二級結論1:拋物線的焦點弦長公式

【結論闡述】

不妨設拋物線方程為/=21（？>0）,如圖1,準線x=<與x軸相交于點尸，過焦點

尸go］的直線/與拋物線相交于/（5）,3優,力）兩點，。為原點，。為相與對稱軸正

向所成的角，則有如下的焦點弦長公式：

|AB\=J1+人［X］七|,|/同=/1+,\y}-y^\,\AB\=xx+x2+p,\AB\=-^―.

【應用場景】運用焦點弦長公式可以很方便的計算拋物線的焦點弦長.

【典例指引1】

（2022年高考全國乙卷理5）

1.設/為拋物線C:必=4x的焦點，點/在C上，點8（3,0）,若卜尸|=|昉則|/理=（）

A.2B.272C.3D.3亞

【反思】

I.客觀題中的拋物線一般考查拋物線定義、幾何性質及運算能力，特別是求解有關線段長

度時要注意定義、方程思想及根與系數關系的應用.

2.設48是過拋物線V=2/zx（2>0）焦點尸的弦，若N（xi,yd,B（如/），貝！I

①x/X2=］，yiyi——p~■

zl

②叫=%+修明=制+制+0=黑（a為弦的傾斜角）.

【典例指引21

（2022年高考甲卷20）

2.設拋物線C:必=2"（°>0）的焦點為尸，點。（〃0）,過少的直線交C于跖N兩點.當

直線垂直于x軸時，加刊=3.

（1）求C的方程；

⑵設直線〃2與C的另一個交點分別為4B,記直線九的傾斜角分別為生尸.當

a-B取得最大值時，求直線AB的方程.

【反思】本題第（1）問也是送分題，難度甚至小于選擇題的前3題，難題爭取得部分分應

成為每位考生的追求，解析幾何解答題一個突出特點是運算量比較大，相等一部分學生會因

試卷第1頁，共8頁

運算不過關出錯，或嫌麻煩，直接放棄，其實解析幾何解答題第（1）問一般為求圓錐曲線

方程，難度比較小，不要放棄，第（2）問題的思路還是比較容易想到的，平時多做幾道類

似的題，總結運算規律，爭取做到題不二錯，這部分分通過努力還是能夠得到的.

【針對訓練】

3.設/為拋物線C:/=6x的焦點，過尸且傾斜角為60。的直線交C于4,8兩點，則|/刈=

（）

A.B.8C.12D.7百

3

4.拋物線/=4x的焦點弦被焦點分成長是根和〃的兩部分，則比與力的關系是（）

A.m-\~n=mnB.m+n—4C.mn=4D.無法確定

（2022?山西太原?二模）

5.過拋物線f=8y焦點廠的直線交拋物線于N兩點，^MF=XFN^\MN\=9,貝!|彳的

值為（）

A.—B.YC.:或3D.；或2

3232

6.已知拋物線C：必=人的焦點為廠，準線/與x軸的交點為/,“是拋物線。上的點.

