二次函數壓軸之角度問題歸納練-2025年中考數學三輪復習備考

1.如圖，拋物線y=m/+(4+3)尤_(6根+9)與無軸交于點A、B,與y軸交于點C,已知8(3,0).

(1)求機的值和直線BC對應的函數表達式；

(2)P為拋物線上一點，若SNBCMSAABC，請直接寫出點尸的坐標；

(3)。為拋物線上一點，若NACQ=45。，求點。的坐標.

2.如圖，已知二次函數》=--+法+。的圖象經過點A(T,0),3(3,0),與y軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點。為拋物線的頂點，求△BCD的面積；

(3)拋物線上是否存在點尸，使=若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

3.如圖1,拋物線y=ax2_4Qx+0交1軸正半軸于A,B兩點,交y軸正半軸于C,且。8=0。=3.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點。為拋物線的頂點，點G在直線8c上，若空=好，直接寫出點G的坐標;

GD2

(3)將拋物線向上平移加個單位，交BC于點M,N(如圖2),若NMON=45。，求機的值.

4.如圖①拋物線y=ax2+bx+4(存0)與x軸，y軸分別交于點A(-1,0),B(4,0),點C三點.

(2)點。(3,加)在第一象限的拋物線上，連接8C,8D試問，在對稱軸左側的拋物線上是否存在一點P,

滿足NPBC=/DBC?如果存在，請求出點P點的坐標；如果不存在，請說明理由；

(3)點N在拋物線的對稱軸上，點M在拋物線上，當以M、N、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直

接寫出點M的坐標.

5.如圖，己知直線AB：，=履+24+4與拋物線〉=；/交于人、B兩點，

(1)直線AB總經過一個定點C,請直接寫出點C坐標；

(2)當上=-工時，在直線AB下方的拋物線上求點P,使AABP的面積等于5；

2

(3)若在拋物線上存在定點D使/ADB=90。，求點D到直線AB的最大距離.

6.如圖，己知二次函數y=a？+2x+c的圖象與x軸交于A3兩點，A點坐標為(-1,0),與y軸交于點C(0,3),

點”為拋物線頂點，點E為A3中點.

試卷第2頁，共6頁

(1)求二次函數的解析式；

(2)若在直線3C上方的拋物線上存在點Q,使得=求點。的坐標.

7.如圖，拋物線、=62+法+3(°工0)與x軸分別交于點A(-1,O),8(3,0),與〉軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)設點。(2,㈤在第一象限的拋物線上，連接2C,試問，在對稱軸左側的拋物線是否存在一點P,滿足

NPBC=NDBC?如果存在，請求出點尸的坐標：如果不存在，請明理由；

m2n

(3)存在正實數"？，?(加<"),當mVxV”時，恰好滿足----<—-<-求"?，〃的值.

m+3y+2n+3

Q

8.如圖，在直角坐標系中，四邊形0nBe是平行四邊形，經過A(-2,0),B,C三點的拋物線>="2+區+§

(a<0)與x軸的另一個交點為。，其頂點為對稱軸與x軸交于點E.

(1)求這條拋物線對應的函數表達式；

3

(2)已知R是拋物線上的點，使得AAOR的面積是平行四邊形OABC的面積的了，求點R的坐標；

4

(3)已知尸是拋物線對稱軸上的點，滿足在直線上存在唯一的點。，使得NPQE=45。，求點P的坐標.

備用圖

9.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線、=取2+法+。(。*0)的頂點坐標為C(3,6),與y軸交于點B(0,3),

圖①圖②

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖①所示，直線AB交拋物線于點E,連接BC、CE,求△BCE的面積；

(3)如圖②所示，在對稱軸AC的右側作NACD=30。交拋物線于點D,求出D點的坐標；并探究：在，軸上

是否存在點Q,使NCQD=60。？若存在，求點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

10.如圖，經過點A(0,-6)的拋物線y=1x?+bx+c與x軸相交于B(-2,0),C兩點.

(1)求此拋物線的函數關系式和頂點D的坐標；

(2)將(1)中求得的拋物線向左平移1個單位長度，再向上平移m(m>0)個單位長度得到新拋物線yi,若

新拋物線yi的頂點P在△ABC內，求m的取值范圍；

(3)設點M在y軸上，ZOMB+ZOAB=ZACB,直接寫出AM的長.

