第13關二次函數的應用

考點1拋物線與線段長、面積、角度

1.R024江蘇南京二模］如圖，在水平向右為x軸正方向，豎直向上為y軸正方向的坐標系中標記了4個格點，

已知網格的單位長度為1,若二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過其中的3個格點，則a的最大值為()

343

A.-B.lC.-D.-

432

第1題圖第2題圖

2.［2024黑龍江大慶校級模擬］如圖，正方形ABCD的頂點A,B與正方形EFGH的頂點G,H同在一段拋物線

上,且拋物線的頂點同時落在CD和y軸上，正方形的邊AB與EF同時落在x軸上,若正方形ABCD的邊長為

4,則正方形EFGH的邊長為()

X.2V5+2B.V5-1C.2V5-20,V5+1

3.［2024遼寧］如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=a/+.+3與x軸相交于點A,B,點B的坐標為(3,

0),若點C(2,3)在拋物線上，則AB的長為.

4.［2024湖南永州二模］如圖，在直角坐標系中，O為坐標原點，在矩形ABCO中，B點坐標為(4,2),A、C分

別在y軸、x軸上.D點坐標為(1,0),連接AD,點E、點F分別從A點、B點出發，在AB上相向而行，速度均為1

單位/秒，當E、F兩點相遇時,兩點停止運動.過E點作EG〃AD交x軸于H點，交y軸于G點，連接FG,FH,在運

動過程中，△FGH的最大面積為,

5.［2024新疆］如圖.拋物線y=科久2一4久+6與y軸交于點A,與x軸交于點B,線段CD在拋物線的對稱軸上

移動(點C在點D下方)，且CD=3.當AD+BC的值最小時.點C的坐標為.

6.［2024湖北武漢］拋物線y=12+2久一|交x軸于A,B兩點(A在B的右邊)，交y軸于

點C.

(1)直接寫出點A,B,C的坐標.

⑵如圖⑴,連接AC,BC,過第三象限的拋物線上的點P作直線PQ〃AC,交y軸于點Q.若BC平分線段PQ,求

點P的坐標.

(3)如圖(2),點D與原點O關于點C對稱,過原點的直線EF交拋物線于E,F兩點(點E在x軸下方)，線段D

E交拋物線于另一點G,連接FG.若NEGF=90。,求直線DE的解析式.

7.[2024重慶B卷]如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=a/+族_3與x軸交于A(-1,O).B兩點，交y軸于

點C、拋物線的對稱軸是直線久=1

⑴求拋物線的表達式；

(2)點P是直線BC下方對稱軸右側拋物線上一動點，過點P作PD〃x軸交拋物線于點D、作PELBC于點E,

求PD+苧PE的最大值及此時點P的坐標；

⑶將拋物線沿射線BC方向平移逐個單位，在PD+亨PE取得最大值的條件下，點F為點P平移后的對應

點，連接AF交y軸于點M,點N為平移后的拋物線上一點、若/NMF-NABC=45。,請直接寫出所有符合條件的

點N的坐標.

考點2二次函數的實際應用

8.[2024山西介休校級模擬]中條山隧道位于山西省運城市鹽湖區，這一隧道的建設開創了全省普通公路特長隧

道工程建設的先河，也是全國單洞里程最長的隧道工程.圖1是中條山隧道，其截面近似為拋物線型，圖2為截面示

意圖，線段OA表示水平的路面，以O為坐標原點，OA所在直線為x軸，以過點O垂直于x軸的直線為y軸，

建立平面直角坐標系.經測量，0A=12m,拋物線的頂點P到0A的距離為5m，則拋物線的函數表達式為()

圖1圖2

Ay=—：（%+6）2B.y=——6）2

C.y=——（x+6）2+5D,y=——（%—6）2+5

3636

9.［2024天津］從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h（單位：m）與小球的運動時間t（單位：s）之間的關系式

是％=30t—5t2（0<t<6）,有下列結論:

①小球從拋出到落地需要6s；

②小球運動中的高度可以是30m；

③小球運動2s時的高度小于運動5s時的高度.

其中，正確結論的個數是（）

A.OB.lC.2D.3

10.［2024廣西］如圖,壯壯同學投擲實心球，出手（點P處）的高度OP是:m,出手后實心球沿一段拋物線運行,

到達最高點時，水平距離是5m,高度是4m.若實心球落地點為M,則OM為m.

