2025年中考數學三輪高頻考點

二次函數中的線段最值與面積最值問題沖刺練習

考點一：二次函數與線段最值問題

1.已知拋物線＞=12,直線＞=辰+1交拋物線于A,B兩點，設

如果是定值則求出該值;

（2）設直線與〉軸交于F點，求拋物線上的任意一點以工,%）到點F的最小距離;

（3）向+向是否為定值，如果是定值則求出該值；

⑷證明以線段旗為直徑的圓與直線y=-i相切.

2.如圖，P（2,"）是拋物線y=-；/+x+2上一點.

⑵直線k3X+,”與y軸左側的拋物線交于A、3兩點（點A在點8的右側），PA、PB分別交y軸于點c、D,M

是拋物線與y軸的交點.

①求線段AB的取值范圍;

②試問MC+MD的值是否為定值？若是，求出其值；若不是，請說明理由.

3.如圖，二次函數，=-如2+2如+3的圖象與X軸交于A,8兩點（點A在點8的左側），與y軸交于點C,頂點

為D其對稱軸與線段8c交于點E,與X軸交于點凡連接AC,BD,已知cotZACO=3.

⑴求m的值;

（2）求“或＞的正切值;

(3)若點尸在線段BD上，S.ZFPB=ZCAB,請直接寫出點尸的坐標.

4.如圖，拋物線Z：y=V(x-")(x-〃+3)(常數">0)與x軸從左到右的交點為B.A,過線段0A的中點M作“戶_Lx軸,

交雙曲線>=：(左>0，x>0)于點P,且O4Mr=6.

(2)試探尋線段AB的長與"的關系；

(3)當"=2時，求直線MP與L對稱軸之間的距離；

(4)把Z在直線UP左側部分的圖像(含與直線的交點)記為G,用"表示圖像G最高點的坐標；

5.已知拋物線y=/2+云+C與X軸交于A、B兩點(點A在點B的左側)，與>軸交于點C,直線y=-x-6經過點A與

(2)點P在線段AC下方的拋物線上，過點P作BC的平行線交線段AC于點D,交>軸于點E.

①如果C、F兩點關于拋物線的對稱軸對稱，聯結DF,當DF_LCF時，求NPDF的正切值；

②如果PD：QE=3：5,求點P的坐標.

6.如圖，已知二次函數產次+&+C的圖像與X軸相交于A(-LO),B(3,0)兩點，與y軸相交于點C(o,3)

(1)求這個二次函數的表達式并直接寫出頂點坐標；

(2)若p是第一象限內這個二次函數的圖像上任意一點，軸于點H,與交于點M,連接PC.設點P的橫

坐標為r.

①求線段P”的最大值；

②&網：5人"=1：2時，求r值；

7.如圖，拋物線>=--2仙-3與X軸交于4、B兩點(4在B的左邊)，與y軸交于C點，且。C=OB.

試卷第2頁，共6頁

匕匕匕

。BxQ染x\OBx

⑴求拋物線的解析式；

(2)如圖2,在線段BC下方的拋物線上存在一點。使產=2,AD與BC交于點E,求喘的值；

ED

(3)如圖3,在拋物線下方存在一點Fqw，連接FC、FB分別與拋物線交于點M、N,求直線與直線AC相交

所形成夾角中銳角的正切值.

考點二：二次函數與面積最值問題

8.如圖1,在平面直角坐標系中，直線，=-,+//0)與拋物線尸加(。>0)交于點A,B.

0O

圖1圖2

(1)若點A的坐標為(-3,9),求a,b的值；

(2)如圖2,在(1)的條件下，若C是直線AB下方拋物線上一動點，求VABC的面積最大時點C的坐標；

(3)在第二象限內有一點D(T2),連接AD并延長交拋物線y="2(a>0)于點E,連接BD并延長交拋物線于點F,

連接EF.若對于任意b值020且6,)，總有抽〃￡尸，求。的值.

9.如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=/+〃x+c的對稱軸是y軸，且經過(0.0)和(L2)這兩個點.直線

尸狂-4("<0)與該拋物線交于A、8兩點(點A在點B的左側)，且與x軸、y軸分別交于C、。兩點.

(1)求該拋物線的函數表達式；

(2)若AC=2CD,連接0AOB,求AAB。的面積；

(3)在y軸上是否存在點P,使得當上取某值時，AABP是等邊三角形.若存在，請求出此時人的值；若不存在,

請說明理由.

10.拋物線產扣2+(2,+3)工+產+3—4］與工軸交于4B兩點(點B在點A左側)，與＞軸負半軸交于點C.

