2025年中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)題型銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

1.如圖，在四邊形ADBE中，對(duì)角線AB,瓦＞相交于點(diǎn)凡且A尸=3尸，EF=DF.過(guò)點(diǎn)

/作AC〃EO,交8。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,.

請(qǐng)從“①AF=EF；②AB=4C”這兩組條件中任選一組作為已知條件，填在橫線上(填序

號(hào))，再解決下列問(wèn)題：

(1)求證：四邊形ADBE是矩形；

12

(2)若tanC=(，AE=5,求線段。尸的長(zhǎng).

2.綜合與實(shí)踐

綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng).

在矩形4BCD中，AB=8,AD=6,將矩形A3。繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形AEPG,其

中點(diǎn)E,尸分別是點(diǎn)8,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn).

備用圖

⑴如圖1,連接OG,BE則簽的值為

BE

答案第1頁(yè)，共55頁(yè)

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E恰好落在邊CD上，連接BG交AE于點(diǎn)O,連接BE.

①求證：EB平分/AEC；②求證：OG=OB.

(3)若直線EB,DG交于點(diǎn)“，當(dāng)BE=8時(shí)，請(qǐng)直接寫出BH的長(zhǎng).

3.在VA5C中，ABAC=90°,AB=AC.點(diǎn)尸是VA5C所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，連接PA,PB,

且PB=6PA.

(1)如圖1,點(diǎn)尸在VABC內(nèi)，ZABP=30°,求/PA3的大小；

(2)如圖2,點(diǎn)P在VA8C外，連接尸C,設(shè)/APC=a,NBPC=p,用等式表示a,6之間

的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

4.在口抽。0中，AC為對(duì)角線，點(diǎn)G在AB的延長(zhǎng)線上，連接CG,點(diǎn)尸在CG上，線段AF

交BC于點(diǎn)、E,若FA=FC,如圖1.

答案第2頁(yè)，共55頁(yè)

(1)已知/C4D=NG,求證：AC?=CEBC;

(2)如圖2,已知AB1BC,垂足為點(diǎn)E.

①若/GCB=/DAC,求證：AE=FE；

②若AB=右，AD=4,tanZABC=2,求BG的長(zhǎng).

5.如圖，在矩形A3。的8c邊上取一點(diǎn)E,將n4BE沿直線AE折疊得到△AFE,此時(shí)點(diǎn)

8的對(duì)稱點(diǎn)尸恰好落在邊CD上，G為AD中點(diǎn)，連接3G分別與AE,AF交于M,N兩點(diǎn)，

且ZBEM=ZBME,連接FM.

(1)求證：四邊形8EPM為菱形；

⑵若AD=4,求線段CE的長(zhǎng)和sinZDAF的值.

答案第3頁(yè)，共55頁(yè)

6.如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)M,N分別是AB,CO上的點(diǎn)，MN//BC,點(diǎn)E是BC

上一點(diǎn)，將nABE沿AE折疊，使點(diǎn)8落在N上的點(diǎn)尸處.

圖1圖2

⑴若NE4B=60°,證明：點(diǎn)M是AB上的中點(diǎn).

(2)如圖2,延長(zhǎng)E尸與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,EG交CD于懸H,延長(zhǎng)4尸交CO于點(diǎn)P.

①求證：AFHP=APHF；

②當(dāng)點(diǎn)E是8C的中點(diǎn)時(shí)，探究尸N與。V的數(shù)量關(guān)系，并證明.

4

7.如圖1,在平行四邊形A3CD中，AB=7,sin8=w，CELA8于點(diǎn)E,且CE=4.點(diǎn)P

從點(diǎn)E出發(fā)，沿￡3-3<?向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P在該折線上運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為無(wú)(尤>0),連接

EP.

(1)8C的長(zhǎng)為,當(dāng)點(diǎn)尸在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，呼的最小值為:

答案第4頁(yè)，共55頁(yè)

(2)點(diǎn)/是AE的中點(diǎn)，如圖2,

①請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)過(guò)點(diǎn)尸作2C的垂線FG,垂足為點(diǎn)G(保留作圖痕跡，不寫作

法)；

②求證：△3CE四△BWG；

(3)延長(zhǎng)PE到點(diǎn)M,使得EM=2PE,以CE,ME為鄰邊作平行四邊形CEMN.

①當(dāng)點(diǎn)尸在2C上，平行四邊形CEMN對(duì)角線EN所在的直線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)。時(shí)，如圖3,求x

的值；

②當(dāng)點(diǎn)A落在平行四邊形CEMN的邊上或內(nèi)部時(shí)，直接寫出x的取值范圍.

8.折紙是數(shù)學(xué)課中常見的操作活動(dòng)，同學(xué)們可由此進(jìn)行觀察、猜想和證明.如圖1,在矩

形紙片ABCD中，點(diǎn)E在邊上，沿CE折疊矩形ABCD,點(diǎn)B落在點(diǎn)M處，連接BM交CE

于點(diǎn)0.