試卷第4頁，共6頁

11.已知拋物線過點A(-4,0),頂點坐標為C(-2,-1).

(1)求這個拋物線的解析式.

(2)點B在拋物線上，且B點的橫坐標為-1,點P在x軸上方拋物線上一點，且/PAB=45。，求點P的坐標.

(3)點M在x軸下方拋物線上一點，點M、N關于x軸對稱，直線AN交拋物線于點D.連結MD交兩坐標

軸于E、F點.求證：OE=OF.

12.拋物線)=說2+反一3。經過人(-1,。)、C(0,-3)兩點，與x軸交于另一點B.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)已知點D(m,-m-l)在第四象限的拋物線上，求點D關于直線BC對稱的點D，的坐標；

(3)在(2)的條件下，連結BD,問在x軸上是否存在點P,使/PCB=/CBD,若存在，請求出P點的坐標;

若不存在，請說明理由.

13.如圖，拋物線y=&_6x+c交x軸于兩點，交y軸于點C.直線y=-％+5經過點氏C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)拋物線的對稱軸/與直線相交于點尸，連接ACAP,判定的形狀，并說明理由；

(3)在直線上是否存在點使AAf與直線的夾角等于NACB的2倍？若存在，請求出點M的坐標;

若不存在，請說明理由.

14.如圖1,已知：拋物線＞=加+法+,過點(1,0)、(4,3)、(5,8),交x軸于點C,點、B(C在B左邊)，交V軸

于點A.

(1)求拋物線的解析式；

(2)。為拋物線上一動點，ZABD=ZCAB+ZABC,求點。的坐標；

(3)如圖2,/:y=履-3左+7(左NO)交拋物線于兩點(M,N不與C,B重合)，直線/C,NC分別交y軸于

點/，點J,試求此時O/.Q/是否為定值？如果是，請求出它的值；如果不是，請說明理由.

如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，拋物線、=爐+/+以。＜0)的頂點為A,且與y軸的交點為B,

過點B作3C〃x軸交拋物線于點C(-4,-4),在CB延長線上取點D,使=連接OC,OD,AC和AD.

(1)求拋物線的解析式；

(2)試判斷四邊形ADOC的形狀，并說明理由；

(3)試探究在拋物線上是否存在點P,使得/POC=45。.若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在,

請說明理由.

試卷第6頁，共6頁

《二次函數壓軸之角度問題歸納練-2025年中考數學三輪復習備考》參考答案

【分析】（1）求出A,B的坐標，用待定系數法計算即可；

（2）做點A關于8C的平行線44，聯立直線A《與拋物線的表達式可求出片的坐標，設出

直線4片與y軸的交點為G,將直線8c向下平移,平移的距離為GC的長度，可得到直線乙鳥，

聯立方程組即可求出P；

（3）取點Q,連接C0,過點A作AOLC。于點￡>,過點。作分軸于點尸，過點C作

CELDF于點E,得直線C。對應的表達式為y=即可求出結果；

【詳解】（1）將3（3,0）代入、=如2+（/+3卜一（6機+9）,

化簡得加2+帆=0,則根=0（舍）或加=—1,

m=—l,

得：^=-x2+4x-3,則C（0,-3）.

設直線5C對應的函數表達式為y=kx+b,

將見3,0）、。（0,-3）代入可得_3=6，解得k=l，

則直線8C對應的函數表達式為y=x-3.

（2）如圖，過點A作A片〃2C,設直線4片與y軸的交點為G,將直線BC向下平移GC個

單位，得到直線鳥鳥，

答案第1頁，共34頁

由(1)得直線BC的解析式為y=x-3,A(1,O),

直線AG的表達式為y=xT,

y=x—1

聯立

y=-X2+4X-3

Ijy—1

解得：(舍)，或

[y=on

4(2,1),

由直線AG的表達式可得G(-1,O)，

：.GC=2,CH=2,

直線P3P2的表達式為>=尤-5,

(3)如圖，取點。，連接C0,過點A作AOLCQ于點D,

過點。作，x軸于點/，過點C作CE_L。尸于點E,

：.AD=CD,

答案第2頁，共34頁

又丁ZA￡)C=90°,

???ZADF+Z.CDE=90°,

NCDE+NDCE=90。,

：.ZDCE=ZADFf

又ZE=ZAFD=90°f

：.ACDE^ADAF,則AF=D石，CE=DF.