(1)如圖1,當"0時，連接AC,BC,試判斷VMC的形狀，并求VABC的面積;

(2)如圖2,當時，點M為B,C間拋物線上任意一點(點Af不與B,c重合)，直線分別交y軸

于E,F兩點，點M在運動過程中，是否存在固定的值，使CF=4CE成立，若存在求出，值，若不存在，請說

明理由.

H.拋物線，=燼+(2,+3)工+,+3-4］與工軸交于A,B兩點(點B在點A左側)，與丫軸負半軸交于點C.

圖1圖2

(1)如圖1,當r=0時，連接AC,BC,試判斷VMC的形狀，并求VMC的面積；

⑵在(1)的條件下，。為拋物線上一點(點。不與A,B,C三點重合)，且加2=2/ABC,求點2的坐標；

(3)如圖2,當時，點M為B,C之間拋物線上任意一點(點”不與B,C重合)，直線A?,MB分別交y軸

于E,F兩點，點M在運動過程中，是否存在固定的/值，使CF=4CE成立，若存在求出/值，若不存在，請說

明理由.

12.如圖，拋物線＞=a+i)2+方與x軸相交于A、B兩點，與＞軸相交于點c(o，-3).

(1)求拋物線的對稱軸及方值；

(2)拋物線的對稱軸上存在一點P,使得厚+PC的值最小，求此時點戶的坐標；

(3)點”是拋物線上一動點，且在第三象限，當M點運動到何處時，四邊形的面積最大？求出四邊形麗B

的最大面積.

13.如圖1,在平面直角坐標系中，直線＞=1與拋物線＞=底相交于A,B兩點(點B在第一象限)，點C在AB

的延長線上.且BCi-AB("為正整數).過點B,C的拋物線3其頂點M在x軸上.

試卷第4頁，共6頁

(1)求A8的長；

(2)①當”=1時，拋物線L的函數表達式為二

②當”=2時.求拋物線Z.的函數表達式_；

(3)如圖2,拋物線E：y=a>/+3+j經過8、C兩點，頂點為P.且。、B、P三點在同一直線上，

①求。，與〃的關系式；

②當"=%時，設四邊形的面積既，當，e時，設四邊形B4VC的面積s,(A,f為正整數，l<k<6,1<?<6),

若&=4S,,請直接寫出%y值.

14.如圖，拋物線丫=加+法過A(4,0),B(1,3)兩點，點C、8關于拋物線的對稱軸對稱，過點B作

直線軸，交x軸于點

(1)求拋物線的表達式；

(2)直接寫出點C的坐標，并求出△ABC的面積；

(3)若點M在直線8月上運動，點N在x軸上運動，是否存在以點C、M、N為頂點的三角形為等腰直角三角

形？若存在，求出其值；若不存在，請說明理由.

15.在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，直線y=-x+4與X軸交于點A,過點A的拋物線y=o?+fcx與直線

(2)如圖1,。為拋物線上位于直線旗上方的一動點(不與B、A重合)，過。作2PU軸，交X軸于P,連接A2,

M為A。中點，連接過M作腦交直線AB于N,若點P的橫坐標為，，點N的橫坐標為0,求枕與r的

函數關系式；在此條件下，如圖2,連接QV并延長，交y軸于E,連接AE,求f為何值時，MNHAE.

（3）如圖3,將直線的繞點A順時針旋轉15度交拋物線對稱軸于點C,點T為線段0A上的一動點（不與0、

A重合），以點。為圓心、以。7為半徑的圓弧與線段。c交于點。，以點A為圓心、以AT為半徑的圓弧與線段AC

交于點F,連接。尸.在點7運動的過程中，四邊形。的面積有最大值還是有最小值？請求出該值.

試卷第6頁，共6頁

《2025年中考數學三輪高頻考點二次函數中的線段最值與面積最值問題沖刺練習》參考答案

L(1)是定值，V2=~4,

(2)1

(3)是定值，1

(4)見詳解

【分析】(1)聯立函數解析式，得到一元二次方程，根據根與系數的關系進行求解即可；

(2)根據兩點間的距離公式求出尸尸，利用二次函數求值即可；

(3)求出|臂=乂+1，]跖屋+1,推出向+點,結合⑴中結論，進行求解即可；

(4)中點坐標公式得到圓心的坐標E傻,進而得到圓心到直線y=-l的距離d為叢產+1,求出線段AB

的長，判斷"與竽的關系，即可得證.

【詳解】(1)解：是定值.

