二次函數性質壓軸一綜合測試拔高卷一、選擇題

1.已知y是關于X的二次函數，部分y與X的對應值如下表所示:

Xa-2-1-a-22

y1-2-316

則當-4<x<0時，y的取值范圍是（）

A.-3<y<6B.-2<y<6

C.-3<y<-2D.y>6

2.已知二次函數，了="2+8+《./0）的圖象經過點（-1,0）、（5,0）,圖象上有三

個（西，%），（x2,y2）,（x3,y3）.若當X]<-1<々<5<%時，均有%>%>%,則下列說

法中正確的是（）

A.。<0B.x=2時，y有最大值

C.K%%<0D.|^I-2|<|X3-2|

3.已知拋物線>=。無2+及+。上某些點的橫坐標x與縱坐標了的對應值如下表：

X-4-3-2-10

y-3P1pm

有以下幾個結論：

①拋物線y=&+云+c與y軸的交點坐標是（0,-3）；

②拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=-2；

③關于x的方程西+加+c=0的根為-3和-1；

④當”0時，x的取值范圍是-3<x<T.

其中正確的個數有（）

A.1B.2C.3D.4

4.定義｛。也。｝為函數y=*2+M+c的特征數，下面給出的特征數為

｛2肛1-用,-1-端時，關于函數的一些結論，其中不正確的是（）

試卷第1頁，共8頁

A.當加=-3時，函數的最大值為g

B.當加=-3時，函數圖像的頂點到直線'=戶1的距離為平

C.函數圖像恒過兩個定點(1,0)和

D.當加＜0時，函數在x＜：時，了隨x的增大而增大

5.如圖，已知拋物線了=江+云-2的對稱軸是直線工=-1,直線/〃x軸，且交拋

物線于點尸(再，必)，0(程％)，下列結論錯誤的是()

Z?2〉SetB.若實數加貝！Ja-6＜Q加之+6加

3。一2〉0D.當＞＞—2時，再飛＜0

6.二次函數了=加+1("0),線段48中,4(*1),8(3,0),將線段初向下平移

3個單位得到線段若y="2+1(0＜0)的圖象與線段只有一個公共點，則

a的取值范圍是()

4

A.Q<—5B.——<?<0

9

4

C.-5<a<--D.—5Wa<0

7.二次函數尸辦2+6x+c("0)的部分圖象如圖所示，圖象過點(TO),對稱軸

為直線x=2,則下列結論中正確的是()

試卷第2頁，共8頁

A.4a-b=0

B.4〃一2b+c>0

C.若點/(5,乂)、點4-3，%］、點^^,”)在該函數圖象上，則

D.若方程“x+l)(x-5)=-3的兩根為不和X?,且再<々，則占<-1<5<%2

8.如圖，已知頂點為(-3,-6)的拋物線”辦2+&+。過(_1,_4),則下列結論：①

abc<0；②對于任意的加，均有am2+Zw?+c+6>0;③5a-c=4；④若?+bx+c>-4,

則xN-l；⑤。=；；⑥不等式辦2+6x+c>x-3的解集為-3<x<-l；其中正確的

個數為()

A.2B.3C.4D.5

9.已知：F(x)=x2+4x,G(x)=2x-3,下列說法：

①當尸(x).G(x)=O時，x的值為一4或;；

②若關于x的方程|"x)|=|G(x)+刈恰有3個不同的實數根，則加的值為3；

③無論加取任何實數，關于x的函數y=Wx)+wG(x)的最小值都不可能是8.

其中正確的個數是()

A.0B.1C.2D.3

10.在平面直角坐標系xOy中，若點尸的橫坐標和縱坐標相等，則稱點尸為雅系

點.已知二次函數了="2-飄+°(“/0)的圖象上有且只有一個雅系點［2-￡|，

且當加VxVO時，函數y=ax2-4x+c+；(a*0)的最小值為-6,最大值為-2,則機

的取值范圍是()

779

A.-1<m<0B.—<m<-2C.-4<m<-2D.—<m<—

224

11.在平面直角坐標系中，拋物線y=af+6x+c(aw0)與％軸交于Z,8兩點，

試卷第3頁，共8頁

/（-5,0）,8（1,0）,與y軸交點C的縱坐標在3?4之間（不包含3和4）,如圖,

根據圖象判斷以下結論中不正確的是（）

一〈-竺

B.3<6

55

C.拋物線了=ax，6x+c的頂點坐標為卜2,《C

D.若機（a加+6）>4a+2b,則-6<%<2

12.已知二次函數y=-3x?+9.當一2VxWa時，函數的最大值與最小值的差為12,

則〃的取值范圍是（）

A.-V3<?<0B.0<?<2C.-V3<?<2D.V3<n<V?