^DE=AF=a,

VOA=lfOF=CE,

CE=DF=a+1.

由OC=3,貝!］。尸=3—a,即a+l=3—a,解之得，a=l.

所以。(2,—2),又C(0,-3),

可得直線CD對應的表達式為y=；x-3,

設根?加一3),代入y=-x'4x-3,

1217

得一"2-3=-〃?-+4根-3,—m--m-2+4m,m2——m=0,

222

又wiwO,則加=g.所以

【點睛】本題主要考查了二次函數綜合題，結合一元二次方程求解是解題的關鍵.

2

2.(1)y=-x+2x+3；(2)3；(3)存在，Pi(2,3),P?(4,-5)

【分析】(1)運用待定系數法將4(-L0),3(3,0)代入kTZ+桁+C,即可求解；

(2)先求出點C的坐標，再利用待定系數法求出直線BC的解析式，運用配方法將拋物線

解析式化為頂點式即可求得頂點坐標，過點。作軸交直線3c于點E,求得DE,利

用SBCD=SBDE+SCDE,即可求得答案；

(3)先求出點C關于對稱軸的對稱點；先運用待定系數法求出直線BC的解析式，再根據

互相平行的兩直線的關系求出與BC平行的直線A6的解析式，聯立拋物線解析式即可求解.

【詳解】解：(1)；二次函數，=一/+6尤+。的圖象經過點A(-1,0),B(3,0),

J-l—6+c=0

1-9+36+c=0

答案第3頁，共34頁

解得:

，拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3；

(2)在y=-x?+2x+3中，令x=0時，得：y=3,

：.C(0,3),

設直線BC的解析式為y=mx+n,

,:B(3,0),C(0,3),

\3m+n=0

解得:

直線BC的解析式為y=-X+3,

y=-Y+2x+3=-(x-1)2+4,

：.D(1,4),

過點。作DELx軸交直線3c于點E,

：.E(1,2),

，DE=4—2=2,

(3)拋物線上存在點P,使4MB=ZABC,

①當點尸是拋物線上與點C對稱的點時，則有ZR4B=ZABC,

:點C(0,3)關于對稱軸x=l的對稱點坐標為(2,3),

4(2,3),

答案第4頁，共34頁

②當直線尸A〃3C時，則有"4B=ZABC,

V直線BC的解析式為y=-X+3,

/.直線AP的解析式中一次項系數為-1,

設與平行的直線A鳥的解析式為y=-x+〃z,

將A(-1,0)代入，得：1+〃/=0,

解得：m=—l,

...直線AP2的解析式為產-X-1,

y=-x-l

聯立拋物線解析式得:

y——%2+2x+3

解得:(舍去),

￡(4,-5).

綜上所述，Pi(2,3),尸2(4,-5).

V2

圖2

【點睛】本題考查了二次函數綜合題，運用待定系數法求一次函數和二次函數解析式，配方

法，三角形面積，互相平行的兩直線的關系等，熟練掌握二次函數圖象和性質，利用待定系

數法求函數解析式等相關知識，靈活運用方程思想和分類討論思想是解題關鍵.

2

3.(1)y=x-4x+3；(2)&(2,1),G,(16,-13)；(3)

【詳解】試題分析：(1)把8(3,0),C(0,3),代入、=辦2一4辦+6,解方程組即可.

⑵直線8C:y=-x+3,設點G(租,-m+3),根據兩點之間的距離公式，列出式子，求出機的值.

(3)如圖2中，將40cM繞點。順時針旋轉90。得到△08G.首先證明MN2:CM^BN2,設

答案第5頁，共34頁

x),N(x[,%)，則肱y2=[五(々—石)]2=2@+%)2—4中力設平移后的拋物線的

cy=-x+3

解析式為y=x—4x+3+科由｛,_入2_4工+3+加消去>得至3%+m=0,由

玉+工2=3

=m

.,推出必=兀2，%=不"、N關于直線丁二%對稱，所以CM=5N,設

%+M=3一一

入2+%=3?

