二次函數相似三角形存在性問題

模型原理

1.要素分析

①相似三角形存在性問題的關鍵在于先找到一組等角，有時明顯，有時隱蔽.

比較明顯的如存在公共角、對頂角、雙直角等；比較隱蔽的如需要通過計算說理或通過構造等角.

②若相似的三角形中有一個確定的三角形，可以先對其邊、角作研究，定邊求定長，定角求定比，然后再尋找

目標三角形.d

注：定邊定長：確定的邊，其長度確定，必可求；

定角定比：確定的角，其三角函數值確定，必可求./

2相似處理乙

此處根據題目條件靈活選擇：

①導邊處理：以這兩個相等角的兩鄰邊分兩種情形對應成比例列方程；

如圖.在^ABC和仆DEF中,若已確定/A=ND,則要使△ABC與ADEF相似，需要分兩種情形討論：

察=器或篝=器，再依次列方程求解?此法通用性更強，普適性更廣，往往是首選.

②導角處理：使另兩個內角分兩類對應相等；

ABCfflADEF中，若已確定NA=ND,則要使△人：6(2與4DEF相似，需要分兩種情形討論:/B=NE,

或/B=/F,再導角分析處理.

此法最后常轉化為角的存在性問題.

真題精煉

1如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=~2x+6的圖象與X軸交于點A，與y軸交于點B,拋物線y

=-x2+bx+c經過A、B兩點，在第一象限的拋物線上取一點D，過點D作DC回光軸于點C,交AB于點E.

⑴求這條拋物線所對應的函數表達式；

⑵是否存在點D,使△BDE和AACE相似?若存在，請求出點D坐標，若不存在，請說明理由；

2拋物線Ci：y=，-2x-8交x軸于A,B兩點(A在B的左邊).交y軸于點C.

⑴直接寫出A,B,C三點的坐標.

⑵如圖⑴，作直線%=t(0<t<4),分別交x軸，線段BC，拋物線(G于D,E,F三點，連接CF.若ABDE

與△CEF相似,求t的值.

3綜合與探究如圖，拋物線y=-x2+bx+c上的點A,C坐標分別為(0,2),(4,0),拋物線與x軸負半軸交

于點B,點M為y軸負半軸上一點，且(OM=2,連接AC,CM.

⑴求點M的坐標及拋物線的解析式；

⑵點P是拋物線位于第一象限圖象上的動點，連接AP,CP，當S?AC=SMCM時，求點P的坐標；

(3)點D是線段BC(包含點B,C)上的動點，過點D作x軸的垂線,交拋物線于點Q,交直線CM于點N,若

以點Q,N,C為頂點的三角形與△COM相似，請直接寫出點Q的坐標；

4如圖，已知拋物線y=-x2+bx+cc經過A(0,3)和BQ>-￡)兩點，直線AB與x軸相交于點C,

P是直線AB上方的拋物線上的一個動點，PDLx軸交AB于點D.

(1)求該拋物線的表達式；

⑵若PE〃x軸交AB于點E，求PD+PE的最大值；

⑶若以A,P,D為頂點的三角形與△AOC相似，請直接寫出所有滿足條件的點P,點D的坐標.

5如圖，拋物線y=a/+"+2與x軸交于A,B兩點，且。2=20B,與y軸交于點C,連接BC,拋物線

對稱軸為直線x=l，D為第一象限內拋物線上一動點，過點D作DE1。4于點E,與AC交于點F，設點D的橫

(2)當線段DF的長度最大時，求D點的坐標.

(3)拋物線上是否存在點D，使得以點0,D,E為頂點的三角形與△BOC相似?若存在，求出m的值；若不

存在，請說明理由.

1如圖，二次函數y^x2+bx+3的圖象與y軸交于點A，過點A作z軸的平行線交拋物線于另一點B,拋物

線過點C(1,O),且頂點為D,連接AC、BC、BD、CD.

⑴填空:b=.

⑵點P是拋物線上一點，點P的橫坐標大于1,直線PC交直線BD于點Q若/CQD=ZACB,求點P的坐標.

【答案】(D-4

(2)(3,0)或(|，一§.

【解析】⑴；拋物線過點0(1,0),

...將C(l,0)代入y=x123+bx+3得0=l+b+3,

解得b=-4,

故答案為：-4.