⑴小明發(fā)現(xiàn)，在圖1中如果延長(zhǎng)9交AO邊于點(diǎn)N,如圖2,則有丁7=不，請(qǐng)說(shuō)明理由；

BNAB

(2)若矩形是一張A4紙］且點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，如圖2所示進(jìn)行折疊與

連線，求N嚶O的值；

D(J

(3)在矩形紙片ABC。中，點(diǎn)E、尸分別在邊43和AD上，連接CE、CF、EF,且EC平

答案第5頁(yè)，共55頁(yè)

BF

分5EF,CE=CF,s"ECF=k,求正的值.

9.已知：口。的切線C尸交直徑A8所在的直線于F。為直徑AB上一點(diǎn)，連接C。并延長(zhǎng)

交口。于點(diǎn)及NCDF=NDCF,

⑴求證：AE=BE；

(2)過(guò)點(diǎn)。作CG，AS于〃，交于口。于點(diǎn)G,連接EG、DG,求證：ZDGE=90°；

(3)在(2)的條件下，HB-.BF=4:5,=1時(shí)，求線段EG的長(zhǎng).

10.如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)4C分另U在x軸和y軸上，點(diǎn)8的坐標(biāo)為(4,6),。是邊CB上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與C、3重合)，反比例函數(shù)>=?(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)。且與邊AB交于點(diǎn)

E,連接DE.

答案第6頁(yè)，共55頁(yè)

(1)如圖1,若點(diǎn)。是C3的中點(diǎn)，求￡點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)如圖2,若直線DE與x軸、y軸分別交于M點(diǎn)，N點(diǎn)，過(guò)。作。軸交于P點(diǎn)，過(guò)E

作EQJ.，軸交于。點(diǎn)，DP與EQ交丁點(diǎn)H,連接P。，求證：DE//PQ.

(3汝口圖3,將V3OE沿DE折疊，點(diǎn)3關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)b，當(dāng)點(diǎn)8’落在矩形。ABC內(nèi)

部時(shí)，求上的取值范圍.

11.如圖，四邊形ABCO的對(duì)角線AC,8。交于點(diǎn)E,ABAD=ZBCD=90°.

A

圖1

(1)如圖1,若NCBD=NEAD,求證:AECE=BEDE.

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)A作APLCD于點(diǎn)P,作AHL8C,交C3的延長(zhǎng)線于點(diǎn)若AC垂直平

分BF,AC與8尸交于點(diǎn)G.

①求證：AB=AD.

答案第7頁(yè)，共55頁(yè)

②若BC=1,tanZBAC=1,求AC+BD的值.

12.在等邊VA8C中，點(diǎn)。在直線BC上，連接AD,過(guò)點(diǎn)5作8/7工AO于點(diǎn)

(1)如圖1,點(diǎn)。在CB的延長(zhǎng)線上，AB=4,tanZADB=^,求的長(zhǎng)度；

2

(2)如圖2,點(diǎn)。在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AE=CD,BE與AD交于點(diǎn)尸,若點(diǎn)尸恰

是A/f的中點(diǎn)，請(qǐng)用等式表示AB與的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)如圖3,點(diǎn)。在BC邊上，過(guò)點(diǎn)、H作HM〃BC,HM=BC.連接AM、CM,將△ACM沿

CD

AC翻折至△C4N,連接。N,BN,請(qǐng)直接寫出當(dāng)4V取得最大值時(shí)工的值.

AM

答案第8頁(yè)，共55頁(yè)

13.△ACF是口。的內(nèi)接三角形，連接0C,過(guò)點(diǎn)。作OHLAC于點(diǎn)

圖3

(1)如圖1.求證：ZCOH=ZAFC；

(2)如圖2.若OC平分/ACF,求證：AC=CF；

(3汝口圖3.在(2)的條件下，AF=0CP時(shí)，連接收，F(xiàn)H交弦LC于點(diǎn)、N,AF交弦CM

于點(diǎn)R,R在線段0尸上，連接AN、LF,若CM=44i,LF〃AN,SQLCF=12,求線段RF的

長(zhǎng).

14.如圖1,NB4c=90°,以直角三角形ABC的三條邊為邊分別向外作等邊三角形.

圖1圖2

答案第9頁(yè)，共55頁(yè)

⑴求證：4ABD+S[]4CF=S[]BCE；

(2)如圖2,連接AE、BF、CD,已知三線交于點(diǎn)G,

①求證：AE=BF=CD；

②若BC=2幣,BG=2,求AE的長(zhǎng).