13.已知二次函數了=4-4"+5（0<0）的圖象上有/（國,%）和兩點，且

,m+l<x2<m+3,下列說法正確的是（）

A.當加=1時，%>%B.當時，m>5

C.當必〈力時，m>-lD.當加<一1時，必<%

14.二次函數>="無2+6無+c（。、b、。是常數，且。#0）的自變量x與函數值了的部

分對應值如下表:

X-i012

ym22n

且當x=-g時，對應的函數值了<0.有以下結論:

試卷第4頁，共8頁

①abc＞0；②關于x的方程G2+6X+C=0的正實數根在1和Q之間；③

機+2〃＜-io；④＜。-1,乂）和鳥在該二次函數的圖象上，則當實數"a時，

其中正確的結論是（）

A.①②B.②③C.②④D.②③④

15.二次函數尸發-2"+c（a＜0）的圖象過象再,加）,8（.〃）兩點,其中

玉＜1（尤2，則下列說法一定正確的是（）

A.若士（2-無2）＞0時，則（加-["-0）＜0

B.若無i（2-%）＜0時，則（m-c）（"-c）＜0

C.若（2-再乂2—電）＞0時,則（m-c）（"-c）＞0

D.若（2-占）（2-工2）＜。時，則（機-c）（"-c）＜0

16.關于二次函數y=ax2+4ax-5,有下列四個結論：

①對任意實數加，都有網=-加-1與X2=%-3對應的函數值相等；

②若Tvxv-1時，對應的了的整數值有4個，則-l＜aWy或/。＜1;

③若拋物線與x軸交于/、8兩點，且/BV6,則或

④當"＞-5時，一元二次方程辦2+4qx-5-7?=0一定有兩個實數根.

以上結論，正確的是（）

A.①③B.①②③C.②③D.①③④

二、填空題

17.在平面直角坐標系xOy中，點（占，匕），化,外）都在拋物線廠辦2-2"+8（a＜0）

上，且T＜X|＜2,\-m＜x2＜m+l,若存在x1，x2（x1x2）,滿足必=力，則機的

取值范圍為.

18.已知拋物線＞=+6x+c（a,b,c是常數，a＜0,c＜。）經過（1,1）,（加,0）,（加+2,0）三

點，給出下列四個結論：

試卷第5頁，共8頁

①…；

②若點。（加+15〃）在拋物線上,則〃＞1；

Q1

③若時，了隨X的增大而減小，則

（4）b1-4ac=4a2

其中正確的結論是（填寫序號）.

19.已知二次函數y=/_2x_6,當機時，3機WyV3",則〃―機=.

20.記max{和〃}表示實數/和場中的較大值,即若玉含”,則max{加,〃}=7〃，如

max{1,2}=2,max{6,6}=6.在平面直角坐標系xOy中,/（-4,-1）,5（2,2）,則下列

結論正確的是（將正確結論的序號填在橫線上）.

①直線kG+6（*0）和直線,y=cx+d過點8且這兩條直線垂直，則函數

了=11^?{辦+43+4}的最小值為2；

②若直線y="x+6與反比例函數＞=：（左＞0）的圖象交于點Z,B,則函數

了=11^k+6,：1的最小值為_1；

③若直線＞=如+方與二次函數了=cx2+dx+e（c＞0）的圖象交于點Z,B,貝U函數

y=max{ax+仇c?+公+e}有最小值，無最大值.

三、解答題

21.在平面直角坐標系xOy中，點（九"）在拋物線歹=公2+外上，其中機片0.

⑴當優=-20,〃=0時，求拋物線的對稱軸；

（2）已知。＞0,當0＜切＜4時，總有"＜0.

①求證：4a+/）＜0；

②點尸（1-2//J,。（-67+3,%）在該拋物線上，是否存在a,b,使得當-；＜/＜。時,

都有必＜%?若存在，求出。與6之間的數量關系；若不存在.說明理由.

22.已知二次函數＞=——2&+5（6為常數），

（1）當二次函數＞-26x+5的圖象經過點/。,0）時，求二次函數的表達式;

⑵當xN-1時，P的最小值為1,求6的值；

試卷第6頁，共8頁

⑶當6=1時，把拋物線y=/-2云+5向下平移"（">0）個單位長度得到新拋物線過

點8（羽⑼，且T（機<2,請求出”的取值范圍.

23.為全面貫徹落實“雙減”政策，減輕學生負擔，提高學生思維能力，數學學科

命名一種“雙減點”，定義如下：已知了是x的函數，若函數圖象上存在一點

P（x,x-2）,則稱點尸為函數圖象上的“雙減點”.

（1）判斷直線V=2x-3上是否有“雙減點”？若有，直接寫出其坐標；若沒有，請說

明理由.

（2）若反比例函數丁=1的圖象上存在兩個“雙減點”C、D,且8=4,請求出左的

值.

