二次麴數新定義型綜合問題

目錄

解密中考................................................................................1

題型特訓提分............................................................................2

題型一新定義型二次西數之共生我仲BMWfr線.............................................2

題型二新定義型二次圖數之特殊形狀問題..................................................8

題型三新定義型二次語數與其他函數的綠合問題..........................................11

題型四新定義型二次函數與幾何圖形的綠合問題..........................................14

解密電壽

考倩分析:二次函數新定義型綜合題是全國中考的熱點內容,更是全國中考的必考內容。每年都有一些

考生因為知識殘缺、基礎不牢、技能不熟、答欠規范等原因導致失分。

1.從考點頻率看，屬中頻偏高考點，多在壓軸題出現，約占解答題15%—20%。近年隨核心素養考查加

重，頻率略有上升,各地試卷年均1-2題，常與函數性質、幾何綜合結合。

2.從題型角度看，以解答題為主（占比超80%）,分三類:①新定義概念（如“友好拋物線”），需根據定義求

解析式;②新性質探究（如“最值點”關系），需推導規律;③跨知識應用（如結合坐標系定義“距離函數”），綜合

度高，分步設問（2—3小問）。

備考策略：1.強化讀題建模:圈畫新定義關鍵詞，用示例輔助理解（如通過圖像標注“新頂點”）；

2.分階訓練:先練單一知識點新定義（如僅含函數），再攻幾何代數綜合題；

3.提煉通法:按“理解定義t翻譯條件一聯立方程/幾何關系-驗證結果”步驟解題,注意分類討論與數

形結合，積累典型模型（如“對稱型”“最值型”新定義）。

題蟄特調提分

題型一新定義型二次函數之共生或伴st加物線

1.（24—25九年級下?江西撫州?階段練習）新定義：若二次函數為力=€^2+6/+c（a#O,a,b,c是常

數），則稱U2=-a"+be-c為功的“關聯”二次函數,稱這兩個函數為互為“關聯”二次函數.

（1）寫出夕=〃—4c+1的“關聯”二次函數的表達式,并寫出該互為“關聯”二次函數的圖象的一個性

質；

（2）若（1）中的互為“關聯”二次函數的圖象與正比例函數4=far（R#O）的圖象只有兩個交點，求R的

值；

（3）如圖，二次函數S與y2互為“關聯”二次函數，4B分別是互為“關聯”的兩個二次函數功與y2的

圖象的頂點，。是紡的圖象與"軸正半軸的交點，連接ABAC,若點A為（一2,1）,且△ABC為

直角三角形，求點。的坐標.

1.明確定義:緊扣題目對“共生伴隨拋物線”的定義（如頂點關聯、系數對稱等），例:若定義為“與原拋

物線對稱軸相同,開口方向相反”，則設原拋物線為y=a（x—拉丁+鼠伴隨拋物線為y=-a（x-K）2+

ko

2.聯立關系：根據定義列解析式，結合交點、最值等條件聯立方程（如兩拋物線交于立軸同一點,代入

求解a、h、fc）o

3.分類討論:若定義含多種情形（如伴隨拋物線頂點為原拋物線與沙軸交點），需分情況推導,驗根時

確保符合所有約束條件。

4.數形結合：通過畫圖直觀呈現兩拋物線位置關系,輔助分析參數取值范圍。

2.（2025?河南焦作?一模）新定義：如果二次函數夕=ax2+bx+c（a#0）的圖象經過點（—1,0）,那么稱此

二次函數圖象為“定點拋物線”.

⑴若拋物線“="—mc+2—卜與c軸只有一個公共點，且是“定點拋物線”，求該拋物線的表達式.

（2）已知拋物線夕=+"*一m+"為常數，且0）.

①求證:該拋物線為“定點拋物線”；

②若小<0,當拋物線的頂點在最低位置時，拋物線上有兩點。（2,s）,（瓦土），當時,求k的取值范

圍.

3.（23—24九年級上?浙江?期中）新定義:我們把拋物線yi=ax2+bx+c與拋物線外=bd+arc+c其

中ab￥0）稱為“關聯拋物線”.例如：拋物線%=3d+4尤+2的“關聯拋物線”為紡=4d+3工+2.

