第七章隨機變量及其分布章末測試卷

（時間：120分鐘，滿分：150分）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題紿出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的.

1.己知隨機變量X~N（3,〃），MP（X>4）=0.3,則尸（X>2）=（）

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

【答案】C

【詳解】由題意可知其均值為3,2和4關(guān)于3對稱，

所以P（XV2）=尸（X1）=0.3,

因此尸(X>2)=1-尸(XW2)=0.7.

故選：C

48

2.已知隨機變量X~B(〃,p),若E(X)=1D(X)=g,則P(X=1)=()

【答案】B

48

【詳解】隨機變量*~8（%。）,則有E(X)=np=-,D(X)=np(l-p)=-,

D(X)解得P=g，〃=4,

由

E(X)

所以尸（X=D=C；f,4.

故選：B.

3.質(zhì)監(jiān)部門對某種建筑構(gòu)件的抗壓能力進行檢測，對此建筑構(gòu)件實施兩次打擊，若沒有受損，則認為該構(gòu)

件通過質(zhì)檢.若第一次打擊后該構(gòu)件沒有受損的概率為0.85,當?shù)谝淮螞]有受損時第二次實施打擊也沒有受

損的概率為0.80,則該構(gòu)件通過質(zhì)檢的概率為（）

A.0.4B.0.16C.0.68D.0.17

【答案】C

【詳解】設(shè)4表示第i次打擊后該構(gòu)件沒有受損，，=1，2,

則由已知可得尸（A）=0-85,P（AIA）=0.8,

所以由乘法公式可得尸（A4）=尸（A）尸（4IA）=0-85X0.8=0.68,即該構(gòu)件通過質(zhì)檢的概率是0.68.

故選：C.

4.設(shè)隨機變量X的分布列為P（X=i）=a[|,，=1,2,3,則。的值為（）

【答案】A

【詳解】由題意ag+；+g）=l,a=1.

故選：A.

5.一個不透明的袋子中裝有3個黑球，力個白球,eN*）,這些球除顏色外大小、質(zhì)地完全相同，從中任意

取出3個球，已知取出2個黑球，1個白球的概率為得，設(shè)X為取出白球的個數(shù)，則E（X）=（）

A.-B.4C.1D.2

22

【答案】A

C2cl9

【詳解】由題可知，7/=不，解得〃=3,

工+32U

X的可能取值為0,1,2,3,

l2

尸（X=。）哈C3*1，「（X=】）=罟CC〉Q尸"2”晉吟Q,尸口）昭「3君1,

1oa1

...E（X）=0x—+lx—+2x—+3x—=1.5.

v720202020

故選：A

6.甲乙兩人進行乒乓球比賽，現(xiàn)采用三局兩勝制，規(guī)定每一局比賽都沒有平局（必須分出勝負），且每一

局甲贏的概率都是:，隨機變量X表示最終的比賽局數(shù)，則（）

A.E（X）＜,O（X）=：B.蟲）=彳,。兇=[

CE（X）奇,Z）（X）*D.E（X）=H，D（X）=.

【答案】D

【詳解】由題意，X可取2,3,

2

1

p(X=2)=+H

3

114

尸（X=3）=C；x；x1--|x-+CiX14x

33-239

5422

貝l]E(X)=2x§+3><3=

9

22

5+T3&22I20

D（X）=級2一二

999981

故選：D.

7.甲箱中有3個黃球、2個綠球，乙箱中有2個黃球、3個綠球（這10個球除顏色外，大小、形狀完全相

同），先從甲箱中隨機取出2個球放入乙箱，記事件A,B,C分別表示事件“取出2個黃球”，“取出2個綠

球”，“取出一黃一綠兩個球”，再從乙箱中摸出一球，記事件。表示摸出的球為黃球，則下列說法正確的

是（）

A.A,8是對立事件B.事件8,。相互獨立C.P（D）=￡

D.P（CD）$

【答案】C

【詳解】對于A,事件A,8不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，故A,8是互斥事件，但不是對立事件，故

A錯誤；

對于B,事件2發(fā)生與否，影響事件所以事件2,。不是相互獨立事件，故B錯誤；

對于C尸（0=尸（A）尸（以勾+P⑻尸（￡>⑻+P（C）尸（必C）

C；C'C；C'C\C\C；164…

=V?停+V-T+T工T=-,故c正確;

^?5v-?y^"^7^"^5^""^7JJ

對于D,尸（8）=尸（C）P（必。）=詈后=[,故D錯誤.