⑶已知拋物線尸%2+（加T+l）x+〃+”4上存在唯一的“雙減點”，且當-24加43

時，〃的最小值為/,求/值.

24.已知拋物線尸。（尤-獷-：12a.

（1）若。=1,求拋物線與x軸的兩個交點之間的距離.

（2）已知點C俏,-3）和點/加川是拋物線上的兩點.

①直接寫出。的值；

②若對于任意的-2V左V-g,直線>=船+2與拋物線有兩個交點N（XQJ和

3（X2，%）,且當王<加<工2時，總有%結合圖象，求,的取值范圍.

25.已知二次函數y=f+云—3（6為常數）

⑴若該函數的圖象經過點（3,0）,則：當-3<y<5時，求x的取值范圍.

⑵當-1VXV2時，V的最小值為-5,求6的值.

⑶當機。〈〃時（其中加，〃為實數，（/<〃），x的取值范圍為T<x<4.直接寫出

%”的值或取值范圍.

26.已知二次函數了=/-機x-2m（能為常數）.

（1）當加=2時.求函數頂點坐標；并結合圖象，直接寫出當T<x<2時，y的取值

范圍是.

試卷第7頁，共8頁

⑵若點P（〃+l，%）和。（2"T%）都在該二次函數的圖象上，且不論〃取何值總有

,成立，求機的值；

（3）①兩位同學嘗試代入不同的機值后，提出了兩個觀點.請你選擇一個，繼續

完善它.

甲說：“不論能取何值，函數圖象必過一個定點”

乙說：“不論機取何值，函數圖象的頂點都在一條固定的拋物線上運動”

我選擇（填“甲”或“乙”）的觀點，他的具體答案是（填寫定

點坐標或拋物線表達式）；

②已知點M（-3,1）,N（3,4）,若二次函數圖象與線段九W只有一個交點，直接寫出m

的取值范圍.

27.在平面直角坐標系中，拋物線）=/+6x+c（6、。為常數）頂點M的坐標為

（2,-5）,點尸、點。均在這個拋物線上，點尸的橫坐標為加，點。的橫坐標為

2-m,將此拋物線上八。兩點之間的部分（包括尸、。兩點）記為圖象G.

⑴求6和。的值；

（2）當頂點"在圖象G上時,設圖象G最高點的縱坐標與最低點的縱坐標的差為d,

求d與冽之間的函數關系式；

（3）矩形月38的頂點分別為/（3血-2,2）、B（2-m,2）、C（2-?,-4）,當圖象G在矩

形ABCD內部的部分所對應的函數值V隨x的增大而減小時,求m的取值范圍.

試卷第8頁，共8頁

1.A

【分析】本題考查了一元二次函數》=。(無-〃y+左的圖像與性質，先根據表格得到對稱軸,

以及頂點，進而得到瓦左的值，然后再隨便代入一個點即可得到“的值，再根據圖像的性質

得到取值范圍，考慮對稱軸處取得最值是解題的關鍵.

【詳解】解：設一元二次函數為》=。(％-4)2+左，

由表格可知a與-a-2關于對稱軸對稱，

???對稱軸為巴。=-1，

即〃=-1,

又由表格可知當X=-1時，尸-3,

艮［1左=—3,

二解析式為：y=a(x+l)2-3,

將表格中已知的點(-2,-2)代入可解得a=l,

該一元二次函數解析式為：y=(x+l)2-3,

當-4Vx<0時，在對稱軸x=-l處取得最小值，在x=-4處取得最大值，

當x=-4時，y=6,

???此時了的取值范圍為-3Vy<6,

故選：A.

2.C

【分析】本題主要考查了二次函數的性質，掌握二次函數圖象上的〉值與點離對稱軸距離與

開口方向的關系是解題的關鍵.

由西<-1<%<5<%3時，均有丹>%>%可知拋物線開口向上，即。>0,可判定A選項;

由拋物線開口向上，再求得對稱軸，可知x=2時，y有最小值可判定B選項；當

王<-1<泡<5<%有必>0,%<°，%>。，可判定C選項；根據二次函數的性質可判定D選

項.

【詳解】解：?當尤1<一1<%<5<工3時，均有

???該拋物線的開口方向向上，即a>0,即A選項錯誤，不符合題意；

答案第1頁，共42頁

???二次函數V=渥+加+c（"0）的圖象經過點（-1,0）、（5,0）,

???對稱軸為直線工=一告1+匕5=2,

.,.當a>0,y有最小值,%>0，%〈0，%）。，故B錯誤；

.,.當西<一1<尤2<5<三時，有％%%<0，C正確；

點（石，必）到對稱軸的距離大于點（W，%）的距離,即后-2|>|X3-2|,即D錯誤.

故選C.