若MFLx軸，則以4尸為直徑的圓截直線所得的弦長為（）

5

A.2B.JiC.1D.—

2

（2022?江蘇?高二）

7.已知產為拋物線C:/=6x的焦點，過廠作兩條互相垂直的直線4,4,直線4與C交于

/、8兩點，直線4與C交于。、￡兩點，則|/切+|。號的最小值為（）

A.24B.22C.20D.16

（2022全國?高二月考）

8.已知拋物線C:/=2px（0>O）,過拋物線焦點廠的直線與拋物線C交于48兩點，交

拋物線的準線于點P,若尸為尸3中點，且|/尸|=乎，則|48|=（）

A.迪B?迪「4A/3

X-/(-----D.哈

333

（2022遼寧?高二月考）

試卷第2頁，共8頁

9.已知拋物線方程為V=2"（夕>0）,O為坐標原點，過拋物線焦點廠的直線交拋物線于

A,8兩點,A,5的縱坐標之積為一8,且|力尸|=3忸司，則△045的面積是（）

A.4五B-C.巫D.也

（2022年新高考I卷11,多選題）

10.已知。為坐標原點，點41,1）在拋物線C:f=2抄5>0）上，過點3（0,-1）的直線交C

于尸，。兩點，貝U（）

A.C的準線為了=-1B.直線與C相切

C.|OP|-|（?2|>|（9^|2D.\BP\-\BQ\>\BA^

二級結論2：拋物線中的三類直線與圓相切問題

【結論闡述】

不妨設拋物線方程為V=2px（p>0）,如圖1,準線x=-］與x軸相交于點P,過焦點

尸］多0）的直線/與拋物線相交于工（%,%）,BE%）兩點，。為原點，。為與對稱軸正

向所成的角，的中點為C,又作垂足分別為4,與，G，則有如

下結論（圖2）：

試卷第3頁，共8頁

圖1圖2圖3

①以N2為直徑的圓M與準線相切；

②以4F為直徑的圓C與了軸相切；

③以B尸為直徑的圓。與V軸相切；

④分別以/星/尸,2尸為直徑的圓之間的關系：圓C與圓。外切；圓c與圓。既與＞軸相切,

又與圓M相內切.

結合圓的幾何性質易得有關直線垂直關系的結論，如圖3有，

①以NB為直徑的圓的圓心在準線上的射影與4,8兩點的連線互相垂直，即

②以/尸為直徑的圓的圓心在V軸上的射影G與/，尸兩點的連線互相垂直，即QA1CF；

③以即為直徑的圓的圓心在V軸上的射影2與2,尸兩點的連線互相垂直，即12廠；

④以4月為直徑的圓必過原點，即吊尸工呂尸；

⑤)M[F~l~AB.

【應用場景】

運用焦點弦與圓有關的結論可以很方便的解決直線、圓、拋物線有關綜合題，解題中要注意

拋物線的定義、幾何性質以及圓的幾何性質的應用.

【典例指引1】

11.在平面直角坐標系中，已知點尸(1,0),直線=動直線/'垂直于/于點〃，線段族

的垂直平分線交/'于點P,設尸的軌跡為C.

⑴求曲線。的方程；

試卷第4頁，共8頁

(2)以曲線C上的點。(尤。,%)(%>0)為切點作曲線C的切線4,設4分別與X,歹軸交于A,

B兩點，且4恰與以定點M(4,0)為圓心的圓相切.當圓M的面積最小時，求AABF與V

面積的比.

【反思】本題考查了拋物線的標準方程，拋物線的幾何性質，以及直線和圓，直線和拋物線

的位置關系的相關問題，當題設涉及直線，圓，圓錐曲線時，一般是直線與圓錐曲線相交于

兩點，需聯立方程，得到根與系數的關系，而直線與圓經常利用圓的幾何性質，得到一些常

量，這些不變的量和圓錐曲線建立聯系，從而進一步求解.

【典例指引21

12.已知拋物線C:/=4y的準線為/,記/與y軸交于點過點M作直線/'與C相切，

切點為N,則以九W為直徑的圓的方程為()

A.(x+l)2+「=4或(x-l)2+廿=4

B.(x+l)2+/=16^(x-l)2+y2=16

C.(%+1)2+/=2^(X-1)2+/=2

D.(無+以+_/=8或(XT)?+_/=8

【針對訓練】

一、單選題：

13.阿基米德(公元前287年—212年)是古希臘偉大的物理學家、數學家、天文學家，不

僅在物理學方面貢獻巨大，還享有“數學之神”的稱號.拋物線上任意兩點48處的切線交于

點尸，稱△尸為“阿基米德三角形”，當線段N3經過拋物線焦點尸時，△尸具有以下特

征：(1)9點必在拋物線的準線上；(2)△尸/B為直角三角形，且(3)PFLAB.

若經過拋物線/=4x焦點的一條弦為N5,阿基米德三角形為△P/5,且點P的縱坐標為4,

則直線N2的方程為()

A.x-2y-l=0B.2x+y-2=0

C.x+2y-l=0D.2x-y-2=0

14.拋物線/=20xO>0)的焦點為尸，48是經過拋物線焦點尸的弦，M是線段48的中

點，經過A,B,M作拋物線的準線/的垂線ZC,BD,MN,垂足分別是C,D,N,

其中交拋物線于點。.下列說法不正確的是

試卷第5頁，共8頁

A.\MN\=^\AB\B.FN1AB

C.O是線段的一個三等分點D.ZQFM=ZQMF

15.設拋物線C:必=2px（p>0）的焦點為尸，點初在C±,\MF\=5,若以MF為直徑

的圓過點（0,2）,則C的方程為

A.=4x或y1=8x

B.r=2尤或y2=8x

C.y2=4x或y1=16x

D.丁=2為或y2=16x

（2022?安徽宣城中學高二月考）

16.在平面直角坐標系xOy中，若拋物線C:y=2px（P>0）的焦點為尸，直線尸3與拋物線C

交于48兩點，INF|=4,圓￡為的外接圓，直線（W與圓￡切于點點N在圓

E上，則兩.麗的取值范圍是（）

A.假,9B.[-3,21]C.||,21D.[3,27]

