2x-q?0”為真命題的一個充分不必要條件是（）

A.a<lB.a<2C.a<3D.a<4

【答案】A

【分析】求出命題為真時等價條件（充要條件），然后根據(jù)定義判斷.

【詳解】任意,2x-a>0,即a?2x恒成立，所以。《2,

只有A是充分不必要條件.

故選：A.

2.已知b&R,則“五>揚”是>1”的()

b

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷.

【詳解】。=1,方=。滿足而>揚，但:無意義，/>1不成立，不充分,

b

反之，。=-2,6=1滿足;>1,但揚無意義,即6>協(xié)不成立，因此不必要,

b

從而應為既不充分也不必要條件

故選：D.

3.設(shè)xeR,貝-兇>4”是“x>4”的()條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】B

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可求解.

【詳解】解：因為xeR,故由國>4可得x>4或x<T,

由x>4,可得國>4,故“國>4”是“彳>4”必要不充分條件.

故選：B.

4.命題：“Vxe(l,+s),尤的否定是()

22

A.3XG(1,+OO),%-1>0B.3xe(l,-K?),x-l<0

22

C.V%e(l,+co),^-i<oD.Vxe(l,-H?),x-l<0

【答案】B

【分析】根據(jù)命題的否定的定義判斷.

【詳解】全稱命題的否定是特稱命題，

2

命題：了2_]>0"的否定是：3xe(l,+co),%-1<0.

故選:B

5.下列結(jié)論中正確的是（)

A.V〃eN*,2層+5〃+2能被2整除是真命題

B.V〃eN*,2層+5〃+2不能被2整除是真命題

C.BMEN*,2力2+5W+2不能被2整除是真命題

D.予zGN*,2/+5〃+2能被2整除是假命題

【答案】C

【分析】使用特值法可以解決，舉例說明n=l時2n2+5n+2不能被2整除，〃=2時2n2+5n+2能被2整除,

從而得出結(jié)論.

【詳解】當〃=1時,2n2+5n+2不能被2整除，

當〃=2時,2"+5M+2能被2整除,

所以A、B、D錯誤，C項正確.

故選：C.

6.命題“VlWxW2,40”為真命題的一個充分不必要條件是（）

A.a>4B.a>5C.G<4D.a<5

【答案】B

【分析】根據(jù)命題是真命題，由必4無42,a2公恒成立求解.

【詳解】因為命題,必-々40”是真命題，

所以aN/恒成立，

所以。“，

結(jié)合選項，命題是真命題的一個充分不必要條件是

故選：B

二、多選題

7.下列說法中正確的有（）

A."a>b>0”是“標>加”成立的充分不必要條件

B.命題?：Vx>0,均有/>（）,則P的否定：3x0<0,使得片4。

C.設(shè)A,3是兩個數(shù)集，貝廣4口3=&"是=的充要條件

D.設(shè)是兩個數(shù)集，若則*eA,x&B

【答案】ACD

【分析】舉反例可判斷A選項；由全稱例題的否定是特稱命題可判斷B選項；由集合間的交集運算和集合

間的關(guān)系可判斷c選項；由集合非空和集合與元素間的關(guān)系可判斷D選項.

【詳解】解：對于A,當。>6>0時，能推出/>匕2,而由/>匕2不能推出。>6>0,如（-3）2>22,而

-3<2,

所以是“標>〃，，成立的充分不必要條件，故A正確；

對于B,命題P：Vx>0,均有Y>o,則命題P的否定：.>0,使得故B不正確；

對于C,A3是兩個數(shù)集，則由An3=A能推出AaB,反之，由A=B能推出A「B=A,

所以“403=4”是“418”的充要條件，故C正確；

對于D,A3是兩個數(shù)集，若AC3H0,即集合A、B存在相同的元素，則3xcA,xeB,故D正確，

故選：ACD.

8.已知。是『的充分條件而不是必要條件，q是r的充分條件，s是，?的必要條件，q是$的必要條件.現(xiàn)有下

列命題：①s是4的充要條件；②P是q的充分條件而不是必要條件；③廠是4的必要條件而不是充分條件;

④力是「s的必要條件而不是充分條件；則正確命題序號是（）

A.①B.②C.③D.@

【答案】ABD

【分析】根據(jù)題設(shè)有。nrosoq,但「分p,即知否定命題的推出關(guān)系，判斷各項的正誤.

【詳解】由題意，onrosoq,但故①②正確，③錯誤；

所以，根據(jù)等價關(guān)系知：且力a，故④正確.

故選：ABD

9.命題“引姿3,/一好0”是真命題的一個充分不必要條件是（）

A.a>9B.a>llC.?>10D.a<\0

【答案】BC

【分析】由命題為真求出a的范圍，然后由集合的包含關(guān)系可得.

【詳解】由1WXW3得1W/V9,因為命題為真，所以。29,記為A={a|a39},因為要求命題為真的充分

不必要條件，所以所選答案中a的范圍應為集合A的真子集.

故選：BC

三、填空題

10.已知命題p：為假命題，則實數(shù)〃的取值范圍是—.