3.C

【分析】本題考查了二次函數的圖像和性質、拋物線與x軸的交點，根據二次函數的性質和

表格中的數據，可以判斷結論是否成立，掌握二次函數的圖像和性質是解題的關鍵

-3-1

【詳解】解：由表格可知該拋物線的對稱軸為x=5'=-2,故②正確；

根據對稱軸可得當x=0時，與x=-4時V的值相同，均為-3,所以拋物線y=a/+6x+c與

了軸的交點坐標是（0,-3）,故①正確;

?.,y=江+6x+c與y軸的交點坐標是（0,-3）,

:.c=—3,

由表格可知該拋物線過（-4,-3）,（-2,1）,

,3=16”46-3ci-—1

,解得

[l=4a-2b-3b=-4

???拋物線方程為：y=-x2-4x-3,

令—X2-4X-3=0,解得占=-3或工2=-1,

,ox?+bx+c=0的根為一3和-1,故③正確；

y=-x2-4x-3,中a=-l<0,

,該拋物線開口向下，

??.當”0時，x的取值范圍是x<-3或x>-l,故④錯誤;

綜上①②③是正確的，

答案第2頁，共42頁

正確的個數有3個,

故選：C.

4.C

【分析】A、把加=-3代入｛2加,1-m,-1-機｝,求得｛a,6,c｝,求得解析式，利用頂點坐標公

式解答即可；

B、利用平行線的性質求得直線了=*-1與過頂點平行直線V=x-1的直線與了軸的交點，求

得交點的長度，進一步即可解決問題；

C、代入x的值，驗證即可解答；

D、根據特征數的特點，直接得出x的值，進一步驗證即可解答.

【詳解】解：:函數y=爾+6x+c的特征數為｛2見1-機,-1-加｝

：.y=2mx2+,

A、當機=-3時，y=-6x?+4x+2=+：,頂點坐標是,故當機=-3時,

o

函數的最大值為:，此結論正確；

B、過頂點］;,|)平行直線V=的直線為丁=x+g,

所以直線了=x+g與V軸的交點為，3,而直線y=x-l與V軸的交點為(0,-1),

所以兩交點的7長度為10:,

所以頂點到直線y=x-i的距離為=逑，此結論正確；

323

C、當x=l時，y=2mx2+=2m+(l-m)+(-l-m)=0,

]113

當％=一,時,y=2mx2+=—m-—+,

即函數圖象恒過兩個定點(1,0)和、;，-，此結論不正確.

D、當加＜0時，y=2mx2+是一個開口向下的拋物線,

其對稱軸是：直線x=F，在對稱軸的右邊了隨X的增大而減小.

4m

YU_11111

因為當加＜0時，即函數在時，歹隨工的增大而增大，此結論正確;

4m44m44

故選c.

答案第3頁，共42頁

【點睛】此題考查二次函數的性質，一次函數的性質，平行線間距離相等，頂點坐標以及二

次函數圖象上點的坐標特征，熟知二次函數的性質是解題的關鍵.

5.C

【分析】本題考查了根據二次函數的圖象去判斷式子符號，二次函數的系數與圖象之間的關

系等，先根據拋物線對稱軸求出6=2”，再由拋物線開口向上，得到。>0,則

Z)2+8a=4a2+8a>0,由此可判斷A；根據拋物線開口向上，在對稱軸處取得最小值，據此

可判斷B；根據當x=l時，了=。+6-2<0,可判斷C；根據y>-2時，直線/與拋物線的

兩個交點分別在7軸的兩側，即可判斷D,熟知二次函數的圖象和性質是解題的關鍵.

【詳解】解：?拋物線y=ax2+6x-2的對稱軸是直線x=-l,

b]

=-1，

2a

：.b=2a,

???拋物線開口向上，

?1?a>0,

*",b~+8。=4a~+8a>0,

--b2>-Sa,故A說法正確，不符合題意；

???拋物線開口向上，拋物線對稱軸為直線x=-l,

二當x=-i時，了取最小值，v最小值=。-6-2,

...當實數機片-1時，有a-b-2<am?+bm-2,

實數加大-1時，貝心-方<a加2+Zwz,故選項B正確，不符合題意；

x=1時，y=a+b-1<Q,

a+2a-2<0,即3a-2<0,故選項C錯誤，符合題意；

了>-2時，直線/與拋物線的兩個交點分別在了軸的兩側，

.?.玉,2<0,故選項D正確，不符合題意；

故選：C.

6.C

【分析】本題考查二次函數圖象及其性質、線段平移規律，根據線段平移特點求出坐標，再

討論二次函數與線段一個交點的情況，利用排除法即可求解.