17.拋物線=2/3>0）的焦點為廠，準線為/,A,8是拋物線上的兩個動點，且滿足

2乃\MN\

ZAFB=^,設線段的中點M在/上的投影為N,則上V的最大值是（）

3\AB\

A.—B.—C.—D.V3

432

（2022陜西西安八十五中高三月考）

18.已知拋物線G：f=20了（。>0）的焦點到準線的距離為!，點。（尤0,%）在拋物線G上，

點48在圓:/一4],+3=0上，直線r>4DS分別與圓G僅有1個交點，且與拋物線G

的另一個交點分別為尸,。，若直線尸。的傾斜角為120。，則x°=（）

A.±—B.一百或3C.-立或為D.±73

333

（2022-內蒙古?赤峰二中高二月考）

19.拋物線必=28（p>0）的焦點為凡準線為/,A,8是拋物線上的兩個動點，且滿足

試卷第6頁，共8頁

/.=5兀，設線段■的中點'在,上的投影為N,則\喜MN的\最大值是

A.1B.V/?--------D.2

3

二、多選題

20.拋物線C：/=2內的焦點為凡P為其上一動點，當P運動到(⑷時，忸尸|=2,直線

/與拋物線相交于4,2兩點，點下列結論正確的是()

A.拋物線的方程為

B.|四|+|「尸|的最小值為6

C.當直線/過焦點尸時，以/尸為直徑的圓與x軸相切

D.若過/,3的拋物線的兩條切線交準線于點T,則/,8兩點的縱坐標之和最小值為2

【反思】拋物線的切線問題，常常要設出切點坐標，利用導函數的幾何意義來求出切線方程,

結合題干中其他條件進行求解.

三、解答題

(2022?浙江?高三開學考試)

21.拋物線C:f=2抄(0>0)的焦點為尸，準線為為C上的一點，已知以尸為圓心，FA

為半徑的圓廠交/于5,D兩點,

(1)若NBFD=90°,4BD的面積為4形，求P的值及圓尸的方程

(2)若直線>=履+6與拋物線C交于尸，。兩點，且OP，O。，準線/與〉軸交于點S,點S

關于直線尸。的對稱點為T,求I廠門的取值范圍.

試卷第7頁，共8頁

【反思】圓錐曲線相關的取值范圍問題，一般思路為設出直線方程，與圓錐曲線聯立，得到

兩根之和，兩根之積，由題干條件列出方程，求出變量之間的關系，再表達出弦長或面積等,

結合基本不等式，導函數，函數單調性等求出最值或取值范圍.

(2022?浙江寧波?高三期末)

22.已知點尸(1,0)為拋物線V=2.(p>0)的焦點，設/(再,必)，鞏/，%)是拋物線上兩個

不同的動點，存在動點尸(%,%,)(/<())使得直線為，尸3分別交拋物線的另一點M,N,且

?>\PM\=\MA\,3|PAf|=|A?|.

(1)求拋物線的方程；

(2)求證：%+%=2%；

⑶當點尸在曲線始=T2x(-2WxW-l)上運動時，求AP/B面積的取值范圍.

【反思】拋物線的綜合題目，往往會設出拋物線上的點的坐標，利用條件得到方程組，再把

兩個點的坐標看成一個方程的兩個根，利用韋達定理進行求解，這也是與橢圓和雙曲線不同

的地方.

試卷第8頁，共8頁

《專題12解析幾何3》參考答案：

1.B

【分析】根據拋物線上的點到焦點和準線的距離相等，從而求得點A的橫坐標，進而求得點

A坐標，即可得到答案.

【詳解】由題意得，尸（L0）,^\AF\=^F\=2,

即點A到準線x=-l的距離為2,所以點A的橫坐標為-1+2=1,

不妨設點A在x軸上方，代入得，

所以卜^（3-1）2+（0-2）2=272.