聯立：尸/，則h+l=%2,化簡得/_4丘-4=0,

y=Ax+l

...％+/=4女,xxx2—-4,

??.%%=卜;卜[3卜如%)2=i，

/.XjX2=-4,y%=1;

(2)解：???直線》=履+1與y軸交于尸點,

尸(o,i),

*.*拋物線上的任意一點尸(%，%)

??%=W

則P尸=(0+%)2+(1-%)2

224

=x0+l-ix0+^x0

,1214

=1+/+記X。

令十="(a20),貝UPF，=1+：。+]/=[("+4)22^x4°=1,

拋物線上的任意一點Pa，%)到點F的最小距離為1;

(3)解：是定值，

Vb(0,1),且y=%2,

，|叫=J%：+(1_yJ=J4yJ+0_yj2=%+i,

同理：忸刊=舊+y)2=網；+0_%『=%+1,

.二-+'=，+，

**\AF\\BF\%+1y2+l

；%+1+。+1

(%+1)(%+1)

=%+。+2

%+1+%+%%'

答案第1頁，共28頁

由(1)知："2=1,

?.?原式=共1"

???山+看是定值，定值為1;

(4)解：???線段AB為直徑，

???圓心的坐標為：(七三，"&),

圓心到直線y=-i的距離/為且產+1,

%+%=：#+：其=：［(為+三)~-2占三］=：(16〃+8)=4/+2,

.?.d=%；以2.+1=2白+2,

AB=J(4一乂)2+(二一石)2,

由(1)知：芯+%2=4氏，%%2=—4,

（%2_玉）2=（玉+%2）2-4芯％2=16左2+16,

（為一%）2=（；考—=^（玉+”2）2（%一電）？=\X16女2*（16左之+16）=42x（16出之+16）,

AB=?2X（16〃+16）+（16左2+16）=J16,2+1）2=4（左2+1）,

?/AB

?,d=~2'

???圓心到直線的距離等于半徑，

???以線段融為直徑的圓與直線尸-1相切.

【點睛】本題考查二次函數的綜合應用，涉及一元二次方程根與系數的關系，中點坐標公式，勾股定理，切

線的判定等知識點，熟練掌握相關知識點，正確的計算，是解題的關鍵.

2.(1)2

(2)①0<AB<4而；②是，4

【分析】(1)直接把P(2,0)代入拋物線y=［x2+x+2即可得到答案；

(2)①由直線y=3x+",與y軸左側的拋物線交于A、8兩點，當x=o時，>=(可得”>2,聯立解析式可得

x2+4x+2m-4=0,此時方程有兩個不相等的實數根，求解，”<4,可得2<加<4,解方程可得從卜2+J8-2,",9-6+348-2,”),

B卜2-g疝.-6-3反赤)，再進一步結合勾股定理可得答案；

②設直線以為k。+九求解直線尸A解析式為：產"plEx+g履直線網解析式為：>=2±摩空工_@而，

可得點々0,際而)，點D(OL用礪)，進一步可得答案.

【詳解】(1)解:把點P(2,")代入y=-；*+x+2,

得R=—白2?+2+2=2

(2)解：①；拋物線y=-g/+x+2與y軸的交點為“(0,2)

且直線y=3x+，相與y軸左側的拋物線交于A、B兩點，當x=o時，"明

:.m>2,

答案第2頁，共28頁

y=3x+m

由y=-—x2+x+2f

12

整理得：x2+4x+2wi-4=0,

此時方程有兩個不相等的實數根,

，A=42-4（2W-4）>0,

解得：m<4,

2<m<4,

=

X|=—2+，8—2mJ%2-2-，8-2m

???解方程得：

%=m-6+3\/S—2ni'Iy2=m—6-3j8-2祖

???點A在點8的右側

A（-2+J8-6+3>/8-2m）,5（—2—>/8—2m,m—6—3,8—2m）

AB=J（2>/8-2w）2+（6V8-2?z）2=4,20-5加,

.-.0<AB<4^0

②由①知直線y=3%+也與y軸左側的拋物線y=-；%2+%+2交于AJ+A/T虧，帆-6+3場F）,

B^—2—y]8—2tn,m—6—3y/S—2m）兩點

又?.?點尸（2,2）,

設直線以為丁=勿十九

'2e+f=2

12+J8-2m）e+f=~-6+3J8-2m

2—\[S—2m

e=----------

解得:2

f=>JS-2m

，直線叢解析式為：y=士警Lx+用茄,,

同理可得：直線網解析式為：、=2+亭赤.昕總

同理可得：點C（0,癢石），點D（0.-斥訴）,

又?拋物線產」/+x+2與>軸的交點”（0,2）

.?.MC+MD=（2-J8-2勿）+（2+j8-2司=4為定值.

【點睛】本題考查的是二次函數的性質，一元二次方程的解法以及根的判別式的應用，勾股定理的應用，求

解一次函數的解析式，本題的計算量大，細心的計算是解本題的關鍵.

