四邊形的模型

模型1”中點(diǎn)四邊形”模型

圖不:

條件：在四邊形ABCD中，點(diǎn)E,F,6,H分別是四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)

結(jié)論：1.EF=GH=^AC,EH=GF=（性質(zhì)定理）；

2.EH||BD||FG,EF||4C||HG（性質(zhì)定理）;

3.四邊形EFGH是平行四邊形；

4，C四邊形EFGH=AC+BZ）;

1

s>S四邊形EFGH=5s四邊形槌CD

思考延伸

1.任意四邊形的中點(diǎn)四邊形都是平行四邊形；

2.對角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形；對角線互相垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形；對角線相等且互相垂

直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形.

【例1】如圖,在四邊形ABCD中，點(diǎn)E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),連接AC,BD,EF,FG,GH,HE.

（1）四邊形EFGH的形狀為,若對角線AC=20,50=30?則四邊形EFGH的周長為；

（2）當(dāng)AC==時(shí)，四邊形EFGH的形狀為,若四邊形EFGH的周長為40,則四邊形ABCD的對角線AC

的長為；

【變式11］如圖，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)得到四邊形EFGH,連接AC,BD,則下列說法正確的是（）

A.四邊形EFGH是平行四邊形

B.四邊形EFGH是矩形

C.四邊形EFGH是菱形

D.四邊形EFGH是正方形

【變式12】【新考法真實(shí)問題情境】如圖，某小區(qū)有一塊正方形空地ABCD,現(xiàn)計(jì)劃在空地上用籬笆圍出一個(gè)四邊

形花園EFGH,點(diǎn)E,件伍口分別為八8,8(2工》尸八的中點(diǎn)，若AB=6,則所需籬笆的總長度為()

A.6V2B.9V2C.12V2D.15V2

【變式13］如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC的頂點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B,C為第一象限內(nèi)兩點(diǎn),且0A=4,

AB=2,D,E,F,G分別為邊OA,AB,BC,CO的中點(diǎn),連接AC,OB,DE,EF,FG,GD.若四邊形DEFG為菱形，則四邊形OABC的

對角線AC的取值范圍為（）

A.2<AC<6

B.2<AC<8

C.1<AC<6

D.4<AC<8

【變式14］如圖，依次連接第一個(gè)菱形各邊的中點(diǎn)得到一個(gè)矩形，再依此連接矩形各邊的中點(diǎn)得到第二個(gè)菱形，…,

依此類推.已知第一個(gè)菱形的面積為1,則第2025個(gè)菱形的面積為.

提升

1.【新考法新定義】我們定義：點(diǎn)E,F,G,H分別是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，且四邊形EFGH是矩形，則四邊

形EFGH是四邊形ABCD的中矩四邊形.

(1)如圖①，四邊形ABCD是菱形,E,F,G,H分別是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是四邊形ABCD的中

矩四邊形;

⑵如圖②，四邊形ABCD的面積為40,四邊形EFGH是四邊形ABCD的中矩四邊形，且EFEH=1,求中矩四邊形EFGH

的周長.A

圖①圖②

模型2"垂美四邊形”模型

定義：對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形

圖本:

條件：在四邊形ABCD中,AC_LBD

【結(jié)論分析】

結(jié)論1：AB2+CD2=AD2+BC2

2.S四邊形BACD=|AC?BD

結(jié)論1：AB2+CD2=AD2+BC2

證明：VAC±BD,根據(jù)勾股定理得：

AB2=AO2+BO2,AD2=AO2+DO2,

CD2=CO2+DO2,BC2=BO2+CO2,

：.AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,

AD2+BC2=AO2+DO2+CO2,

：.AB2+CD2=AD2+BC2.

［例2］如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC,BD交于點(diǎn)E,/AEB=90。,若BD=6,AC=4,則四邊形ABCD的面

積為.