【詳解】解：???Z(T,T),2(3,0),線段A8向下平移3個單位得到線段MN,

答案第4頁，共42頁

N(3,-3),

???直線MV解析式為y=1T,

44

二次函數歹=〃/+1,

當圖象過點M時，將〃(T-4)坐標代入函數式，得〃+1=-4,解得〃=-5,

'115

y——x-----57

此時聯立’44解得再=3,迎=—-

y=ax2+1

,19「

v—1<—<3,

20

???與拋物線有兩個交點，故a=-5不符合條件；

故排除D選項；

4

當圖象過點N時，將N(3,-3)坐標代入函數式，得9a+l=-3,解得。=-§,

115

—x-----19

此時聯立4-4解得再=-1,超=云,

ax2+l20

???與拋物線只有一個交點，故。=-弓4符合條件；

故排除A選項；

'115

當。=一1時，聯立44解得x=土石，

y=ax2+1~

??----Vs<-l<--+V5<3,

22

二與拋物線只有一個交點，故。=-1符合條件；

故排除B選項.

故選：C.

7.D

【分析】由拋物線的對稱軸為直線x=2可得-二=2,即6=-4°,進而可得4a+6=0,由

此即可判斷結論A；由函數圖象可知當x=-2時y<0,進而可得4a-26+c<0,由此即可

判斷結論B；由軸對稱的性質及拋物線的對稱軸為直線x=2可得，點2，；,%］在拋物線

圖象上的對稱點為由二次函數的對稱性可知％'=%，由函數圖象可知拋物線開

答案第5頁，共42頁

口向下，因而當x>2時，V隨x的增大而減小，由此即可判斷結論C；由二次函數的對稱

性可知，拋物線與x軸的另一交點為(5,0),因而方程。(1+1)。-5)=0的兩根為x=-l或

x=5,過作x軸的平行線，則直線>=-3與拋物線的交點的橫坐標為方程

a(x+l)(x-5)=-3的兩根，依據函數圖象即可判斷結論D；綜上，即可得出答案.

【詳解】解：.??拋物線的對稱軸為直線元=2,

?-2=2

2a，

/.b=一4。,

：.4a+b=0,故結論A錯誤，選項A不符合題意；

由函數圖象可知：當x=-2時，了<0,

4a-26+c<0,故結論B錯誤，選項B不符合題意；

???拋物線的對稱軸為直線x=2,

二點,力］在拋物線圖象上的對稱點為，%］，

由二次函數的對稱性可知：=%，

由函數圖象可知：拋物線開口向下，

???當x>2時，V隨工的增大而減小，

79

2<—<—<5,BP2<xc<xB,<xA,

%>必，

即：必〈力<%,故結論C錯誤，選項C不符合題意；

由二次函數的對稱性可知：拋物線與X軸的另一交點為(5,0),

，方程。(工+1)(%-5)=0的兩根為x=-l或x=5,

如圖，過(0廠3)作x軸的平行線，則直線尸-3與拋物線的交點的橫坐標為方程

"(x+l)(x-5)=-3的兩根，

答案第6頁，共42頁

由函數圖象可知：^<-1<5<X2,故結論D正確，選項D符合題意;

故選：D.

【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象與性質，根據二次函數的圖象判斷式子符號，軸對

稱的性質，根據二次函數的對稱性求函數值，根據二次函數圖象確定相應方程根的情況等知

識點，熟練掌握二次函數的圖象與性質并運用數形結合思想是解題的關鍵.

8.B

【分析】本題考查了二次函數的性質，待定系數法求函數解析式；先利用待定系數法求出拋

物線的解析式為7=5*+3)2-6,即尸產+3X-；,則可對①③⑤進行判斷；當》=-3時,

了有最小值-6可對②進行判斷;利用利用拋物線的對稱性得到當x=-l或x=-5時，y=-4,

利用函數圖象得到拋物線不在直線V=-4的下方所對應的自變量的范圍可對④進行判斷；

通過解方程=拋物線與直線y=x-3的交點的橫坐標分別為一3、-1,寫出拋

物線在直線上方所對應的自變量的范圍可對⑥進行判斷，熟練利用二次函數性質是解題的

關鍵.

【詳解】解：設拋物線解析式為>=。(》+3)2-6,

把(一1,一4)代入得一4=。*(_1+3)2-6,

解得所以⑤正確，

1

>=](x+3)?-6,

127

gnj；=lx+3x--,

22

17c3

ci——,b=3,。=--,

22

abc<0,所以①正確；

答案第7頁，共42頁

5a

?.-5?-c=|+j=4,所以③正確；

???當x=—3時，V有最小值—6,

???對于任意的加，均有4加2+6加+C2—6,所以②錯誤；

??.拋物線的對稱軸為直線X=-3,

???當x=-1或x=—5時，y=-4,

二當Qj^+bx+c之一4時，x<-5^x>-l,所以④錯誤；

13

解方程5產+3x-^=x-3得X]=-1,x2——3,

.??拋物線與直線y=x-3的交點的橫坐標分別為-3、-1,

，當x<-3或x>-1時，ax2+bx+c>x-3>

，不等式ax2+bx+c>x—3i的解集為x<—3或x>—1,所以⑥錯誤.