CM=BN=a,貝!jMN=30-2a,利用勾股定理求出。以及MN的長，再根據根與系數關系,

列出方程即可解決問題.

試題解析：(1)：。5=。。=3,

B(3,0),C(0,3),代入y=ox?-4ox+b,

Z?=3a=l

得J-⑵+6=。，解得屋,

拋物線的解析式為y=x2-4x+3.

(2)直線BC：y=-x+3,設點G(m,-機+3),

頂點。的坐標為：(2,-1),

OGy/5

而一了，

/.4OG2=5GD2,

/.4^m2+(m-3)2]=5[(m-2)2+(m-4)2

;,取=2,叫=16.

?.5(2,1)6(16,-13).

(3)如圖2中，將40cM繞點。順時針旋轉90。得到△OBG.

答案第6頁，共34頁

ZMON=45°,

：.ZMOC+ZNOB=ZNOB+ZBOG=45°,

：.ZMON=ZGON=45°,'/ON=ON,OM=OG,

???△ONM之△ONG,

:?MN=NG,

ZNBG=ZNBO+ZOBG=45°+45°=90°,

:.NgBN^+BG2,

設平移后的拋物線的解析式為y=N_4x+3+M,M（xi,yi）,N（歷，”）,

2

則MN=［逝（々-石）］2=2［&+%）2-4^2］,

設平移后的拋物線的解析式為y=/一4x+3+m,

y=一無+3

由{,2,°消去y得至|］一一3》+加=0,

y=x'-4x+3+m,

尤1+%=3

XjX2=m、

■?{c，推出%=%，

尤1+%=3

x2+y2=3.

M、N關于直線y=x對稱，所以CM=3N,設CM=BN=a,則MN=3后-2a,

(3A/2—2a)2=ai+a~,；.a=3A/5-3(負根已經舍棄)，

:.MN=6-3叵

(6-3>/2)2=2(32-4m),

77J=|(A/2-1).

3195391139521

4.⑴y=-N+3x+4；(2)存在.尸(——，一).⑶卬——，——)M式一,——))

416242424

【分析】(1)將A,B,C三點代入y=ax?+bx+4求出a,b,c值，即可確定表達式；

(2)在y軸上取點G,使CG=CD=3,構建△DCBgZiGCB,求直線BG的解析式，再求

直線BG與拋物線交點坐標即為P點，

(3)根據平行四邊形的對邊平行且相等，利用平移的性質列出方程求解，分情況討論.

【詳解】解:如圖：

(1):拋物線y=ax?+bx+4(a#0)與x軸，y軸分別交于點A(-1,0),B(4,0),點C

答案第7頁，共34頁

三點.

，拋物線的解析式為y=-x2+3x+4.

(2)存在.理由如下：

325

y=-x2+3x+4=-(x----)2+—.

,24

??,點D(3,m)在第一象限的拋物線上，

???m=4,AD(3,4),VC(0,4)

VOC=OB,.*.ZOBC=ZOCB=45°.

連接CD,???CD〃x軸，

.\ZDCB=ZOBC=45°,

???NDCB=NOCB,

在y軸上取點G,使CG=CD=3,

再延長BG交拋物線于點P,在^DCB和^GCB中，CB=CB,NDCB=NOCB,CG=CD,

.?.△DCB^AGCB(SAS)

???NDBC=NGBC.

設直線BP解析式為yBP=kx+b(k/)),把G(0,1),B(4,0)代入，得

k=-J,b=l,

?'?BP解析式為yBP=-：x+l.

yBP=-(x+1,y=-x2+3x+4

當y=yBP時，-；x+l=-x2+3x+4,

答案第8頁，共34頁

3

解得XL*X2=4（舍去），

5391139521

(3)Mj(--,—)M2(―,-■—)Ml,,1)理由如下，如圖

3

B(4,0),C(0,4),拋物線對稱軸為直線光=萬，

3

設N(Q,n),M(m,-m2+3m+4)

第一種情況：當MN與BC為對邊關系時，MN〃BC,MN=BC,

35

4--=0-m，/.m=—

22

39

-m2+3m+4=：-----,

4

.八乙539.