11.［2024甘肅］如圖1為一汽車停車棚，其棚頂的橫截面可以看作是拋物線的一部分，圖2是棚頂的豎直高度

y（單位：m）與距離停車棚支柱AO的水平距離x（單位：m）近似滿足的函數關系y=-0.02/+0.3%+1.6的圖象，

點B（6,2.68）在圖象上.若一輛廂式貨車需在停車棚下避雨，貨車截面看作長CD=4m，高DE=1.8m的矩形,則可判定

貨車完全停到車棚內（填“能”或“不能”）.

圖1圖2

12,2024廣東］廣東省全力實施“百縣千鎮萬村高質量發展工程”，2023年農產品進出口總額居全國首位，其中荔

枝鮮果遠銷歐美.某果商以每噸2萬元的價格收購早熟荔枝，銷往國外.若按每噸5萬元出售，平均每天可售出100

噸.市場調查反映：如果每噸降價1萬元，每天銷售量相應增加50噸.該果商如何定價才能使每天的“利潤”或“銷售

收入”最大?并求出其最大值.（題中“元”為人民幣）

提升練

13.[2024陜西西安校級模擬]在平面直角坐標系xOy中，M是拋物線y=x2+x-2在第三象限的部分上的一

點，過點M作x軸和y軸的垂線，垂足分別為P,Q,則四邊形OPMQ的周長的最大值為

()

A.lB.2C.4D.6

14.[2024廣東佛山校級模擬]據科學計算，運載“神十八”的長征二號F火箭在點火后第一秒內通過的路程為2k

m,第二秒結束時共通過了6km的路程，第三秒結束時共通過了12km的路程，在這一過程中路程與時間成二次

函數關系，在達到離地面240km的高度時，火箭拐彎，則這一過程需要的時間大約是（）

A.10秒B,13秒C.15秒D.20秒

15.[2024貴州遵義一模]如圖1,質量為m的小球從高處由靜止開始下落到豎直放置的輕彈簧上并壓縮彈簧（已

知自然狀態下，彈簧的初始長度為12cm）.從小球剛接觸彈簧到將彈簧壓縮至最短的過程中（不計空氣阻力，彈簧在

整個過程中始終發生彈性形變），小球的速度v（cm/s）和彈簧被壓縮的長度Al（cm）之間的關系圖象如圖2所示.根據圖

)

A.小球剛接觸彈簧就開始減速

B.當彈簧被壓縮至最短時，小球的速度最大

C.當小球的速度最大時，彈簧的長度為2cm

D.當小球下落至最低點時，彈簧的長度為6cm

16.[2024內蒙古呼倫貝爾二模]已知拋物線y=-2（X-1）（久-9）與x軸交于A,B兩點，對稱軸與拋物線交

1O

于點C,與X軸交于點D,?C的半徑為2,G為。C上一動點，P為AG的中點，則DP的最大值為

)

D.5

17.[2024四川資陽]已知二次函數y=-|x2+bx與y=|x2-bx的圖象均過點A（4、0）和坐標原點O，這兩個

函數在0WXW4時形成的封閉圖象如圖所示F為線段OA的中點過點P且與x軸不重合的直線與封閉圖象交于B,

C兩點.給出下列結論：

①b=2;②PB=PC;③以O,A,B,C為頂點的四邊形可以為正方形;④若點B的橫坐標為1,點Q在y軸上（Q、B、

C三點不共線），則△BCQ周長的最小值為：5+V13.

其中，所有正確結論的個數是（）

18.[2024吉林長春一模]如圖，排球運動員站在點。處練習發球，將球從O點正上方發出，把球看成點、其

運行的高度y（米）與運行的水平距離x（米）滿足表達式y=-0.02/+0.24x+a.已知球網與O點的水平距離為9米,

高度為2.43米，球場的邊界距O點的水平距離為18米.若排球不碰球網且不出界，則a的取值范圍是.

（排球落在邊界線上時為界內）

19.[2024江西]如圖，一小球從斜坡O點以一定的方向彈出球的飛行路線可以用二次函數y=a/+版（a<0

）刻畫，斜坡可以用一次函數y=（x刻畫，小球飛行的水平距離x（米）與小球飛行的高度y（米）的變化規律如下表：

X012m4567???

715157

068n???

y2TT2

⑴①m=.n=;

②小球的落點是A,求點A的坐標.

（2）小球飛行高度y（米）與飛行時間t（秒）滿足關系：y=-5t2+vt.

①小球飛行的最大高度為米；

②求v的值.

20.[2024江蘇揚州]如圖，已知二次函數y=-/+bx+c的圖象與x軸交于A(-2,0)、B(1,O)兩點.