15.如圖，等腰VABC中，AB=BC,/A3C=120。，點(diǎn)。、E、尸分別在邊AC、AB.CB上,

§LDE=EF,ZDEF=120°

(1)求證：AADEsACFD；

(2)試猜想C尸與BE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由;

(3)連接CE交。產(chǎn)于點(diǎn)G,若CG=EG,求不的值.

答案第10頁(yè)，共55頁(yè)

《2025年中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)題型銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用》參考答案

1.（1）見解析;（2）6.5

【分析】本題考查矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，熟

練掌握矩形的判定方法是解答的關(guān)鍵.

（1）先證明四邊形ADBE的是平行四邊形，若選擇①，可證明=根據(jù)矩形的判定

可得結(jié)論；若選擇②，先證明四邊形ACDE的是平行四邊形，可得到區(qū)>=AC=4?,再根

據(jù)矩形的判定可得結(jié)論；

（2）根據(jù)矩形性質(zhì)可得/￡?￡>=90。，BD=AE=5,再根據(jù)平行線的性質(zhì)和正切定義可求

12

得BE=BDtanNBDE=5x—=12,進(jìn)而利用勾股定理求得DE即可求解.

【詳解】解：（1）方法一：選擇①=

證明：：四邊形ADBE的對(duì)角線AB,相交于點(diǎn)尸，且A尸=8尸，EF=DF,

，四邊形ADBE的是平行四邊形，

\AF=-AB,EF=-ED,

22

又：AF=EF,

AB=ED,

，四邊形ADBE為矩形.

方法二：選擇②AB=AC.

證明：?.?四邊形ADBE的對(duì)角線AB,相交于點(diǎn)尸，且A尸=8尸，EF=DF,

，四邊形ADBE的是平行四邊形，

:.AE//CD,

又AC//ED,

，四邊形ACDE的是平行四邊形，

AC-DE,

又?:AB=AC,

/.AB=ED,

，四邊形ADBE為矩形.

（2）解：由（1）已證明四邊形4DBE矩形，

:.ZEBD=9Q°,BD=AE=5,

又；AC//ED,

答案第11頁(yè)，共55頁(yè)

\?EDB?C.

???在Rt：］EO3中，BE=BD.tanNBDE=5義石=12,

:.DE=^BE1+BD1=7122+52=13,

1113

:.DF=-DE=-xl3=—.

222

3

2.(D-；

(2)①證明見解析；②證明見解析；

(3)5”的長(zhǎng)為36-4或36+4.

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AO=AC=6,AB=AE=8,NDAG=NBAE,,求得

AD_AG6_3根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到等=泰=%

AB~AE-8_4

(2)①過(guò)點(diǎn)B作BM_LAE于點(diǎn)Af,由旋轉(zhuǎn)可知AB=AE,得到NABE=NAEB,根據(jù)

平行線的性質(zhì)得到ZABE=ZCEB，推出8E平分/AEC；

②根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到BC=BM,由旋轉(zhuǎn)可知，AG=AD=BC,根據(jù)全等三角形的性

質(zhì)得到OG=O8；

(3)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AD=AG,AB=AE,ZDAG=ZBAE,求得ZADH+ZABH=180°,

得至【J/DHB=90°,得到nABE為等邊三角形，同理△AOG為等邊三角形，如圖2,根據(jù)三

角函數(shù)的定義得到BH=B/-sin600=如圖3,同理可得

H￡=373-4,得出由/=3指+4.

【詳解】(1)解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，AD=AG=6,AB=AE=8,/DAG=NBAE,

.AP_AG_6_3

"ASAE-8-4*

:.ADAG^ABAE,

DGAG_3

"BE~AE~^'

3

故答案為：—；

4

(2)證明：①由旋轉(zhuǎn)可知，AB=AE,

/ABE=ZAEB,

■:AB//CD,

答案第12頁(yè)，共55頁(yè)

ZABE=/CEB,

???ZCEB=ZAEB,

???班平分/AEC,

②如圖，過(guò)點(diǎn)3作于點(diǎn)M,

圖1

???四邊形A5CD是矩形，

???ZC=90°,

又?；上AE,郎平分/AEC,

???BC=BM,

由旋轉(zhuǎn)可知，AG=AD=BCf

：.AG=BM,

在二AOG和△MOB中，

ZGAO=ZBMO=90°

<ZAOG=ZMOB

AG=BM

；.JAOG^MOB(AAS),

OG=OB；

(3)解：由旋轉(zhuǎn)得AO=AG,AB=A2NDAG=NBAE,

???ZADG=ZAGD=ZABE=ZAEB.