(2)由(1)可得拋物線解析式為y=/—4x+3,

當x=0時,y=3,

；.A的坐標為(0,3),

當y=3時得33=%2-4%+3,

解得xi=0如=4,

.?.點B的坐標為(4,3),

y=%2-4%+3=%-22—1,

頂點D的坐標為(2,-1),

設BD與z軸的交點為M作CHLAB于H,DGXCM于G,

1

tanZACH=tanZOAC=-

3

根據勾股定理可得BC=3V2,CD=V2,BD=2層

.BD=y/BC2+CD2,

???乙BCD=90°,

???tanZ.CBD=

3

???ZACH=ZCBM,

ZHCB=ZBCM=45°,

，ZACH+ZHCB=ZCBM+ZMCB.

gpZACB=ZCMD.

①Q在CD上方時：

若NCQD=NACB,則Q與M點重合，

y=x2—4x+3中，令y=0,解得：x=l或3,

..?拋物線與x軸的另一個交點坐標為(3,0),

即此時P的坐標為(3,0),

②Q在CD下方時：

過點Q作QKLz軸過點O作CL1QM于點L,過點A作ANXBC于點N,

可得：AB=4,BC=3?AC=V10,

設ON=x，貝（JBN=3a—x,

在小ABC中，AC2-CN2=AB2-BN2,

即VTO—%2=42—（3A/2—%）解得：x=VX

???cosZ-ACN=—=—

AC5;

設直線BD的表達式為:y=mx+n,將B,D代入得：

{3=4m+ri-1=2m+幾解得：{zn=2九=—5,

直線BD的表達式為y=2m-5,

令y=0,貝％?，即點

設點Q坐標為（82。-5）,

3［（

QK=S-2a,CM=-,QM=a--）+（2a-5）2.

乙、'乙'

'：ZACB=ZCMD,ZACB=ZCQD,

NCMD=NCQD,即CQ=CM=|,

coszCQD=cos^ACB=^=—,

yCQ5

cr3A/5八八〃3A/53V5

y10y55

在4CQM在?KQ=RM?CL,

艮|.KQ=誓.手，解得：KQ.

■■-CK=dCQ2-KQ2=春

設直線CQ表達式為:y=sx+t,將點C和點Q代入,

4

0=s+ts=--

｛一=4+t解得g43

510t=~

則CQ表達式”-打+李聯立:

：y=-ix+i解得｛2%

y=/一?+3

'58'

即點P坐標為—)------

39.

5_8

綜上：點P的坐標為（3,0）或

【標注】【知識點】二次函數與動點問題

2如圖，二次函數y=-/+2mx+2m+l（m是常數，且m>0）的圖象與z軸交于A,B兩點（點A在點B的

左側），與y軸交于點o，頂點為D,其對稱軸與線段BC交于點E,與X軸交于點F,連接AC,BD.

⑴求A,B,C三點的坐標（用數字或含m的式子表示）,并求NOBC的度數.

⑵若NACONCBD,求m的值.

⑶若在第四象限內二次函數y=-z2+2mx+2m+l（m是常數，且m>0）的圖象上，始終存在一點P,使得N

ACP=75。請結合函數的圖象，直接寫出m的取值范圍.

【答案】(1)A(-l,0),B(2m+l,0),C(0,2m+l),45°

(2)m=l.

(3)0<m<等.

【解析】(1)當Q時,—X2+2mx+2m+1=0,

解方程，得Xi=1/2=2m+l,

??,點A在點B的左側，且m>0,

.?.A(-l,0),B(2m+l,0),

當x=0時,y=2m+l,

.,.C(0,2m+l),

???OB=OC=2m+l,

???乙BOC=90°,

■:ZOBC=45°.

⑵如圖1中，連接AE.

:y=-x2+2mx+2m+1=—(%—m)2+(m+l)2,

???D(m,(m+l)2),F(m,0),

DF=(m+l)2,OF=m,BF=m+1,

???A,B關于對稱軸對稱，

JAE=BE.

???乙EAB=Z.OBC=45°,

???ZAEC=90°,

???ZACO=ZOBD,ZOCB=ZOBC,

???NACO+NOCB=NCBD+NOBC,即NACE=NDBF,

VEF/7OC.

」4EBEBF入nlDF,.

???tan乙4cB=——=—=—=tanZ-DBF=——=m+1,

OECEOFBF

m+1.

???--=m+1,

m

Am=l或-1,

*.*m>0,

m=1.