⑴求b、c的值

⑵若點P在該二次函數的圖象上，且4PAB的面積為6,求點P的坐標.

21.[2024黑龍江牡丹江]如圖，二次函數y=|x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,點A

的坐標為(-1,0),點C的坐標為(0,-3),連接BC.

⑴求該二次函數的解析式；

(2)點P是拋物線在第四象限部分上的任意一點，當4BCP的面積最大時，BC邊上的高PN的值為.

22.[2024河南]從地面豎直向上發射的物體離地面的高度h(n0滿足關系式h=-5產+其中t(s)是物體運動

的時間，v0(m/s)是物體被發射時的速度.社團活動時，科學小組在實驗樓前從地面豎直向上發射小球.

(1)小球被發射后S時離地面的高度最大(用含v0的式子表示).

(2)若小球離地面的最大高度為20m,求小球被發射時的速度.

⑶按⑵中的速度發射小球，小球離地面的高度有兩次與實驗樓的高度相同.小明說：“這兩次間隔的時間為3s.”

已知實驗樓高15m,請判斷他的說法是否正確，并說明理由.

23.[2024陜西]一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋，橋梁的纜索J與纜索L2均呈拋物線型，橋塔AO

與橋塔BC均垂直于橋面，如圖所示，以O為原點，以直線FF為x軸，以橋塔AO所在直線為y軸，建立平面直

角坐標系.

已知：纜索J所在拋物線與纜索L2所在拋物線關于y軸對稱，橋塔AO與橋塔BC之間的距離OC=100m,

AO=BC=17m,纜索Li的最低點P到FF的距離PD=2m(橋塔的粗細忽略不計).

⑴求纜索LI所在拋物線的函數表達式；

⑵點E在纜索L2上,EFLFF,且EF=2.6m,FO<OD,求FO的長.

24.[2024北京大興區一模]某灑水車為綠化帶澆水.圖1是灑水車噴水區域的截面圖，其上、下邊緣都可以看作

是拋物線的一部分、下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的.噴水口H距地面的豎直高度OH為1.5m,噴

水區域的上、下邊緣與地面交于A、B兩點，上邊緣拋物線的最高點C恰好在點B的正上方，已知OA=6m、OB=

2m,CB=2m.建立如圖2所示的平面直角坐標系.

(1)在①y=-久工+2)2+2,②y=-式”-2)2+2兩個表達式中，灑水車噴出水的上邊緣拋物線的表達式為一

OO

下邊緣拋物線的表達式為(把表達式的序號填在對應橫線上).

⑵如圖3、灑水車沿著平行于綠化帶的公路行駛、綠化帶的橫截面可以看作矩形DEFG,水平寬度DE=3m,豎

直高度DG=0.5m.如圖4,OD為噴水口距綠化帶底部的最近水平距離(單位：m).若矩形DEFG在噴水區域內，則

稱灑水車能澆灌到整個綠化帶.

圖3圖4

①當OD=2.6m時，判斷灑水車能否澆灌到整個綠化帶，并說明理由；

②若灑水車能澆灌到整個綠化帶，則OD的取值范圍是

2322

25.[2024廣東廣州]已知拋物線y=ax-6ax-a+2a+l(a)0)過點A.,2)和點B(x2,2),直線l:y=mx

+九過點C(3,l),交線段AB于點口,記4CDA的周長為Ci,△CDB的周長為C2，且G=C2+2.

(1)求拋物線G的對稱軸.

(2)求m的值.

⑶直線1繞點c以每秒3。的速度順時針旋轉t秒后（0*45兌導到直線1；當r〃AB時，直線1交拋物線G于E,F

兩點.

①求t的值；

②設△AEF的面積為S,若對于任意的a>0,均有S>k成立，求k的最大值及此時拋物線G的解析式.

26.[2024吉林長春]在平面直角坐標系中，點0是坐標原點，拋物線y=x2+2x+c(c是常數)經過點(-2,-2).

點A、B是該拋物線上不重合的兩點，橫坐標分別為m、-m,點C的橫坐標為-5m，點C的縱坐標與點A的縱坐

標相同，連接AB、AC.

⑴求該拋物線對應的函數表達式.

(2)求證：當m取不為零的任意實數時,tanZCAB的值始終為2.

(3)作AC的垂直平分線交直線AB于點D,以AD為邊、AC為對角線作菱形ADCE,連接DE.