'：ZABE+ZABH=180°,

ZADH+ZABH=180°,在四邊形中，ADAB90°,

：./DHB=90。,

?.?AB=AE=BE=8,

???1A8E為等邊三角形，

???ZDAG=ZBAE=60°,

答案第13頁(yè)，共55頁(yè)

△ADG為等邊二角形，

ZADG=60°,

如圖，令OH與的交點(diǎn)為/

，一__________1c/，

ZIDC=90°-ZADG=30°,

/E

圖2

NBIH=ZDIC=90°-ZIDC=60°,

3

；?8/=BC-/C=6-迪，

3

:.BH=BIsm60°=6一丫）岑=36一4,

如圖，

圖3

同理可得HE=3石-4,

/?BH=HE+BE=3y/3-4+8=3y5+4

綜上所述，出/的長(zhǎng)為3石-4或33+4.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等

邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí),熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

3.(1)45°

答案第14頁(yè)，共55頁(yè)

(2)a+，=45。，理由見解析

【分析】(1)如圖，過(guò)點(diǎn)尸于點(diǎn)，結(jié)合ZABP=30。可得=結(jié)合PB=梃PA

可得如=坐尸4,由此即可得至。/尸48=四=正，結(jié)合S43是銳角即可得到

2PA2

NPAB=45°；

(2)如圖，把口ABP繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到nAC。，連接OC,DP,則由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

可得：Zl=Z2,PB=CD,ZDAP=90°,AD=AP,由此可得PD=0PA,結(jié)合PB=61PA

可證得PO=￡>C,從而得到/PC￡>=NC尸。=45。+打，由此可得

N3=180°—2NCED=90°—2a,結(jié)合4=N2=a-(3,可得Nl+/3=90°-a-B=/A￡)P=45°,

變形即可得到：a+p=45°.

【詳解】(1)解：如圖，作PD_LAB于。，］^NPDB=NPDA=9。。,

ZABP=30°,

：.PD=-BP.

2

PB=V2PA，

PD=—PA.

2

?./DAD_PDV2

?,sinN/VU5=-=—?

PA2

又?.,/PM是銳角，

:.ZPAB=45°.

(2)解：a+￡=45。，理由如下:

如圖，把DABP繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到口48,連接DC,DP,

D

則由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：N1=N2,PB=CD,/D4P=90°,

AD=AP,

答案第15頁(yè)，共55頁(yè)

PD=?PA,ZA￡>P=ZAPZ)=45°.

又「PB=4iPA，

PD=PB=CD.

/DCP=NDPC.

?/ZAPC=a,NBPC=p,

...ADPC=a+^°,Zl=Z2=a-(3,

.?.Z3=180°-2/DPC=90°-2a.

.?.ZAZ)尸=N1+N3=9O。-a—4=45。.

a+/3=45°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了應(yīng)用“旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)”和“等腰直角三角形的性質(zhì)”來(lái)解決相關(guān)幾何問(wèn)題

的能力，在解題中，抓住條件"03=亞QA"、“PB=024”通過(guò)旋轉(zhuǎn)或作垂線段構(gòu)造等腰直

角三角形，把相關(guān)線段集中到一個(gè)等腰直角三角形中去，利用“等腰直角三角形中，斜邊是

直角邊的四倍”結(jié)合已知條件進(jìn)行推理、計(jì)算就可解決所求問(wèn)題了.

4.(1)見解析

⑵①見解析；②且的

19

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到ZABC=/D,AD//BC,求得/C4D=ZAC8,

推出NABC=/ACG,得到E4=bC,求得/ABC=NC4人根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得

到結(jié)論；

(2)①由(1)得NC4O=ZACB,等量代換得到/GC3=ZACB,根據(jù)全等三角形的判定

和性質(zhì)定理得到AE=FE;

②過(guò)點(diǎn)/作出，AC于點(diǎn)〃，延長(zhǎng)/。與GC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)K,如下圖所示：根據(jù)平行四

邊形的性質(zhì)得到AB=CO=有，BC=AD=4,AB//CD,BC//AD,根據(jù)三角函數(shù)的定義

得到AE=2BE,根據(jù)勾股定理得到BE=1,求得AE=2BE=2,得至!]CE=3C-BE=3,

由勾股定理得AC=JAE?+CE?=屈，根據(jù)勾股定理得到/尸的值，然后根據(jù)相似三角形

的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

本題是相似形的綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股

定理，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)證明：?.?四邊形A2CD是平行四邊形，

答案第16頁(yè)，共55頁(yè)

???AD//BC,

：.ZDAC=ZACB,

???/CAD=/G,

：./G=ZACB,

???FA=FC,

：.ZFAC=ZFCA

在」ACG中，ZBAC=1800-ZG-ZACF,

在入軌;片中，ZAEC=1800-ZFAC-ZACB,

：.ZBAC=ZAEC

■:ZACE=/BCA,

：.△ACEsMCA,

.ACCE

**BC-AC?

???AC?=CEBC;