2

已知拋物線Ci：%=2ax+ac+a-2（a￥0）的“關聯拋物線”為C2.

（1）寫出拋物線a的函數表達式（用含a的式子表示）統=，頂點坐標為.

（2）對于G和Q，當幼〉紡時，求力的取值范圍.

（3）若a>0,當a—3WcWa—1時，a的最大值與最小值的差為2a,求a的值.

4.（2025?山東?一模）新定義:我們把拋物線y=ax2+bx+c（其中ab￥0與拋物線y=bx2+ax+c稱為

“關聯拋物線”，例如，拋物線y=2d+3宓+1的“關聯拋物線”為y=3x2+2x+l,已知拋物線G：y

=4ax2+ax+4：a-3（a>0）的''關聯拋物線”為G，G與沙軸交于點E.

（1）若點E的坐標為（0,-1）,求G的解析式；

（2）設G的頂點為尸，若△OE尸是以。尸為底的等腰三角形，求點E的坐標；

（3）過①軸上一點P,作①軸的垂線分別交拋物線G，G，于點M，N.

①當MN=6a時，求點P的坐標

②當a-4&;rWa—2時，。2的最大值與最小值的差為2a,求a的值.

5.(2025?遼寧阜新?一模)在數學活動課上，小明興趣小組對二次函數的圖象進行了深入的探究,如果將

二次函數：夕++c(aW0)圖象上的點人(a:,,)的橫坐標不變，縱坐標變為A點的橫、縱坐標之

和，就會得到的一個新的點A(x,2+9).他們把這個點4：定義為點人的“和點”.他們發現:二次函

數U=+尻+c(a#0)所有和點構成的圖象也是一條拋物線，于是把這條拋物線定義為y=ax2+

bx+c(a#0)的''和拋物線”.例如，二次函數,=x2+x+l的“和拋物線”就是y=x2+x+l+x=

/+22+1,請按照定義完成：

(1)點P(l,2)的''和"點是；

(2)如果拋物線y=x2+bx+3(a#0)經過點河(1,一3),求該拋物線的“和拋物線”；

(3)已知拋物線y=x2+bx+c圖象上的點B(x,g)的“和點”是瓦(一1,1)，若該拋物線的頂點坐標為

(p,q),該拋物線的“和拋物線”的頂點坐標為(m,n).

①當0WcW5時，求ri的取值范圍.

②小明發現，當c取不同值時，所有的頂點(p,q)組成一條新的拋物線,設為外，所有的頂點g,n)也

組成一條新的拋物線，設為以，請直接寫出這兩條新拋物線頂點之間的距離.

6.如圖，拋物線力:9="一4c+3上的點A,口，C,。分別關于直線y=1的對稱點為分

別關于點P(O,1)中心對稱的點為A",8〃，如下表:

40,3)8(1,0)。⑵—1)。(3,0)

4(0,—1)8(1,2)0(2⑶“3,2)

A,f(0,-1)B"(—1,2)。'(_____，_____)。"(―3⑵

(1)①補全表格；

②在下圖中，描出表格中的點4,再用平滑的曲線依次連接各點得到的圖象記為〃；描出

表格中的點人〃，B",C",再用平滑的曲線依次連接各點，得到的圖象記為

形成新定義:直線n=m與y軸交于點P(O,m)，我們把拋物線L關于直線y=m的對稱拋物線L1,叫

作拋物線L的“共線拋物線”;把拋物線L關于點P(O,m)中心對稱的拋物線乙2,叫作拋物線L的“共

點拋物線”.

問題探究

(2)①若拋物線L與它的“共點拋物線”L2的函數值都隨著力的增大而減小，求力的取值范圍；

②若直線y=m與拋物線入、“共線拋物線”"，“共點拋物線”L2有且只有四個交點,求m的取值范

圍.

③已知拋物線L：夕=加2—2a;r+a+3的“共線拋物線”右的解析式為y=--^-x2+kx--^-k2-5.

請寫出拋物線L的“共點拋物線”乙2的解析式.