①當DE與此拋物線的對稱軸重合時，求菱形ADCE的面積；

②當此拋物線在菱形ADCE內部的點的縱坐標y隨x的增大而增大時，直接寫出m的取值范圍.

2

27.[2024湖南長沙]已知四個不同的點A&,yi),C(x2,y2),B(x3,y3),D(x4,y4)都在關于x的函數y=ax+

bx+c(a,b,c是常數，a/))的圖象上.

⑴當A,B兩點的坐標分別為(-1,-4),(3,4)時，求代數式2024a+1012b+物值

2

(2)當A,B兩點的坐標滿足a+2(yi+y2)a+4yly2=。時，請你判斷此函數圖象與x軸的公共點的個數，

并說明理由.

2

(3)當a>0時該函數圖象與x軸交于EF兩點且AB,CQ四點的坐標滿足：2a+2(yt+y2)a+比+犬=0

2

,2a-2(y3+y4)a+yj+y1=0.請問是否存在實數使得AB,CD,mEF這三條線段組成一個三角形，且該

三角形的三個內角的大小之比為1：2：3?若存在，求出m的值和此時函數的最小值；若不存在，請說明理由(注：

m-EF表示一條長度等于EF的m倍的線段).

第13關二次函數的應用

1.D解析：建立平面直角坐標系如圖所示，依題意可知，經過點A,B,C時，拋物線開口向上，a的值最大,

?.A(-1,O),B(2,O),

.?拋物線解析式為y=a(x+l)(x-2),將C(l,-3)代入得-3=-2a,解得a=|,

2.C解析:?.正方形ABCD邊長為4,.?.拋物線頂點坐標為(0,4),B(2,0),設拋物線解析式為y=a/+由將B點坐

標代入得0=4a+4,解得a=-l,

?,拋物線解析式為y=-%2+4,設G點坐標為((m^-m2+4),則2m=-m2+4,

整理得m2+2m—4=0,

解得7nl=-1+V5,m2=-1-遍舍去)，(

「?正方形EFGH的邊長：=2m=2A/5—2.

3.4

解析:由題意,?.拋物線y=ax2+bx+3過B(3,0),C(2,3),

|9a+36+3=0,(a=-l,

14a+26+3=3,'(6=2.

，拋物線為y=-x2+2x+3.

，拋物線的對稱軸是直線x=l.

■:拋物線與x軸的一個交點為B(3,0),

，另一交點A的坐標為(-1,0).

..AB=3-(-l)=4.

4.4.5

解析:由題意可知A(0,2),

，設直線AD的解析式為y=kx+2把D(l,0)代入得k+2=0,解得k=-2,

，直線AD的解析式為y=-2x+2,

?.EGHAD,

，設直線EG的解析式為y=-2x+b,則G(O,b),

當y=2時，x=—,

.?.E(等，2),

4bb—2r，.j-,b—2

???AE=—,???BDF=AE=—,

2，2

h—9

EF=4-2X—=6-b,

2，

1

SHFCII=S^EFC+S^EFH=々EF.0G=

—(6-6),b=-g(6—3)2+4.5,

|<0,當b=3時AE=I<

AFGH的最大面積為4.5.

5.(4,1)

解析：如圖，作A點關于對稱軸的對稱點A1,WA，向下平移3個單位，得到A",連接A"B,交對稱軸于點

C,

止匕時AD+BC的值最小,AD+BC=A"B,在y=^x2-4x+6中，令x=0彳導y=6〃?.點A(0,6),

令y=(X得|x2-4x+6=0,

解得x=2或x=6,

:點B(2,0),

??拋物線的對稱軸為直線久=-口=4,二八'(8,6),「八"(8,3),設直線人"8的解析式為y=kx+b代入A”,B的

2X2

坐標得懾非二演得｛jt;,

，直線A"B的解析式為y=，—1,當x=4時,,y=l,，c(4,l).

6.(l)A(l,0);B(-5,0);c(0,-|

⑵P(-2，-3

⑶y=一|%-5

解析:⑴由y=次+2%-英］,當x=0時,y=一盤則C(0,一|),當y=0時,|x2+2x-|=0,解得/=-5

,X?=1.

.A在B的右邊，

.-.A(l,0),B(-5,0).