(2)①證明：\-ZGCB=ZDAC,由(1)得NCW=NACB,

ZGCB=ZACB,

QAFtBC,

,\ZFEC=ZAEC=90°,

?：CE=CE,

.?□FEC^nAEC(ASA),

AE=FE；

②解：過(guò)點(diǎn)尸作切，AC于點(diǎn)X,延長(zhǎng)AD與GC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)K,如下圖所示:

四邊形ABCD為平行四邊形,

圖2

：.AB=CD=5BC=AD=4,AB//CD,BC//AD,

AE

又?.?A￡_L5C,在RtZkA5E中，tanZABC=——=2,

...AE=2BE,

答案第17頁(yè)，共55頁(yè)

由勾股定理得讓2+3石2=鉗2,

即（25為2+582=（石）2,

/.BE=\,

.\AE=2BE=2,

：.CE=BC-BE=3,

在RtQACE中，由勾股定理得4。=，4￡2+。片2=瓦,

\-FA=FC,FH.LACf

iITQ

AH=CH=-AC=-

22f

?：S.=-AC-FH=-AFCE,

rGFArC22

e,AFCE3AF

FH=---------=—j=^,

ACV13

在RtAAFH中，由勾股定理得AF2-FH2=AH2，

A/=:（負(fù)值舍去），

4

:.FE=AF-AE=-,

4

-,-CE//AK,

：DCEF^CKAF,

EFCE

??一，

AK

AF5

一4

3

13

一4~~AK"

：.A/C=y,

-CD//AG,

:QKDC^[]KAG,

KDCD

*AG?

答案第18頁(yè)，共55頁(yè)

394

,y-4正

■39~AG)

5

:.AG=^l

19

-G-團(tuán)警

5.(1)見解析

(2)CE=4—20，sinZDAF=V2-l

【分析】(1)由折疊的性質(zhì)得/在M=/BEM,BE=EF,再推出/FEM=,證明四

邊形BEWW為平行四邊形，由3M=BE,即可證明四邊形8EWW為菱形;

(2)利用HL證明RtZ\C￡F0RtZ^VMF,推出CE=MN；設(shè)CE=MN=x,則

BE=FM=4—x,GN=2-x,證明人46^64用沖，推出任=型，解方程即可求得

FMMN

CE=4-2逝，在RtVAGN中，利用正弦函數(shù)的定義即可求解.

【詳解】(1)證明：?.?□ABE沿直線AE折疊得到△人￡￡,

:.Z\ABE^/\AFE,

ZFEM=ZBEM,BE=EF,

ZBEM=ZBME,

.-.BM=BE,NFEM=ZBME,

/.EF//BM,BM=EF,

，四邊形跳/M為平行四邊形，

又BM=BE,

E為菱形；

(2)解：連接BF,

?.?AABE^/\AFE

ZAFE=ZABE=90°,

?：EFUBM,

答案第19頁(yè)，共55頁(yè)

:"GNF=ZAFE=90°,即尸?UBN,

在矩形ABCD中尸C_LBC,

又；BEFM是菱形，

FM=EF,BF平分NMBE,

FN=FC,

v在RtACEF和RANMF中，

[EF=FM

\FC=FN'

RtDCEF^RtUNMF（HL）,

CE=MN；

?.?G為AD中點(diǎn)，AD=4,

AG=DG=-AD=2

2

?.?在菱形中bM〃BC,且在矩形ABCD中3c〃9，

FMnAD,BC=AD^4,ZAMG=NBME,NGAM=NBEM,

ZAMG=ZGAM^GA=GM,

且ZAGN=NFMN,ZGAN=ZMFN,

:.^AGNsAMFN,

—,即AG-MN=GN-FM,

FMMN

設(shè)CE=MN=x,則BE=FM=4—尤，GN=2—x,

2x=（2-x）（4-x）,

解得與=4+2血（舍去），x2=4-2A/2,

r.CE=4-2夜，

GN=2-x=2-\/2—2，

...在RtVAGN中，sinZDAF=—=.

AG2

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形,

菱形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件.

6.⑴見詳解

答案第20頁(yè)，共55頁(yè)

（2）①見詳解；②PN==DN,證明見詳解

【分析】（1）由已知，根據(jù)“兩直線平行，同位角相等“得乙M=/8=90。，由已知，根據(jù)

直角三角形中的邊角關(guān)系得：AM=^AF,由折疊可知：AF=AB,從而可得結(jié)論；

（2）①由折疊可知：AF=AB,ZAFE=ZB=90°,根據(jù)正方形的性質(zhì)得：AD=AF,

ZPFH=ZAFE=90°=ZPDA,根據(jù)“兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”得：NHPF^NAPD,