【答案】a>-\

4

【分析】根據(jù)命題P為假命題，則它的否定「p是真命題，利用判別式AK)求出實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】解：因為命題夕：YxGR,N+%-〃>o為假命題，

所以它的否定「夕/+%_坯0為真命題，

所以△=□-4x(-〃)K),解得一

4

故答案為：a>-1

4

11.已知命題p：VxG[1,2],x2+1>?,命題q：3xG[—1,1],使得2無+a-1>0成立,若p是真命題，q是假

命題，則實數(shù)〃的取值范圍為.

【答案】(-8,T]

【分析】根據(jù)〃是真命題可得。w1+1、，再分析當4是真命題時。>(1-2x)1nm=1-2=-1,進而求得q

是假命題時。的取值范圍即可

【詳解】命題p：Vxe[l,2],d+lNa恒成立，若p是真命題，

則：a<(Y+1).—2,

\/min

命題q：3XG[—1,1],使得2x+a-1>0成立,

若命題4為真命題，

則a>0—ZxL—n-l.

所以命題q是假命題時，a<—\,

綜上，參數(shù)。的取值范圍為：a<-\,

即ae(-?,-]]

故答案為：(分,-1]

12.已知集合4="|彳<-1,或x>2},B^[x\2a<x<a+3},若“xeA”是“xeB”的必要條件，則實數(shù)a

的取值范圍是.

【答案】(fT)U(l,”)

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的概念可得集合A與8的包含關(guān)系，畫出數(shù)軸即可得不等式組從而求出a

的范圍.

【詳解】?.“”€人"是》€(wěn)8”的必要條件，；.314,

當3=0時，2a>a+3,貝!]a>3；

當3W0時，根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸，

2aa+3-12x-122aa+3x

_[a+3>2a[a+3>2a

由圖可知<c,或｛cc,解得"-4或l<a?3,

[。+3<-1[2a>2

綜上可得，實數(shù)。的取值范圍為(F,T)U。,—).

四、解答題

13.判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，請寫出它們的否定，并判斷其真假：

(1)0：對任意的xGR,尤2+x+iwo都成立；

(2)q：使爐+3工+5<0.

【答案】(1)答案見解析

(2)答案見解析

【分析】判斷命題是特稱命題還是全稱命題，然后利用否定形式寫出命題的否定，進而判斷真假即可.

(1)

由于命題中含有全稱量詞“任意的”，因此，該命題是全稱量詞命題，

又因為“任意的”的否定為“存在一個”，

所以其否定是：存在一個xdR,使/+%+1=0成立，

即0CR,使爐+彳+1=0”,

因為△=—3<0,所以方程f+x+lnO無實數(shù)解，

此命題為假命題.

(2)

由于TxdR”表示存在一個實數(shù)x,即命題中含有存在量詞“存在一個”，

因此，該命題是存在量詞命題.

又因為“存在一個”的否定為“任意一個”，

所以其否定是：對任意一個實數(shù)x,都有d+3x+5>0成立.

即“VxCR,有/+3彳+5>0”，

因為A=—ll<0,所以對VxGR,_?+3了+5>0總成立，

此命題是真命題.

14.一學校開展小組合作學習模式，高二某班某組王小一同學給組內(nèi)王小二同學出題如下：若“玉eR,

/+2工+7〃40”是假命題，求機的取值范圍.王小二略加思索，反手給了王小---道題：若“WxeR,

￡+2工+加>0”是真命題，求相的取值范圍.你認為，兩位同學題中相的取值范圍是否一致？并說明理由.

【答案】兩位同學題中相的取值范圍是一致的，理由見解析

【分析】由全稱、特稱命題及其否定的真假關(guān)系加以判斷.

【詳解】兩位同學題中m的取值范圍是一致的.

理由：必+2無+加<0"的否定是"VxeR,x2+2x+m>0，，>而“HxeR,x?+2x+m40”是假命

題，則其否定“VxeR,尤2+2彳+m>0”是真命題，

兩位同學題中m的取值范圍是一致的.

15.設(shè)全集U=R,集合A={x[—l<x<4},非空集合2={x|34尤<1+力，其中aeR.

(1)當。=4時，求ACC^B;

(2)若命題“HreB,是真命題，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴AcC*=[」，3)

⑵[3,+s)

⑴解：???A=[T,4)

當a=4時，集合3=[3,5],

"3=(YO,3)55,KO),

/.An^B=[-l,3).

(2)

解：由(1)知，A=(^?,-1)u[4,+00),

?.?命題xe金A”是真命題，

：.B^RA^0,

：.l+a>4,解得：a>3.

.??實數(shù)a的取值范圍是［3,+?>).

16.已知集合A={x卜2cx<3},B=1x|x2-2mjc+m2-l<0^,C={x卜一向<2}.

⑴若〃?=2,求集合4口8;

(2)在B,C兩個集合中任選一個，補充在下面問題中，P：尤eA,q：xe,求使p是q的必要不

充分條件的小的取值范圍.

【答案】⑴卜口。<3}

(2)答案見解析

【分析】(1)將“=2代入集合B,求得8={尤|1<尤<3},利用集合的運算法則即可；

(2)若選集合8：先計算出8=3帆-1(尤<〃2+1},根據(jù)條件得出集合B是集合A的真子集，利用包含關(guān)

系列出不等式組即可求得答案。

若選集合C：先計算出C={x|2<x<m+2},根據(jù)條件得出集合C