(2)設直線AC的解析式為y=kx+b(k/0),

z匚、k+b—0,fc=7,

將A(1,0),C(0，—|)代入，得｛°=一三，解得｛=

2-2，

..直線AC的解析式為y=|“—|,

■.PQllAC,

???設直線PQ的解析式為y=|%+bi，

???P在第三象限的拋物線上，

??.設P(苗/+2t—|)(―5<t<0),

???：七+瓦—|+2t—

???瓦=-t2----,

1222

.-.Q(0-t2

y1222/

設PQ的中點為M,

???c(0,—，???設BC所在直線的解析式為y=k°K-I，

將B(-5,0)代入得0=—一盤解得^0=

二直線BC的解析式為y=—3久一李

?.BC平分線段PQ,

.■.M在直線BC上，

.1t5_〃+|t-5

222-2'

解得￡1=-2也=。舍去).(

當t=-2時,|t2+2t-|=-|,

???P(-2，號).

(3)如圖所示過點G作TSllx軸，過點E,F分別作TS的垂線,垂足分別為T,S,

???NEGT=90°-NFGS=NGFS,

.?.△ETG—GSF.

ET_TG

??GS-FS'

BPGS-TG=ET-FS.

1?點D與原點O關于點C（0，-1）對稱，

.D（0,-5）,

設直線EF的解析式為y=Lx直線DE的解析式為：y=k2x-5.

聯立直線EF與拋物線的解析式得

y=心久，

2

{y=lx2+25可得fc1X=lx2+2X-I，即|x+（2--|=0.

y=k2x-5,

聯立直線DE與拋物線的解析式得{12,95可得kx-5=-x2+2x一卞即/2+&-七）％+

y=-X+ZX—,2222

:22,

J.

設XE==f,XQ=g,

：ef=-5,eg=5ze+g=2k2-4f

..f=-g,

FT=je2+2e-|-(^g2+2g-|)=~(e+g+4)(e-g),

FS=lf2+2f-l-^g2+2g-l)="f+g+4)(—g).

?.GSTG=ETFS,

-■(f-g)(g-e)=^(e+g+4)(e-g)-+g+4)(/-g),

將.f=-g代入得e+g=-5,

???2k2—4=-5,々2=一右

直線DE的解析式為y=-1x-5.

7.(l)y=|x2-|%-3

(2)PD+亨PE的最大值為；此時P的坐標為(5,-3)

(3)(^-4-V73),(l+V13,季)

解析:⑴.?點A(-1,O)在拋物線y=a/+bx-3上，拋物線的對稱軸是直線x=|,

a—b—3=0,a=-,

2

???{__L=三解得{5

2a~2"b=

，拋物線的表達式為y=4-|久-3.

⑵如圖，延長PE交x軸于G,過P作PHIIy軸交BC于H,

在y=|x2-|x-3中，令y=(X得0=|x2-|x-3,

解得X]=-1,%2=6,

.-.B(6,0).

當x=0時,y=-3,

..C(0,-3),

BC=V32+62=3^5,

6_2^5

???sin^BCO=—3V5-5'

?「PHlly軸〃?.NPHE=NBCO,

???sinNPHE=署=言，:PE=卓「丹由B(6,0),C(0,-3)得直線BC的解析式為y=jx-3,

設P(X<|x2-|x-3)廁H(%'|x-3),PH=-|x2+3x,

,?拋物線y=|x2~lx-3的對稱軸為直線x=I，P￡)=2(%-j^)=2x-5,

PD+—PE=2x—5+—x—x(—-x2+3x)=--x2+5x—5,

225\272

1

??.——<0,

2

???當PD+千時，PE取光=-一六不=5得最大值，最大值為項t匕時,JP(5、-3).

22x——)2

(3)將拋物線沿射線BC方向平移返單位，即把拋物線向左平移2個單位，再向下平移1個單位，,新的拋物

線為y=|(X+2)2-1(x+2)-3-1=|%2-|x-7,F的坐標為(3,-4),

如圖，當N在y軸左側時，過N作NK±y軸于K,

由A(-l,0),F(3,-4)得直線AF的解析式為y=-x-l,當x=0由y=-l,

..NAMO=NOAM=45°=NFMK,

?.zNMF-zABC=45°,

.?.zNMK+45°-zABC=45°,

..NNMK=NABC,

tanNNMK=tan為BC=黑=|='設N(n>|n2—|n—7),

NK_-n_1

.?MK~-l-ln2+|n+7-2，

解得n=手或n=胃舍去)，經檢驗n=看是原方程的解，且符合題意，

Np2尹,4-可)；

當N在y軸右側時，易知點N在點F右側，點M上方，過M作y軸的垂線MT,過N作NT,MT于T,

同理可得NNMT=NABC,

12_1_7,1

設N7)則T(m,-1),同理可得

m=1+6巨或m=1-舊(舍去),經檢驗，m=l+舊是原方程的解，且符合題意,

??.N(i+vn，竽)，

綜上所述，所有符合條件的點N的坐標為(手，4-履)，(1+舊，①|二)

8.D解析:?.?0A=12m,拋物線的頂點P到0A的距離為5m,

，拋物線頂點P的坐標為(6,5),

設拋物線的函數表達式為y=a(x-6￥+5,

將0(0,0)代入y=a(x-6)2+5得0=36a+5,

解得a=

DO

.,拋物線的函數表達式為丫=—幺％—6T+5.