故選：B

2.(1)/=4x；

(2)AB:x=^2y+4.

【分析】（1）由拋物線的定義可得|〃科=?+5，即可得解；

（2）法一：設點的坐標及直線MV：x=￥y+l,由韋達定理及斜率公式可得G=2《B，再

由差角的正切公式及基本不等式可得=孝，設直線=+",結合韋達定理可解.

【詳解】（1）拋物線的準線為x=當MD與x軸垂直時，點M的橫坐標為p,

此時|MF|=p+1-3,所以。=2,

所以拋物線。的方程為/=4x；

（2）［方法一］:【最優解】直線方程橫截式

設直線AGV:x=my+1,

x=my+1

由可得J之一4y-4=0,△〉0，%為=-4，

y2=4xm

乂-％=4七8=%一”_4

由斜率公式可得L

必+%，AByt_y±%+乂，

4444

答案第1頁，共18頁

直線MD:x=五二2?>+2,代入拋物線方程可得/-4（'-2）.>一8=0,

必必

△>0,%力=-8,所以%=2%,同理可得以=2%，

所以如二±;元勺

又因為直線MN、的傾斜角分別為%/7,所以心B=tan￡=g^=等,

若要使〃最大，則尸e0,1,設勺W=2幻B=24>0,則

/八\tana-tan6k116

tana-B=-----------=-----=------：

72

1+tan6ztan/?1+2A:197

r乙K

k

當且僅當J=2左即左=①時，等號成立，

k2

所以當a-￡最大時，kAB=,設直線48:x=收了+〃，

代入拋物線方程可得/_4血了-4〃=0,

△＞。,%乂=-477=4必%=-16,所以"=4,

所以直線AB:x=42y+4.

［方法二］:直線方程點斜式

由題可知，直線的斜率存在.

設"'（為,弘）川（工2，%）,/（X3，%）,3（%4,了4）,直線“^：了=人（》-1）

由匕=牛—1）得：心2一（2/+4卜+尸=o,中，=1,同理，必力=一4.

［y=4x'7

直線地>：y=』7（x-2）,代入拋物線方程可得：再退=4,同理，X2X4=4.

X］—2

代入拋物線方程可得:%力=-8,所以%=2%,同理可得%=2%，

k=2-%=2（%-%）=%一必=

由斜率公式可得：ABX-X（1n2（X-）2MN-

43［尤2xj2X1

（下同方法一）若要使a-〃最大，則?

答案第2頁，共18頁

tan(f)=tan"an￡=__L_=，_<1_￡

設G=2G=2左>0,則snyP)1+tanatan^l+2^21,J^774

7十2J--2/C

k\k

當且僅當：=2后即上=正時，等號成立，

k2

所以當a-〃最大時，kAB=,設直線48:x=0了+〃，

代入拋物線方程可得_/_4逝〉-4〃=0,A>0,y3y4=-4n=4y1y2=-16,所以〃=4,所以

直線AB:x=V2v+4.

［方法三］:三點共線

設尸&0）,若P、M、N三點共線，由兩=.7,“，麗=號一,為

所以一卜=1號一,化簡得％為=一4,

反之，若,可得AGV過定點?,0）

因此，由朋;N、尸三點共線，得外力=-4,

由D、/三點共線，得乂為=-8,

由MD、3三點共線，得為為=-8,

則%為=4乂%=-16,過定點（4,0）

（下同方法一）若要使a-尸最大，則

tan（0一/?）=tana-tan-=k=1<1=也

設鐮,=2%=2上>0,則‘°）1+tanatan^\+2k21+Il4，

k2VI

當且僅當!=2左即左=交時，等號成立，

所以當最大時，心=?，所以直線/8：x=0y+4.

【整體點評】（2）法一：利用直線方程橫截式，簡化了聯立方程的運算，通過尋找直線48

的斜率關系，由基本不等式即可求出直線的斜率，再根據韋達定理求出直線方程，是該

題的最優解，也是通性通法；

答案第3頁，共18頁

法二：常規設直線方程點斜式，解題過程同解法一；

法三：通過設點由三點共線尋找縱坐標關系，快速找到直線過定點，省去聯立過程，也

不失為一種簡化運算的好方法.