故選：B.

9.A

【分析】本題考查了二次函數的性質，二次函數與一元二次方程的關系，解一元二次方程,

熟練掌握以上知識是解題的關鍵.解方程x(x+4)=0或2x-3=0,即可判斷①，畫出函數

圖象,可得尸(x)|=|G(x)+m|恰有3個不同的實數根，則|G(x)+同=疝-3+可必過原點或

(-4,0),得出m=3或加=11,即可判斷②，求得最小值-"2-7機-4=8,解方程即可判斷

③.

【詳解】解：①尸(x)-G(x)=0,

尸(x)=x?+4x=0或G(x)=2x-3=0,

.?.x(x+4)=0或2x-3=0

3

解得：x=0或工=-4或x=5；故①不正確，

②如圖所示，|尸(刈=卜之+4x|,\G(x)+m\=\2x-3+m\

若|毛㈤HG(x)+m|恰有3個不同的實數根,則|G(x)+同=|2x-3+可必過原點,或(-4,0)

???一3+加=0或2x(—4)-3+加=0

解得：冽=3或加=11,故②不正確

答案第8頁，共42頁

（3）y=F（x）+mG{x）=x2+4x+m（2x-3）

=x2+（4+2m）x-3m

最小值為＞=4—=-⑵L(4+2〃?『=一/_7”4

4〃4

當-m2-7m-4=8

解得：加=-4或機=-3,故③不正確；

故選：A.

10.C

【分析】此題是二次函數的綜合題，考查了二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的性質

及根的判別式等知識，利用分類討論以及數形結合得出是解題的關鍵.

解二次函數歹="2_4%+°(4。0)與直線歹=%的方程，由A=o得4〃。=25,方程的根為

3=-：，從而求出Q=_1,C=_3，所以函數解析式為歹=QX2_4X+C+J=_12_4%_6,

2a244

根據函數解析式求得頂點坐標與縱軸的交點坐標，根據y的取值，即可確定x的取值范圍.

【詳解】解：令Q'2_4X+C=X,即辦2_5X+C=0,

由題意，A=(-5)2-4(7C=0,BP4ac=25,

又方程的根為

2a2

25

解得〃=-l,c=-下，

4

故函數是尸辦2-4x+c+—

4

=-x2-4x-6

=-(X+2)2-2

二函數圖象開口向下，頂點為(-2,-2),

答案第9頁，共42頁

與了軸交點為(。,-6),由對稱性，該函數圖象也經過(-4,-6),

由于函數圖象在對稱軸x=-2左側y隨x的增大而增大,在對稱軸右側y隨x的增大而減小,

且當加4x40時，函數了="2_4x+c+5("0)的最小值為-6,最大值為-2,

/.-4<m<-2,

故選：C.

11.C

【分析】本題考查的是二次函數的圖象與性質，先求解拋物線為

y-a^x+S^x-X^-ax1+4ax-5a,可得6=4a,c=-5a,再進一步結合拋物線的開口方向,

對稱軸方程，與了軸交點。的縱坐標在3?4之間，再逐一分析判斷即可.

【詳解】解：???拋物線昨加+bx+c("0)與x軸交于43兩點，4(-5,0),5(1,0),

設拋物線的解析式為V=。(》+5)(》-1)=蘇+4ax-5a,

,*?b—4a,c——5Q,

.?.欣=。-4。?(-5。)=-20。3,由圖象知。<0,

?■?-20a3>0,

?1.abc>0,故選項A正確；

當x=o時，y=c,

答案第10頁，共42頁

???點C的坐標為(0,c),

??,點。的縱坐標在3?4之間，c=-5a,

???3<-5a<4,

43

:.—vq<—,

55

16412

???-----<4。<----,

55

b=4a,

16712,小出皿-

一■三<b<---,故選項B正確；

b=4af

???拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是直線X=-3=-￥=-2,

2a2a

，拋物線歹=aY+bx+c的頂點為(一2,4。—26+。),

b=4afc=-5a,

174

u-——c,b-1-c,

(1A/4、9

4tz-2Z>+c=4x——c-2x——c\+c=—c,

I5)I5)5

???頂點坐標為故選項C不正確；

???加(a加+b)>4a+2b,

???am2+bm+c>4Q+26+c,

???對于函數>="2+6%+。，當％=根時的函數值大于當x=2時的函數值，

“V0,拋物線的對稱軸是直線x=-2,

???拋物線上的點離對稱軸越近函數值越大，

.?.|m-(-2)|<2-(-2),

-4<m-(-2)<4,

-6<m<2,故選項D正確，

故選：C.