3.（1）^=1

（2）tanZCBD=i

（3）嗚4

【分析】（1）由題意易得點C（0,3）,則有。A，OC=1,即A（-LO）,然后代入函數解析式進行求解即可；

（2）連接8,由（1）可知二次函數解析式為y=-f+2x+3,則有B（3,0）,D（l,4）,然后可得BC=3在€?="8。=2布,

進而問題可求解；

（3）分別過點尸作PG_LOB于點G,過點F作FHLPB于點H,由（1）（2）可知DF=4,BF=2,BD=26,tan/CAB=^=3,

答案第3頁，共28頁

然后可得sinNFBD=/=竺.tanNFBD=1^=2,FH=空棄=挈，進而根據解直角三角形可進行求解.

BD5BFBD5

【詳解】（1）解：由題意可令x=0,代入二次函數y=T研,+2如+3得：產3,

C（0,3）,

nr

cotZACO=3,BPcotZACO==3,

OA=-OC=1,

3

.?.A（-1,O）,

/,—2m+3=0,

解得：m=l,

由（1）可知二次函數解析式為"-爐+2%+3=-（%-1）2+4,

.??頂點。（1,4）,

當>=。時，則-%2+2%+3=0,

解得：=-l,x2=3,

區（3，。），

C（0,3）,

BC=-J（3-0）2+（0-3）2=3>/2,BD=,J（3-1）2+（0-4）2=2>/5,CD=^（l-O）2+（4-3）2=>/2,

222

BC+CD=20=BDf

：.△友力是直角三角形，即48=90。,

tanZCBD=—=-?

BC3'

（3）解：分別過點尸作PG_LO3于點G,過點/作FH_LPB于點H,如圖所示:

由（1）（2）可知=4,5尸=2,50=2百，tanZC4B=—=3,

?■/口尸_2如*/mn_DF“BFDF_4下

??sinNFBD=-----=------,tunNFBD=-----=2,FH=-----------=------,

BD5BFBD5

*.*ZFPB=NCAB,

答案第4頁，共28頁

tanZFPB=tanZ.CAB=3,

:.PH=FH=迫網=FH=撞

tanZFPB15tanZFBP5

BP=BH+PH=—,

3

PG=BPsinZFBD=-,BG=———=-,

3tanZFBD3

7

I.OG=OB-BG=-f

【點睛】本題主要考查二次函數與幾何的綜合及解直角三角形，熟練掌握二次函數的性質及三角函數是解題

的關鍵.

4.⑴左=3

(2)線段的長與"無關，為定值3

(3)|

(2〃-36n—n2

(4)圖像G的最iWi點為(2句或1萬，8

【分析】(1)設點P(￡y),只要求出孫即可解決問題;

(2)先求出A、B坐標，利用A、B坐標求出AB的長即可；

(3)把”=2代入拋物線解析式，求出點A、B的坐標，然后求出拋物線的對稱軸為直線x=匚/三，點M的坐

標為。，0),即可求出結果；

(4)根據對稱軸的位置即可判斷，當對稱軸在直線“P左側，L的頂點就是最高點，當對稱軸在"P右側，L

與“戶的父點就是最局點.

【詳解】(1)解：設點P(x，y),則MP=y,由0A的中點為M可知OA=2x,代入0AMp=6,

得到2">=6,即到=3,

.?.女=孫=3；

(2)解：把"。代入y=(尤-〃)(%-八+3)得：

0=——(^x——n,

解得：石=〃，x2=n-3f

???"0,A在點3的右側，

???點A的坐標為：(4。)，點8的坐標為：(?-3,0),

AB=〃—(％—3)=3,

；?線段AB的長與"無關，為定值3;

(3)解：當九=2時，令y=。，。=-3(尢-2)(%-2+3),

解得：％=2或％=-1,

???點3在點A左邊，

AB(-l,0),A(2,0),

??Z是對稱軸為直線％=與號，且M為(1,0),

答案第5頁，共28頁

MP與L對稱軸的距離為l—g=g；

（4）解：根據解析（2）可知，點A的坐標為：（〃,0）,點3的坐標為：（，-3,0）,

???￡的對稱軸為直線>紀尸=手，叱可，

把尤=^^代入>=一；（％一〃）（％一〃+3）得：y=|

ZZo

???拋物線的頂點坐標為：（等，]，

把尤=2代入產一；（'一"）（'一"+3）得：y=，2，

ZZo

拋物線與破的交點坐標為：

當笄美，即“V3時，對稱軸在直線MP左側，拋物線的頂點坐標仔展號為圖像G最高點;

ZZIN，

當2"3>5,即〃>3時，對稱軸在直線“尸右側，乙與MP的交點（日，生就是G的最高點；

ZZIZoI

綜上分析可知，圖像G的最高點為

【點睛】本題主要考查二次函數綜合題、待定系數法，解題的關鍵是理解題意，學會利用圖形信息解決問題,

學會用方程的思想思考問題，考慮問題要全面，屬于中考常考題型.