故選：C

8.某綜藝節(jié)目中，有一個盲擰魔方游戲，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原

魔方.為了解某市盲擰魔方愛好者的水平狀況，某興趣小組在全市范圍內(nèi)隨機抽取了100名盲擰魔方愛好

者進行調(diào)查，得到的情況如表所示：

用時/秒[5,10](10,15](15,20](20,25]

男性人數(shù)1721139

女性人數(shù)810166

以這100名盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的頻率，代替全市所有盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的概

率，每位盲擰魔方愛好者用時是否超過10秒相互獨立.若該興趣小組在全市范圍內(nèi)再隨機抽取20名盲擰

魔方愛好者進行測試，其中用時不超過10秒的人數(shù)最有可能（即概率最大）是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【詳解】

251

根據(jù)題意得,I名盲擰魔方愛好者用時不超過1°秒的概率為同

設(shè)隨機抽取的20名盲擰魔方愛好者中用時不超過10秒的人數(shù)為乙

則一=0,1,2,???,20，

笈=0時，p《=o）

20

3193

顯然「(=1)=4I=尸抬=0），即尸（4=0）不可能為尸4=左）最大值,

20-攵一左

31*+1319

【尸（。必經(jīng)尸傳=左+1）

當上時，由＜

2120-kk-12\-k

p^=k）＞p^=k-iy^33

IN牖

j解得*小

化簡得

又keZ,;"=5,.?.這20名盲擰魔方愛好者中用時不超過10秒的人數(shù)最有可能是5,

故選：C.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多頂

符合題目要求。全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選頂，每選對一個得3

分；若只有3個正確選項，每選對一個得2分

9.已知隨機變量X的分布列如下，則正確的是()

X-2-112

]_2

Pmn

99

7

A.m+n=—B.P（X<2）=-

C.若加=g,則E（X）=；D.D（X2）=2

【答案】ABD

12?

【詳解】對于A,因為§+m+〃+§=1,所以故A正確;

27

對于B,P（X<2）=l-P（X>2）=l--=-,故B正確；

對于C,因為根=，所以"J,

115??

所以E（X）=-2Xg+（-l）X5+lXg+2Xg=§,故C錯誤；

對于D,P（X2=l）=P（X=-l）+P（X=l）=/H+/i=|,

P.2=4）=尸（X=—2）+P（X=2）=；

則X?的分布列如下：

則O(x2)=gx(l_2)2+；x(4-2)2=2.

故選：ABD.

10.下列說法正確的是()

13

A.若隨機變量X服從兩點分布且P(X=0)=；,貝|E(X)="

48

B.若隨機變量X~N(〃,/)滿足尸(X<1)=022,尸(X<3)=0.78,則〃=2

C.若隨機變量X~B(6,g),則P(X=2)=；

D.設(shè)隨機變量X-5(〃,p),若O(X)W3恒成立，則〃的最大值為12

【答案】BD

13

【詳解】對于A,因為隨機變量X服從兩點分布且尸(X=0)=：,所以「(乂=1)=^,

44

所以E(X)=Ox；1+lx3[=]3,故A錯誤；

對于B,因為隨機變量X~N(〃,b2)滿足P(X<1)=022,P(X<3)=0.78,

所以P(X23)=P(X<l)=0.22,所以〃=下=2,故B正確；

對于C,因為隨機變量X~8(6,5，所以尸(X=2)=C；(g)2(l-}4=魯，故C錯誤；

對于D,因為隨機變量X~B(〃,0),O(X)V3恒成立，所以。(X)=〃p(l-p)W3恒成立，

1〃M

所以，卯(l_p)="(p_p2)=_〃(p_；；)2+TW：43,所以〃<12,故D正確.