⑶如圖，設PC交x軸于點Q.

當點P在第四象限時，點Q總是在點B的左側，此時NCQA>NCBA,即aQA>45°

???乙4CQ=75°,

Z.CAO<60°,

???2m+1<V3,

/A/3—1

???m<---,

2

【標注】【知識點】二次函數與角度問題

3如圖在平面直角坐標系中，一次函數y=-2x+6的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B拋物線y=-x2+bx

+c經過A、B兩點，在第一象限的拋物線上取一點D，過點D作DCLz軸于點C,交AB于點E.

(1)求這條拋物線所對應的函數表達式；

(2)是否存在點D，使得△BDE和4AOB相似?若存在，請求出點D的坐標，若不存在，請說明理由；

【答案】(Dy=-/+x+6(2)點D的坐標為(1,6)或

【解析】【分析】

⑴先求出A、B的坐標，然后代入y=-%2+bx+c,求出b、c的值即可；

⑵由對頂角的性質性質知NAEC=NDEB,若存在△BDE^AACE相似，則有△ACEs△BDE和△ACE^ADBE

兩種情況，然后分情況討論，利用相似三角形的性質求解即可；

【詳解】

⑴解:令y=0,則-2x+6=0,則x=3;令z=0,則y=6；.A(3,0),B(0,6)把A(3,0),B(0,6)代入y=-x2+bx+c,得:

2

-9+3b+c=。解得：｛6這條拋物線所對應的函數表達式為：y=-x+x+6;:

⑵解存在點D,使得ABDE和小ACE相似.設點D(t--t2+t+6)則E(t,-2t+6).C(t,O),H(t,6”.EC=-2t+6,AC=3-t,

811=匕口｝1=，2+匕口￡=42+31：2\8口￡和4ACE相似,NBED=/AEC.^.△ACEs△BDE或△ACEs^DBE①如圖1,當4

ACE^ABDE時,/BDE=/ACE=90°

圖1

.?.BD〃AC；.D點縱坐標為6，-t2+t+6=6,解得:t=0或t=l；.D(1,6)②如圖2,當4ACB^ADBE時,/BDE=/CAE

182

過B作BH±DC于H.乙BHD=90。—=tan^BDE=tan^CAE=—???—^―=9=2；.—2產+2t=t,解得:t

DHQA—tz+t3

=0(舍去)或(=In&與)綜上所述,點D的坐標為(1,6)或Gq)

4拋物線C1：y=/_2x_8交X軸于A,B兩點(A在B的左邊),交y軸于點C.

(1)直接寫出A,B,C三點的坐標.

(2)如圖⑴，作直線x=t(0<t<4),分別交z軸線段BC,拋物線Ci于D,E,F三點，連接CF若△BDE與仆CEF相似，求

t的值.

【答案】(1)A(-2,0),B(4,0),C(0,-8).

(2)t的值為2或日

【解析】(I)：.拋物線解析式為y=%2-2%-8,

當y=0時，x2-2x-8=0,,當x=0時,y=-8,

解得:xi=-2,X2=4,

.??A(-2,0),B(4,0),C(0,-8).

(2)VF是直線x=t與拋物線Ci的交點，

.".F(t1t2-2t-8).

①如圖，若△BE】Dis△CEiFi,

ZBCFi=ZCBO.

；.OFi//OB

VO(0,-8),

.*.t2-2t-8=-8.

解得,t=0倍去)或t=2.

②如圖，若△BE2D3△F2E2c時，過F2作F2T±g軸于點T.

???Z.BCF2=Z.BD2B2=/-BOC=90°,

乙乙

???^OOB+OBC=OCB+ZTCF2=90°,

???Z-TCF2=/-OBC,

乙

???Z.CTF2=BOC=90°,

.,.△BCO^ACF2T,

F2T_CT

??co~BO

VB(4,0),C(0,-8),

AOB=4,OC=8,

22

VF2T=t,CT=-8-(t-2t-8)=2t-t.

.t_21—一

-8-4，

解得.t=(y(舍去)或d=|

綜上，t的值為2或|

5綜合與探究如圖拋物線y=-x2+bx+c上的點A,C坐標分別為(0,2),(4,0)拋物線與x軸負半軸交于點B,

點M為y軸負半軸上一點，且OM=2,連接AC,CM.