3.B

【分析】由題意得出焦點坐標，直線方程，由直線方程與拋物線方程聯立，由拋物線過焦點

的弦長公式可得出答案.

【詳解】依題意可知拋物線C：/=6x焦點為1|,o],直線的方程為y=6￡|,

代入拋物線方程得4X2-20X+9=0,可得5+4=5,

根據拋物線的定義可知直線AB的長為盯+^+XB+j=5+3=8.

故選：B.

4.A

【分析】根據拋物線的定義可得焦點弦M尸|=%+1，\BF\=X2+\,聯立過焦點的直線方程

和拋物線方程，根據韋達定理即可求解.

【詳解】拋物線的焦點廠。，0）,準線x=—1,

設-V=左（尤—1），把它代入y2=4尤得左寸-2化2+2卜+左2=0,

設4（再,必）,B（x2,y2）,則玉工2=1,由拋物線定義可得|，尸|=再+1,忸尸|=沏+1,

m+n=（再+l）+（x2+1）=（再+尤2）+2,mn=（占+l）（x2+1）=x1x2+（x；+x2）+1=（xj+x2）+2,

故選:A

5.D

【分析】直接根據拋物線中切點弦的性質即可得結論.

__1___?___1_—__2_-__1

【詳解】在拋物線中，由焦點弦的性質可得刊\NF\~p~2,

\MF\+\NF\=9

MF=6MF=3

解得或，

NF=3]NF=6

答案第4頁，共18頁

所以2=2或;，

故選：D.

6.B

【分析】求出河坐標及直線的方程，根據圓的弦長公式即可求解.

【詳解】由題知,尸（L0）,Z：x=-l,/（TO）,

-MFVx^,.\M（1,±2）,根據拋物線對稱性，不妨取M（l,2）,

2-0

則/Af：y-0=--j-（x+1）nx-y+1=0,

原點。到直線的距離為：d二士，

...以/月為直徑的圓截直線所得的弦長為：2—場■

故選：B.

7.A

）計算可得.

【分析】由拋物線的性質：過焦點的弦長公式|/2|=2p（l+4

k

【詳解】設直線4，4的斜率分別為匕，右，

由拋物線的性質可得|叫=2川+*)=6(1+-^-),\DE\=20(1+1)=6(1+

所以|/3|+|。周=6(1+1)+6(1+3)=12+6(占+3)，

左1K2左1K2

又因為4_L4,所以《泡=T,

2

所以|48|+|。￡|=12+6（3+儲2應12+6-2Urk1=24,

k、Aik、

故選：A.

8.D

【分析】分別過4,5作準線的垂線，垂足為M,N,由拋物線定義知，BN=BF,又F為

P8.中點,求得ZPBN=APFO=Z.PAM=60°,從而根據\AF\=當求得AP=2AM=2AF,

PF=PA+AF,PB=2PF,進而求得AS=

【詳解】如圖，分別過/,2作準線的垂線，垂足為M,N,

答案第5頁，共18頁

由拋物線定義知，BN=BF,又F為PB.中點、,

則cosZPBN=槳=ZPBN=ZPFO=ZPAM=60°,

PB2

則/尸=2/Af=2/尸=,PF=PA+AF=2初,PB=2PF=4^3,

3

貝=—尸4=4百一迪=—

33

故選：D

9.D

【分析】不妨設/在第一象限，2在第四象限，設出的方程與拋物線方程聯立由4,B

的縱坐標之積為一8,解出九再結合|/刊=3忸可，可以解出4,8的縱坐標，根據△0/8

的面積為J。耳1-嵋可得答案.

【詳解】不妨令/在第一象限，8在第四象限，設48的方程為x=%y+],

y—P

由彳X=m+2得》-2pmy-p=0,

y2=2px

則無%二一/二一8，所以夕=2后.

又因為M同=3忸尸所以絲=3,即|九|=3|%],代入”力=-8

%

可得34=8,由8在第四象限，則力=一：加，所以均=2#

所以S^OAB=j。4|"--

故選：D

10.BCD

【分析】求出拋物線方程可判斷A,聯立N3與拋物線的方程求交點可判斷B,利用距離公

式及弦長公式可判斷C、D.