244

故選：BD.

11.產(chǎn)品的質(zhì)量是企業(yè)的根本，產(chǎn)品檢測是生產(chǎn)中不可或缺的重要工作.某工廠為了保證產(chǎn)品質(zhì)量，利用

兩種不同方法進行檢測，兩位員工隨機從生產(chǎn)線上各抽取數(shù)量相同的一批產(chǎn)品，已知在兩人抽取的一批產(chǎn)

品中均有5件次品，員工甲從這一批產(chǎn)品中有放回地隨機抽取3件產(chǎn)品，員工乙從這一批產(chǎn)品中無放回地

隨機抽取3件產(chǎn)品.設(shè)員工甲抽取到的3件產(chǎn)品中次品數(shù)量為X,員工乙抽取到的3件產(chǎn)品中次品數(shù)量為F,

笈=0,1,2,3.則下列判斷正確的是()

A.隨機變量X服從二項分布B.隨機變量y服從超幾何分布

C.P(X=k)<P(Y=k)D.E(X)=E(y)

【答案】ABD

【詳解】對于A,因為員工甲從這一批產(chǎn)品中有放回地隨機抽取3件產(chǎn)品，所以隨機變量X服從二項分布,

所以A正確,

對于B,因為員工乙從這一批產(chǎn)品中無放回地隨機抽取3件產(chǎn)品，所以隨機變量y服從超幾何分布，所以B

正確，

對于D,該批產(chǎn)品有〃件，則E(X)=3j=與,

E(門〈立仁Cq依憶C15(Mf(M-2)」5

所以D正確;

33

對于c,因為E（x）=±hP（x=Q,E（y）=￡hP（y=%）,

k=0k=0

若尸(X=左)〈尸(卜=人)可得E(X)<E(y),與D矛盾！故C錯誤.

故選：ABD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計15分.

12.已知離散型隨機變量X的分布列如表：若離散型隨機變量y=2X+l,則E（y）=

X0123

]_11

Pm

3126

235

【答案】

oo

【詳解】由題

5

駕=m=—,

312612

所以￡"（X）=—XOHx1Hx2H—x3=—

「31212612

由y=2x+i,

1723

所以磯y）=E（2X+l）=2E（X）+l=2x正+1=7,

故答案為：臺23.

o

13.已知隨機事件A,B,若P（A）=g,尸（例A）=|,P（A\B）=^,則尸（0=.

7

【答案注

【詳解】由題意可得，尸（B|A）=B^=g，"尸⑷=（，則尸（AB）=（,

/IQ

又因為P（Z|3）=],則P（A|B）=1-P（N|B）=1,

1

且「⑷可=瑞,P（A嘰17

所以尸（8）

P（A|B）315-

7

7

故答案為:不.

14.某新聞媒體舉辦主持人大賽，分為四個比賽項目：“新聞六十秒”“挑戰(zhàn)會客廳”“趣味繞口令'”'創(chuàng)意百分

百”，每個項目獨立打分，成績均服從正態(tài)分布，成績的均值及標準差如下表.小星在四個項目中的成績均

為81分，則小星同學在第個項目中的成績排名最靠后，在第個項目中的成績排名最靠前.（填

序號）

序號一二三四

項目新聞六十秒挑戰(zhàn)會客廳趣味繞口令創(chuàng)意百分百

71758185

(T4.92.13.64.3

【答案】四二

【詳解】項目一：由己知可得，從=71,5=4.9,則P（XN81）QP（XN71+2X4.9）=P（X24+21）；

項目二：由已知可得，出=75,<T2=2.1,貝UP（X281卜P（X275+3x2.1）=P（XN4+3b2）；

項目三：由已知可得,4=81,/=3.6,則尸（XN81）=尸（XN4）；

項目四：由已知可得,4=85,？=4.3,則尸（X-81）Q尸（X卜85—4.3）=尸（X*〃4—4）.