7.(24-25九年級上?遼寧鐵嶺?期末)閱讀以下材料，并解決相應問題：

定義義口果二次函數沙=￡11謨+30；+5(電片0,電,bi，ci是常數)與夕=&2如+62±十。2((12片0,a2>b2,

C2是常數)滿足&+=1,Cl=C2且對稱軸相同的二次函數互為''友好對稱二次函數”.例如：y=

2"+4X-3的“友好對稱二次函數”為y=—/—2必一3.

⑴夕=-善"的，，友好對稱二次函數，，為”=-靖+2t+3的“友好對稱二次函數”為；

(2)關于“友好對稱二次函數”，下列結論正確的是;(填序號)

①二次項系數為1的二次函數沒有“友好對稱二次函數”;

②二次項系數為y的二次函數的“友好對稱二次函數”是它本身；

(3)y=ax2—2ax+3(a#l)的“友好對稱二次函數"為4=(1—a)rr2—2(1—a)s+3；

④任意兩個“友好對稱二次函數”與y軸一定有交點,與比軸至少有一個二次函數有交點.

2

⑶如圖，二次函數乙皿=ax-4ax+l(a#1)與其“友好對稱二次函數”L2都與y軸交于點4點

C分別在〃，乙上，點B,C的橫坐標均為m(0<m<2)，它們關于L,的對稱軸的對稱點分別為點B',

。，連接BBLB'C',C'C,CB.若巾=1,且四邊形WOC的鄰邊之比為1:2,直接寫出a的值.

題型二新定義型二次函數之精殊移狀問題

8.定義：由兩條與①軸有相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”.

【概念理解】

（1）拋物線%=2（力一1）（>—2）與拋物線例=靖一3必+2是否圍成“月牙線”？說明理由.

【嘗試應用】

⑵拋物線%/Q—I）z—2與拋物線紡=a靖+近+c（a>/）組成一個如圖所示的“月牙線”，與

力軸有相同的交點河，N（點河在點N的左側）,與y軸的交點分別為A,B.

①求a:b:c的值.

②已知點P（T0,m）和點Q（如n）在“月牙線”上，山〉小且巾—九的值始終不大于2,求線段43長的

取值范圍.

1.拆解新定義：明確“特殊形狀”的幾何特征（如拋物線與坐標軸圍成等腰梯形、頂點與交點構成等邊三

角形等）,標注關鍵條件（邊長、角度、對稱關系）。

2.坐標代數化:設二次函數為y=ax2+bx+c,求頂點、與坐標軸交點坐標，用距離公式、斜率表示形狀

邊/角關系（如\AB\=|BC|fcWBC=-l）o

3.分類討論建模:按形狀頂點位置或邊的對應關系分情況，列方程（組）求解（如等腰三角形分頂角在頂

點或底邊）,注意判別式與定義域限制。

4.圖形驗證:代入解驗證是否滿足形狀定義，舍去退化解（如三點共線的三角形）,結合圖像判斷參數合

理性。

9.二次函數"="—的圖象交力軸于原點。及點4

感知特例

⑴當m=1時，如圖1,拋物線乙：9="—上的點B,O,。，人，。分別關于點A中心對稱的點為

A,D,如下表：

0(0,0)C(LT)4―，—)。(3,3)

B\5,-3)O'(4,0)。(3,1)4(2,0)。'(1,一3)

①補全表格；

②在圖1中描出表中對稱后的點，再用平滑的曲線依次連接各點,得到的圖象記為，.

形成概念

我們發現形如(1)中的圖象，上的點和拋物線刀上的點關于點A中心對稱，則稱□是L的“孔像拋物

線”.例如，當巾=—2時，圖2中的拋物線L'是拋物線L的“孔像拋物線”.

探究問題

⑵①當m=-1時，若拋物線L與它的“孔像拋物線"L'的函數值都隨著x的增大而減小，則c的取值

范圍為;

②在同一平面直角坐標系中，當m取不同值時，通過畫圖發現存在一條拋物線與二次函數4=

2mx的所有“孔像拋物線”〃，都有唯一交點,這條拋物線的解析式可能是.(填“9=附2+辰

+c”或"y=ax2+bnc"或"y=ax2+c"或"y=a/",其中abc半0)；

③若二次函數y=x2-2mx及它的“孔像拋物線”與直線y=m有且只有三個交點，求成的值.