答案第6頁，共18頁

【詳解】將點A的代入拋物線方程得1=2p,所以拋物線方程為/=y,故準線方程為y=-）,

A錯誤；

=所以直線的方程為y=2x-l，

、fy=2x—1-

聯立｛2，可得/-2x+l=0,解得尤=1,故B正確；

設過B的直線為/,若直線/與＞軸重合，則直線/與拋物線c只有一個交點，

所以，直線/的斜率存在，設其方程為＞=區-1,2國,乂）,。（%,%）,

[y-kx-\

聯"\2，得--foc+l=0,

[x=y

A=*2-4＞0

所以＜X]+x2=k,所以后＞2或后＜-2,%%=（占尤2）2=1，

X1=1

又|OP|=』X；+y；=J%+y；，\OQ|=Jx；+="%+"，

所以|OPH。01=，%%（1+%）（1+%）=J何x"=|后|＞2=|CM『，故c正確；

2

因為|8P|=Jl+V|W|,|BQ|=yll+k|x2|,

所以|AP|-|30|=（1+產）|再々|=1+*＞5,而|A4『=5,故D正確.

故選：BCD

11.（1）/=4x

⑵1:4

【分析】（1）根據垂直平分線的性質可知|尸尸|=|尸印，滿足拋物線的定義，點尸。，0）是拋物

線的焦點，》=-1是拋物線的準線，即可得到拋物線方程；

2

（2）首先設切線方程y-先=左（》-/）與拋物線方程聯立，△=（）,解得后=?，回代切線

＞0

方程得4x-2%y+%2=o,分別求出點A、5的坐標，并且求出圓心到直線的距離的最小值,

并且根據基本不等式里面等號成立的條件求出切點坐標，回代各點的坐標，計算兩個三角形

答案第7頁，共18頁

的面積.

【詳解】⑴解:由題意得I尸"1=1尸尸|,

...點P到直線1-.X=-1的距離等于它到定點廠的距離，

???點尸的軌跡是以/為準線、尸為焦點的拋物線，

點P的軌跡C的方程為y2=4x.

（2）解：由題意知切線《的斜率必然存在，設為左，貝

y2=4x得=左(；>2-X。］,gp/-yj+7jo-yo=°，

由，

y-y0=k(x-x0)k4)kk

2

由A=0得左=—,

>0

lx-Ax-2y0j+＞；=0,

令x=0則yg,

2

令y=o則x=_+-x。，

點M（4,0）到切線（的距離1=任"==，可"+廳4=汶拒（當且僅當為=2a時取

2收+42JK+4

等號）

當點。的坐標為（2,2行）時，滿足題意的圓M的面積最小，

此時Z（-2,0）,5（0,V2）,

所以S.=；（l+2）?&=|也，邑.=g（4+2）-2亞=6后，

S1

=即A48尸與V/QM的面積比為1:4.

^AAQM4

12.C

【解析】求出W（0,T），根據直線與拋物線相切求出直線方程和切點坐標，即可得到線段中

點和線段長度，就是圓的圓心和直徑，即可得出方程.

【詳解】依題意，M（0,-l）,設切線/'：了=日一1，

/=4y

聯立

y=kx—\

答案第8頁，共18頁

整理得：、2一4b+4=0,A=16左2—16=0,

解得左=±1,故％=±2,

則N(2,l)或N(-2,l),M(O.-l),所以|MV|=20,半徑“也，

圓心坐標(1,0)或卜1,0),

故以aW為直徑的圓的方程為

(x+iy+j?=2或(尤_1)2+/=2,

故選：C.

【點睛】此題考查求拋物線的準線，直線與曲線位置關系，根據直徑求圓的方程.

13.A

【分析】線段經過拋物線產=4x焦點，由“阿基米德三角形”的特征可得尸點坐標，從而

得直線尸尸的斜率，又PFLAB,即得直線N5斜率，由點斜式可求直線的方程.

【詳解】拋物線/=4x的焦點廠的坐標為(1,0),準線方程為：x=-l,

線段N3經過拋物線產=4x焦點，由為“阿基米德三角形”，

可得P點必在拋物線的準線上，則點尸(-1,4),

直線尸尸的斜率為：筆=-2,

又?；PFUB,?,?直線的斜率為9

工直線4B的方程為：y-O=-1(x-l),x-2y-1=0,

故選：A.

【點睛】本題主要考查了拋物線的定義以及拋物線的性質，考查直線方程的求解，考查學生

分析問題的能力，是中檔題.

14.C

【分析】利用拋物線的定義及平面幾何性質逐一判斷即可.