【變式21】【新考法新設(shè)問】如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC,BD相交于點(diǎn)E,/AEB=90°,若四邊形ABCD的

面積為12,則AOBD的值為（）

A.18B.20C.22D.24

【變式22］（模型構(gòu)造）如圖,在矩形ABCD中,E為矩形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)，若EB=2,ED=5,則EA2+E0的值為（）

A.23B.25C.27D.29

BC

【變式23］如圖，四邊形ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)E,且E為AC的中點(diǎn),若BA=BC,AC+BD=6,設(shè)AC=x,則四邊形A

BCD面積的最大值為.

提升

1.（模型構(gòu)造）如圖，分別以RtAABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE,連接CE,BG,G

E,CE與BG交于點(diǎn)0,點(diǎn)H為GE的中點(diǎn)，連接0H,若AC=3,AB=5,則0H的長為.

2.我們定義：對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

（1）在特殊的平行四邊形中一定是垂美四邊形的是（填寫一個(gè)）；

⑵如圖①，若四邊形ABCD為垂美四邊形，試探究兩組對邊AB,CD與AD,BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

⑶如圖②,在口ABCD中,E,F,G分別是AB,BC,AD的中點(diǎn),EFXDF,連接CG,若AB=6,AD=8,求CG的長.

模型3“十字架”模型

類型過頂點(diǎn)型不過頂點(diǎn)型

AFDAHD

區(qū)

圖示

BCBGC

在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在邊在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F,G,H分別

條件

3D,AD上，AEXBF在邊AB,CD,BC,AD上,EF±GH

結(jié)論△ABF^ADAE,BF=AEEF=GH

拓展模型1——矩形過頂點(diǎn)型“十字架”模型

條件:在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上,CEXBD

結(jié)論：△BC。△。。￡,'c吧c=吧rrt

拓展模型2一—矩形不過頂點(diǎn)型“十字架”模型

條件:在矩形ABCD中，點(diǎn)E,F,G,H分別在邊AD,BC,AB,DC上,EF，GH

結(jié)論：竺=更

EFCD

思考延伸

正方形與矩形中“十字架”模型解題的相同點(diǎn)：尋找（構(gòu)造）兩條“十字架線”所在的特殊三角形，再利用等角代換

證明另一組角相等；

不同點(diǎn)：正方形暗含邊相等，得到全等三角形，矩形得到相似三角形.

【例3】如圖,在正方形ABCD中,E,F分別為AB,BC上的點(diǎn)，連接EC,DF,若EC^\DF,AB=8,AE=6,則CF的長為—

【變式31］如圖,在矩形ABCD中，點(diǎn)E,F,G,H分別為AB,BC,CD,AD上一點(diǎn),連接EG,HF,若EG回“F,AB=6,AD=8,貝

貝黑的值為.

EG

【變式32】如圖,在正方形ABCD中,AB=4,E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,AD上的點(diǎn),連接EG,HF相交于點(diǎn)0.若F是B

C的中點(diǎn)，且AD=4AH,ZG0F=90°,則EG的長為.

【變式33］如圖，在正方形ABCD中,E,F分別為AD,CD邊上的點(diǎn),連接BE,AF交于點(diǎn)0,BE±AF.若AF=6,0E=2,則正方

形ABCD的面積為

【變式34］【新考法新設(shè)問】如圖，在邊長a的正方形ABCD的邊AD上任取一點(diǎn)E(AE>DE),連接BE,作CFXBE,

交AB于點(diǎn)F,連接EF并延長交CB的延長線于點(diǎn)P.若點(diǎn)E,F恰好分別是AD,AB的分割點(diǎn)，貝|PB?BC二.

(用含a的代數(shù)式表示)

提升

1.如圖，在RtAACB中，NACB=90°,AC=4,BC=3,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，連接BD,過點(diǎn)C作CE_LBD交AB于點(diǎn)E,交BD

于點(diǎn)F,則CE的長為.