12.B

【分析】本題主要考查了二次函數的性質，二次函數的最值，熟練掌握二次函數的性質是解

答案第11頁，共42頁

題的關鍵.

先求出二次函數的對稱軸，得到函數的增減性，再分為〃<0,和〃>2三種情況，

然后分別求出對應的最大值與最小值，結合題意列出方程求解判斷.

【詳解】???>=-3x2+9開口向下，頂點為（0,9）,對稱軸為y軸，最大值為9,

???在對稱軸左側，了的值隨著x的值增大而增大；在對稱軸右側，y的值隨著x的值增大而減

小；

①當"<0時，當時，y隨的無增大而增大，

那么x=-2時取得最小值，X="時取得最大值，

最小值為-3,最大值為-3/+9,

已知最大值與最小值的差為12,

則可列出方程--3/+9+3=12,

解得77=0,

但是這與假設矛盾，所以這種情況不符合題意，舍去；

②當0。42時，

此時x=0時取得最大值，尤=2時取得最小值，

最大值為9,最小值為-3,

此時最大值與最小值的差為12,

符合題意；

③當〃>2時，

此時x=0時取得最大值，％=〃時取得最小值，

最大值為9,最小值為-3〃21+9,

已知最大值與最小值的差為12,

貝IJ可歹出方程9+3〃2—9=12,

解得〃i=-2,巧=2,

但是這與假設矛盾，所以這種情況不符合題意，舍去.

綜上，得到〃的取值范圍為：0W”W2.

故選：B.

答案第12頁，共42頁

【分析】本題主要考查了二次函數的圖象和性質，首先根據二次函數了="2-4辦+5中。＜0,

可得拋物線開口向下，對稱軸為X=2,又根據7〃-1＜加+1可知再＜X2，根據當。＜0時，拋

物線在對稱軸左側了隨x的增大而增大，在對稱軸右側丁隨x的增大而減小進行判斷即可.

【詳解】解：二次函數〉=辦2-4姓+5中a＜0,

拋物線開口向下，

整理可得：y=a（x-2）2+5-4a,

,拋物線的對稱軸為尤=2,且在對稱軸左側了隨x的增大而增大，在對稱軸右側了隨x的增

大而減小，

xl<x2,

A選項：當加=1時，可知，且-2＜再＜0,2＜尤2＜4,

???拋物線的對稱軸是尤=2,

???點A在對稱軸左側，點B在對稱軸右側,

當3點坐標為（2,M）時的關于對稱軸的對稱點為（2,%）,

當3點坐標為（4,弘）時的關于對稱軸的對稱點為（0,%）,

設點3的關于對稱軸的對稱點的橫坐標為五,

答案第13頁，共42頁

則有0</<2,

x1<xB,

必<%，

故A選項錯誤;

B選項：若點A、3都在x=2左側時,

???兌<%恒成立;

若點A、8都在x=2右側時，必>%恒成立,

此時m-3>2,

解得：加>5；

當點A在對稱軸左側，點3在對稱軸右側時,

m—1<2

可得:

加+1〉2'

解得：1〈加<3,

設點3的關于對稱軸的對稱點的橫坐標為XB,

則有一加一3<xB<-m-1,

又：%>%，

則有m-3>-m-\,

解得：m>\,

/.1<m<3；

綜上所述，當歹1〉%時，1<加<3或加〉5,

故B選項錯誤;

C選項：若點A、8者B在x=2左側時,

■：m-l<m+l,

???%<為恒成立;

止匕時，加+3<2,

解得：m<-1；

答案第14頁，共42頁

故c選項錯誤；

D選項：當加<-1時，可知〃?+3<2,

此時點A、8都在對稱軸左側，

根據二次函數的性質可知必<%，

故D選項正確；

故選：D.

14.D

【分析】本題主要考查二次函數的相關性質，①根據表格數據可得對稱軸為直線x=；,即

a=-b,c=2>0,即可判斷；②根據題意得出拋物線開口向下，根據對稱性可得當x=e

時，”0,過點(1,2),則關于X的方程af+6x+c=0的正實數根在1和3之間；③將產-1

與x=2代入解析式得到機和"的表達式，再結合當x=-g時，對應的函數值了<0,即可表

示出〃7+2”的取值范圍；④分類討論，當月在拋物線的右側時，耳的橫坐標恒大于等于對

稱軸對應的x的值時必有求出對應的f即可；當《與￡在拋物線的異側時，根據拋

物線的性質當4的橫坐標到對稱軸的距離小于6到對稱軸的距離時滿足必>外，求出對應

的t即可.