5.（l）y=^x2+2x-6

（2）①（②卜吟）

【分析】（1）先由一次函數求出A（FO）,C（FO）,再運用待定系數法求二次函數解析式，即可作答.

（2）①依題意，得DF_LCF,PE||BC,ZPDF=ZACB,根據角的等量代換，即=先求出點8的坐標.NPDF

的正切值等于

（JC63

②先表達出d*p2-p-6）,尸+石N=[p2-；p,EM=-3p再根據相似三角形

的性質與判定，列式化簡計算，即可作答.

【詳解】（1）解：：直線產T-6經過點A與點C

貝!J當％=0，y=；y=o，x=-6

A（-6,0）,C（-6,0）

.卜=-6,

*'[0=18-6^+c,

解得仁6

12

y=-x+2%—6?

2，

（2）解：①如圖:

*/A（-6,0）,C（-6,0）,且C、夕兩點關于拋物線y=g%2+2%—6的對稱軸對稱，

__b____2___2

X

yF=yc=-^,~2a~2xl-

2

則%F=-4

答案第6頁，共28頁

DF.LCF

：.0尸〃y軸

則NFDC=NOC4

:過點尸作的平行線交線段AC于點D,交>軸于點E.

PE\\BC,/PDF=ZACB

貝（jN尸DF=NOC5

???丁=白2+2%―6無軸交于43兩點（點A在點B的左側）,

I.0=-X2+2X-6

2

?,?％=—6,x=2

B（2,0）

NPDF=NOCB

則4DF的正切值等于tan“CB=M='；；

OCo3

②設戶（。1/+2。-6）,BC的解析式為y=，"x+〃

.?.把C（0,-6）,2（20）代入y=?:+”

得II

‘寸［0=2m+n

解得｛n=-6

m=3

???過點p作5c的平行線交線段AC于點，交y軸于點E

???設依的解析式為y=3x+b

把《，,，2+2。-6］代入"3%+方

得6=gp2_p_6

y=3x+-^p2—p—6

令元=0,y=gp2_p_6

即E（0,1-p-6］

y=-x-6

y=3x+^p2—p—6

解得X=-1p2+；P

O4

貝!J把x=_*2+；p代入y=3x+1p2_p_6

o4Z

y=＞p_6

得o一；4

答案第7頁，共28頁

?/1211211

-?Dl-8P+了"/-/刃

:過點尸作P"Lv軸，過點。作ON_Ly軸,

△EDNSAEPM

.EN_DE

?'~EM~~EP

*.*PD:DE=3:5

EN：EM=5X

*.*E(0,gp2_p_6),0(_：p2+；p,：p2_：p_6),尸(p,gp2+2p—6)

EN=gp2-p-6-[p2-；p-6)=|p2_：p,EM=^p2-p-6-^p2+2p-6^=-3p

33

：,-p2--p^-3p=5：S

解得Pi=O'Pi=-3

???點尸在線段AC下方的拋物線上，

AA=O(舍去)

P=-3.

把〃=-3代入V=1+2〃一6

,點尸的坐標13,同

【點睛】本題考查了二次函數的幾何綜合，相似三角形的判定與性質，解直角三角形，勾股定理等，綜合性

強，難度較大，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵.

6.(1?=-爐+2]+3,頂點坐標為(1,4)

(2)①(；②；

【分析】(1)將A、B、。三點的坐標代入丁=湛+"+。中得一個三元一次方程組，解這個方程組求出〃、b、c

的值即可得二次函數的表達式，再將一般式化成頂點式，即可求得頂點坐標.

(2)①設直線5。的表達式為y=s+"Swo),將3、。兩點的坐標代入"如+"中求得相、〃的值，即可知5。的

表達式.由尸點的橫坐標為可得P點的坐標為(-*+2.+3),M點的坐標為QT+3),用含有/的代數式表示

出尸M的長，再求出最大值即可.

②用含有/的代數式表示出和PM的長，由△心”和等高，且％PBM：%MHB=1：2,可得=即可求出

力的值.

【詳解】(1)(1)將4-1,0),5(3,0),。(0,3)代入丁=加+云+°,得：

答案第8頁，共28頁

a-b+c=O

<9。+3b+c=0,

c=3

a=-\

解得:'b=2，

c=3

二次函數的表達式為k*+2x+3.