DO

9.C解析:①令h=0,則30t-5t2=o,解得t1=0,t2=6,

二小球從拋出到落地需要6s,故①正確；

(2)h,=30t—5t2=—5(t2—6t)=—5(t—3)^+45,

?.-5<0,

二.當t=3時,h有最大值，最大值為45,

二小球運動中的高度可以是30m,故②正確；

③t=2時,h=30x2-5x4=40,

t=5時,h=30x5-5x25=25,

二小球運動2s時的高度大于運動5s時的高度，故③錯誤.

正確結論的個數是2,故選C.

10.3-

3

解析：以點0為坐標原點，直線0M為x軸，直線0P為y軸，建立平面直角坐標系，

設拋物線解析式為y=a(x—5尸+/把(0，：)代入得25a+4=(解得a=一言，

，拋物線解析式為y=—言(x-5尸+4.

.M為拋物線與x軸的交點，令y=—磊(x-57+4=0,解得/=率&=一|?(不合題意，舍去),?OM

35

=-m.

3

11.能

解析:.CD=4m,B(6268)"-.6-4=2,

在y=—0.02*2,|_o3x+1.6中,

當x=2時，y=-0.02x22+0.3x2+1,6=

2.12,

?.212>1.8,.?.貨車能完全停到車棚內.

12.解：設該果商定價為每噸x萬元時，每天的利潤為w萬元，銷售收入為t萬元，

貝Uw=(x_2)[100+50(5-x)]

=-50(x-4.5)2+312.5,

t=x[100+50(5-x)]

=-50(X-3.5)2+612.5,

?.-50<0,

二當x=4.5時，w取最大值，最大值為312.5,

當x=3.5時,t取最大值，最大值為612.5.

答：該果商定價為每噸4.5萬元或3.5萬元時才能使每天的"利潤"或"銷售收入"最大，其最大值分別為3

12.5萬元,612.5萬元.

13.D解析:令y=0,貝!I：x2+x-2=0,解得/=—2,%2=1,

，拋物線與x軸的交點為(-2,0),(1,0),

設M(jn>m2+m—2)(—2<m<0),貝!]MQ=—m,MP=—(m2+m-2)=—m2—m+2,

設四邊形OPMQ的周長為L,

貝！］L=2(—m2—m+2—m)——2(m2+2m-2)=-2(m+l)2+6,

?.-2<0,.-.m=-l時,L取最大值，為6.

14.C解析：設二次函數的解析式為y=a/+bx+c,

a+b+c=2,a=1,

貝U(4a+2b+c=6,解得｛b=1,

9a+3b+c—12,c=0,

二二次函數的解析式為y=x2+x,

，y=240時，240=x2+x,

解得x=15或x=-16(不符合題意,舍去)..?.需要的時間大約是15秒.

15.D解析：由圖象可知，彈簧被壓縮2cm后小球開始減速，

故選項A不符合題意；

由圖象可知，當彈簧被壓縮至最短時，小球的速度為0,

故選項B不符合題意；

由圖象可知小球速度最大時，彈簧被壓縮2cm,

此時彈簧的長度為12-2=10(cm),故選項C不符合題意；

由圖象可知，當小球下落至最低點時，

彈簧被壓縮的長度為6cm,

此時彈簧的長度為12-6=6(cm),

故選項D符合題意.故選D.

16.A解析:連接BG,/P為AG的中點,D為AB的中點」PD是^ABG的中位線,二DP=\BG,.當BG的值最

大時，DP的值最大.

由圓的性質可知，當G,C,B三點共線時，BG的值最大.

由題意可知C(5,3),B(9,0),

???BG的最大值為：2+5=7,

.■DP的最大值為!