根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可得，P（X>^+3C72）=P（X>A+3<T1）<P（X>A+2CT］）<P（X>A）=P（X>/Z,）

=P（X>//4）<P（X>/z4-cr4）,

所以，小星同學在第四個項目中的成績排名最靠后，在第二個項目中的成績排名最靠前.

故答案為：四；二.

四、解答題：本題共5小題，共計77分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）五一假期來臨，某商場擬通過摸球兌獎的方式回饋顧客.規(guī)定：每位購物金額超過1千元的顧

客從一個裝有5個標有面值的球（大小、質(zhì)地均相同）的袋中隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該

顧客所獲得的購物減免額.若袋中所裝的5個球中有1個標的面值為50元，2個標的面值為10元，其余2

個標的面值均為5元.

（1）求顧客獲得的購物減免額為60元的概率；

（2）若已知顧客摸到的1個球所標的面值為10元，求顧客獲得的購物減免額為15元的概率.

【答案】⑴g

【詳解】（1）設(shè)后="顧客獲得的購物減免額為60元”,

1

依題意，得「（￡）=m=三，

C53

即顧客獲得的購物減免額為60元的概率為，

（2）設(shè)4="顧客摸到的1個球所標的面值為10元”,

3="顧客獲得的購物減免額為15元”,

…八/八C；+C；C；7八/…、C'C'2

則尸（A）=2W3=而,p（4B）=_1丁

5

所以所求概率為尸（同A）=Pp^=y-

16.（15分）每個國家對退休年齡都有不一樣的規(guī)定，2018年開始，我國關(guān)于延遲退休的話題一直在網(wǎng)上

熱議，為了了解市民對“延遲退休”的態(tài)度，現(xiàn)從某地市民中隨機選取100人進行調(diào)查，調(diào)查情況如下表:

年齡段（單位：歲）[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]

被調(diào)查的人數(shù)101520m255

贊成的人數(shù)612n20122

（1）從贊成“延遲退休”的人中任選1人，此年齡在［35,45）的概率為g,求出表格中心，"的值；

（2）若從年齡在［45,55）的參與調(diào)查的市民中按照是否贊成“延遲退休”進行分層抽樣，從中抽取10人參與某項

調(diào)查，然后再從這10人中隨機抽取4人參加座談會，記這4人中贊成“延遲退休”的人數(shù)為X,求X的分布

列及數(shù)學期望.

【答案】⑴"2=25,力=13

（2）分布列見解析；期望為華

【詳解】（1）因為總共抽取100人進行調(diào)查，所以根=100-10-15-20-25-5=25,

因為從贊成“延遲退休”的人中任選1人，其年齡在［35,45）的概率為+4,所以”=13.

52+n5

（2）從年齡在［45,55）中按分層抽樣抽取10人，贊成的抽取10x￡=8人，不贊成的抽取2人，再從這10

人中隨機抽取4人，則隨機變量X的可能取值為2,3,4.

貝1JP(X=2)=^^=Z

所以X的分布列為

X234

28]_

P

15153

所以E(X)=2x2+3>§+4xL3

''151535

17.(15分)隨著生活水平的不斷提高，人們對于身體健康越來越重視.為了解人們的健康情況v某地區(qū)一

體檢機構(gòu)統(tǒng)計了2023年20歲到100歲來體檢的人數(shù)及年齡在[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]的體檢人

數(shù)的頻率分布情況，如下表.該體檢機構(gòu)進一步分析體檢數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：60歲到80歲(不含80歲)體檢人群隨

著年齡的增長，所需面對的健康問題越多，具體統(tǒng)計情況如圖.

組另U年齡(歲)頻率

第一組[20,40)37%

第二組[40,60)43%

第三組[60,80)17%

第四組[80,100]3%

60歲到80歲(不含80歲府檢人群健康問題個數(shù)統(tǒng)計

注：健康問題是指高血壓、糖尿病、高血脂、肥胖、甲狀腺結(jié)節(jié)等60余種常見健康問題.