?/y=-x2+2x+3=-(x-l)2+4,

二次函數圖像的頂點坐標為(1,4).

(2)①設直線BC的表達式為y=m+"g*o),

將B(3,O),C(O,3)代入>=皿+",得:

[3m+n=0

[n=39

解得:t1-

???直線BC的表達式為y=-%+3.

???點尸的橫坐標為《0々<3),

:.點P的坐標為(￡,-產+2/+3)，點M的坐標為CT+3),

.?.9=一產+2，+3-(一/+3)=-*+3/=-,一|)+(,

線段尸M的最大值為1.

②;點尸的坐標為-產+2%+3),點M的坐標為(兀T+3),

???點”的坐標為G。)，

PM=-t2+2t+3-(-t+3)=-t2+3t,MH=-t+3.

■:小PBM不口公MHB9S^PBMS/^MHB=1：2,

:.MH=2PM,即一方+3=—2/+6,，

解得：4=；以=3(不合題意，舍去)，

二當5—：顯由=1：2時，r的值為已

【點睛】本題主要考查了二次函數與一次函數及幾何圖形的綜合運用，綜合性較強，難度較大.熟練掌握用

待定系數法求函數表達式及數形結合法是解題的關鍵.

7.(l)y=x2-2x-3

(2)2

⑶2

【分析】(1)根據。B=OC,得到B點坐標，待定系數法求出函數解析式即可；

(2)過點B作MBIIAD交y軸于點V,設直線AD表達式中的表達式為>=辰+&,求得/W的表達式為y=4+1),表

示出點以。㈤，同理得到點跖。「3儲根據產=2,解出鼠進而求出D,E的坐標，即可得到答案；

°AADC

(3)求出c尸表達式，從而得到V、N點坐標求出直線表達式，過點C作CD〃MV,交工軸于點。，過點A作

答案第9頁，共28頁

AHVCD,ZACH即為兩條直線的夾角，求出直線8的解析式，進而得到。點坐標，等積法求出4/的長，勾股

定理得到S的長，利用正切的定義，進行求解即可.

【詳解】⑴解:由拋物線的表達式知，OC=3=OB,即點B（3,0）,

將點B的坐標代入拋物線表達式得：0=9a-6a-3,

解得a=l，

二拋物線的表達式為>=/-次-3;

（2）解：Vy=x2-2x-3,當產0時，X2-2X-3=0,解得：4=3,受=-1,

A（-1,O）,

設某直線的表達式為y=h+",直線上兩點坐標為：&，%），（%，%）,

則吐〉整理得:心號①，

該直線的表達式我們也可表示為：尸②.

過點B作交丫軸于點M,設直線AD交丫軸于點H,

設直線AD表達式中的表達式為尸丘+心

由②知，AD的表達式為廣總+1）,則點切。陽，

同理，直線3M的表達式為，=小-3）,則點M（0,-3Q,

s

?.?△ABD和AADC是同底均為AD,且p迺=2,

MH=2CH,即-3左-左=2（左+3）,解得左=—1,

故直線AD的表達式為尸《+1）=-%-1,

由點C、3的坐標得，直線的表達式為丁=%-3,

聯立上述兩式得：x-3=-x-\,解得％=1,

當％=1時，y=x-3=-2,

即點*2）；

聯立直線短和拋物線的解析式，得：｛；:；二：_3,解得：｛[I或

AD（2,-3）;

AE=7（1+1）2+22=2y/2,DE=^/（2-1）2+（3-2）2=>/2,

?AE25/2

..DE五7=^=2;

（3）解：?.?點以3,0）、尸（|,?）,

答案第10頁，共28頁

n2n

則由①知，該直線的左值=七~7,

2

由②知，直線班的表達式為…（%-3）=-,+2〃③,

同理可得，直線b的表達式為產竽④，

由（1）知拋物線的表達式為y=--勿-3⑤,

x=-i(2?+3)

聯立③⑤并解得,3，即點N的坐標為?第，"招,

y=-(4/+24〃)

聯立③⑤，同理可得，點M的坐標為（誓，“/+%+電）;

設直線”、N的表達式為產sx+，,

An2+24〃4n2+36〃+45i./2鹿+32〃+12、,

由①得：§=（：-)-(-----------)=1,

99

2〃+124n2+36〃+454n2+30〃+9

由②知，直線"N的表達式為y=%----------------=x+---------------

99

過點。作CD〃腦V,交％軸于點。，則直線CD的解析式為y=x-3,

當y=o時，％=3,

0(3,0),

CD=V32+32=3>/2,A￡)=4,AC=Vl2+32=>/10

過點A作AH_LCD,

s“A8rn=2-ADOC=2-CDAH,

4x3=3"4H，

AH=242，

??CH=VAC2—AH2=5/2,

/.tanZACH=9=半=2,

CHV2

即：直線MN與直線AC相交所形成夾角中銳角的正切值為2.