17.D解析:①1?二次函數y=-號/+法與丫=科久2—法的圖象均過點A(4,0)和坐標原點O,P為線段OA

的中點，

.?.P(2,0),兩個函數圖象的對稱軸均為直線x=2,=2,.-.b=2,故①正確；

2x(9

②如圖，過點B作BD±x軸于點D,過點C作CE，x軸于點E,

.?ZCEP=NBDP=90°,由函數圖象的對稱，性可知PE=DP,

.“CEP9BDP(ASA),

，PB=PC,故②正確；

③如圖，當點B,C分別為兩個函數圖象的頂點時，BC^OA,點B,C的橫坐標均為2,

由②知PB=PC,又加是OA的中點,.?.四邊形OBAC為平行四邊形，

由①可知兩個函數的解析式分別為y=-jx2+2%,y=1x2-2x,

.-.B(2,2),C(2,-2),

，BC=2-(-2)=4,

?.點A(4,0),，OA=4,r.BC=OA,.?.平行四邊形OBAC是矩形,

又.BJOA,

二四邊形OBAC為正方形，故③正確；

④如圖，作點B關于y軸的對稱點B1,連接BC交y軸于點Q,此時3CQ的周長最小，最小值=8(+8(：,

?.點B的橫坐標為1,

.-?B(1，|)點C的橫坐標為3,

■■■BC=J(3-l)2+(-|-|)2=V13,

B'C=J(T-33+(|+|)2=5,

.“BCQ周長的最小值為：5+g,故④正確.故選D.

18.1.89<a<2.16

解析：根據題意得，當x=9時，

y=-0.02x92+0.24x9+a=0.54+a>2.43,解得a>1.89；

當x=18時,

y=-0.02x182+0.24x18+a=-2.16+a40,

解得a<2.16.

/.a的取值范圍是1.89<a<2.16.

19.(1)@3；6②(代)

⑵①8(填"TT)=亦可)②4V10

解析:⑴①略.

②設y=a[x-4)2+8,

將(2,6)代入得(a(2—4尸+8=6,

解得a=.

得=—|x2+4x,

解得Xi=0(舍)

將尤=當代入y=:與得y=p

二點A的坐標是怎用.

⑵①略.

②—5t2+優=—5(-

—=8,

20

解得V1=4V10,v2=-4V10.

y=-st2+vt=-5(t-總2+2圖象的對稱軸為t=已由題意可知卷>0,

v>(),>,-v=4V10.

2O.(l)b=-l;c=2

(2)(-3,-4)或(2,-4)

2

解析:⑴把A(-2,0),BQ,0)代入y=-%+bx+cf

傳i-1+b+c=0,蝌守1c=2.

(2)由⑴知，二次函數解析式為y=-%2-%+2,

設點P坐標為((加一加？一Hl+2),

2

,「△PAB的面積為6,AB=l-(-2)=3,??.SAPAB=^AB-|yP|=1x3x|-m-m+2|=6z

???I—m2—m+2|=4,

即—m2—m+2=4或—m2—m+2=—4,

「.m=-3:或m=2,

」.P(-3,-4)或P(2,-4).

21.(l)y=1x2—|x—3

(2)W

解析：(1)把(-L0)和。-3)代入解析式得｛A°+°=°，解得?=一5,

c=—3,c=—3,

二該二次函數的解析式為y-|x2-|x-3.

⑵令y=0廁。="2一|萬一3,解得X1--l,x2=6,

.?點B的坐標為(6,0),

BC=VOB2+OC2=府”=3遙股直線BC的解析式為y=mx+n,將點B.C的坐標代入得

{6，；］；’0解得{加=5

0771十九一U,九二—3

.?直線BC的解析式為y=i%-3,過點P作PDJ_x軸交BC于點D,設點P的坐標為為(久，步-1久-3).

則點D的坐標為

???^=1X-3-(|X2-|X-3)=-|X2+3X,

22

???SLPBC=10B-PD=|x6-(-|%+3x)=-|(x-3)+y,

.?.SAPBC的最大值為y

PN=2S=BC=21=辿

BC3V55'

22.(1)

(2)20m/s

(3)小明的說法不正確；理由見解析

解析：1)"=—5/+%t=—5(t—劫2+J

，當t=工時，小球離地面的高度最大.

⑵根據題意，得當"齊寸，，h=20.

-5x償7+%*羽=20.

解得v0=20(負值舍去).

二小球被發射時的速度為20m/s.

(3)由(2),得h.=-5Z2+20t.

當h=15時，15=—5t2+20t.

解方程，得h=l,t2=3.

?.3-1=2⑸，

，小明的說法不正確.