(1)根據(jù)上表，求從2023年該體檢機構(gòu)20歲到100歲體檢人群中隨機抽取1人,此人年齡不低于60歲的頻率;

(2)用頻率估計概率，從2023年該地區(qū)20歲到100歲體檢人群中隨機抽取3人，其中不低于60歲的人數(shù)記為

X,求X的分布列及數(shù)學期望;

(3)根據(jù)圖的統(tǒng)計結(jié)果，有人認為“該體檢機構(gòu)2023年60歲到80歲(不含80歲)體檢人群健康問題個數(shù)平均

值一定大于9.3個，且小于9.8個”.判斷這種說法是否正確，并說明理由.

【答案】（1）20%

（2）分布列見解析，數(shù)學期望E（X）=：

（3）不正確，理由見解析.

【詳解】（1）由表格數(shù)據(jù)知：從2023年該體檢機構(gòu)20歲至UlOO歲體檢人群中抽取1人，

此人年齡不低于60歲的頻率為：17%+3%=20%.

（2）用頻率估計概率，從2023年該地區(qū)20歲到100歲體檢人群中隨機抽取1人，此人年齡不低于60歲的概

率為20%=（,則X:

X所有可能的取值為0』,2,3,

412

p(x=o)=P(X=2)=C；xx-=----

5125

.?.X的分布列為:

X0123

6448121

P

125125125125

13

數(shù)學期望E（X）=3Xg=M

（3）這種說法不正確，理由如下:

假設(shè)在體檢人群年齡60歲到80歲（不含80歲）中，［60,65）、［65,70）、［70,75）、［75,80）體檢人群所占頻

率分別為70%、10%、10%、10%,

則60歲到80歲（不含80歲）體檢人群健康問題平均值為0.7x8.7+0.1x9.3+0.1*9.8+0.1*10.1=9.01個，與

該說法結(jié)論不同，

該說法是不正確的.

18.（17分）為評估設(shè)備M生產(chǎn)某種零件的性能，從設(shè)備M生產(chǎn)零件的流水線上隨機抽取100個零件作為

樣本，測量其直徑后，整理得到下表：

直徑/mm5859616263646566676869707173合計

件數(shù)11356193318442121100

經(jīng)計算，樣本的平均值〃=65,標準差b=2.2,以頻率值作為概率的估計值.

(I)為評判一臺設(shè)備的性能，從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為X,并根據(jù)以下不等式進行

評判(尸表示相應(yīng)事件的頻率)；

?P(//-o-<X<X/+o-)>0.6827；@P(//-2cr<X<//+2cr)>0.9545；③尸(〃-3b4X4〃+3b)20.9973.

評判規(guī)則為：若同時滿足上述三個不等式，則設(shè)備等級為甲；僅滿足其中兩個，則等級為乙，若僅滿足其

中一個，則等級為丙；若全部不滿足，則等級為丁，試判斷設(shè)備"的性能等級.

(2)將直徑小于或等于〃-2b或直徑大于〃+2b的零件認為是次品.

①從設(shè)備〃的生產(chǎn)流水線上隨意抽取2個零件，計算其中次品個數(shù)丫的數(shù)學期望E(F)；

②從樣本中隨意抽取2個零件，計算其中次品個數(shù)Z的分布列.(答案用分數(shù)表示，要畫表格)

【答案】(1)性能等級為丙

⑵①0.12；②分布列見解析

【詳解】(1)〃-b=62.8,〃+cr=67.2,〃-2cr=60.6,〃+2cr=69.4,〃-3cr=58.4,〃+3cr=71.6,

所以由圖表知：

P(〃一cr4X4〃+b)=尸(62.8<X<67.2)=0.8>0.6827,

P(〃一2cr4X4〃+2cr)=P(60.6<X<69.4)=0.94<0.9545

P(〃—3b4X4M+3cr)=尸(58.44X471.6)=0.98<0.9973

因為設(shè)備/的數(shù)據(jù)僅滿足一個不