【詳解】由拋物線的定義，得MC|=|/可，啰0=|3可.又

II_i_IRFI11

貝_LJ_\.=_\AB\,A正確.由可知A4NS是直角三角形，MN

是斜邊上的中線，所以NMAN=/MNA,而ZMNA=ZCAN,所以NMNN=NC/N.所以

\ANC^AANF,可知N4FN=N/CN=90。，所以沖_1_48,8正確.在必AMVF中，

|0N|=|QF|,可知NQNF=ZQFN,所以N。尸"=,。正確.由N。氏"=N0MF,

答案第9頁，共18頁

可知I"目。兒"，所以W0|=|2M|,即。是AW的中點，故c不正確.

D——

/'

故選C

【點睛】本題考查拋物線的定義，考查平面幾何的性質，考查數形結合的數學思想，屬于中

檔題.

15.C

【詳解】：拋物線C方程為V=2/S>0),.。.焦點廠(金0),

設M(x,y),由拋物線性質加用=式+]=5,可得工=5-勺

因為圓心是上田的中點，所以根據中點坐標公式可得,圓心橫坐標為，

由已知圓半徑也為據此可知該圓與y軸相切于點(0,2),故圓心縱坐標為2,則M點縱坐

標為4,

即V(5-24),代入拋物線方程得_1op+16=0,所以p=2或p=8.

所以拋物線C的方程為必=4x或丁=16尤.

故答案C.

【點睛】本題主要考查了拋物線的定義與簡單幾何性質，圓的性質和解直角三角形等知識,

屬于中檔題，本題給出拋物線一條長度為5的焦半徑狼，以九田為直徑的圓交拋物線于點

(0,2),故將圓心的坐標表示出來，半徑求出來之后再代入到拋物線中即可求出。的值，從

答案第10頁，共18頁

而求出拋物線的方程，因此正確運用圓的性質和拋物線的簡單幾何性質是解題的關鍵.

16.B

【分析】由已知及拋物線的定義，可求進而得拋物線的方程，可求A,B,廠的坐標,

直線4尸的方程，可得圓的半徑，求得圓心，設N的坐標，求得M的坐標，結合向量數量

積的坐標表示，以及輔助角公式和正弦函數的值域，可得所求范圍.

【詳解】解：由題意，設小,師)，所以|/尸|=3+勺4,解得。=2,

所以拋物線的方程為必=4x,/(3,26)，5(3,-273),尸(1,0),

所以直線AF的方程為y=6(x-l),

設圓心坐標為(％,0),所以(%-1＞=(3_%)2+12,解得％=5,即￡(5,0),

圓的方程為(x-5＞+)=16,

不妨設場＞。，設直線的方程為＞=丘，則后＞0,

根據課J=4,解得左=(,

'4/、

由片子，解得

；

(X-5)2+/=161

設N(4cos0+5,4sin。),所以OM-ON=￡cose+gsinJ+9=￡(3cose+4sin0)+9,

因為3cos。+4sin。=5sin(0+°)e卜5,5],

所以西?麗e[-3,21].

故選：B.

【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵點是：首先求出圓的方程為(X-5)2+/=16,然后利

答案第11頁，共18頁

用直線。河與圓￡切于點求出M點的坐標，引入圓的參數方程表示N點坐標，再根據

向量數量積的坐標表示及輔助角公式，可得所求范圍..

17.B

【詳解】試題分析：設4?在直線/上的投影分別是4心，則司=|必忸同=忸閻，又

/是中點，所以+阿），則蒲=5/晶=2匕，在"BF

中

|/*=|/殲+\BF-^AF^BF^OS^=\AF^+\BF\+\AF\^F\=（\AF\+\BF\）2-\AFII

”+哈一（叱嗎2TgM2,所以'Y,即9需者,

所以器wR,故選B.

MM3

考點：拋物線的性質.

【名師點晴】在直線與拋物線的位置關系問題中，涉及到拋物線上的點到焦點的距離，焦點

弦長，拋物線上的點到準線（或與準線平行的直線）的距離時，常常考慮用拋物線的定義進

行問題的轉化.象本題弦的中點/到準線的距離首先等于45兩點到準線距離之和的一

半，然后轉化為48兩點到焦點廠的距離，從而與弦長|/同之間可通過余弦定理建立關系.