【點睛】本題是二次函數的綜合題，主要考查了一次函數二次函數的基礎知識，平行線的性質，解直角三角

形，處理復雜數據是本題解題的關鍵.

8.（1）?=1,噢

（2）面積最大時點。卜；：

⑶

【分析】（1）將點A坐標分別代入直線與拋物線方程求得未知數即可;

答案第11頁，共28頁

（2）聯立直線方程與拋物線方程，求得點8,當點C到直線度距離最大時，三角形ABC的面積取得最大值，

將直線AB向下平移得到的解析式為廣-9+9+〃，與拋物線方程聯立，令A=0,解得k-霍，則平移得到的解

析式為尸即可求得面積最大時點C坐標為「，專）；

（3）根據題意直接取6=0,此時直線AB的表達式為：尸-氐，將直線AB與拋物線進行聯立求得點8坐標，求

得直線助表達式為：產-2x,進一步求得點尸坐標為（子,北，同理，求得直線.表達式為：＞=（-2-冷）X-京，

\UCljI4a-乙）4。—Z

（"；）,將直線的與拋物線聯立，求得點E坐標為：[品].產”],結合題意可得比例系數相等即可求得。.

【詳解】⑴解：將點4（-3,9）,代入直線＞=（*0）,得〃=與，

將點A（-3,9）代入丁=加（〃＞0）,得”=1,

故a=l,=y;

15

（2）解：聯立直線方程與拋物線方程，即，二一5?萬，

解得另一交點8的坐標為：仁昌，

當點C到直線的度距離最大時，三角形ABC的面積取得最大值，

將直線AB向下平移得到的解析式為》=-?+：+力，

15

與拋物線方程聯立得工三,+了，則/+白一3-/,=0,

i22

△=/_4ac=（g）-4xlx,￡—"=0,解得力=_詈，

則平移得到的解析式為尸-9+片-[=-9-J，

2216216

此時，交點C即為面積最大，點C坐標為

a

（3）解：對于任意b值（/0且總有鉆〃EF,

則直接取。=0,

此時直線AB的表達式為：y=-1x,

將直線AB與拋物線進行聯立，即尸弓。設點A在點8左側，

[y=ax2

解得：A點坐標為（-三，圭），點3坐標為（。,0）,

設直線BD表達式為：y=mx+nf

將3,。兩點分別代入求得仁武〃，解得仁;

直線BD表達式為：＞=-2x,

將直線BD與拋物線聯立，

即憶:，解得點尸坐標為信3），

同理，設直線AD為，=必+",將A,。兩點分別代入求得,

直線AD表達式為：y=12-擊〉-高，（。弓），

答案第12頁，共28頁

將直線AO與拋物線聯立，即'=(-2-力口一石三,

y=ax1

可化為.ax2+\2+---\x+---=0

」也"(4a-2)4a-2'

由一元二次方程的求根公式可得，該方程組的解為:

2a

經化簡可得點￡坐標為:

設直線石尸方程為：將石，尸兩點坐標代入得,

-74+16。-4(-7a+2)(a-2)-7a+2

直線用的比例系數為:

2a之—5a+2(2a-l)(a-2)2a-1

.AB//EF,

，直線AB與直線匹比例系數相等，即壬=[,解得。=：；且滿足上述成立.

【點睛】本題主要考查二次函數的性質，涉及待定系數法求函數解析式、二次函數與一次函數圍成面積最大、

一次函數的平移、判別式在函數中的意義、一次函數和二次函數交點的意義以及直線平行對應的比例系數相

等，此題計算量較大，對計算的準確性考驗較高.尤其是第三小問考慮取特殊值和比例系數相等求解.

9.⑴y=2￡

⑵2

(3)存在，*=

【分析】(1)結合拋物線y=&+及+C的對稱軸是y軸，且經過(0,0)和(1,2)這兩個點.得出-1=0,b=o,c=0,a=2,

即可作答.

(2)根據一次函數的性質，得出。(0,-4),eg,0),結合反比例函數的圖象性質，得出A(而例-4),B?,g-4),

證明W/sQ。，因為AC=2CD,貝^=3*9，即中|，0),A(-2,4),建立方程組進行計算，然后運用割補法

歹!|式“IB。的面積=￡板,,進行作答即可.