從而可得=等量代換得出結(jié)論；

?^AD=AB=BC=CD=a,則AF=A8=a,BE=CE=（。，從而根據(jù)直角三角形中的邊

RF111

角關(guān)系得tan/BAE=—=-,由折疊可知：FE=BE=—a,ZAEF=ZAEB=-ZBEF,

AB222

從而得到EE=CE,連接PE,由“HL”證明：Rt^PEF^RtUPEC,得到：

NPEF=NPEC=工NCEF,PF=PC,根據(jù)平角的定義可得：ZAEB+ZPEC=90°,根據(jù)“同

2

1pc1

角的余角相等“得到：=從而得到：tan/PEC=tanNA4E=5,即有益=萬(wàn)，

進(jìn)而得到：/^=PC=<CE=:a,AP=g。，根據(jù)“平行于三角形一邊的直線，截其它兩邊

244

或兩邊的延長(zhǎng)線，所截得的三角形與原三角形相似“證明：VPFNWPAD,得到：

2PN=￡P(guān)F=：1，即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）證明：?.?四邊形ABC。是正方形，

?B90?,

MN//BC,

ZAMF=NB=90°,

若NE4B=60。，

則AM^AF-cosZFAB=AF-cos60°^-AF,

2

由折疊可知：AF=AB,

:.AM=-AB,

2

.?.點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)；

（2）①證明：?..四邊形AB8是正方形，

：.AD=AB=BC=CD,ZBAD=ZB=ZC=ZADC=90°,

由折疊可知：AF=AB,ZAFE=AB=90°,

答案第21頁(yè)，共55頁(yè)

/.AD=AF,ZPFH=ZAFE=90°=ZPDA,

Q/HPF=/APD,

:NHPF^NAPD,

.HPHF

"~AP~~ADf

ADHP=APHF,

AFHP=APHF；

②解：當(dāng)點(diǎn)E是8C的中點(diǎn)時(shí)，PN與DN的數(shù)量關(guān)系是PN=2DN,

4

證明如下：

設(shè)AD=AB=BC=CD=a,

則AF=AB=a,

當(dāng)點(diǎn)E是3c的中點(diǎn)時(shí)，BE=CE=ga,

2

RF1

/.tan/BAE==—,

AB2

由折疊可知：FE=BE=La,ZAEF=ZAEB=-ZBEF,

22

:.FE=CE,

連接PE,如圖：

在RQPEF和RtQPEC中

[FE=CE

\PE=PE'

RtQPEF^RtQPEC(HL),

NPEF=APEC=-NCEF,PF=PC,

2

NAEB+APEC=-(NBEF+NCEF)=90°,

2

而NAEB+/BAE=90°,

答案第22頁(yè)，共55頁(yè)

/./PEC=/BAE,

tan/PEC=tanNBAE=—,

2

pc1

即有豆=5，

/.PC=-CE=-a,

24

PC=-a,

:PF=4

A尸=A尸+PF=aT—a=—a,

44

QMN〃BC,AD〃BC,

:.MN//AD,

:NPFN^NPAD,

j.

PN_PF_^a_1

,PD-PA-5--5；

-a

4

:.PD=5PNf

：.DN=4PN或PN,DN.

4

【點(diǎn)睛】該題是幾何綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解直角三角形，相似

三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是正確做出輔助線，

掌握以上知識(shí)點(diǎn).

7.(1)5,y

⑵①見解析；②見解析

2914

(3)①A：=—；(2)2<x<—

OJ

【分析】(1)利用正弦函數(shù)的定義求得BC=5,當(dāng)時(shí)，歐取得最小值，利用等積

法即可求解；

(2)①利用尺規(guī)作圖的方法作出圖形即可；

②先求得BF=BE+EF=5=BC,再利用AAS即可證明△3CE/4BFG；

(3)①分別用x表示出BP,BQ,尸。和的值，證明口硒//6口。氏，利用相似三角形的

性質(zhì)列式計(jì)算即可求解；

②分兩種情況討論，當(dāng)尸在BE上時(shí)，當(dāng)詡/2小時(shí)，點(diǎn)月落在口。￡皿的邊上，即可求出

答案第23頁(yè)，共55頁(yè)

X的范圍；當(dāng)P在BC上時(shí)，如圖，過(guò)尸作PQ工于。，設(shè)與直線AB交于，，根據(jù)

三角函數(shù)，分別用x表示出BQ,BP,QE,證明口尸。4旬以花，求出函，MH,當(dāng)EH2AE

且時(shí)，點(diǎn)N落在DCEMN的邊上或內(nèi)部，進(jìn)而求出x的范圍即可.