CDA

2.已知四邊形ABCD中，E,F分別是AB,AD邊上的點(diǎn),連接DE,CF交于點(diǎn)G.

⑴如圖①,若四邊形ABCD是矩形,且DE±CF,求證：AADE^ADCF;

⑵如圖②，若四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：當(dāng)NB與/EGC滿足什么關(guān)系時(shí)，筆=若成立?并證明你的結(jié)

CrCU

論；

⑶如圖③，若BA=BC=6,DA=DC=8,NBAD=90°,DEJ_CF,請求出器的值.

A

C

圖③

模型4“對角互補(bǔ)”模型

類型：90°的對角互補(bǔ)

圖不:

條件：在四邊形ABCD中，/ABC=NADC=90°,BD平分NABC

2

結(jié)論：1.AD=CD;2.AB+BC=V2BD;3.S四邊形ABCD二|BD

證明：如圖,過點(diǎn)D分別作DE±BC于點(diǎn)E,DF1BA交BA的延長線于點(diǎn)F.

VBD平分NABC,

???DE=DF.

VZABC=ZADC=90°,

AZBAD+ZC=180°,

VZBAD+ZDAF=180°,

：.ZDAF=ZC,

VZF=ZDEC=90°,

???ADFA^ADEC(AAS),

，AD=CD(結(jié)論1),AF=CE,

???AB+BC=AB+BE+CE=AB+BE+AF=BF+BE.

易證四邊形DFBE為正方形，

??.BF=BE=yBD,

??.AB+BC=BF+BE=應(yīng)BD(結(jié)論2);

由二角形全等可知

SADFA=SADEC,

2

S四邊形ABCD二S正方形DEBE=BF?=(jBD)2二1BD

思考延伸

120°的對角互補(bǔ)模型條件：在四邊形ABCD中，ZABC=120°,ZADC=60°,BD平分NABC

圖不:

結(jié)論:①AD=CD,

②AB+BC=BD,

③S四邊形ABCD=彳8°2

拓展模型

條件:在四邊形ABCD中，ZABC+ZADC=180°

作法:如圖，過點(diǎn)D分別作DEXAB于點(diǎn)E,DF，BC交BC的延長線于點(diǎn)F

結(jié)論：△DAEs/^DCF

［例4］如圖,在等邊4ABC中，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),E,F分別是AB,AC邊上的點(diǎn),且4。尸=120。若NBDE=45。,。尸

=6,則BE的長為.

【變式41］兩個(gè)等腰直角三角板按如圖所示放置，點(diǎn)E在AC上，G,H分別為邊AB,BC上的點(diǎn).若G

E=2EH,則會(huì)的值為

EC

C

【變式42］如圖，在四邊形ABCD中，NABC=NADC=在。，AD=CD,連接BD.若BC=2,AB=5,則BD

的長為.

【變式43］如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A,B分別在y軸,

上，對角線AC,BD交于點(diǎn)E,若E(4,4),則四邊形OBEA的面積為.

【變式44］如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，NB=60°,E,F分別為BC,CD上的點(diǎn),若

NEAF=60°,則四邊形AECF的面積為.

BEC

提升

1.如圖，在AABC中,BA=BC,NABC=90°,D為AC邊的中點(diǎn)，連接BD,以D為圓心，BD長為半徑畫圓心角為90

的扇形EDF,DE與AB交于點(diǎn)G,DF與BC交于點(diǎn)H,若四邊形BHDG的面積為18,則麗的長為

2.綜合與實(shí)踐

老師留了一道課后作業(yè):

如圖①，在矩形ABCD中，P為對角線AC的中點(diǎn),M,N為邊BC,CD上兩動(dòng)點(diǎn)，且/MPN=900?求證:而=通.