10.定義:若直線夕=-1與開口向下的拋物線有兩個交點，則這兩個交點之間的距離叫做這條拋物線的

“反碟長”.如圖，已知拋物線Li：y=—〃與直線,1相交于p,Q.

⑴拋物線好的“反碟長"PQ=.

（2）拋物線隨其頂點沿直線y=^x向上平移，得到拋物線L2.

①當拋物線〃的頂點平移到點（6,3）,拋物線L的解析式是.拋物線"的“反碟長”是

②若拋物線。的“反碟長”是一個偶數，則其頂點的縱坐標可能是.（填寫所有正確的選項）

A.15B.16C.24D.25

③當拋物線L2的頂點A和拋物線L2與直線y=-1的兩個交點。構成一個等邊三角形時（點B在

點C左右），求點A的坐標.

題型三新定義型二次系數與其他函數的綜合問題

11.（2025?湖南岳陽?模擬預測）【定義】在平面直角坐標系中，對于“積值”給出如下定義:點人（力,9）是函數

圖象上任意一點,橫坐標x與縱坐標y的乘積xy稱為點A（x,y）在函數圖象上的“積值”；

【舉例】已知點4（1,4）在函數沙=力+3的圖象上，點41,4）在函數“=3；+3圖象上的“積值”為叼=

1x4=4.

【問題】根據定義，解答下列問題：

（1）已知點B是函數9=立圖象上任意一點，則點B在該函數圖象上的“積值”為；

X-------

（2）求點M（m,-3）在函數夕=爐+4尤+1圖象上的“積值”；

（3）已知點「（然,為）在函數沙=21一b（b為常數，且6>4）的圖象上，當OWcWl時，點P在函數夕=

2c—b圖象上的“積值”的最小值為一3,求b的值.

巧

1.吃透雙定義:先明確二次函數新定義（如“聯動函數”），再分析其他函數（一次/反比例）性質，標注交

點、增減性等關聯點。

2.聯立方程求解:將兩函數解析式聯立,轉化為一元二次方程（如ax2+bx+c=kx+小）,用判別式判

斷交點個數，或用韋達定理求參數關系。

3.數形結合分析:畫草圖觀察兩函數位置（如二次函數頂點在反比例函數圖象上），結合新定義條件（如

“最低點縱坐標等于一次函數截距”）列等式。

4.分類討論參數:若新定義含參數,分情況討論參數對兩函數交點、最值的影響,驗根時兼顧定義域與實

際意義。

12.(2025?遼寧盤錦?模擬預測)定義：若以函數夕圖象上的點P與平面內兩個點A,B為頂點構成的三角

形是等邊三角形，則稱P是U上關于A,口的“等邊點”.在平面直角坐標系中，已知4(0,3),8(—1,

0),0(3,0).

(1)正比例函數功上存在關于的“等邊點”，直接寫出正比例函數%的解析式；

(2)點Q是“軸正半軸上一點，點P是反比例函數例上關于C，Q的“等邊點”，且PC〃4軸，求反比例

函數改的解析式；

(3)二次函數統過點4B,。，則明的解析式為；

①如圖①,射線AK交多軸于點K,點人是y3上關于Af,N的“等邊點”，其中“在射線AKI.,N在射

線AC上，求點K的坐標；

②如圖②，點E是第一象限內二次函數燈的對稱軸上一動點，若點P是窩上關于。，后的等邊點，直

接寫出點P的橫坐標.

13.（2024?浙江湖州?一模）定義:對于g關于力的函數，函數在◎4/&電（61<%2）范圍內的最大值，記作

如函數g=2/，在-=范圍內，該函數的最大值是6,即，1,3]=6.

請根據以上信息，完成以下問題：

已知函數y=（Q—I）%?—42+Q2_1（。為常數）

（1）若Q=2.

①直接寫出該函數的表達式，并求"[1,4]的值；

②已知聞謂]=3,求2的值.

（2）若該函數的圖象經過點（0,0）,且3,知=配求k的值.