3

或0--=4-m,

2

.11

..m=一

2

39

-m2+3m+4=-----

4

第二種情況：當MN與BC為對角線關系，MN與BC交點為K,則K（2,2）,

3

.—+m

,,2_=2

2

,5

??m=一

2

21

...-m2+3m+4=T

…，521

..M3(-,—)

綜上所述，當以M、N、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形時，點M的坐標為

53939、“，521

陷(-]，-])M27千（2彳）

答案第9頁，共34頁

【點睛】本題考查二次函數與圖形的綜合應用，涉及待定系數法，函數圖象交點坐標問題,

平行四邊形的性質，方程思想及分類討論思想是解答此題的關鍵.

5.(1)(-2,4)；(2)(-2,2)或(1,1)；(3)2君.

【詳解】試題分析：(1)要求定點的坐標，只需尋找一個合適x,使得y的值與k無關即可.

(2)只需聯立兩函數的解析式，就可求出點A、B的坐標.設出點P的橫坐標為a,運用

割補法用a的代數式表示△APB的面積，然后根據條件建立關于a的方程,從而求出a的值，

進而求出點P的坐標.

(3)設點A、B、D的橫坐標分別為m、n、t,從條件/ADB=90。出發，可構造k型相似,

從而得到m、n、t的等量關系，然后利用根與系數的關系就可以求出t,從而求出點D的坐

標.由于直線AB上有一個定點C,容易得到DC長就是點D到AB的最大距離，只需構建

直角三角形，利用勾股定理即可解決問題.

試題解析：(1)?.,當x=-2時，y=(—2)左+2k+4=4,

直線AB：y=kx+2k+4必經過定點(-2,4).

.?.點C的坐標為(-2,4).

(2)k=—,

2

直線AB的解析式為,=-?+3.

答案第10頁，共34頁

y=——x+3x=-3c

JDx=2

聯立｛/,解得：｛9或｛

12y=—y=2

y=y2

9一

???點A的坐標為（-3,不），點B的坐標為（2,2）.

2

如答圖1,過點P作PQ〃y軸，交AB于點Q,過點A作AMLPQ,垂足為M,過點B作

BNXPQ,垂足為N.

設點P的橫坐標為a,則點Q的橫坐標為a.

aa

??yP=~?yQ=--+3.

?,點P在直線AB下方，.**PQ="=~~a+^~~a2?

*,*AA/+NB—a—（—3）+2-a=5,

2

S&APB=S^PQ+S^PQ=^PQ-AM+^PQ-BN=^PQ-（AM+BN）=^-^a+3-^a\5=5,

2a

整理得：tz+4Z-2=0，解得：i=-2,a2=1.

i7

當a=—2時，yp=-\-2）=1.此時點P的坐標為（-2,2）.

2

當a=l時，yP=1l=|.此時點P的坐標為（1,1）.

符合要求的點P的坐標為（-2,2）或（1,1）.

圖1

(3)如答圖2,過點D作x軸的平行線EF,作AEXEF,垂足為E,作BF±EF,垂足為F.

答案第11頁，共34頁

圖2

VAEXEF,BF±EF,AZAED=ZBFD=90°.

ZADB=90°,JZADE=90°-ZBDF=ZDBF.

AEED

VZAED=ZBFD,ZADE=ZDBF,AAAED^ADFB.——=——.

DFFB

設點A、B、D的橫坐標分別為m、n>t,

則點A、B、D的縱坐標分別為g根，

11

22=12一12

AE=yA~yE=2m3，BF=%-yF_n~t,ED—Xjy-—t-m.DF=xF-xDn-t

—-----------=-；--------：-,化簡得：mn-￥(m^-n)t+t2+4=0.

22

:點A、B是直線AB：y=^+2左+4與拋物線交點，

...in、n是方程fcr+2左+4=即--2履一4左一8=0兩本艮.m+n=2k,mn=Tk-8.

/,-4^-8+2fo+?+4=0,BPt2+2kt-4k-4=0,即?—2)?+2%+2)=0.

At1=2,t2=-2k-2(舍).

，定點D的坐標為(2,2).

如答圖3,過點D作x軸的平行線DG,

過點C作CGLDG,垂足為G,

:點C(-2,4),點D(2,2),，CG=4-2=2,DG=2-(-2)=4.