小明和小聰經(jīng)過思考和交流后，得出兩種解題思路：

小明：過點(diǎn)P分別作PHLBC于點(diǎn)H,PQJ_CD于點(diǎn)。構(gòu)造出一對相似三角形，再通過矩形對邊分別平行即可得證;

小聰:過點(diǎn)P作PGJ_AC,交BC于點(diǎn)G,通過證明兩對三角形相似即可得證.

(1)請你思考小明和小聰?shù)乃悸纺姆N可行，并完成此題的證明；

(2)如圖②，老師在原題的基礎(chǔ)上添加條件：“連接MN,若NM

NP=30°,AB=4,且PC平分NMPN”.老師提出兩個(gè)新問題:①

CM與CN是否相等；②DN的長度是多少.請你解答這兩個(gè)問

題，并說明理由.

圖①圖②

模型5含60°角的菱形

圖木:AD

條件：四邊形ABCD為菱形,對角線AC與BD交于點(diǎn)0,ZABC=60

結(jié)論：1.ZABD=ZCBD=30°;

2.ZXABC和4ACD均為等邊三角形；

3.AB:AC:BD=1:1:V3

112

4.S菱形ABCD一和?BD=1BC

高頻圖形

這個(gè)模型經(jīng)常會(huì)結(jié)合矩形、等邊三角形進(jìn)行考查.

【例5】如圖,在菱形ABCD中,0為中心點(diǎn),AB=4,/ABC=60°,點(diǎn)E,F分別是邊AB,AD上的點(diǎn),連接0E,0F.若AE+AF=

4,則圖中陰影部分的面積為（）

A.2V3B.3V3C.4V3D.5V3

【變式51】圖①是藝術(shù)家埃舍爾的作品，他將數(shù)學(xué)與繪畫完美結(jié)合，在平面上創(chuàng)造出立體效果.圖②是一個(gè)菱形，

將圖②截去一個(gè)邊長為原來一半的菱形得到圖③，用圖③鑲嵌得到圖④，將圖④著色后，再次鑲嵌便得到圖①，則

圖④中BD：AB的值為（）

A.V2B.V3C.2D.2V2

ED

A

B

圖①圖②圖③圖④

提升

1.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC,BD相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是0B的中點(diǎn)，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，連接EF,交AC于點(diǎn)G,

若AB=4,/ABC=60°,則線段GF的長為.

2.在菱形紙片ABCD中,AB=6,NB=60°,點(diǎn)E,F分別在邊AD,CD上，將菱形紙片沿著EF翻折，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為

點(diǎn)G.

⑴如圖①，若點(diǎn)G落在AB的中點(diǎn)處，求FG的長；

(2)如圖②,若點(diǎn)G落在菱形ABCD的對角線AC上,且AG=2CG,求券的值.

課后提升

1.如圖，在RtABAC中，NBAC=90°,D,E,F分別為AB,BC,AC邊上一點(diǎn)，且NDEF=90°,AE平分NBAC,若AD=2,AF=4,

則tan/AFE的值為（）

A.2B.-C.3D.

2

2.如圖，在矩形ABCD中,AB=：BC,E是BC邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F在CD的延長線上，且BE=：,DF=2,連接EF交AD

42

于點(diǎn)G,H是AB邊上一點(diǎn),過點(diǎn)H作HN±EF,分別交EF,CD于點(diǎn)M,N,若CN=AH=則DN的長為()

A.2B|C.|D,5

3.如圖，在AABC中,AB=AC=8,NBAC=120°,點(diǎn)D,E,F分別是邊BC,AB和AC上一點(diǎn)，且/EDF=60°，若點(diǎn)D為BC

邊的中點(diǎn),AE=3,則AF的長為.

4.在正方形ABCD中，如圖①，點(diǎn)E是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)A,B不重合)，連接CE,過點(diǎn)B作BFLCE于點(diǎn)

G交AD于點(diǎn)F.

(1)求證：ZXABF絲Z\BCE;

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)，連接DG,若AB=2,求DG的長.