題型四新定義型二次系數與幾何圖冊的綜合問題

14.(2024.上海虹口.二模)新定義：已知拋物線g=0砂+法+c(其中abcW0),我們把拋物線g=c/+0力

+b稱為y=ax2+bx+c的“輪換拋物線”.例如:拋物線y=2x2+3x+l的“輪換拋物線”為y=x2

+2/x+3.

已知拋物線C?y=4mx2+(4m-5)2:+m的“輪換拋物線”為&，拋物線G、G與0軸分別交于點

E、尸，點E在點F的上方，拋物線&的頂點為P

(1)如果點E的坐標為(0,1),求拋物線G的表達式；

(2)設拋物線&的對稱軸與直線y=3x+8相交于點Q,如果四邊形PQEF為平行四邊形，求點E的

坐標；

⑶已知點M(-4,n)在拋物線&上，點N坐標為(-2,-7y),當&PMN與APEF相似時，求小的

值.

1.譯定義條件:將新定義(如“拋物線與三角形構成'關聯圖形’”)轉化為坐標關系，例:頂點在三角形某

邊上,或與邊交點滿足特定距離。

2.建函數與幾何橋梁:用二次函數解析式表示幾何圖形頂點/交點坐標,結合全等/相似、面積公式等列方

程(如用距離公式表示邊長相等)。

3.分情況討論:按幾何圖形位置(如頂點在左/右側)或新定義多情形分類，避免漏解。

4.驗圖形邏輯:代入解驗證是否符合幾何圖形完整性(如三角形不共線、拋物線不與邊重合)，結合圖像舍

去矛盾解。

15.（24—25九年級上?上海浦東新?階段練習）新定義:對于拋物線y=ax2+brr+c,若〃=ac,則稱該拋

物線是黃金拋物線，若拋物線y=x2-2x+m是黃金拋物線，與u軸交于點力，頂點為。.

（1）求:此黃金拋物線的表達式及。點坐標；

（2）點B（2,k）在這個黃金拋物線上.

①點C（c,-*）在這個黃金拋物線的對稱軸上，求：NOBC的正切值.

②在射線AB上找一點P,使以點P、4。所組成的三角形與XAOD相似，求：P點坐標.

16.新定義:關于，軸對稱的兩條拋物線叫做“同軸對稱拋物線”.

（1）求:拋物線y=-ycc2+x+l的”同軸對稱拋物線”.

（2）如圖，在平面直角坐標系中，點口是拋物線L:y=ax2-4ax+l上一點,點B的橫坐標為1,過點B

作立軸的垂線，交拋物線力的“同軸對稱拋物線”于點。，分別作點B、。關于拋物線對稱軸對稱的點

B\C.

①當四邊形8BOC為正方形時，求：a的值.

②在①的條件下,拋物線L的“同軸對稱拋物線”的圖像與一次函數夕=x-l相交于點河和點N（其

中河在N的左邊），將拋物線L的“同軸對稱拋物線”的圖像向上平移得到新的拋物線L'與一次函數“

=，—1相交于點P和點Q（其中P在Q的左邊），滿足PM+QN=MV,試在拋物線L'上有且僅有三

個點/，R2,品，使得△跖VRI，△MN%，ZWN%的面積均為定值S,請直接寫出：風,顯，用的坐標?

17.（2024?廣東東莞?三模）閱讀理解

【信息提取】

新定義：在平面直角坐標系中，如果兩條拋物線關于坐標原點對稱，則一條拋物線叫另一條拋物線的

“友好拋物線”.

新知識:對于直線7/1=卜逆+仇（自手0）和92=k2x+b2（A；2￥o），若自?=—1，則直線U1與Vi互相垂直;

若直線仍與為互相垂直，則自,k2=—L

【感知理解】

（1）拋物線儀=—23+2）2—3的“友好拋物線”為y2=；

22

（2）若拋物線y1=ax+bx+c（a/0）與y2=mx+nx+0）互為“友好拋物線”，則a與m的數

量關系為,b與n的數量關系為,c與q的數量關系為;

【綜合應用】

（3）如圖,拋物線"一42+3的頂點為E,h的“友好拋物線”12的頂點為尸，過點O的直線13與

拋物線卜交于點3（點4在B的左側）,與拋物線12交于點C,。（點。在。的左側）.若四邊形