VCGXDG,DC=VGC2+DG2=A/22+42=720=275.

過點D作DHLAB,垂足為H,如答圖3所示，

答案第12頁，共34頁

圖3

.-.DH<DC.：.DH<2y/5.

：.當DH與DC重合即DCJ_AB時，

點D到直線AB的距離最大，最大值為26.

?1?點D到直線AB的最大距離為2小.

考點：1.二次函數綜合題；2.因式分解法解一元二次方程；3.根與系數的關系；4.勾股定理;

5.相似三角形的判定和性質；6.分類思想的應用.

6.（l）y=-x2+2x+3

⑵。。，4）

【分析】（1）利用待定系數法即可求解；

（2）求出點B坐標，可得△Q8C是等腰直角三角形，即得NA8C=NOCB=45。，得到

NQCB=90。，過點C作CQL3C交拋物線于點Q,過點。作QGIy軸于點G,可得

NGCQ=45。,得到一GCQ是等腰直角三角形，即得CG=QG,設Q（q,-/+24+3）,則

G（0,-+2q+3）,pj-CG=—q2+2^+3—3=—q1+2q,GQ=q,進而得至!J-/+2q=q,

解方程即可求解；

本題考查了待定系數法求二次函數解析式，二次函數的幾何應用，等腰直角三角形的判定和

性質，掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵.

【詳解】（1）解:把A（-1,0）、C（0,3）代入產辦2+2x+c得，

fu-2+c=0

[c=3

\a=-1

解得.,

[c=3

二次函數的解析式為>=--+2工+3；

答案第13頁，共34頁

(2)解：當y=0時，一/+2%+3=0,

解得再二一1,9=3,

???5(3,0),

：.OB=OC=3,

???△O3C是等腰直角三角形，

???ZABC=ZOCB=45°,

,.?NQCB=2ZABC,

.??ZQCB=90°,

如圖，過點C作交拋物線于點。，過點。作QGIy軸于點G,則

ZQCB=ZQGC=90°,

：.NGCQ=180°-ZQCB-ZOCB=180。—90°-45°=45°,

???.GCQ是等腰直角三角形，

:.CG=QG,

設以4，-/+24+3),貝UG(0,-/+2q+3),

CG——q2+2q+3—3——/+2q,GQ=q,

??一q2+2q—q,

解得4=0(不合，舍去)或4=1,

.,.(2(1,4).

7.(1)y=-x2+2x+3；(2)存在,尸；(3)m=6,n=2

【分析】(1)根據待定系數法解答即可；

(2)由OC=OB可得NO3c=NOCB=45。，連接CD,如圖，則易得CD//x軸，進一步即

得/DCB=NOCB,在了軸上取點G,使CG=CD,并延長BG交拋物線于點尸，然后根據

答案第14頁，共34頁

三角形全等即可證明求出直線8尸解析式后與拋物線解析式聯立即可求出

P點坐標；

(3)由已知可變形得由yV4可得9V4,于是可得相的范圍，進而可確定

nmm

\<m<n,從而可根據二次函數的性質得：當x〃時，y-nr+2m+3,當x=〃時，y

2

g^=-n+2n+3,于是可得關于相、w的方程，解方程并結合題意即得加、”的值.

【詳解】解：⑴把點解TO),8(3,0)代入拋物線y=af+法+3(awO),

a—Z?+3=0[〃=—1

得:9a+3b+3=0'解得]b=2

二.拋物線的解析式為y=-x2+2x+3；

(2)存在，理由如下：

：y=-丁+2x+3=-(X-1)?+4,點D(2,加)在第一象限的拋物線上,

m=3,。(2,3),

?/C(0,3),

???OC=OB,

：.ZOBC=Z.OCB=45°,

連接CD,如圖，則CD//X軸，

：.ZDCB=ZOBC=45°,

:./DCB=/OCB,

在＞軸上取點G,使CG=CD=2,并延長5G交拋物線于點尸,

則ADCB之AGC網&IS),

：./DBC=/GBC,

答案第15頁，共34頁

\b=l1

設直線融解析式為：尸把GQ1）,陽,。）代入得：次+83解得：k.，b八,

直線“解析式為y=—;x+1,

2

x=3

…?(舍去)'