4

【詳解】（1）解：?.?sinB=g,CELAB,

?CE_4

??一，

BC5

CE=4,

?4_4

??=一，

BC5

BC=5,

?'-BEVBC-CE?=3,

當(dāng)EP_L3C時(shí)，EP取得最小值，

X

,/5△ABDCC￡=2-BEXCE^2-BCXPE,即34=5PE，

:.PE=gI?即E尸的最小值為莖I?;

12

故答案為：5,—；

（2）解：①所作圖形如圖，

②由作圖知NFGB=9。。,

9：CE1AB,BPZCEB=90°,

?.,NCBE=/FBG,

9：BE=3,

???AE=7—3=4,

???點(diǎn)尸是A石的中點(diǎn)，

EF=-AE=2,

2

：.BF=BE+EF=5=BC,

：.JBCE^BFG（AAS）;

答案第24頁(yè)，共55頁(yè)

（3）解：①。落在對(duì)角線EN上，如圖,

.?.COS於貳=3,

BC5

3394412

B2=BPcosB=-(x-3)=-x-1,PQ=BPsmB=-(x-3)=-x--

243

QE=BE-BQ=—--x

???四邊形口ABC。是平行四邊形,

ACD//AB,CD=AB=1,

：./CDE=/DEA,

9：CE1AB,

：.CELCD,

：./EC。=90。，

?:MN，AB,

...ZNHE=ZECD=90°,

:CENH氣DEC,

.NHCE_4

?.?NH+MH=MN,

19224824

------x+—x------4,

~353555

解得％=？;

o

②當(dāng)P在BE上時(shí)，如圖,

答案第25頁(yè)，共55頁(yè)

cND

/:/

/：/?/EM=2PE,

DPEAM

EM=2x,

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)Z落在口CEMN的邊上，

/.2x>4,

解得：x>2,

:.2<x<3,

當(dāng)尸在BC上時(shí)，如圖，過(guò)P作尸Q1AB于0,設(shè)MN與直線AB交于H,

C_____________________D

PQ-LAB,

50—H

M

/.ZBQP=90°,

43

QsinB=—,cos3=g,BP=t-3,

3394412

/.BQ=BPcosB=—(x-3)=—x--,PQ=BPsinB=—(x-3)=—x--

243

/.QE=BE-BQ=---x,

,/四邊形CEMN是平行四邊形，

/.MN//CEfMN=CE=4,

vCElAB,

:.MNLAB,

?.?PQLAB,

PQ//MN,

:QPQE^MHE,

.EHMHME

'QE~PQ~PE1

EM=2PE,

答案第26頁(yè)，共55頁(yè)

.EHMHME2

'QE~PQ~PE~'

:.EH=2QE=^--^x,MH=2PQ=^x-^~,

當(dāng)EH2AE■且M/VMN時(shí)，點(diǎn)N落在HCEMN的邊上或內(nèi)部，

[486―

--------x>4

.55

824,，

—x-----<4

[55

14

解得：x<y,

:.3<x<—,

3

14

綜上所述，當(dāng)2WxW可時(shí)，點(diǎn)/落在DCE跖V的邊上或內(nèi)部.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角函數(shù)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定,

等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的運(yùn)用，正確的作圖.

8.(1)見解析

⑶！

【分析】(1)證明口機(jī)M陽(yáng)得出裝=器即可;

(2)設(shè)3E=x，則AB=2x,BC=2瓜，求出CE=dBE?+BC?=3x，BN=—CE=^x,

22

證明□EBOSQINBA,得出孚=些，求出08=乳2無(wú)，得出ON=BN-OB=^^x,得出

ABBN36

答案即可;

(3)延長(zhǎng)AE到點(diǎn)P,使得EP=即,連接燈交CE與點(diǎn)0,連接CP,根據(jù)等腰三角形的

BECE

性質(zhì)得出EOLEP,FO=OP,證明口。5石過(guò)總產(chǎn)，得出一=—,再求出結(jié)果即可.

AFPF

【詳解】⑴解：.??點(diǎn)8關(guān)于CE折疊到

BMLCE,

"00=90。，

/.ZOBC+ZOCB=90°,

???四邊形A5CD是矩形,

...ZABC=ZBAD=90°,

答案第27頁(yè)，共55頁(yè)

/.ZOBC^ZOBE=90°,

/.ZOCB=ZOBE,

:.Z\BANs^CBE,

CEBC

BN-AB

CEBC

(2)解：由(1)知:

B2V-AB

BN

設(shè)3石=%,貝!|AB=2x,BC=2。，

:.CE=dBE?+BC?=3x，

:.BN=—CE=^^x.

22

???BMICE,

\?BOE90?,

又NBW=90。，

...NBOE=/BAD,

???ZEBO=ZNBA,

:△EBOs/\NBA,

.OBBE

?亂一贏’

OBx

即2x—372,

-----X

2

；.OB=^^x,

3

:.ON=BN-OB=^^x,

6

5V2

.ON一一5

"OB2V24,

-----X

(3)解：延長(zhǎng)AE到點(diǎn)P,使得石P=Eb,連接尸尸交CE與點(diǎn)。，連接CP,如圖所示:

答案第28頁(yè)，共55頁(yè)

?：EC平分ZBEF,

/./CEF=NCEP,

???EF=EP,

EOVFP,FO=OP,

:.ZEOP=ZCOF=90°,

ZBEC+ZEPO=90°,

又???四邊形ABC。是矩形，

ZA=ZABC=90°f

:.ZAFP+ZEPO=90°,

:./BEC=ZAFP,

.,.△CBE^/\PAF,

BE_CE

,~AF~^Ff

?.,ZCOF=90°,

OF

：.sinZECF=——=k,

CF

：.OF=kCF,

VCE=CF,PF=2OF=2kCF,

.BECECF_1

'~AF~^F~2kCF~2k'

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，勾

股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法.