18.C

【分析】根據題意求得P=g,得到無2=了，設過點。與圓G相切直線的斜率為后，得到切

線方程區-y+x；-紜=0,利用卜。之=2|=],結合韋達定理，求得勺+心=2%（產丁）,

J1+左之/—1

聯立方程組和一'十/一丘°一°,取得左=尤+為，^\\xp=kl-x0,xQ=k2-x0,

[x=y

結合心°=-6,列出方程，即可求解.

【詳解】由拋物線G：/=2抄（°>0）的焦點到準線的距離為可得〃=:，

所以拋物線的方程為x2=y,

又由。2：/+/一4了+3=0,可得圓心坐標為。2（°，2）,半徑r=l,

答案第12頁，共18頁

設過點。（%,%）與圓。2相切的直線的斜率為左,

可得方程為歹一%=左（%-%）,即下一君=后（工一%）,BpAx-J^+Xo-kx0=0,

Xn—kx._2

則圓心到直線的距離為I1,

Vi+F

0

整理得(XQ—1)4~+(4x0—2x；)k+—4xg+4=0,可得左+左,=°^2—-

x0-1

AX-J；+XQ-AX=O

聯立方程組O可得——點—1；+點0=0,

即左（％_工0）=%2_%3所以左=%+%,

所以馬=%一%0，%°=魚—玉），

因為直線尸。的傾斜角為120。，所以七°=-6

,_yQ~yp_XQ~XP_,,1r_2x(Xg-2)_-2x_用

可付kpo=------=------=XQ-\-Xp=k、+k?-2x0=---0--------2XQ=---0=—y/3,

xQ-xpXQ-XPXQ-1x0-1

解得X。=G或X。=-，.

【分析】設MF|=aJBP1=6,由拋物線定義，梯形的中位線定理，^2\MN\=a+b,再根

據余弦定理得|/優=/+加一仍，結合基本不等式求得Ha的范圍，從而得到京的最大

值.

【詳解】設M用刁=6,連接/尸,5月，過/作準線/的垂線，垂足為Q,過8作準線

/的垂線，垂足為尸，

答案第13頁，共18頁

則2|肱V|=|ZQ|+|AP|=a+Z?.

則在A48尸中，由余弦定理可得：|48『=|4尸『+1時「一2?⑷/?.?既|cosZAFB=a2+b2-ab,

而|/砰=a1+b2-ab=(a+b)2-3ab>(a+Z>)2_3.(°?)=,

因此|/同'亍=卬|,即曾4I(當且僅當a=6時取等號).

故選：A

【點睛】本題考查了拋物線的基本性質，綜合運用了余弦定理，基本不等式知識，屬于較難

題.

20.CD

【分析】根據拋物線的定義先求得拋物線方程，利用拋物線定義求折線長度之和的最小值，

利用中位線與拋物線的概念判斷直線與圓位置關系，最后利用導數寫出切線方程結合二次函

數的性質判斷D選項，可得出結果.

【詳解】由題設知：|尸盟=1+5=2,解得：。=2,.?.拋物線方程為f=4y,故選項A錯

誤；

連接FM交拋物線于點尸，止匕時1PM+|尸可的值最小為4,故選項B錯誤；

如下圖所示，

答案第14頁，共18頁

設G為/尸的中點，過點/作ZC，拋物線的準線廣于點C,交x軸于點。,過點G作GO，x

軸于點D,.?』DG|=；（|O可+H0|）=JNC|=司，故以/尸為直徑的圓與x軸相切，故選

項C正確；

設點由無？=4y即y=：/得：y'=^x,

則切線/T的方程為＞-必=5占（x-X］）,即y=-xl*x--x^,

同理可得切線87的方程為y=，

112\X+X7

y=^xix-^xix=—

由;:，解得：,

y=IXX1X2y=-1XX

242x2

、/+l-

由題意知T在準線V=T上，,;中2=-1，%％=-4,

+x22

X+%=W（x；+x：）=3（X|2）=—（Xj+x2）+2,

當玉+X2=0時，M+%=2為最小值，.,.選項D正確,

故選：CD.

【點睛】拋物線的切線問題，常常要設出切點坐標，利用導函數的幾何意義來求出切線方程,

結合題干中其他條件進行求解.

答案第15頁，共18頁

21.（1）。=2,圓尸的方程為―+。-