11

Ji=-z-

(3)由、=-爐+2*+3=-(1)2+4可得：y<4,

,,,,m,2n

*.*0<m<n,當根KxK〃時，恰A好---------------

m+3y+2〃+3

.n+3y+2m+3日口66

n2mnm

/.—<4,即m2』>1,

m2

l<m<n,

:拋物線的對稱軸是直線x=l,且開口向下，

...當wiVxw”時，y隨x的增大而減小，

??當》一”時,y最大值=-tn"+2m+3,當x—n日寸,y最小值=—〃~+2〃+3?

—=-n2+2〃+3①

n

—=-m2+2m+3(2)

m

將①整理，得/_2"一3〃+6=0,變形得：n2(H-2)-3(n-2)=0,即(〃-2)(儲一3)=0.

*.*n>1,n-2=0,〃2一3二0,

解得：&=2,=—A/3（舍去），%=6,

同理，由②解得：叫=2（舍去），網=-石（舍去），g=g；

綜上所述，m=6,n=2.

【點睛】本題是二次函數綜合題，主要考查了利用待定系數法求函數解析式、二次函數的性

質、全等三角形的判定和性質以及求兩個函數的交點等知識，綜合性強、難度較大，屬于試

卷壓軸題，其中在,軸上取點G,使CG=CD,構造三角形全等是解第（2）小題的關鍵，

熟練掌握二次函數的性質、靈活應用分解因式法解方程是解第（3）小題的關鍵.

答案第16頁，共34頁

8.(1)y=--x12+3—x+—；(2)(1+^/^,7)或非,彳)或--)或(1

333333

-屈,--)；(3)點尸的坐標為(1,-)或(1,3)或(1,-3).

32

b

【分析】(1)根據平行四邊形的性質及點A坐標可得拋物線的對稱軸為直線41,可得-白

2a

Q

=1,把點A坐標代入拋物線不等式可得0=4°-26+1，解方程組求出“、b的值即可得答

案；

(2)根據拋物線對稱軸方程及點A坐標可得點。坐標，根據△ADR的面積是平行四邊形

OABC的面積的彳可得出點R的縱坐標,代入拋物線解析式可求出點R橫坐標,即可得答案；

(3)作APEQ的外接圓R,根據圓周角定理可得/PRE=90。，可得△PRE為等腰直角三角

形，由在直線上存在唯一的點。，使得/PQE=45。可得。R與直線ATO相切，可得

根據對稱軸可得點M坐標，即可得出DE、DE的長，根據勾股定理可求出OW

的長，設點P(l,2機)，根據等腰直角三角形的性質可得尸”=HE=HR=機，即可得出R

(1+m,m),利用以知磯)=必加氏。+54加7法+$1)理可求出山的值，即可得點尸坐標；根

據。E=ME可得/MOE=45。，可得點/符合題意，過點。作。fUDM交對稱軸于憶可得

ZFDE=45°,可得點/符合題意，根據即可求出點尸坐標，綜上即可得答案.

【詳解】(1)VA(-2,0),四邊形。42c是平行四邊形，

：.BC//OA,BC=OA=2,

:拋物線與y軸交于點8,

拋物線的對稱軸為直線無=手=1,則尤=-3=1①，

22a

O

將點A的坐標代入拋物線表達式得：0=4a-2b+-?,

------1

聯立①②得2a,

4a-2/?+-=0

I3

1

a=—

解得；3，

b=-

[3

19Q

2

...拋物線的表達式為：尸-jx+jx+|;