9.(1)見解析

⑵見解析

⑶EG=2有

【分析】(1)先由=O石得Nl=N2,再結(jié)合切線的性質(zhì)得ZOCF=90°,則即+N3=90°,

則NBO￡=90。，故ZAOE=NBOE,所以人后二^石

答案第29頁(yè)，共55頁(yè)

(2)根據(jù)垂徑定理得C〃=G〃，ZCHO=90°,再結(jié)合圓周角定理得出NCOB=NCEG,

再證明OE〃CG,進(jìn)行角的整理得/C￡G+/E￡)G=90。，即可作答.

(3)先由直角三角形兩個(gè)銳角互余，以及切線的性質(zhì)得

ZOCH+ZCOH=90°,ZFCG+ZCOH=90°,結(jié)合圓周角定理得ZBCG=ZBCF,得出

HB=BK,因?yàn)?":〃尸=4:5,所以BK:8尸=4:5,然后運(yùn)用解直角三角形的性質(zhì)得

4OH4

5也尸=二，運(yùn)用勾股定理表示即=3a,再得出￡>P=CF=5a,￡>"=2。，結(jié)合sin尸=壇=1,

則廠=印即。”=生，因?yàn)镺D=2.5,代入得出。=；,最后運(yùn)用勾股定理列式計(jì)算，

即可作答.

,?OC,OE是口。的半徑，

OC=OE,

：.Zl=Z2

???。/是口。的切線，切點(diǎn)為C,

???ZOCF=90°,

即/l+N3=90。，

???/3=/4,Z4=Z5,

???Z2+Z5=90°,

???/BOE=9。。,

：.NAOE=90。，

???ZAOE=/BOE,

'AE=BE：

(2)解：連接瓦OC,OE,OG

?.?CG1AB,

：.CH=GH,/CHO=90。，

答案第30頁(yè)，共55頁(yè)

:.CB=BG，/COB=/GOH

：.2ZCOB=ZCOG

,?*CB二BC，

：.2ZCAG=ZCOG,NCAG=/CEG,

：./COB=/CEG

???ZAOE=ZGHO=9Q0,

：.OE//CG,

：.ZOEC=ZGCE(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等),

*/OC=OE,

：.ZOEC=ZOCE,

???ZGCE=ZOCE

9：CD=DG

：.ZGCE=ZCGE

：.ZEDG=ZGCE+ZCGE=ZOCH

*.*NCOH+NOCH=90。,

???NCEG+NEDG=9U。,

：.ZDGE=90°；

(3)解：連接OG,OC.OE、BC,過(guò)B作BK_LA/于K,

過(guò)點(diǎn)。作CG，AB于7/,DO的切線CF交直徑AB所在的直線于F,

：.ZOCH+ZCOH=90°,ZFCG+ZCOH=ZOCF=90°,

答案第31頁(yè)，共55頁(yè)

ZCOH=ZFCG,

???由⑵得CB=BG，

???ZCOH=ZGOH

'-*BG=BG

：.ZGOH=2ZBCG

：.ZCOH=2ZBCG

^ZBCG=ZBCF,

9：BKLAF,/CHB=90°,

：.HB=BK,

?：BH:HF=4:5,

：.BK:BF=4:5,

??萬(wàn)4

..sinF=—,

設(shè)C/=5a,則C〃=4a,

?*-HF=NCF、CH2=3a，

?.?ZOCD+/DCF=90°,ZDCG=ZOEC=/OCD,ZDCG+/CDF=90°

:./CDF=/DCF,

DF=OF=5a,DH=5a—3a=2a,

NF+ZCOF=90°=ZCOF+ZOCH,

???NF=/OCH,

4

VsinF=-,且sinb=sinNOCH

OH

在RtQOCH中sinZOCH=—

e4OH

則芬於

設(shè)O〃=4r,OC=5r,

CH=^OC2-OH2=3r，

即4a=3r,

4a

答案第32頁(yè)，共55頁(yè)

/.OH=4r=4x—tz=—a,

33

DH=2a

：.OD^—a,

3

,/OD=2.5=—a,

3

??Li'—,

4

10343

：.OD=-x-=2.5,OE=OC=5r=5x-x-=5,

3434

DG=CD=yjCH-+DH2=—,DE=^OE2-OD2