23.(1方=京(x-50)2+2

(2)40m

解析:(D；A0=17m,

.?點A(0,17),

又OC=100m,AO=BC=17m,PD=2m,

P(50,2).

故可設纜索Li所在拋物線的解析式為y=a(久-50尸+2.

將(0,17)代入拋物線解析式，得17=a(0—50尸+2)

，2500a+2=17.

3

...Cl=-----

500

,纜索Li所在拋物線的函數表達式為y=^(%-50)2+2.

(2)1?纜索L】所在拋物線與纜索1_2所在拋物線關于y軸對稱，

二纜索L2所在拋物線為V=京(久+50/+2.

令y=2.6,!則2.6=京(久+50)2+2,.,.x=-40或x=-60.

又EF，FF',FO<OD=50m,;.FO的長為40m.

24.(1)②;①⑵①不能；理由見解析(2)2<0D<2V3-1

解析：Q)由題意知,C(2,2),故設上邊緣拋物線的表達式為y=a(x-2)2+2.

又上邊緣拋物線過點(6,0),

0=a(6—2尸+2.

1

CL=-----.

8

二上邊緣拋物線的表達式為y=-太久-2)2+2.

O

?.?下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，

,設下邊緣拋物線的表達式為y=-其％+m)2+2.

又下邊緣拋物線過點(2,0),

0=—^(2+m)2+2.

，m=2或m=-6,

由題意知m=-6不合題意，

，m=2.

二下邊緣拋物線的表達式為y=+2)2+2.

O

⑵①由題意可得OE=2.6+3=5.6.

把x=5.6代入上邊緣拋物線表達式，得y=——5.6-2)2+2=0.38<0.5,

所以矩形DEFG不全在噴水區域內.

所以灑水車不能澆灌到整個綠化帶.

②「EF二DG=0.5,

.?點F的縱坐標為0.5.

令一久久一2)2+2=0.5,

得x=2±2V3

?.x>0,

x=2+2V3,

對于y=-久％-2尸+2,

當x>2時，y隨x的增大而減小，，當2<x<6時，要使y25,則%<2+2V3,

1?當0<x<2時,y隨x的增大而增大，且x=0時,y=1.5>0.5,

.,.當0<x<6時，要使y20.5廁0<x<slant2+2V3.

?.DE=3,灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，

■OD的最大值為2+2百-3=2百-1,對于下邊緣拋物線，當點B和點D重合時，OD有最小值，為2,

綜上所述，OD的取值范圍是24OD42V3-1.

25.⑴直線x=3

⑵1或-1

⑶①15②k的最大值為2&;y=%2-6x+2

解析：(1)二,拋物線G\y=ax2—6ax—a3+2a2+l(a〉O),

???拋物線的對稱軸為直線x=—等=3.(2)如圖，

2a

二點A在點B的左邊,AD+AC+CD=CD+BC+BD+2.

由(1)知拋物線的對稱軸為直線x=3,

二點C在拋物線的對稱軸上，

.■,CA=CB,/.AD=BD+2.

設D(p,2),

■■p—xr—x2—p+2,

又X1+%2=2x3,

..p=4,

.■.D(4,2),

把C(3,1),D(4,2)代入y=m2x+4得｛色:”“

47nz+九=2,

m2=1,解得m=l或m=-l.

(3)①如圖,

由(2^Dm=±l,

，直線l:y=x+n,

.?.zDCF=45°,

.?3t=45,解得t=15.

@S=^EF-(yA-y￡)=

當y=l時.ax2—6ax—a3+2a2+1=1,

???%2—6%—a2+2a=0,

%】+打=6,%I%2=—a2+2a,

.?.EF=\Xr—X21=d(X、+%2)2_4%］第2

—,36—4(—a。+2a)=A/4a2—8a+36

=不4(a-+32,

「4>0,

.?.當a=l時,EF取最小值，為4/此時S=|x4V2=2V2.

1?對于任意的a>0，均有S”成立，

.■.k的最大值為2/此時拋物線G的解析式為y=%2-6%+2

26.⑴y=/+2久一2(2)見解析

(3)①9②m?-3或-lWm<0或0<m<4-V13

解析：(1),.拋物線y=/+2%+c經過點(-2,-2),.，4-4+c=-2,c=-2,y=x2+2x-2.

222

(2)證明:由題知A(m^m+2m-2),B(-m/m-2m-2)zC(-5m/m+2m-2),

過點B作BH±AC于點H,則H(-m,m2+2m-2),

BH=|yB-y