(1)求點M的坐標及拋物線的解析式；

(2)點P是拋物線位于第一象限圖象上的動點，連接AP,CP,當SNAC=S44cM時，求點P的坐標；

(3)點D是線段BC(包含點B,C)上的動點，過點D作x軸的垂線,交拋物線于點Q,交直線CM于點N,若

以點Q,N,C為頂點的三角形與△COM相似，請直接寫出點Q的坐標；

【答案】(l)M(O，-2),y=—刀2+(久+2(2)P(2,5)(3)QI(-|-O),(22(|，5)

【解析】⑴解:：點M在g軸負半軸且OM=2,

；.M(0,-2)將A(0,2),C(4,0)代入y=-x2+bx+c,

/gC=2

彳守—16+4b+c=0

{b-

解c占

..?拋物線的解析式為y=-x2+|x+2

⑵解:過點P作PF±x軸于點F,交線段AC于點E,

設直線AC的解析式為y=kx+m(k^0),

將A(0,2),C(4,0)代入y=kz+m,

得f7n=2

14k+m=O'

解得｛k==2,

???直線AC的解析式為：=-|x+2設點P的橫坐標為p(0<p<4)貝!]尸(Pi-p2+gp+2)

E(p‘-1+2),

PE=-p?+(p+2—(—]p+2)=—p2+4P(0<p<4)

VSAACM=8,

1r

■■■SAPAC=-PE-OC=-2p2+8p=8,

解得P1=P2=2,

；.P(2,5)

(3)QI(|，5),Q2(_?。),

補充求解過程如下：

?.?在△COM中,4COM=90°,

以點Q,N,C為頂點的三角形與△COM相似，

..?以點Q,N,C為頂點的三角形也是直角三角形,

又?；QD±x軸直線QD交直線CM于點N,

/CNQM0。,即點N不與點O是對應點.

故分為ZCQN=90。和NQCN=90。兩種情況討論

①當乙CQN=90。時，由于QN±x軸，

???CQLy軸，即CQ在x軸上，

又???點Q在拋物線上，

...此時點B與點Q重合，作出圖形如下：

止匕時NCQN=NOOM=90。,

又：NQCN=NOCM

△CQNs^cOM,即此時符合題意.

令y=-x2++2=0

解得--^,x2=3（舍去）

???點Q的坐標，也即點B的坐標是Qi

②當NQCN=90。時作圖如下：

:QD_Lz軸,NCOM=90。

.,.QD//OM,

/.ZONQ=ZOMC,

ZONQ=ZOMC,ZQCN=ZCOM=90°,

/.△QCNs^cOM,即此時符合題意，

VAQCN^ACOM,

ZCQN=ZOCM,BPZDQC=ZOCM

ZDQC=ZOCM,ZQDC=ZOOM,

.".△QDC^AOOM

?嗡=黑=；2,QD=2。設點Q的橫坐標為q,

貝!］（（q，-q2+2）,f）（q，o）,

。7

QD=—q+5q+2,CD=3-q

-q2+(q+2=2(3—q),

解得Qi=Q2=3(舍去),

r7

???—q2+&q+2=5,

；?點Q的坐標是Q2(|-5)

綜上所述:點Q的坐標是Q：(一？0)，Q2(|，5);

【標注】【知識點】二次函數

5如圖，已知拋物線y=-x2+bx+c經過A(0,3)和B3兩點，直線AB與x軸相交于點C,P是直線A

B上方的拋物線上的一個動點，PD±x軸交AB于點D.

(1)求該拋物線的表達式；

⑵若PE//X軸交AB于點E,求PD+PB的最大值；

⑶若以A,P,D為頂點的三角形與△AOC相似，請直接寫出所有滿足條件的點P,點D的坐標.

【答案】(l)y=-%2+2x+3

⑵最大值為答

48

(3)P(2,3),D(2,0)或P(瀉)，嗚1)

【分析】

(1)直接利用待定系數法，即可求出解析式；

(2)先求出點C的坐標為(2,0),然后證明RtADPE-RtAAOC,設點P的坐標為(恤—-+2爪+3),其中m>0,

則點D的坐標為(加-|爪+3),分別表示出PD和PE,再由二次函數的最值性質，求出答案；

(3)通過題意，可分為兩種情況進行分析:當△AOC-AAPD時;當4AOC-ADAP時;分別求出兩種情況的點的坐標,

即可得到答案.

⑴解：(1”.?拋物線y=-/+bx+cc經過A

c=3

{-(5)2+:b+c