(3)設AB的交點為M,過點M作ME_Ly軸，過點4作AF_L"E,聯立拋物線和直線得到2f-h+4=0,然后求出

/k-y/k2-32k2-ky/k2-32fk+yJk2-32k2+ky/k2-32kk2心u土山”/女八一

A—4—，——4----------，—D4—，——4---------------，小”9力+%=5-8,然后求出加叮彳-4}表示

出AF=,然后根據等邊三角形的性質得到sin4PM=鬻=與然后證明出.AFM^MEP，得到黑=蕓=。,

4PM3MEPM3

代入求解即可.

【詳解】(1)解：：已知拋物線."江+"+c的對稱軸是y軸，且經過(0.0)和(1,2)這兩個點.

b

...-----=0,b=0,c=0

2a

y=ax2

把0,2)代入y

??2=izxI2

??Q=2

該拋物線的函數表達式y=2/.

答案第13頁，共28頁

（2）解：???直線產丘-4（左<o）與該拋物線交于A、5兩點（點A在點3的左側），且與1軸、y軸分別交于C、

。兩點.

.?.當％=。時，則y=-4

.?.0(0,-4)

?,?當>=。時，則0=丘-4

,_4

**X~~k

則喉,0

設A&,g一4),B(X2,AXJ-4)

如圖：過點A作AH_Ly軸，連接AO,BO

,/AHLy,/COD=90。

...AH\\CO

I.^ADH^^CDO

,CDCO

…~DA~~AH

VAC=2CD

,CDCO\

',~DA~^H~3

VC（:可，，（與何-9

.2412

..三=3"石=不

itx--4=8

k

JAA

k

把《葭，8）代入

y=2x\解得女=-6（正值已舍去）

,A(-2,8)

y=-6x-4

y=2x2

解出％i=-2,x2=-l

5(-1,2)

VD(0,-4),A(—2,8),

AAB。的面積=S*-S,\BOD-S^O=\AHXDH-^OD^-^OH^AH

答案第14頁，共28頁

（3）解：如圖所示，設的中點為過點M作軸，過點人作■,腔

拋物線y=2/和直線y=kx-^k<0)

；?聯立得，

Iy=o-4

整理得，2x2-H+4=0

解得XJ士護電

4

._k->Jk2-32_k+y/k2-32

??4=-，A=-

代入產h-4得，〃=三_4,%=正孚HH_4

./k-y/k2-32k2-ky]k2-32(k+ylk2-32k2+k-Jk2-32

-4>A

,-kk

??XA+XB=

.k2

??力+%=5-4+/-4=^(xA+xs)-8=--8

???點W為AB的中點

2

.A.(kk八

F=e-k4^_je_y-k^iME」

4(4J44

??屋鉆尸是等邊三角形，點M為A3的中點

/.AB±PM,ZAPM=ZBPM=|ZAPB=30°

sinZAPM=—=—

PM3

ZF=ZAMP=90°

ZFAM+ZAMF=ZPME+ZAMF=90°

ZFAM=ZPME

又,:NF=ZMEP=90。

△AFMS￡J^EP

?AFAM_>J3

**PM-V

-kJ/_32

?4_G

n~=~

4

答案第15頁，共28頁

解得k=±粵

Vk<0

:.k-叵.

3

【點睛】本題考查了二次函數與一次函數的綜合，求二次函數解析式，等邊三角形的性質，解直角三角函數，

相似三角形的判定與性質，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵.

10.(l)VMC是直角三角形，5^=5

(2)存在固定的f值，「=0,使CF=4CE成立.理由見解析

【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理、二次函數圖象上點的坐標特征等知識.

(1)當時，首先可得出點A,8C的坐標，利用勾股定理逆定理可得出VMC的形狀；

(2)首先求得點A,B,C的坐標，設直線AM的解析式為>=幻+4,直線的解析式為尸質x+用，可得

CEW-g,+3-4),CF=；(產+3—4)f,將直線解析式代入拋物線解析式得出關于X的一元二次方程，利用根與系

數的關系可得4%=(產+3”4)-為①，/如=仔+3”4)-24②，結合B=4CE,可得出關于看的方程，解答即可得出結

論.

【詳解】⑴當，=。時，拋物線解析式為y=*+3l),

令y=°,即有；(*+3x-4)=0,解得否=-4,%=1,

:點B在點A左側，

令％=0,則有產-2,

.?.C(0-2).,

.?..=1一(y)=5.OC=2,AC?=仔+22=5,BO?=42+23=20,

.?.S=J_ABOC=4X5X2=5.

"8C22'

AB2=52=25,AC2+BC2=(l2+22)+(42+22)=25,

：.AB2=AC2+BC2,

「.△ABC直角三角形；

(2)存在固定的方值，使