(2)VA(-2,0),拋物線對稱軸為直線x=l,

點。(4,0)；

答案第17頁，共34頁

,3

???AADR的面積是口O48C的面積的了，

4

**?—xADx|yR|=—xOA^OB則—x6x|yR|=-x2x—,

24243

,,4

解得：yR=±~,

41284

當產1時，一§必+—%+—=—

333

解得：%=i+E%2=1-,

或及石，

**?Ri(1+^5,~)(1—1),

41284

當產-彳時，一1/+—%+—=——,

333

解得：XJ=1+A/13,X2=l-\/13,

***R3（1+A/T3,—耳）或Rz（l—y/13,~~）

綜上所述：點R的坐標為（1+百，§）或（1-百，§）或（,-§）或（1-,

3

（3）作4PEQ的外接圓R,過點R作RH±ME于點H,

'：ZPQE=45°,

:.NPRE=90。,

,:RP=RE,

...△PRE為等腰直角三角形，

:直線上存在唯一的點Q,

：.。氏與直線相切，

：.RQ±MD,

???拋物線對稱軸為直線下1,

19R

當兀=1時y=--+-+-=3,

333

???點M坐標為(1,3),

9：D(4,0),

???ME=3,ED=4-1=3,

MD=SJDE2+ME2=372，

答案第18頁，共34頁

設點尸（1,2m）,則PH=HE=HR=m,則圓R的半徑為近機，則點R（1+m,m）,

?/SAMED=SAMRD+SAMRE+SADRE,即4xME,ED=1xMDxRQ+；x￡￡）.yR+1xME'RH,

；X3X3=；X3&X07〃+Jx4x7"+；x3xm,

3

解得in=-,

4

ZMDE=45°,

點P與點/重合時，符合題意，即P（l,3）,

過點。作。fUMZ）,交對稱軸于凡則/EDE=45。，符合題意,

：.EF=DE=3,

點尸坐標為（1,-3）,

；?點P坐標為（1,-3）,

一3

綜上所述：點P的坐標為（1,彳）或（1,3）或（1,-3）.

【點睛】本題考查平行四邊形的性質、待定系數法求二次函數解析式，熟練掌握二次函數的

答案第19頁，共34頁

性質并靈活運用分類討論的思想是解題關鍵.

9.(1)y=/+2X+3；(2)27；(3)D點坐標為。(3+3班,一3),存在，Q點坐標為(0,

3若)或(0,-3百)

【分析】(1)通過設頂點式，再用待定系數法求解即可；

(2)先求出AB的解析式，進而求出E的坐標，從而利用割補法計算面積即可；

(3)作DG垂直于對稱軸，在HCDG中求解即可得到D的坐標，此時以A為圓心，AC

為半徑作圓弧，與y軸交于點Q,則滿足NCQD=60。，從而在M-AQO中計算即可得到結

果.

【詳解】(1):拋物線頂點坐標為C(3,6),

/.設拋物線解析式為y=a(x-3>+6,

將B(0,3)代入可得。=-；,

/.^=-1(x-3)2+6,gpy=-1x2+2x+3.

(2)設直線AB：y=kx+3,

將A(3,0)代入上式并解得k=-l,

直線AB：y=-尤+3.

y=-x+3、y=——f+2x+3,彳導——%2+2x+3=—x+3,

解得X=0,9=9,

AE(9,-6),

,6x36x(9-3)

?,^\BCE=+S/=27.

'AACE=-22

(3)設D點的坐標為9-卜2+21+3),

過D作對稱軸的垂線，垂足為G,

答案第20頁，共34頁

圖②

貝ijDG=t-3,CG=6—（-；f2+2r+3）=g』-2f+3,

ZACD=30。，；.2DG=DC,

在RtACGD中，CG=QDG,

V3a-3）=1z2-2r+3,

.?/=3+36或t=3（舍）

；.D（3+3若，-3）,

；.AG=3,GD=35

連接AD,在RtAADG中，

AD=y/AG2+GD2=6,

；.AD=AC=6,ZCAD=120°,

在以A為圓心、AC為半徑的圓與y軸的交點為Q點,

此時，ZCQD=|ZCAD=6O°,

設Q（0,m）,AQ為0A的半徑，

AQ2=QA2+QO2=9+m2,

：.AQ2=AC2,

.,.9+nr=36,

m=或—3A/3，

綜上所述：Q點坐標為（0,3A/3）或（0,-36）.

答案第21頁，共34頁

【點睛】本題考查二次函數的綜合問題，熟練求解函數解析式并進一步求解交點坐標是關鍵,

同時靈活構造輔助線是解題的關鍵.

10.(1)拋物線的解析式：y=1x2-2x-6,頂點D(2,-8)；(2)3<m<8.(3)AM的長為

4或2.

【詳解】試題分析：(1)該拋物線的解析式中只有