【詳解】解：:當x=0和x=l時，7=2,

???對稱軸為直線x=1,

2

???X=--=—,即Q=,

2a2

當％=0時，y=2,即c=2〉0

abc<0,故①錯誤；

,?,當％=0和x=l時，y=2,當、=一；時，對應的函數值y<0,

3

???拋物線開口向下，根據對稱性可得當X=5時，y<0,

又???過點(1,2),

???關于X的方程M+尻+°=0的正實數根在1和］之間；故②正確；

a=-b,

答案第15頁，共42頁

???將工二-1與x=2代入解析式得：m=n=2a+2,

則：m+2n=6a+6,

?..當％=_；時，對應的函數值y<0,

113

.??得：-a——6+2<0,即：一。+2<0,

424

Q

解得：?<-|

■■-m+n=6a+4<-10,故③正確

T.

④???函數過點（1,2）且當x=5時，對應的函數值了<0,

???可以判斷拋物線開口向下，

???耳在拋物線的右側時，月恒在拋物線的右側，此時%>為恒成立，

13

???耳的橫坐標大于等于對稱軸對應的x,即解得此5時%>為；

當耳與E在拋物線的異側時，根據拋物線的性質當4的橫坐標到對稱軸的距離小于P2到對

稱軸的距離時滿足%>y2,

1-K-

711

即當，［時，+5滿足%>%，

f+l>-

I2

.??當時，解得,二，即月與《在拋物線的異側時滿足,>%，（</<］，

.,?綜上當時，%>%.

故④正確.

故選：D.

15.B

【分析】本題考查二次函數的圖象和性質，求出對稱軸，進而求出拋物線與V軸交于點

（0,c）,求出其關于對稱軸的對稱點為（2,c）,根據二次函數的增減性，逐一進行判斷即可.

【詳解】解：■.-y=ax2-2ax+c（a<0）,

???拋物線的開口向下，對稱軸為直線工=-?=1,當x=0時，>=c,

.?.當x<l時，了隨x的增大而增大，當x>l時，了隨x的增大而減小，拋物線與y軸交于點

答案第16頁，共42頁

(O,c),

??.(O,c)關于對稱軸的對稱點為(2,c),

vA(x19m),BGM在拋物線上，且占vlv%2,

①當無］＜0時，貝1|：加＜c,

如圖:

：.n<c,

(m-c)(〃-c)>0,

當再(2—％2)<0時，貝1]：2-X2>0,如圖:

:.n>c,

：.(m-c)("-c)<0,

②當0＜再＜1時，貝"加〉c,

當X](2-X2)>0時，則：2-X2>0,如圖:

答案第17頁，共42頁

:.n>c,

(jn-c)(n-c)>0,

：.n<c,

???(m-c)(n-c)<0；

綜上，選項A錯誤，選項B正確;

?二2—西>0,

2—%2>0,

1<x2<2,

:.n>c,

答案第18頁，共42頁

丁加可能大于C也可能小于。，則：（加一。）（〃一。）>0或（加一。）（九一。）<0,故選項C錯誤;

2—再>0,

2—%2<0,

2<x2,

：.n<c,

???加可能大于C也可能小于。，則：（加-或（冽一。）（九一。）<0,故選項D錯誤；

故選：B.

16.B

【分析】本題主要考查二次函數的性質，掌握二次函數的性質，并根據題目條件靈活應用是

解題的關鍵.

4〃

二次函數歹=辦2+4辦一5的對稱軸為x=—2,即可判斷①；當x=—2時，

2a

y=4tz-Set-5=—4tz—5，當x=—1時，y=Q-4tz—5=—3a—5，當x=-4時，y=16Q_16Q—5=—5,

分當a>0時，一4。一5WyK—5,當a<0時，一5W歹W—4a—5,進行求解即可判斷②；當歹=0

時，0=辦2+4〃工一5,貝!J△=（4Q）2+20Q=16Q2+20Q>0,分當。〉0時，A>0,當x=l時,

a+4a-5=5a-5>0,當a<0時，A>0,當x=l時，a+4a-5=5a-5<0f求解即可判斷

③；由A=16/+（20+4〃”，分情況討論即可判斷④.

4/7

【詳解】解：二次函數y=a/+4辦一5的對稱軸為x=—丁=-2,

2a

-m-l-（-2）=-m+l,（-2）-（m-3）=-m+l,則以西,馬為橫坐標的兩個點關于對稱軸對稱，

故對應的函數值相等，故①正確；

當x=—2時，y—4Q_8Q_5=_4Q—5,

答案第19頁，共42頁

當x=-1時，y=a—4a—5=-3ci—5,

當x=-4時，y=l6a—16a—5=—5,

當。〉0時，-4〃-5“4-5,對應歹的整數值有4個，分別是-5,-6,-7,-8,

???-9<-4a-5<-8,

3

：.—<a<1,

4

當”0時，-5<y<-4a-5,對應歹的整數值有4個，分別是-5,-4,-3,-2,

???一2<-4a-5<-1,

3

:.—1<QW,

4

33

綜上，-4VXV-1時，對應的了的整數值有4個，則或-“故②正